Układy statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki

Podobne dokumenty
Wielki rozkład kanoniczny

Wykład 8 i 9. Hipoteza ergodyczna, rozkład mikrokanoniczny, wzór Boltzmanna

Wykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe

1 Rachunek prawdopodobieństwa

Teoria ergodyczności: co to jest? Średniowanie po czasie vs. średniowanie po rozkładach Twierdzenie Poincare o powrocie Twierdzenie ergodyczne

Termodynamika. Część 11. Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ

Termodynamiczny opis układu

Statystyki kwantowe. P. F. Góra

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

S ścianki naczynia w jednostce czasu przekazywany

Wykład 2. Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova)

Wstęp do fizyki statystycznej: krytyczność i przejścia fazowe. Katarzyna Sznajd-Weron

Co to jest model Isinga?

Elementy fizyki statystycznej

ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ

Wykłady z Mechaniki Kwantowej

Klasyczna mechanika statystyczna Gibbsa I

Wykład 1 i 2. Termodynamika klasyczna, gaz doskonały

WYKŁAD 15. Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego

Równowaga w układach termodynamicznych. Katarzyna Sznajd-Weron

Fizyka statystyczna. This Book Is Generated By Wb2PDF. using

FIZYKA STATYSTYCZNA. d dp. jest sumaryczną zmianą pędu cząsteczek zachodzącą na powierzchni S w

Rzadkie gazy bozonów

Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego: kondensacja Bosego- Einsteina

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA

Fizyka statystyczna Zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny Statystyki kwantowe. P. F. Góra

r. akad. 2005/ 2006 Jan Królikowski Fizyka IBC

Zadania z Fizyki Statystycznej

Spis treści. Przedmowa Obraz makroskopowy Ciepło i entropia Zastosowania termodynamiki... 29

Występują fluktuacje w stanie równowagi Proces przejścia do stanu równowagi jest nieodwracalny proces powrotny jest bardzo mało prawdopodobny.

Wykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne

Wielki rozkład kanoniczny

Elementy termodynamiki

Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego. P. F. Góra

= = Budowa materii. Stany skupienia materii. Ilość materii (substancji) n - ilość moli, N liczba molekuł (atomów, cząstek), N A

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek

Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego

Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1

17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek

Wykład 14. Termodynamika gazu fotnonowego

Wykład 3. Entropia i potencjały termodynamiczne

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

8 Rozkład mikrokanoniczny

Elementy termodynamiki i wprowadzenie do zespołów statystycznych. Katarzyna Sznajd-Weron

Agata Fronczak Elementy fizyki statystycznej

Wykład FIZYKA I. 15. Termodynamika statystyczna. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Fizyka statystyczna i termodynamika Wykład 1: Wstęp. Katarzyna Sznajd-Weron Katedra Fizyki Teoretycznej

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.

Fizyka statystyczna Termodynamika bliskiej nierównowagi. P. F. Góra

Teoria kinetyczna gazów

PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)

9.1 Rozkład kanoniczny dla układów kwantowych

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Cząstki elementarne i ich oddziaływania III

FIZYKA STATYSTYCZNA. Liczne eksperymenty dowodzą, że ciała składają się z wielkiej liczby podstawowych

2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27

Katedra Fizyki Ciała Stałego Uniwersytetu Łódzkiego. Ćwiczenie 2 Badanie funkcji korelacji w przebiegach elektrycznych.

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU

Metoda największej wiarygodności

Elementy termodynamiki

Cząstki Maxwella-Boltzmanna (maxwellony)

Tematy prac magisterskich i doktorskich

Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE

Metoda momentów i kwantyli próbkowych. Wrocław, 7 listopada 2014

Komputerowe modelowanie zjawisk fizycznych

Superdyfuzja. Maria Knorps. Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki stosowanej, Politechnika Gdańska

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Model Isinga. Katarzyna Sznajd-Weron

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

Rozkłady statyczne Maxwella Boltzmana. Konrad Jachyra I IM gr V lab

Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka

Elektrodynamika. Część 9. Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie. Ryszard Tanaś

TERMODYNAMIKA I FIZYKA STATYSTYCZNA

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:

WYKŁAD 9: Rozkład mikrokanoniczny i entropia Boltzmanna

Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.

Zespół kanoniczny N,V, T. acc o n =min {1, exp [ U n U o ] }

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.

Termodynamika Część 3

Termodynamika Część 6 Związki i tożsamości termodynamiczne Potencjały termodynamiczne Warunki równowagi termodynamicznej Potencjał chemiczny

Zasady termodynamiki

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Wykład Pole elektryczne na powierzchniach granicznych 8.10 Gęstość energii pola elektrycznego

Fizyka statystyczna Równanie Fokkera-Plancka. P. F. Góra

Fizyka statystyczna Fenomenologia przejść fazowych. P. F. Góra

FALE MATERII. De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 1924 wysunął hipotezę, że

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Fizyka Statystyczna 1

Rozkłady: Kanoniczny, Wielki Kanoniczny, Izobaryczno-Izotermiczny

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

TERMODYNAMIKA FENOMENOLOGICZNA

Fizyka statystyczna A. 2 Tydzień I, 1-7/10/ Warunki zaliczenia. 3 Tydzień II, 8-14/10/ Wykład. 2.2 Zadania na ćwiczenia

II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski

Teoria kinetyczno cząsteczkowa

Fizyka statystyczna Gaz Bosego w wielkim zespole kanonicznym. P. F. Góra

UNIWERSYTET WROCŁAWSKI WYDZIAŁ FIZYKI I ASTRONOMII KIERUNEK: FIZYKA RAFAŁ JAKUBOWSKI DYNAMIKA STANÓW STATYSTYCZNYCH W UKŁADACH KLASYCZNYCH

Ważne rozkłady i twierdzenia

Transkrypt:

Instytut Fizyki 2015

Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym

Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię E 1,..., E r, poziomy energetyczne są zdegenerowane g 1,..., g r krotnie

Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię E 1,..., E r, poziomy energetyczne są zdegenerowane g 1,..., g r krotnie stan mikroskopowy albo mikrostan dowolne przypisanie energii wszystkim cząstkom,

Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię E 1,..., E r, poziomy energetyczne są zdegenerowane g 1,..., g r krotnie stan mikroskopowy albo mikrostan dowolne przypisanie energii wszystkim cząstkom, stan makroskopowy konfiguracja (n 1,..., n r) opisującą liczbę cząstek o danej energii,

Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię E 1,..., E r, poziomy energetyczne są zdegenerowane g 1,..., g r krotnie stan mikroskopowy albo mikrostan dowolne przypisanie energii wszystkim cząstkom, stan makroskopowy konfiguracja (n 1,..., n r) opisującą liczbę cząstek o danej energii, liczba wszystkich możliwych stanów mikroskopowych, które realizują daną konfigurację n (n 1,..., n r) (stan makroskopowy) wynosi W (n) = N! gn 1 1... gnr r n 1!... n. r!

Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię E 1,..., E r, poziomy energetyczne są zdegenerowane g 1,..., g r krotnie stan mikroskopowy albo mikrostan dowolne przypisanie energii wszystkim cząstkom, stan makroskopowy konfiguracja (n 1,..., n r) opisującą liczbę cząstek o danej energii, liczba wszystkich możliwych stanów mikroskopowych, które realizują daną konfigurację n (n 1,..., n r) (stan makroskopowy) wynosi W (n) = N! gn 1 1... gnr r n 1!... n. r! Stan makroskopowy jest realizowany na ogół przez wiele stanów mikroskopowych!

Różne statystyki

Różne statystyki Ilość stanów mikroskopowych realizujących stan makroskopowy n

Różne statystyki Ilość stanów mikroskopowych realizujących stan makroskopowy n Statystyka cząstek rozróżnialnych (statystyka Maxwella-Boltzmanna) W MB = N! gn 1 1... gnr r n 1!... n. r!

Różne statystyki Ilość stanów mikroskopowych realizujących stan makroskopowy n Statystyka cząstek rozróżnialnych (statystyka Maxwella-Boltzmanna) W MB = N! gn 1 1... gnr r n 1!... n. r! Statystyka cząstek nierozróżnialnych przypadek bozonów (statystyka Bose-Einsteina) (g i + n i 1)! W BE =. (g i 1)!n i! i

Różne statystyki Ilość stanów mikroskopowych realizujących stan makroskopowy n Statystyka cząstek rozróżnialnych (statystyka Maxwella-Boltzmanna) W MB = N! gn 1 1... gnr r n 1!... n. r! Statystyka cząstek nierozróżnialnych przypadek bozonów (statystyka Bose-Einsteina) (g i + n i 1)! W BE =. (g i 1)!n i! Statystyka cząstek nierozróżnialnych przypadek fermionów (statystyka Fermiego-Diraca) g i! W FD = (g i n. i)!n i! i i

Różne statystyki Ilość stanów mikroskopowych realizujących stan makroskopowy n Statystyka cząstek rozróżnialnych (statystyka Maxwella-Boltzmanna) W MB = N! gn 1 1... gnr r n 1!... n. r! Statystyka cząstek nierozróżnialnych przypadek bozonów (statystyka Bose-Einsteina) (g i + n i 1)! W BE =. (g i 1)!n i! Statystyka cząstek nierozróżnialnych przypadek fermionów (statystyka Fermiego-Diraca) g i! W FD = (g i n. i)!n i! i i Gdy g i n i, to ln W BE = ln W FD = n i[ln(g i/n i) + 1] = ln W MB ln N! i

Stany makroskopowe maksymalizujące W (n)

Stany makroskopowe maksymalizujące W (n) Szukamy konfiguracji n, która maksymalizuje ln W (n) przy dwóch warunkach n i = N oraz n ie i = E i i

Stany makroskopowe maksymalizujące W (n) Szukamy konfiguracji n, która maksymalizuje ln W (n) przy dwóch warunkach n i = N oraz n ie i = E Statystyka Maxwella-Boltzmanna i i gi n i = N Z(β) e βe i gdzie Z(β) = i gie βe i oraz E = Z 1 Z (β).

Stany makroskopowe maksymalizujące W (n) Szukamy konfiguracji n, która maksymalizuje ln W (n) przy dwóch warunkach n i = N oraz n ie i = E Statystyka Maxwella-Boltzmanna i gi n i = N Z(β) e βe i gdzie Z(β) = i gie βe i oraz E = Z 1 Z (β). Opis gazu klasycznego przejście do ciągłych wartości energii n i N = gi Z(β) e βe i i ρ(e)de = g(e) Z(β) e βe de

Stany makroskopowe maksymalizujące W (n) Szukamy konfiguracji n, która maksymalizuje ln W (n) przy dwóch warunkach n i = N oraz n ie i = E Statystyka Maxwella-Boltzmanna i gi n i = N Z(β) e βe i gdzie Z(β) = i gie βe i oraz E = Z 1 Z (β). Opis gazu klasycznego przejście do ciągłych wartości energii n i N = gi Z(β) e βe i Gęstość stanów klasycznych wynosi i ρ(e)de = g(e) Z(β) e βe de g(e) = 2π(2m) 3/2 E 1/2

Stany makroskopowe maksymalizujące W (n) Szukamy konfiguracji n, która maksymalizuje ln W (n) przy dwóch warunkach n i = N oraz n ie i = E Statystyka Maxwella-Boltzmanna i gi n i = N Z(β) e βe i gdzie Z(β) = i gie βe i oraz E = Z 1 Z (β). Opis gazu klasycznego przejście do ciągłych wartości energii n i N = gi Z(β) e βe i Gęstość stanów klasycznych wynosi i ρ(e)de = g(e) Z(β) e βe de g(e) = 2π(2m) 3/2 E 1/2 Suma statystyczna wynosi Z(β) = ( ) 2mπ 3/2 β

Stany makroskopowe maksymalizujące W (n)

Stany makroskopowe maksymalizujące W (n) Statystyka Bose-Einsteina oraz n i = N = E = z = e βµ, µ potencjał chemiczny g i z 1 e βe i 1 i i g i z 1 e βe i 1 g ie i z 1 e βe i 1

Stany makroskopowe maksymalizujące W (n) Statystyka Bose-Einsteina oraz n i = N = E = z = e βµ, µ potencjał chemiczny Statystyka Fermiego-Diraca g i z 1 e βe i 1 i i g i z 1 e βe i 1 g ie i z 1 e βe i 1 oraz n i = N = E = g i z 1 e βe i + 1 i i g i z 1 e βe i + 1 g ie i z 1 e βe i + 1

Przestrzeń fazowa

Przestrzeń fazowa Układowi fizycznemu odpowiada przestrzeń fazowa Γ parametryzowana przez 2n zmiennych Γ = {(q 1,..., q n, p 1,..., p n)} := {(q, p)}

Przestrzeń fazowa Układowi fizycznemu odpowiada przestrzeń fazowa Γ parametryzowana przez 2n zmiennych Γ = {(q 1,..., q n, p 1,..., p n)} := {(q, p)} gdzie q i są położeniami uogólnionymi, p i pędami uogólnionymi, a n jest liczbą stopni swobody układu

Przestrzeń fazowa Układowi fizycznemu odpowiada przestrzeń fazowa Γ parametryzowana przez 2n zmiennych Γ = {(q 1,..., q n, p 1,..., p n)} := {(q, p)} gdzie q i są położeniami uogólnionymi, p i pędami uogólnionymi, a n jest liczbą stopni swobody układu Stanowi czystemu układu odpowiada punkt przestrzeni fazowej, który podlega ewolucji zgodnie z równaniami Hamiltona dq i dt = H p i, dp i dt = H q i, i = 1,..., n.

Przestrzeń fazowa Układowi fizycznemu odpowiada przestrzeń fazowa Γ parametryzowana przez 2n zmiennych Γ = {(q 1,..., q n, p 1,..., p n)} := {(q, p)} gdzie q i są położeniami uogólnionymi, p i pędami uogólnionymi, a n jest liczbą stopni swobody układu Stanowi czystemu układu odpowiada punkt przestrzeni fazowej, który podlega ewolucji zgodnie z równaniami Hamiltona dq i dt = H p i, dp i dt = H q i, i = 1,..., n. H(q, p) jest funkcją Hamiltona,

Przestrzeń fazowa Układowi fizycznemu odpowiada przestrzeń fazowa Γ parametryzowana przez 2n zmiennych Γ = {(q 1,..., q n, p 1,..., p n)} := {(q, p)} gdzie q i są położeniami uogólnionymi, p i pędami uogólnionymi, a n jest liczbą stopni swobody układu Stanowi czystemu układu odpowiada punkt przestrzeni fazowej, który podlega ewolucji zgodnie z równaniami Hamiltona dq i dt = H p i, dp i dt = H q i, i = 1,..., n. H(q, p) jest funkcją Hamiltona, Rozwiązaniem układu Hamiltona spełniającym warunek początkowy (q(0), p(0)) = (q 0, p 0 ) jest trajektoria układu.

Definicja Stanem mieszanym (statystycznym) układu nazywamy dowolny (ciągły) rozkład prawdopodobieństwa na przestrzeni fazowej.

Definicja Stanem mieszanym (statystycznym) układu nazywamy dowolny (ciągły) rozkład prawdopodobieństwa na przestrzeni fazowej. Twierdzenie Stan mieszany zmienia się w czasie zgodnie z równaniem Liouville a gdzie {f, g} = ρ t(q, p) = {H, ρ t}(q, p), t n ( f g f ) g nazywa się nawiasem Poissona q i p i p i q i i=1

Układy zamknięte i izolowane

Układy zamknięte i izolowane ewolucja odbywa się po ustalonej hiperpowierzchni Σ E energii

Układy zamknięte i izolowane ewolucja odbywa się po ustalonej hiperpowierzchni Σ E energii Czy na powierzchni stałej energii Σ E można wyróżnić jakiś stan równowagi, do którego dążyłby układ?

Układy zamknięte i izolowane ewolucja odbywa się po ustalonej hiperpowierzchni Σ E energii Czy na powierzchni stałej energii Σ E można wyróżnić jakiś stan równowagi, do którego dążyłby układ? ergodyczność ewolucji

Układy zamknięte i izolowane ewolucja odbywa się po ustalonej hiperpowierzchni Σ E energii Czy na powierzchni stałej energii Σ E można wyróżnić jakiś stan równowagi, do którego dążyłby układ? ergodyczność ewolucji Definicja Ewolucję hamiltonowską na hiperpowierzchni Σ E nazywamy ergodyczną, jeśli trajektoria dla prawie każdego punktu tej hiperpowierzchni przecina dowolnie małe otoczenie dowolnego punktu hiperpowierzchni Σ E.

Twierdzenie ergodyczne

Twierdzenie ergodyczne średnia czasowa funkcji 1 f T = lim T T t 0 +T t 0 f(x(t)) dt

Twierdzenie ergodyczne średnia czasowa funkcji 1 f T = lim T T t 0 +T t 0 f(x(t)) dt średnia przestrzenna funkcji f ΣE = 1 Σ E Σ E f(x) dσe H E,

Twierdzenie ergodyczne średnia czasowa funkcji 1 f T = lim T T t 0 +T t 0 f(x(t)) dt średnia przestrzenna funkcji Twierdzenie ergodyczne Birkhoffa f ΣE = 1 Σ E Σ E f(x) dσe H E, Jeśli dla wszystkich funkcji całkowalnych f : Γ R istnieje średnia czasowa oraz równa się ona średniej przestrzennej, to ewolucja jest ergodyczna.

Rozkład mikrokanoniczny

Rozkład mikrokanoniczny Jeśli układ statystyczny jest ergodyczny, to podczas ewolucji przebywa on tyle samo czasu w obszarach o jednakowych polach

Rozkład mikrokanoniczny Jeśli układ statystyczny jest ergodyczny, to podczas ewolucji przebywa on tyle samo czasu w obszarach o jednakowych polach prawdopodobieństwo P (G) znalezienia układu w obszarze G jest proporcjonalne do pola powierzchni G P (G) = G Σ E.

Rozkład mikrokanoniczny Jeśli układ statystyczny jest ergodyczny, to podczas ewolucji przebywa on tyle samo czasu w obszarach o jednakowych polach prawdopodobieństwo P (G) znalezienia układu w obszarze G jest proporcjonalne do pola powierzchni G P (G) = G Σ E. Stan równowagi ρ(x) = 1 Σ E. rozkład jednostajny na przestrzeni fazowej

Rozkład mikrokanoniczny Jeśli układ statystyczny jest ergodyczny, to podczas ewolucji przebywa on tyle samo czasu w obszarach o jednakowych polach prawdopodobieństwo P (G) znalezienia układu w obszarze G jest proporcjonalne do pola powierzchni G P (G) = G Σ E. Stan równowagi ρ(x) = 1 Σ E. rozkład jednostajny na przestrzeni fazowej Nie ma jednak gwarancji, że układ statystyczny będzie dążył do osiągnięcia stanu równowagi!

Rozkład mikrokanoniczny Jeśli układ statystyczny jest ergodyczny, to podczas ewolucji przebywa on tyle samo czasu w obszarach o jednakowych polach prawdopodobieństwo P (G) znalezienia układu w obszarze G jest proporcjonalne do pola powierzchni G P (G) = G Σ E. Stan równowagi ρ(x) = 1 Σ E. rozkład jednostajny na przestrzeni fazowej Nie ma jednak gwarancji, że układ statystyczny będzie dążył do osiągnięcia stanu równowagi! Potrzebne są dodatkowe warunki: mieszanie, detailed balance (równowaga szczegółowa)!

Układy otwarte ewolucja bez pamięci

Układy otwarte ewolucja bez pamięci Równanie ewolucji bez pamięci można zapisać ogólniej jako równanie master ρ t t = L(t)[ρ t], L operator Liouville a operator Liouville a może być w ogólności procesem Markowa na przestrzeni fazowej Γ

Układy otwarte ewolucja bez pamięci Równanie ewolucji bez pamięci można zapisać ogólniej jako równanie master ρ t t = L(t)[ρ t], L operator Liouville a operator Liouville a może być w ogólności procesem Markowa na przestrzeni fazowej Γ rozwiązanie (symboliczne!) równania Liouville a jest postaci ρ t [ t = exp t 0 ] L(τ)dτ ρ 0 = Λ tρ 0,

Układy otwarte ewolucja bez pamięci Równanie ewolucji bez pamięci można zapisać ogólniej jako równanie master ρ t t = L(t)[ρ t], L operator Liouville a operator Liouville a może być w ogólności procesem Markowa na przestrzeni fazowej Γ rozwiązanie (symboliczne!) równania Liouville a jest postaci ρ t [ t = exp t 0 ] L(τ)dτ ρ 0 = Λ tρ 0, Gdy L nie zależy od czasu otrzymamy ρ t = exp[(t t 0)L]ρ 0 W przypadku hamiltonowskim L[ρ t] = {H, ρ t}

Układy otwarte ewolucja bez pamięci Równanie ewolucji bez pamięci można zapisać ogólniej jako równanie master ρ t t = L(t)[ρ t], L operator Liouville a operator Liouville a może być w ogólności procesem Markowa na przestrzeni fazowej Γ rozwiązanie (symboliczne!) równania Liouville a jest postaci ρ t [ t = exp t 0 ] L(τ)dτ ρ 0 = Λ tρ 0, Gdy L nie zależy od czasu otrzymamy ρ t = exp[(t t 0)L]ρ 0 W przypadku hamiltonowskim L[ρ t] = {H, ρ t} W przypadku niehamiltonowskim ewolucję określa półgrupa dynamiczna {Λ t} t 0

Układy otwarte ewolucja z pamięcią

Układy otwarte ewolucja z pamięcią Równanie z pamięcią wywodzi się z ogólnego procesu stochastycznego ρ t t K(t τ) jest jądrem pamięci = t t 0 K(t τ)ρ τ dτ

Układy otwarte ewolucja z pamięcią Równanie z pamięcią wywodzi się z ogólnego procesu stochastycznego ρ t t = t t 0 K(t τ)ρ τ dτ K(t τ) jest jądrem pamięci Równanie jest nielokalne w tym sensie, że do znalezienia stanu układu w chwili t potrzebna jest wiedza o całej ewolucji stanu do chwili t

Układy otwarte ewolucja z pamięcią Równanie z pamięcią wywodzi się z ogólnego procesu stochastycznego ρ t t = t t 0 K(t τ)ρ τ dτ K(t τ) jest jądrem pamięci Równanie jest nielokalne w tym sensie, że do znalezienia stanu układu w chwili t potrzebna jest wiedza o całej ewolucji stanu do chwili t Przykład: Hamiltonowska swobodna ewolucja układu N oscylatorów harmonicznych H(q, p) = N i=1 [ p 2 i 2m + 1 ] 2 mω2 i q i 2

Jak wyznaczyć stan układu statystycznego?

Jak wyznaczyć stan układu statystycznego? 1 Rozwiązać równanie Liouville a zazwyczaj trudne lub niewykonalne

Jak wyznaczyć stan układu statystycznego? 1 Rozwiązać równanie Liouville a zazwyczaj trudne lub niewykonalne 2 Poprzez pomiary konkretnych wielkości fizycznych (obserwabli) charakteryzujących układ

Jak wyznaczyć stan układu statystycznego? 1 Rozwiązać równanie Liouville a zazwyczaj trudne lub niewykonalne 2 Poprzez pomiary konkretnych wielkości fizycznych (obserwabli) charakteryzujących układ a) Dokonujemy pomiarów r obserwabli, f 1,..., f r

Jak wyznaczyć stan układu statystycznego? 1 Rozwiązać równanie Liouville a zazwyczaj trudne lub niewykonalne 2 Poprzez pomiary konkretnych wielkości fizycznych (obserwabli) charakteryzujących układ a) Dokonujemy pomiarów r obserwabli, f 1,..., f r b) Wyznaczamy wartości średnie mierzonych obserwabli m 1,..., m r

Jak wyznaczyć stan układu statystycznego? 1 Rozwiązać równanie Liouville a zazwyczaj trudne lub niewykonalne 2 Poprzez pomiary konkretnych wielkości fizycznych (obserwabli) charakteryzujących układ a) Dokonujemy pomiarów r obserwabli, f 1,..., f r b) Wyznaczamy wartości średnie mierzonych obserwabli m 1,..., m r c) Wyznaczamy makrostan związany z tymi obserwablami K f 1,...,f r

Jak wyznaczyć stan układu statystycznego? 1 Rozwiązać równanie Liouville a zazwyczaj trudne lub niewykonalne 2 Poprzez pomiary konkretnych wielkości fizycznych (obserwabli) charakteryzujących układ a) Dokonujemy pomiarów r obserwabli, f 1,..., f r b) Wyznaczamy wartości średnie mierzonych obserwabli m 1,..., m r c) Wyznaczamy makrostan związany z tymi obserwablami K f 1,...,f r Uwaga: Wyznaczony makrostan powinien być niezmienniczy ze względu na ewolucję w czasie układu fizycznego, tak będzie gdy obserwable będą całkami ruchu!

Jak wyznaczyć stan układu statystycznego? 1 Rozwiązać równanie Liouville a zazwyczaj trudne lub niewykonalne 2 Poprzez pomiary konkretnych wielkości fizycznych (obserwabli) charakteryzujących układ a) Dokonujemy pomiarów r obserwabli, f 1,..., f r b) Wyznaczamy wartości średnie mierzonych obserwabli m 1,..., m r c) Wyznaczamy makrostan związany z tymi obserwablami K f 1,...,f r Uwaga: Wyznaczony makrostan powinien być niezmienniczy ze względu na ewolucję w czasie układu fizycznego, tak będzie gdy obserwable będą całkami ruchu! d) Zasada maksimum entropii: Za stan równowagowy układu przyjmujemy rozkład reprezentatywny makrostanu K f 1,...,f r

Gęstość rozkładu równowagi

Gęstość rozkładu równowagi Gęstość rozkładu równowagi ρ (q, p) makrostanu K f 1,...,f r [ ρ (q, p) = Z 1 (λ 1,..., λ r) exp r j=1 gdzie suma statystyczna ma postać [ r ] Z(λ 1,..., λ r) = exp λ jf j (q, p) dqdp Γ j=1 q = (q 1,..., q n), p = (p 1,..., p n) oraz ma postać: ] λ jf j (q, p), gdzie m j = ln Z(λ1,..., λr) = m j, j = 1,..., r. λ j f j (q, p)ρ(q, p)dqdp. Γ

Entropia stanu równowagi

Entropia stanu równowagi Entropia stanu równowagi wynosi r S(ρ ) = k ln Z + k λ im r i=1

Formalizmy termodynamiczne

Formalizmy termodynamiczne 1 Formalizm kanoniczny stosowany do układów zamkniętych, w których energia nie jest zachowana. Ustalona jest średnia energia U wskutek oddziaływania z rezerwuarem. Stan równowagi jest rozkładem reprezentatywnym makrostanu energii K H = { ρ : Γ R + ; } ρ(q, p)dqdp = 1, H = U. Γ

Formalizmy termodynamiczne 1 Formalizm kanoniczny stosowany do układów zamkniętych, w których energia nie jest zachowana. Ustalona jest średnia energia U wskutek oddziaływania z rezerwuarem. Stan równowagi jest rozkładem reprezentatywnym makrostanu energii K H = { ρ : Γ R + ; } ρ(q, p)dqdp = 1, H = U. Γ 2 Formalizm wielki kanoniczny stosowany do układów otwartych, w których nie jest stała ani energia, ani liczba cząstek. Ustalone są wartości średnie tych wielkości, a stan równowagi jest rozkładem reprezentatywnym makrostanu energii i liczby cząstek (makrostan ze względu na dwie zmienne losowe).

Formalizmy termodynamiczne 1 Formalizm kanoniczny stosowany do układów zamkniętych, w których energia nie jest zachowana. Ustalona jest średnia energia U wskutek oddziaływania z rezerwuarem. Stan równowagi jest rozkładem reprezentatywnym makrostanu energii K H = { ρ : Γ R + ; } ρ(q, p)dqdp = 1, H = U. Γ 2 Formalizm wielki kanoniczny stosowany do układów otwartych, w których nie jest stała ani energia, ani liczba cząstek. Ustalone są wartości średnie tych wielkości, a stan równowagi jest rozkładem reprezentatywnym makrostanu energii i liczby cząstek (makrostan ze względu na dwie zmienne losowe). 3 Formalizm mikrokanoniczny stosowany do opisu układów izolowanych i zamkniętych, w których hamiltonian H(q, p) jest stałą ruchu. Energia układu jest wówczas zachowana, a ewolucja odbywa się po hiperpowierzchni Σ E stałej energii.

Rozkład kanoniczny

Rozkład kanoniczny Zgodnie z tw. o rozkładzie reprezentatywnym ρ (q, p) = Z 1 (β)e βh(q,p), Z(β) = e βh(q,p) dqdp, Γ β może być jednoznacznie wyznaczona z warunku U = ln Z β

Rozkład kanoniczny Zgodnie z tw. o rozkładzie reprezentatywnym ρ (q, p) = Z 1 (β)e βh(q,p), Z(β) = e βh(q,p) dqdp, Γ β może być jednoznacznie wyznaczona z warunku U = ln Z β Entropię można policzyć z relacji S = k ln Z + kβu

Rozkład kanoniczny Zgodnie z tw. o rozkładzie reprezentatywnym ρ (q, p) = Z 1 (β)e βh(q,p), Z(β) = e βh(q,p) dqdp, Γ β może być jednoznacznie wyznaczona z warunku U = ln Z β Entropię można policzyć z relacji S = k ln Z + kβu Jaki jest fizyczny sens mnożnika Lagrange a β?