M.A. Karpierz, Fizyka

Transkrypt

1 5. Ruch falowy Fale Poruszać mogą się nie tylo obiety materialne, ale taże rozłady wartości różnych wielości fizycznych. Przemieszczające się zaburzenie (odstępstwa od wartości średniej) nazywane jest falą. Przyładem fali jest fala na powierzchni wody, gdzie w stanie równowagi granica pomiędzy powietrzem a wodą jest nieruchoma. Po wrzuceniu do wody amienia, w miejscu tym poziom wody się loalnie obniży a tuż obo podwyższy. Taie zaburzenie nie pozostaje w miejscu, ale przesuwa się po powierzchni (w postaci fali ołowej). Cząsteczi wody nie podążają jedna za falą a tylo przesuwają się w górę i dół (doładniej po torach eliptycznych) powodując podwyższenie lub obniżenie słupa wody. Zatem w ierunu poziomym nie przesuwają się cząsti a zmieniona wysoość powierzchni wody. Falę tworzą zaburzenia różnych wielości. Falą jest przesuwające się wygięcie wzdłuż węża gumowego. Zmiana ciśnienia w gazie lub naprężenia w ciałach stałych tworzy falę austyczną (dźwięową). Są wreszcie fale eletromagnetyczne, w tórych zmiany dotyczą wartości pól eletrycznego i magnetycznego. Równanie falowe f 0 (-2 ) Rozład zaburzenia pewnej wielości f tworzącego falę przesuwa się w t=2 t przestrzeni i dlatego jest opisywany funcją położenia (w przypadu jednego wymiaru) oraz czasu t: f(,t). f 0 (- ) Jeśli w chwili t = 0 zaburzenie ma t= t postać f(,0) = f 0 (), to po upływie czasu t funcja ta jest przesunięta na f 0 () odległość, czyli f(, t) = f 0 ( ). Ponieważ przesunięcie wiąże się z t=0 prędością przesuwania się fali ja = t, stąd w dowolnej chwili czasu f(,t) = f 0 ( t). Zatem falę opisywać trzeba nie jao funcję niezależnych zmiennych i t, ale jao funcję zmiennej φ = ( t). Stała dodana została, aby φ zwane fazą fali było bezwymiarowe ( ma wymiar odwrotności długości). Opisywana fala przemieszcza się wzdłuż osi z prędością. Jednaże identyczne zaburzenie powinno się t=0 przesuwać również w przeciwną stronę (po wrzuceniu amienia do wody wytworzona fala rozchodzi się po powierzchni we wszystich ierunach). Zatem oprócz fali poruszającej się z prędością + opisywanej fazą φ = ( t) istnieje taże fala poruszająca się z prędością, dla tórej faza ma postać φ = ( + t). Obie fale opisywane są jednym równaniem różniczowym: t= t 5.1

2 2 2 f 1 f =, t zwanym równaniem falowym. Równanie to opisuje jednocześnie dwie przeciwbieżne fale w uładzie odniesienia, względem tórego obie te fale mają taą samą wartość prędości. Prędość ta jest prędością rozchodzenia się fali względem nieruchomego ośroda. Gdyby obserwować fale z uładu poruszającego się, prędości w przeciwne strony byłyby inne (a postać równania falowego byłaby bardziej sompliowana). Ta jedna nie jest dla fal eletromagnetycznych (w szczególności dla światła). W przeciwieństwie np. do temperatury czy ciśnienia pola eletryczne i magnetyczne istnieją również w obszarach, w tórych nie ma atomów. Dlatego fale eletromagnetyczne mogą rozchodzić się w próżni nie wyróżniając żadnego ośroda. Prędość fali na wodzie jest oreślona względem środa ciężości wody, natomiast prędości światła nie można odnieść do żadnego uładu. Dlatego zgodnie z teorią relatywistyczną fala eletromagnetyczna we wszystich uładach ma jednaową prędość równą c, a równanie falowe dla światła we wszystich uładach ma identyczną postać. Fale harmoniczne (monochromatyczne) Fala może być opisywana przez różne funcje f 0 ( ± t). Najczęściej jedna rozważana jest funcja cosinus: f = Acos( ± ωt), gdzie A jest amplitudą a ω= częstością. Fala o jednej częstości dla fal dźwięowych jest falą harmoniczną a dla fal świetlnych opisuje światło monochromatyczne (o jednej barwie). W fali harmonicznej (monochromatycznej) A T mierząc wartość zaburzenia w oreślonym =const miejscu = const w funcji czasu uzysuje się przebieg oscylacyjny z oresem T. Ores jest czasem, po tórym funcja ma znowu taą samą wartość: Acos[ ω(t + T)] = Acos( ωt), t czyli faza różni się o: ωt = 2π.Ores wiąże się taże z częstotliwością drgań ν = 1/T i w - rezultacie pomiędzy częstością ω oraz częstotliwością fali ν jest zależność ω = 2πν. f(-ωt) A λ Mierząc wartość zaburzenia w oreślonej chwili t=const czasu t = const w funcji odległości uzysuje się identyczny ja poprzednio wyres. Ores przestrzenny nazywany jest długością fali λ i wiąże się ze stałą zależnością: = 2π/λ. t+ t Wielość nazywana jest liczbą falową. Po - upływie czasu t rozład zaburzenia przesunie = t się o odległość z prędością = ω/ = λν. Prędość ta oreśla przemieszczanie się puntów o stałej wartości zaburzenia (np. masimum), czyli oreśla prędość przemieszczania się stałej wartości fazy (argumentu funcji). Stąd prędość nazywa się prędością fazową fali. f(-ωt) Powyższe rozważania ograniczały się do jednego wymiaru przestrzennego (fala rozchodząca się wzdłuż osi ). Dla fal propagujących się na powierzchni (np. fala na powierzchni wody) czy w objętości (np. fala dźwięowa) należy oreślić ja się zmienia zaburzenie w pozostałych wymiarach. Powierzchnia, na tórej faza fali ma jednaową wartość, (czyli 5.2

3 zaburzenie też ma jednaową wartość) nazywana jest powierzchnią stałej fazy. Jeśli powierzchniami tymi są płaszczyzny, fala nazywana jest płasą. Analogicznie są definiowane fale sferyczne, cylindryczne, a wśród fal powierzchniowych fale liniowe, ołowe itp.. Kierune, wzdłuż tórego fala się przesuwa oreślony jest przez wetor falowy o długości równej liczbie falowej. Loalnie wzdłuż wetora falowego fala może być opisywana ta, ja fala jednowymiarowa. fala liniowa fala ołowa Fale eletromagnetyczne Zmieniające się w czasie pole eletryczne wytwarza pole magnetyczne. Podobnie zmiany pola magnetycznego wytwarzają pole eletryczne. Wzajemne generowanie pól eletrycznego i magnetycznego przesuwa się w przestrzeni jao fala eletromagnetyczna. W fali eletromagnetycznej pole eletryczne i magnetyczne są E względem siebie prostopadłe i prostopadłe do ierunu prędości fali wyznaczanego przez wetor falowy. Rysune ilustruje wzajemne położenie wetorów pola eletrycznego E i magnetycznego B oraz B wetora falowego dla fali monochromatycznej. Istnieje wiele rodzajów fal eletromagnetycznych. Zmienne pole eletryczne o częstotliwości ν = 50 Hz również wytwarza falę, lecz jej długość λ = c/ν = m =6 000 m jest ta duża, że nie ma sensu stosować formalizmu falowego do prądu zmiennego o tej częstotliwości. Z drugiej strony fale o częstotliwościach ta dużych, że odpowiadająca im długość fali jest porównywalna z rozmiarami atomów, wygodniej jest opisywać ja cząsti (fotony). W szczególności ze względu na sposób wytwarzania i właściwości rozróżnia się następujące rodzaje fal eletromagnetycznych, przy czym granice pomiędzy nimi nie są ściśle oreślone. fale radiowe: długości fal λ ~ m m, a odpowiadający im zares częstotliwości ν ~ Hz; wytwarzane przez zmienny prąd eletryczny w antenach; na potrzeby łączności radiowej dzielone na fale długie, średnie, rótie, UKF itp. mirofale: λ ~ cm (ν ~ 10 9 Hz), zaliczane również do fal radiowych, wytwarzane przez lampy eletronowe i ułady półprzewodniowe; mniej niż inne fale radiowe ulegają ugięciom i słabiej są pochłaniane przez jonosferę (stąd wyorzystywane do łączności daleozasięgowej i w radioloacji); silnie pochłaniane przez organizmy żywe (stosowane w piecyach mirofalowych). podczerwień (promieniowanie cieplne): λ ~ 0,76 µm mm (ν ~ Hz), źródłem podczerwieni są ciała o temperaturze T > 3K (stąd nazwa promieniowanie cieplne) lub pobudzone do świecenia gazy; zares λ ~ 0,76 µm 20 µm nazywany blisą 5.3

4 podczerwienią ma właściwości fizyczne podobne do światła widzialnego (odpowiednio pozostał zares jest tzw. podczerwienią daleą). światło widzialne: λ ~ 0,38 µm 0,76 µm (ν ~ Hz), zares fal wyróżniony przez zdolność detecyjną oa ludziego; mechanizm wytwarzania światła widzialnego podobnie ja podczerwieni i nadfioletu wiąże się ze stanami energetycznymi atomów. ultrafiolet: λ ~ 10 nm 0,38 µm (ν ~ Hz), silnie pochłaniany przez tlen i ozon oraz przez ludzą sórę. promieniowanie X (rentgenowsie): λ ~ 0,01 nm 10 nm (ν ~ Hz), wytwarzane min. przez szybie eletrony uderzające w materię stałą (w wyniu ich wyhamowywania), co jest wyorzystywane w lampach rentgenowsich; słabo pochłaniane przez materię (stąd ich wyorzystanie do prześwietlania przedmiotów). promienie gamma (γ): λ < 0,1 nm (ν > Hz), wytwarzane w obrębie jądra atomowego i procesów jądrowych; tratowane jao strumień cząste (fotonów). Ponieważ własności światła widzialnego, blisiej podczerwieni i blisiego nadfioletu są podobne, łączny ich zares nazywa światłem. Fale niemonochromatyczne Fala monochromatyczna (harmoniczna) jest pewną idealizacją załadającą, że czas jej trwania i odległość występowania jest niesończona. W rzeczywistych sytuacjach spotya się fale w postaci impulsów (taie ja np. obo na rysunu), tóre jedna loalnie bardzo dobrze przypominają falę monochromatyczną. Prędość przemieszczania się taiego impulsu nazywana jest prędością grupową i często ma inną wartość niż prędość fazowa fali Natężenie pola eletrycznego E płasiej monochromatycznej fali eletromagnetycznej opisuje funcja: E = Acos(ωt + ϕ). Fale niemonochromatyczne zapisuje się jao złożenie (superpozycja) fal monochromatycznych o różnych częstościach w postaci całi: E = A ω cos( ωt + ϕω ) dω, gdzie amplitudy A ω i fazy ϕ ω są różne dla różnych częstości. Rozład amplitud A ω względem częstości nazywa się widmem promieniowania. Ponieważ pomiędzy częstością ω a długością fali istnieje bezpośrednia zależność λ = 2πc/ω, widmo promieniowania przedstawia się również jao zależność analogicznych amplitud A λ od długości fali. Rzeczywiste źródła światła nie wytwarzają idealnych fal monochromatycznych. Przyładowo Słońce wysyła jednocześnie fale eletromagnetyczne ze wszystich zaresów, tzn. widmo jego promieniowania obejmuje wszystie długości fal. Masimum widma słonecznego przypada na zares światła widzialnego. Jest to jednocześnie promieniowanie słabo pochłaniane w atmosferze natomiast rozpraszane, co powoduje, że Ziemia jest oświetlana z całej powierzchni nieba. Nic dziwnego, że ten zares promieniowania jest widziany przez oo ludzie i więszości zwierząt. Zarówno wytwarzanie ja i detecja fal eletromagnetycznych z różnych zaresów jest doonywana z wyorzystaniem różnych mechanizmów. Każdy detetor reaguje na fale tylo z pewnego zaresu a jego czułość jest zależna od długości fali. Zatem sygnał dochodzący z detetora promieniowania jest zależny od przerywania się widma mierzonych fal eletromagnetycznych z widmem czułości detetora. -ωt 5.4

5 Widzenie światła Naturalnym detetorem fal eletromagnetycznych jest oo ludzie, tóre postrzega fale z zaresu od długości λ 3, m = 380 nm, czyli światła fioletowego poprzez światło niebiesie, zielone, żółte, pomarańczowe do światła czerwonego i ciemnoczerwonego o długości do λ 760 nm. Widmo czułości oa przedstawione jest w przybliżeniu na wyresie Względna czułość oa Długość fali λ [nm] obo. Czułość oa jest najwięsza dla fal λ 550 nm, co oznacza, że fala monochromatyczna o tej długości daje wrażenie znacznie jaśniejszej niż fale monochromatyczne o innych długościach niosących taą samą energię. Granice zaresu widzialnego są przybliżone, gdyż o postrzeganiu światła decyduje energia fali (jasność), ale również wpływ ma budowa osobnicza oa, jego ewentualne wady, wie, zmęczenie etc. Należy taże pamiętać, że wrażenie widzenia obrazu powstaje w mózgu na podstawie sygnałów dochodzących z obu oczu. Gdyby na dnie oa występował tylo jeden rodzaj receptorów, widzielibyśmy obrazy czarnobiałe (w różnych odcieniach szarości) bez wrażenia oloru. Ta się dzieje przy słabym oświetleniu (widzenie nocne), gdzie światło jest odbierane przez bardzo czuły uład znajdujący się w pręciach. Przy silnym oświetleniu pręcii są zasłaniane (aby się nie uszodziły) a widzenie odbywa się za pośrednictwem receptorów w czopach. W czopach znajdują się trzy różne detetory o masimach czułości w obszarach błęitu, oranżu i czerwieni (oznaczonych odpowiednio symbolami Z, Y i X na przybliżonym wyresie ich widm czułości przedstawionym obo). Sumaryczny sygnał docierający do mózgu od tych detetorów daje wrażenie jasności, zaś stosune sygnałów (X:Y:Z) daje wrażenie barwy. Oznacza to, że do wywołania wrażenia dowolnej barwy postrzeganej przez ludzi wystarczą trzy źródła światła niezależnie pobudzające detetory X, Y i Z (barwa biała wiąże się z jednaowym pobudzeniem wszystich detetorów a czarna z braiem sygnału). Wyorzystuje się to min. w telewizji (system trzech olorów RGB - red, green, blue, czyli czerwony, zielony i niebiesi) a taże druu (CMYK - cyan, magenta, yellow, blac, czyli turusowy, różowy, żółty i czarny). Mechanizm widzenia barw dopuszcza, że źródła światła o różnym widmie dają taie same wrażenie barwy (są to tzw. metamery). Oświetlone nimi obiety mogą mieć jedna różne olory, gdyż barwa światła odbitego (rozproszonego) wynia z pochłaniania fal o pewnych długościach, (tóre mogą aurat nie występować w jednym z metamerów). Bra jednego lub dwóch detetorów w czopach sutuje mniejszą rozróżnialnością barw (barwy różne przy trzech detetorach mogą być metamerami dla dwóch detetorów) a w przypadu brau wszystich trzech detetorów widzenie staje się czarno-białe (z wyorzystaniem pręciów). Wady taie nazywa się daltonizmem. Z olei bra lub uszodzenie pręciów uniemożliwia widzenie przy słabym oświetleniu (w nocy), co nazywane jest urzą ślepotą. Czułość Z Y Długość fali λ [nm] X 5.5