Aerodynamika I Ściśliwy opływ profilu transoniczny przepływ wokół RAE-8 M = 0.73, Re = 6.5 10 6, α = 3.19
Ściśliwe przepływy potencjalne
Teoria pełnego potencjału Wprowadźmy potencjał prędkości (zakładamy brak wirowości v = 0): v = Φ D Równanie ciągłości można przekształcić: u = Φ x v = Φ y (1.1) (ρ v) = ρ v + v ρ = 0 ρ Φ + Φ ρ = 0 (1.) Na podstawie równania pędu: ( ) 1 V ρ p = v v = + ( v) v (1.3) Ponieważ wirowość jest równa zeru: ( v) v = 0 dp = ρ d ( V ) = ρ d ( Φ Φ) (1.4) Korzystając z r-a na prędkość dźwięku (dla przemiany izentropowej): dp = c dρ dρ = ρ d ( Φ Φ) (1.5) c
Teoria pełnego potencjału Gradient gęstości może więc być wyznaczony z równania: ρ = ρ c ( Φ Φ) = ρ Φ Φ (1.6) c dla D: [ ] ρ x = ρ Φ Φ c x x + Φ Φ y x y Po pdostawieniu do (1.): dla D: Φ x + Φ y 1 c ρ y = ρ c [ Φ x Φ x y + Φ y ] Φ y (1.7) (1.8) ρ Φ ρ Φ ( Φ Φ) = 0 (1.9) c [ ( ) ( ) Φ Φ Φ x x + Φ y y + Φ Φ x y ] Φ = 0 x y (1.10)
Teoria pełnego potencjału Po przekształceniu r-e (1.10) przybiera postać: [ 1 1 c ( Φ x ) ] [ ( ) ] Φ x + 1 1 Φ Φ c y y = Φ c x Φ y Φ x y Korzystając z całki r-a energii otrzymamy zależność na prędkość dżwięku: c = c 0 k 1 [ ( ) Φ + x ( ) ] Φ y (1.11) (1.1) Równania (1.11) i (1.1) są r-mi pełnego potencjału. Pozwalają one na symulację przepływów ściśliwych ze słabymi (przemiana izentropowa!) falami uderzeniowymi.
Zlinearyzowane równania potencjału małych zaburzeń Równania (1.11) i (1.1) można uprościć wprowadzając potencjał małych zaburzeń i dokonując linearyzacji. gdzie: v = v + ṽ (1.13) v = [ u, v ], v = [ V, 0 ], ṽ = [ ũ, ṽ ] Zdefiniujmy potencjał zaburzeń φ : Po podstawieniu do r-a (1.11): [ ( ) ] [ c V + φ φ x x + ṽ = φ Φ = V x + φ (1.14) c ( ) ] φ ( φ y y = V + φ x ) φ y φ x y (1.15)
Zlinearyzowane równania potencjału małych zaburzeń Do linearyzacji r-e (1.15) wygodniej jest przedstawić w zależności od prędkości zaburzeń a nie potencjału: [ c ( V + ũ ) ] [ ] ũ x + c ṽ ṽ ũ = (V + ũ) ṽ (1.16) y y R-e (1.1) przybiera postać: c = c k 1 Po podstawieniu (1.17) do (1.16) i przekształceniu: [ ( ) 1 M ũ x + ṽ y = M (k + 1) ũ + k + 1 V [ + M (k + 1) ṽ + k + 1 V + M ( V ũ + ũ + ṽ ) (1.17) ũ V ṽ V [ ṽ V ( 1 + ũ V ) ( ũ x + ṽ x + k 1 + k 1 )] ṽ V ũ V ] ũ x ] ṽ y (1.18)
Zlinearyzowane równania potencjału małych zaburzeń Po założeniu małych zaburzeń (cienkie profile, małe kąty natarcia): ũ V 1 ṽ V 1 (1.19) Równanie (1.18) może zostać uproszczone do postaci w której pozostają tylko człony liniowe (przyjmuje się, że uproszczenia te są słuszne dla M < 0.8 i 1. < M < 5): ( ) 1 M ũ x + ṽ y = 0 (1.0) Po podstawieniu potencjału małych zaburzeń otrzymamy: ( 1 M ) φ x + φ y = 0 (1.1) R-e to jest eliptyczne dla M < 1 i hiperboliczne dla M > 1.
Współczynnik ciśnienia dla małych zaburzeń Współczynnik ciśnienia jest zdefiniowane przez zależność: C p p p gdzie: q = ρ V q (1.) Równanie (1.) można przekształcić korzystając z: ( ) q = ρ V = k p ρ V = k k p p M (1.3) Współczynnik ciśnienia można przedstawić wtedy jako: ( ) C p = p 1 k M p (1.4) Do dalszych przekształceń wykorzystamy zależność dla przemiany izentropowej: ( ) k p T k 1 = (1.5) p T
Z całki równania energii: Współczynnik ciśnienia dla małych zaburzeń V + cpt = V k 1 ( + cpt T T = V V ) (1.6) k R Korzystając z definicji prędkości zaburzenia (1.13) otrzymamy: ( ) T = 1 k 1 M ũ + ũ + ṽ T V V (1.7) Po podstawieniu: p p = [ 1 k 1 M ( )] ũ + ũ + ṽ k k 1 V V (1.8) Rozwijając w szereg: p = (1 r) k 1 k = 1 k r +... (1.9) p k 1 ( ) p 1 k p M ũ + ũ + ṽ V V (1.30)
Współczynnik ciśnienia dla małych zaburzeń Podstawiając (1.30) do (1.4): C p = ũ V ũ + ṽ V (1.31) Dla małych zaburzeń (1.19): ũ + ṽ V ũ V (1.3) Otrzymamy ostateczną przybliżoną zależność na współczynnik ciśnienia: C p = ũ V (1.33) Przedstawione zależności dotyczą przepływów zarówno poddźwiękowych jak i naddźwiękowych.
Korekta Prandtla Glauerta Rozważmy przepływ poddźwiękowy (M < 1) opisany zlinearyzowanymi r-mi potencjału małych zaburzeń. Wprowadzając współczynnik: β 1 M (1.34) równanie (1.1) może zostać zapisane: β φ x + φ y = 0 (1.35) Równanie to może zostać sprowadzone do równania Laplace a przez zmianę współrzędnych, np.: ξ = x η = βy x = ξ y = β (1.36) η Po podstawieniu do (1.35): β ϕ ξ + β ϕ η = 0 ϕ ξ + ϕ η = 0 (1.37)
Korekta Prandtla Glauerta Jak jest zależność między φ a ϕ? Załóżmy, że brzeg profilu na płaszczyźnie x y jest opisany funkcją y = f(x). Warunek na brzegu profilu to warunek zerowej prędkości normalnej: d dx f(x) = Podobnie dla ξ η: d dξ ˆf(ξ) = ṽ V + ũ ˆv V + û ṽ ṽ = φ V y = V ˆv ˆv = ϕ V η = V Przyjmując, że profile w x y i ξ η są podobne to ˆf = f. d f(x) (1.38) dx d dξ ˆf(ξ) (1.39) ϕ η = 1 ϕ β y = φ y ϕ = β φ (1.40)
Korekta Prandtla Glauerta y przepływ ściśliwy φ C p, C L, C M przepływ nieściśliwy η = βy ϕ = β φ Ĉ p, Ĉ L, Ĉ M y = f(x) x η = f(ξ) ξ = x Korzystając z (1.33) można wyznaczyć zależność na C p: C p = ũ = 1 φ V V x = 1 ϕ β V x = û = 1 β V β Ĉp (1.41) Ponieważ współczynnik siły nośnej i momentu są całkami współczynnika C p otrzymamy: C p = Ĉ p 1 M C L = Ĉ L 1 M C M = Ĉ M 1 M (1.4)
Zmodyfikowane korekty na ściśliwość Poprawka Karmana-Tsiena: Poprawka Laitone a: C p = 1 M + Ĉ p 1+ M 1 M Ĉ p (1.43) Ĉ p C p = 1 M + M k 1 (1+ M ) 1 M Ĉ p (1.44)
Zmodyfikowane korekty na ściśliwość 1.5 Prandtl-Glauert Karman-Tsien Laitone Cp 1 0.5 0 0 0. 0.4 0.6 0.8 1 M
Zlinearyzowny przepływ naddźwiękowy W przepływie naddźwiękowym (M > 1) równanie (1.1) można zapisać: λ φ x φ y = 0 gdzie: λ = M 1 (1.45) R-e to jest równaniem falowym dla prędkości propagowania fali równej λ. Rozwiąznie takiego rówanania ma ogólną postać: φ = f +(x + λ y) + f (x λ y) (1.46) gdzie f + i f to pewne dowolnie dobrane funkcje. Wartości funkcji f + i f są stałe wzdłuż linii: x + λ y = const x λ y = const (1.47) Linie te noszą nazwę charakterystyk. Nachylenie charakterystyk można wyznaczyć z (1.46): dy dx = ± 1 λ = ± 1 M 1 = tg(µ± ) (1.48) Charakterystyki r-a (1.45) pokrywają się więc z liniami Macha.
Zlinearyzowny przepływ naddźwiękowy M > 1 µ θ Na brzegu obszaru/profilu musi być spełniony warunek styczności prędkości przepływu: ṽ tg(θ) = V + ũ ṽ (1.49) V Na podstawie ogólnego rozwiązania r-a falowego (1.46): ũ = φ x = f + + f ṽ = φ y = λ (f + f ) [ ] ũ = ṽ f + + f λ f + f (1.50)
Zlinearyzowny przepływ naddźwiękowy Korzystając z warunku na brzegu (1.49) otrzymamy: [ ] ṽ = V tg(θ) ũ V θ f + + f λ f + f Po podstawieniu (1.51) do (1.33) otrzymamy: [ ] θ f C p = + + f M 1 f + f (1.51) (1.5) Funkcje f + i f mogą być dobrane dowolnie, możemy więc dla uproszczenia rozważyć dwa przypadki: f + jest stała lub f jest stała. Ponieważ charakterystyki powinny odpowiadać liniom Macha, należy wybrać tę rodzinę funkcji która propaguje zaburzenia zgodnie z prędkością przepływu. Cp U/L θ = ± M 1 (1.53) gdzie: U górna powierzchnia profilu, L dolna powierzchnia profilu
Zlinearyzowny przepływ naddźwiękowy - płaska płytka C p górna powierzchnia α µ x µ + dolna powierzchnia Górna powierzchnia charakterystyka µ i θ = α : C U p = α M 1 (1.54) Dolna powierzchnia charakterystyka µ + i θ = α : C L p = α M 1 (1.55)
Zlinearyzowny przepływ naddźwiękowy - płaska płytka Współczynniki siły w kierunku normalnym i stycznym do płytki to: C n = 1 lac (Cp L C U 4 α p )dx = l ac M 1 C t = 0 Współczynnik siły nośnej: 0 C L = C n cos(α) C t sin(α) C n C L = 4 α M 1 (1.56) (1.57) Współczynnik siły oporu: C D = C n sin(α) + C t cos(α) C n α C D = 4 α M 1 (1.58) W potencjalnym przepływie naddźwiękowym pojawia się niezerowa siła oporu (w odróżnieniu do przepływu poddźwiękowego paradoks d Alemberta). Siła ta nazywana jest oporem falowym.
Zlinearyzowny przepływ naddźwiękowy - płaska płytka Przykład: Opływ płytki dla kąta natarcia α = 10, M = i p = 1 Teoria przybliżona - zlinearyzowany przepływ naddźwiękowy: C L = C D = 4 α M 1 = 0.403 4 α M 1 = 0.0703 Teoria dokładna uwzględniająca równania skośnej fali uderzeniowej i równania Prandtla-Meyera dla fal rozrzedzeniowych: C L = 0.408 C D = 0.0719
Zlinearyzowny przepływ ściśliwy - dc L /dα W przepływie nieściśliwym: dc L/dα = π W przepływie poddźwiękowym (poprawka P-G): dc L/dα = π/ M 1 W przepływie naddźwiękowym: dc L/dα = 4 / M 1 0 15 Prandtl-Glauert Ackeret dcl/dα 10 5 0 0 0.5 1 1.5.5 3 M
Transoniczny opływ profilu
Krytyczna liczba Macha Krytyczna liczba Macha M cr to liczba Macha przepływu niezaburzonego M dla której maksymalna lokalna prędkość na powierzchni profilu osiąga prędkość dźwięku. Jeśli M < M cr to przepływ w całym obszarze jest podźwiękowy (a i b) Jeśli M > M cr to pojawia się lokalny obszar przepływu naddźwiękowego (d)
Krytyczny współczynnik ciśnienia Dla przemiany izentropowej: Korzystając z (1.4): ( p = p p 0 1 + k 1 = M ) k k 1 p p 0 p 1 + k 1 M C p = k M [ ( 1 + k 1 M ) k ] k 1 1 + k 1 M 1 (.1) (.) gdzie M jest lokalną liczbą Macha w danym punkcie na powierzchni profilu. Jeśli M = 1 to: [ ( Cp = 1 + k 1 M ) k ] k 1 1 (.3) k M 1 + k 1 Cp nazywany jest krytycznym współczynnikiem ciśnienia. Jesli w pewnym miejscu na profilu C p > Cp to w tym miejscu M > 1, jeśli C p < Cp to M < 1.
Krytyczny współczynnik ciśnienia
Krytyczny współczynnik ciśnienia
Krytyczny współczynnik ciśnienia 1.5 C p C p (PG theory) Cp 1 0.5 0 0 0. 0.4 0.6 0.8 1 M M cr
Krytyczny współczynnik ciśnienia 1.5 C p C p (PG theory) Cp 1 0.5 0 0 0. 0.4 0.6 0.8 1 M
Krytyczny współczynnik ciśnienia - wpływ grubości profilu