EORI OBWODÓW I SYGNŁÓW LBORORIUM KDEMI MORSK Katedra eleomuniacji Morsiej
Ćwiczenie nr 2: eoria obwodów i sygnałów laboratorium ĆWICZENIE 2 BDNIE WIDM SYGNŁÓW OKRESOWYCH. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest ugruntowanie wiadomości teoretycznych z zaresu transformacji funcji oresowej do szeregów Fouriera oraz obserwacja i analiza widm różnych sygnałów oresowych. 2. Wprowadzenie Możliwość rozładu przebiegów oresowych w szereg Fouriera pozwala na zastosowanie do analizy obwodów liniowych pobudzonych przebiegami oresowymi metod obliczeniowych stosowanych przy pobudzeniach tych uładów przebiegami sinusoidalnymi. W celu zastosowanie tej metody analizy należy pobudzenie, będące przebiegiem oresowym, rozłożyć w szereg Fouriera, tóry jest zbiorem sygnałów harmonicznych. Następnie należy dla ażdego z tych sładniów wyliczyć odpowiedź uładu i orzystając z zasady superpozycji obliczyć całowitą odpowiedź uładu. Jedna należy pamiętać, że aby funcja oresowa f(t) f(t +), gdzie jest oresem, mogła być rozłożona w szereg Fouriera musi spełniać waruni Dirichleta. Oznacza to, że: - f(t) jest oreślona i ograniczona na przedziale ( t, t + ), a więc istnieje taa stała C <, że w ażdym puncie przedziału ( t, t + ) f(t) C - f(t) jest całowalna na przedziale ( t, t + ) - f(t) posiada sończoną liczbę puntów nieciągłości pierwszego rodzaju w ażdym sończonym przedziale wewnątrz przedziału ( t, t + ). Więszość fizycznych sygnałów oresowych wymienione powyżej waruni spełnia. Oresową funcję f(t) o oresie można, zatem zapisać w postaci trygonometrycznego szeregu Fouriera: 2 + [ cos( ωt) + B sin( ωt)] gdzie: 2 2 dt, cos( ω t) dt, 2 B sin( ω t) dt dla, 2,..., Niesinusoidalne przebiegi reprezentujące rzeczywiste wielości eletryczne często spełniają dodatowe waruni w wyniu czego w ich rozwinięciu w szereg Fouriera zniają nietóre współczynnii. Rozpatrzmy teraz najczęściej występujące przypadi symetrii: 2
Ćwiczenie nr 2: eoria obwodów i sygnałów laboratorium Funcja przemienna Funcja oresowa jest przemienna, jeżeli jej średnia wartość za jeden ores jest równa zero to oznacza, że: dt wynia stąd, że dla przemiennych funcji oresowych a szereg Fouriera przyjmuje postać: Funcja nieparzysta [ cos( ωt) + B sin( ωt)] Funcję f(t) nazywamy nieparzystą, jeżeli f(t) - f(-t). W taim przypadu w wzorze na współczynnii pod znaiem całi występuje iloczyn funcji parzystej cos(ωt) i nieparzystej f(t) co w efecie daje funcję nieparzystą. Cała z taiej funcji za jeden ores jest równa zero a więc zerują się współczynnii we wzorze na szereg Fouriera. Idąc dalej zauważmy, że we wzorze na współczynnii B pod znaiem całi występuje iloczyn dwóch funcji nieparzystych sin(ωt) i nieparzystej f(t) co w efecie daje funcję parzystą, zatem całi obliczone za przedział (-/2, ) i (, /2) są sobie równe i można zapisać: Szereg Fouriera przyjmuje, więc postać: 4 B sin( ω t) dt B sin( ωt) Funcja parzysta Funcję f(t) nazywamy parzystą, jeżeli f(t) f(-t). W taim przypadu przez analogię do przypadu funcji nieparzystej możemy zapisać, że: B dla, 2,.... Natomiast współczynnii wyznaczamy ze wzorów: 4 dt, 4 cos( ω t) dt dla, 2,..., Szereg Fouriera przyjmuje, więc uproszczoną postać: ω 2 + cos( t) 3
Ćwiczenie nr 2: eoria obwodów i sygnałów laboratorium 3. Przyładowe obliczenia Doonajmy rozładu w szereg Fouriera przebiegu oresowego podanego na rysunu a. a) b) f(t) -/2 - /2 t Rys.. Oresowy przebieg prostoątny Przedstawiony na rysunu przebieg jest funcją nieparzystą ta, więc w szeregu Fouriera zerują się wszystie współczynnii dla,, 2,.... Współczynnii B można natomiast wyznaczyć na podstawie zamieszczonego we wprowadzeniu wzoru: B 4 4 sin( ωt) dt 4 sin( ωt) dt cos( ωt) ω 4 π dla - nieparzystych dla - parzystych 2 ( cos π ) π Jeżeli przyjmiemy, że naszym analizowanym przebiegiem jest przebieg prostoątny o częstotliwości 5 Hz i V to uzysamy w wyniu obliczeń rozład na sładowe harmoniczne umieszczony jest na rysunu 2 (do harmonicznej włącznie).,4,2 mplituda harmonicznej [V],8,6,4,2 2 3 4 5 6 7 8 9 numer harmonicznej Rys.2. mplitudy sładowych harmonicznych przebiegu prostoątnego (f 5 Hz, V). Na rysunu 3 przedstawiono syntezę analizowanego przebiegu prostoątnego w tórej wyorzystano harmoniczne do 5-tej i do 25-tej włącznie. 4
Ćwiczenie nr 2: eoria obwodów i sygnałów laboratorium,5,5,5,5 u(t),,2,3,4 u(t),,2,3,4 -,5 -,5 - - -,5 -,5 t [s] t [s] Rys. 3. Synteza przebiegu prostoątnego a) wyorzystano harmoniczne do 5 włącznie b) wyorzystano harmoniczne do 25 włącznie. 4. Program ćwiczenia a) Zapoznać się z obsługą generatora przebiegów funcyjnych, oscylosopu cyfrowego i analizatora widma. b) Ustawić na generatorze przebiegów funcyjnych przebiegi o parametrach podanych przez prowadzącego ćwiczenia oraz zaobserwować uzysane przebiegi na oscylosopie cyfrowym. c) Przełączyć oscylosop cyfrowy w tryb pracy analizatora widma i doonać pomiaru pierwszych dziewięciu harmonicznych badanych przebiegów. Zapisać wyresy czasowe oraz widma tych przebiegów na nośniu pamięci d) Korzystają z analizatora widma doonać pomiaru wartości sutecznych napięć pierwszych dziewięciu harmonicznych przebiegów o parametrach podanych przez prowadzącego ćwiczenia. Zapisać wyresy widm tych przebiegów na nośniu pamięci. 5. Opracowanie wyniów a) Korzystając z wzorów zamieszczonych we wprowadzeniu do ćwiczenia doonać rozładu w szeregi Fouriera badanych sygnałów oresowych. b) Na podstawie wcześniej przeprowadzonych obliczeń teoretycznych doonać syntezy przebiegu trójątnego używając sładowe harmoniczne do 5-tej i 25-tej włącznie. Należy sorzystać z arusza alulacyjnego. Wynii syntezy należy przedstawić na rysunu. c) W jednej tabeli umieścić obliczone wartości amplitud olejnych harmonicznych badanych sygnałów i wynii pomiarów uzysane w puntach 4 c i 4 d. 5
Ćwiczenie nr 2: eoria obwodów i sygnałów laboratorium d) Na podstawie tabeli wyreślić na jednym wyresie widma badanych sygnałów otrzymane z obliczeń i z pomiarów. e) Doonać porównania wyniów otrzymanych na drodze teoretycznej z wyniami pomiarów i wyciągnąć wniosi na temat zaobserwowanych różnic. 6. Pytania ontrolne a) Omówić założenia jaie musi spełniać funcja aby można ją było rozłożyć w szereg Fouriera. b) Podać definicję trygonometrycznego szeregu Fouriera. c) Podać definicję zespolonego szeregu Fouriera. d) Omówić uproszczenia jaie można zastosować przy rozładzie funcji w trygonometryczny szereg Fouriera orzystając z przemienności, parzystości lub nieparzystości. e) Rozłożyć w szereg Fouriera przebieg prostoątny. 6