Podstawy Ekonomii Matematycznej Aktualizacja: 9 czerwca 2011
Spis tre±ci I Elementy matematyki nansowej. 5 1 Procent, stopa procentowa, kapitalizacja. 6 2 Procent prosty. 8 2.1 Zasada oprocentowania prostego, stopa roczna i podokresowa........ 8 2.2 Równowa»no± stóp procentowych....................... 11 2.3 Stopa zmienna w czasie, stopa przeci tna................... 13 2.4 Dyskontowanie proste.............................. 14 3 Dyskonto handlowe proste. 15 3.1 Dyskonto handlowe................................ 15 3.2 Stopa dyskontowa a stopa procentowa..................... 17 3.3 Weksle...................................... 20 4 Procent skªadany 22 4.1 Zasada oprocentowania skªadanego....................... 22 4.2 Kapitalizacja roczna............................... 22 4.3 Kapitalizacja podokresowa........................... 24 4.4 Kapitalizacja ci gªa............................... 25 4.5 Równowa»no± stóp procentowych oprocentowania skªadanego........ 26 4.6 Stopa zmienna w czasie, stopa przeci tna................... 28 4.7 Dyskontowanie skªadane............................. 30 4.8 Oprocentowanie a inacja............................ 31 5 Warto± kapitaªu w czasie 34 5.1 Model warto±ci kapitaªu w czasie........................ 34 5.2 Zasada równowa»no±ci kapitaªów........................ 36 II Modele matematyczne. 39 6 Pochodna funkcji w ekonomii 40 6.1 Funkcja kra«cowa................................ 40 6.2 Elastyczno± funkcji............................... 42 6.2.1 Interpretacja geometryczna elastyczno±ci funkcji f w punkcie x 0... 45 6.2.2 Elastyczno± funkcji kosztów...................... 45 6.2.3 Elastyczno± funkcji popytu....................... 46 6.3 Funkcje Törnquista............................... 49 6.3.1 Ekonomiczna interpretacja parametrów krzywych Törnquista.... 53 2
Spis tre±ci 7 Modele ekonomiczne. 55 7.1 Skªadniki modelu ekonomicznego........................ 55 7.2 Modele równowagi statycznej.......................... 56 7.2.1 Cz ±ciowa równowaga rynkowa..................... 56 7.2.2 Keynesowski model dochodu narodowego............... 57 7.3 Modele nakªadów i wyników Leontiewa.................... 57 7.3.1 Model statyczny............................. 57 7.3.2 Model dynamiczny............................ 59 7.4 Modele dynamiczne z czasem dyskretnym................... 61 7.4.1 Model paj czyny............................. 62 Aktualizacja: 9 czerwca 2011 3
Spis tre±ci. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 4
Cz ± I Elementy matematyki nansowej. 5
Rozdziaª 1 Procent, stopa procentowa, kapitalizacja. W matematyce procent oznacza oczywi±cie setn cz ± caªo±ci (per centum przez sto) x% = x 100. W matematyce nansowej procent o jaki zmienia si dana wielko± nazywamy stop procentow (wzrostu lub spadku). Przykªad 1.1. Przed rokiem cena pewnego towaru wynosiªa 500 zª i wzrosªa w ci gu tego okresu o 30%. Obecnie cena powi kszyªa si o wynosi wi c 500 30% = 500 0.3 = 150 [zª], 500 + 150 = 650 [zª]. Oczywi±cie mo»liwe jest natychmiastowe obliczenie ceny ko«cowej 500 (1 + 0.3) = 650 [zª]. Warto zwróci te» uwag,»e gdyby po roku roku cena towaru zwi kszyªa si o 40%, a nie o 30%, to stopa wzrostu zwi kszyªaby si o 10 punktów procentowych, a nie o 10%. Dla porównania, gdyby stopa zwi kszyªaby si o 10%, to wynosiªaby 30% (1 + 10%) = 30% (1.1) = 33%. Przykªad 1.2. Cena pewnego towaru wynosiªa 300 zª. Po upªywie miesi ca wzrosªa o 20%, a po upªywie kolejnego miesi ca wzrosªa o 30%. Zatem po dwóch miesi cach cena wynosiªa 300 1.2 1.3 = 468 [zª]. Cena wzrosªa wi c o 468 300 = 0.56 = 56%. 300 Oczywi±cie mo»liwe jest natychmiastowe obliczenie o ile procent wzrosªa cena: 1.2 1.3 1 = 0.56 = 56%. Uzasadnienie powy»szego rachunku jest proste 468 300 300 = 300 1.2 1.3 300 300 6 = 1.2 1.3 1.
Rozdziaª 1. Procent, stopa procentowa, kapitalizacja. Powy»szy przykªad uzasadnia przyj cie nast puj cej denicji. Je±li pewna wielko± zmieniªa si o p%, to liczb ρ := 1 + p procentowym zmiany (wzrostu lub spadku). 100 nazywamy czynnikiem Uogólniaj c przykªad 1.2 mo»emy stwierdzi,»e je±li wielko± P wzrasta o p 1 %, a nast pnie wzrasta o p 2 %, to wzrasta o P (100 + p 1 ) % (100 + p 2 ) % P ( = 1 + p ) ( 1 1 + p ) 2 1 P [( 100 100 = 1 + p ) ( 1 1 + p ) ] 2 1 100% = (ρ 1 ρ 2 1) 100%, 100 100 gdzie ρ 1 = 1 + p 1 100, ρ 2 = 1 + p 2 100 s czynnikami wzrostu odpowiadaj cymi stopom p 1, p 2. W matematyce nansowej cz sto uto»samia si procent o jaki wzrasta kapitaª z odsetkami, czyli wielko±ci o jak wzrósª kapitaª. Powi kszenie kapitaªu o odsetki wygenerowane przez ten kapitaª nazywa si kapitalizacj odsetek. Same odsetki nie s kapitaªem, ale stan si jego cz ±ci dopiero po kapitalizacji. Czas, po którym odsetki s dopisywane do kapitaªu nazywamy okresem kapitalizacji. Kapitaª, który wygenerowaª odsetki nazywa si kapitaªem pocz tkowym, a kapitaª powi kszony, po okresie kapitalizacji, o odsetki nazywa si kapitaªem ko«cowym. Czas, w ci gu którego odsetki s generowane nazywa si czasem oprocentowania. Stosunek odsetek do kapitaªu, który je wygenerowaª w ustalonym okresie nosi nazw okresowej stopy procentowej. W praktyce najcz ±ciej mamy do czynienia ze stopami ustalonymi dla okresu rocznego i wtedy mówimy o rocznej stopie procentowej, stopie w stosunku rocznym lub u»ywamy skrótu p.a. (per annum). Warto zauwa»y,»e efektem obliczenia odsetek za dany okres nie musi by ich kapitalizacja. Przez warunki oprocentowania nale»y rozumie dane, których znajomo± wystarcza, aby obliczy wysoko± odsetek nale»nych od ustalonego kapitaªu za ustalony czas. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 7
Rozdziaª 2 Procent prosty. 2.1. Zasada oprocentowania prostego, stopa roczna i podokresowa. W przypadku transakcji nansowych zwykle nie okre±la si odsetek, lecz wysoko± stopy procentowej oraz sposób obliczania odsetek wedªug zasady oprocentowania prostego lub skªadanego. Zasada oprocentowania prostego. Odsetki oblicza si od kapitaªu pocz tkowego proporcjonalnie do dªugo±ci czasu oprocentowania. Niech: K 0 pocz tkowa warto± kapitaªu, r roczna stopa procentowa, n czas oprocentowania wyra»ony w latach, I n odsetki za czas n lat, K n ko«cowa warto± kapitaªu po n latach. Przy powy»szych oznaczeniach zasad oprocentowania prostego mo»na zapisa jako albo I n = rk 0 n (2.1) K n = K 0 + rk 0 n = K 0 (1 + rn). (2.2) Innymi sªowy, kapitaª przy oprocentowaniu prostym wzrasta liniowo wzgl dem czasu ze wspóªczynnikiem kierunkowym równym rk 0. Zauwa»my te»,»e K n+1 K n = K 0 + rk 0 (n + 1) (K 0 + rk 0 n) = rk 0, czyli przy oprocentowaniu prostym kapitaª wzrasta arytmetycznie. Przykªad 2.1. Jak warto± osi gnie kapitaª pocz tkowy 500 zª po: a) 4 latach, b) 198 dniach 8
Rozdziaª 2. Procent prosty. oprocentowania prostego, przy rocznej stopie 12% i latach liczonych wedªug reguªy bankowej (1 rok = 360 dni)? Skorzystamy ze wzoru (2.2) K n = K 0 + rk 0 n. Ad. a) Mamy: K 0 = 500 zª, r = 0.12, n = 364 3+365 360 = 1457 360, st d K = 500 + 0.12 500 1457 360 = 742.83 [zª]. Ad. b) Tym razem n = 198 360, K = 500 + 0.12 500 198 360 = 533 [zª]. Przykªad 2.2. W dniu 30 czerwca 2001 r. pan X miaª na koncie a'vista 2500 zª. W okresie od 1 lipca do 30 wrze±nia tego roku dokonano dwóch wpªat na konto: 12 lipca 3259 zª i 17 sierpnia 1600 zª oraz trzech wypªat: 23 lipca 4200 zª, 5 sierpnia 1900 zª i 18 wrze±nia 300 zª. Odsetki dopisywane s na koniec ka»dego kwartaªu. Bank oblicza odsetki od dodatniego salda wg ustalonej stopy rocznej 12%, a w przypadku ujemnego salda karne odsetki wg. ustalonej stopy rocznej powi kszonej o 50%. Obliczy odsetki za III kwartaª 2001 roku. Czas bankowy biegnie wedªug reguªy kalendarzowej. Mamy tu do czynienia z oprocentowaniem prostym w ka»dym z okresów, kiedy kapitaª na koncie nie ulegaª zmianie. Do oblicze«wygodnie jest sporz dzi tabel Data Operacja Saldo Numer dnia Czas oprocentowania operacji wpªata wypªata po operacji w roku w dniach 30 czerwca 2500 181 12 lipca 3250 5750 193 12 23 lipca 4200 1550 204 13 5 sierpnia 1900 350 217 12 17 sierpnia 1600 1250 229 32 18 wrze±nia 300 950 261 12 30 wrze±nia 950 273 Aktualizacja: 9 czerwca 2011 9
Rozdziaª 2. Procent prosty. Do obliczenia odsetek skorzystamy ze wzoru (2.1) I 1 12 = 2500 0.12 365 = 9.86 I 2 11 = 5750 0.12 365 = 20.79 I 3 13 = 1550 0.12 365 = 6.62 I 4 12 = 350 0.18 = 2. 07 365 I 5 32 = 1250 0.12 365 = 13.15 I 6 12 = 950 0.12 365 = 3.75 Zatem za III kwartaª wynosz odsetki wynosz 9.86 + 20.79 + 6.62 2. 07 + 13.15 + 3.75 = 52.10 Kapitaª ko«cowy na dzie«30 wrze±nia, wynosi 950 + 52.10 = 1002.10 [zª]. Cz sto, aby obliczy odsetki proste u»ywamy oprócz stopy rocznej stopy miesi cznej lub kwartalnej. W tym wypadku miesi c, kwartaª itd. nazywamy podokresem oprocentowania (wzgl dem oprocentowania rocznego), a stop procentow dla tego okresu stop podokresow. Podokres mo»e by, cho jest to stosowane rzadko, dªu»szy ni» rok np. mo»e wynosi 2 lata. Wprowad¹my oznaczenia: k liczba podokresów, których ª czna dªugo± jest równa dªugo±ci roku, i k stopa podokresowa, m k czas wyra»ony w podokresach (numer kolejnego podokresu). Dªugo± podokresu, przy ustalonym k, jest zawsze równa 1 dªugo±ci roku. W praktyce k najcz ±ciej mamy do czynienia z nast puj cymi podokresami: póªrocze, k = 2 kwartaª, k = 4, miesi c, k = 13, tydzie«, k = 52, dzie«, k = 365 (lub 360). Odsetki wg oprocentowania prostego za m k podokresów wynosz I mk = i k K 0 m k, a warto± kapitaªu K mk = K 0 (1 + i k m k ). Aktualizacja: 9 czerwca 2011 10
Rozdziaª 2. Procent prosty. Przykªad 2.3. Po»yczka 1200 zª b dzie spªacona jednorazowo po upªywie 4 miesi cy z odsetkami prostymi przy miesi cznej stopie wynosz cej 1.3%. Obliczmy kwot potrzebn do spªaty tej po»yczki. A zatem, k = 12, m 12 = 4, i 12 = 0.013, K 0 = 1200, czyli K 4 = 1200 + 0.013 1200 4 = 1262 [zª]. 2.2. Równowa»no± stóp procentowych. Skoro mo»emy posªugiwa si ró»nymi stopami (roczn lub podokresow ) wa»ne jest ustalenie warunków równowa»no±ci tych stóp. Przede wszystkim doprecyzujmy, co oznacza równowa»no± stóp. T równowa»no± okre±la w matematyce nansowej nast puj ca Zasada równowa»no±ci stóp procentowych. Stopy procentowe s równowa»ne w czasie n, je»eli przy ka»dej z nich ten sam kapitaª pocz tkowy K 0, generuje w tym samym czasie n, b d cym liczb lat, te same odsetki. Dla ustalenia warunku równowa»no±ci stóp zauwa»my najpierw,»e je»eli n jest liczb lat, to odpowiadaj ca jej liczba m k podokresów dªugo±ci 1 roku wynosi k m k = nk. (2.3) Niech dane b d dwie stopy podokresowe i k1 oraz i k2 odpowiadaj ce podokresom dªugo±ci 1 1 k 1 i k 2 roku. Odsetki generowane przez kapitaª K 0 po upªywie n lat s identyczne przy stopach i k1 i i k2, wtedy i tylko wtedy, gdy gdzie wobec (2.3) sk d W konsekwencji i k1 m k1 K 0 = i k2 m k2 K 0, m k1 = nk 1, m k2 = nk 2, i k1 nk 1 K 0 = i k2 nk 2 K 0. i k1 i k2 = 1 k 11 k 2, (2.4) co mo»na sªownie wyrazi nast puj co: dwie stopy podokresowe s równowa»ne wtedy i tylko wtedy, gdy ich stosunek jest identyczny jak stosunek dªugo±ci odpowiadaj cych im podokresów wyra»onych w latach. Z tego powodu przy oprocentowaniu prostym stopy równowa»ne nazywamy proporcjonalnymi. Wzór (2.4) jest równowa»ny wzorowi i k1 = i k2 k 2 k 1, (2.5) który pozwala przelicza równowa»ne stopy procentowe. W szczególno±ci, z powy»szego wzoru wynika,»e je±li i k jest stop odpowiadaj c podokresowi dªugo±ci 1 roku, za± r jest k stop roczn, to r = i k k. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 11
Rozdziaª 2. Procent prosty. Przykªad 2.4. Póªroczna stopa oprocentowania prostego wynosi i 2 = 18%. Obliczy równowa»ne stop miesi czn, 13dniow, 2letni. U»ywaj c ka»dej z nich obliczy odsetki proste od kapitaªu 400 zª za czas 3 lat. W obliczeniach u»ywa reguªy bankowej. W przypadku stopy miesi cznej mamy: k = 12 i wobec wzoru (2.5) Dalej dla 3 lat m 12 = 12 3 = 36 oraz Dla stopy 13dniowej k = 360 13 oraz i 12 = i 2 2 12 = 18% 1 6 = 3%. I = i 12 m 12 K 0 = 0.03 36 400 = 432 [zª] i 360 13 = i 2 2 360 13 = 18% 13 180 = 1.3%. Mamy te»,»e dla 3 lat m 360 13 = 360 13 3 = 1080 13 oraz I = i 360 13 m 360 13 K 0 = 0.013 1080 13 400 = 432 [zª] Wreszcie dla stopy 2letniej k = 1 2, i 1 2 = i 2 2 1 2 = 18% 4 = 72% m 1 2 = 1 2 3 = 3 2 I = i 1 m 1 K 0 = 0.72 3 400 = 432 [zª]. 2 2 2 Przykªad 2.5. Najni»sza cena, po której kupiono 26tygodniowe bony skarbowe wyniosªa 9521.06 zª za bon o warto±ci 10000 zª. Obliczy stop zysku tych bonów w skali 26 tygodni i skali roku. oraz Mamy wi c co wynika ze wzoru W skali roku i k = k = 360 26 7 10000 9521.06 9521.06 K = K 0 + i k K 0. = 0.0503 = 5.03%, r = i k k = 5.03% 360 26 7 = 9.95%. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 12
Rozdziaª 2. Procent prosty. 2.3. Stopa zmienna w czasie, stopa przeci tna. Zaªó»my,»e czas oprocentowania kapitaªu K 0 wynosi n lat i skªada si z m nast puj cych po sobie okresów o dªugo±ci n 1, n 2,..., n m lat, gdzie n = m n i. i=1 Zaªó»my dalej,»e w itym okresie obowi zuje stopa roczna r i, i = 1, 2,..., m. Wówczas odsetki proste w itym okresie wynosz Š czne odsetki za okres n lat wynosz wi c I ni = r i n i K 0. I = m m r i n i K 0 = K 0 r i n i, i=1 i=1 za± kapitaª ko«cowy K = K 0 + K 0 m i=1 r i n i = K 0 ( 1 + m i=1 r i n i ). (2.6) Mo»emy teraz wprowadzi poj cie stopy przeci tnej r (za okres n lat) okre±lonej za pomoc równo±ci rnk 0 = K 0 Czyli jest to staªa stopa, jaka daªaby za n lat ten sam przyrost kapitaªu, co stopy zmienne. Wynika st d,»e m r = 1 r n i n i. i=1 Stopa przeci tna jest wi c ±redni stop wa»on stóp r 1, r 2,..., r m z wagami b d cymi dªugo±ciami poszczególnych okresów. W szczególno±ci, je±li okresy s jednakowe, stopa przeci tna jest ±redni arytmetyczn stóp r 1, r 2,..., r m. Przykªad 2.6. Pan X wpªaciª 3600 zª na roczn lokat z odsetkami naliczanymi po zako«czeniu lokaty. Przez 4 miesi ce obowi zywaªo oprocentowanie 6%, przez nast pne 3 miesi ce 5.5%, a przez ostatnie 5 miesi cy 4.5% (wszystkie stopy w stosunku rocznym). Zgodnie z (2.6) warto± lokaty wynosi m i=1 r i n i. ( ) 4 K = 3600 1 + 0.06 12 + 0.055 3 12 + 0.045 5 = 12 ( 3600 1 + 1 50 + 11 800 + 3 ) 160 Natomiast ±rednia stopa r = 21 400 = 0.0525 = 5.25%. = 3600 421 400 = 3789 [zª]. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 13
Rozdziaª 2. Procent prosty. 2.4. Dyskontowanie proste. Dyskontowaniem nazywamy obliczanie kapitaªu pocz tkowego K 0 na podstawie warto±ci kapitaªu ko«cowego K. Ró»nic D mi dzy kapitaªem ko«cowym i pocz tkowym nazywamy dyskontem. Je±li dyskontowanie odbywa si przy u»yciu stopy procentowej r, to nazywamy je dyskontem prostym. W matematyce nansowej stosuje si równie» dyskontowanie handlowe oparte na tzw. stopie dyskontowej. Zatem, przyjmuj c za n czas wyra»ony w latach mamy,»e K = K 0 (1 + rn) sk d oraz K 0 = K (1 + rn) 1 D = K K 0 = K K (1 + rn) 1 = K + Krn K 1 + rn = Krn 1 + rn = Krn (1 + rn) 1. Przykªad 2.7. Oprocentowanie rachunku bankowego wynosi 16% w skali roku. Przy jakiej wpªacie a) 1 kwietnia, b) 1 stycznia saldo na rachunku 1 stycznia nast pnego roku b dzie wynosi 1000 zª? Mamy natychmiast a) b) K 0 = K 1 + rn = 1000 1 + 0.16 0.75 K 0 = 1000 1 + 0.16 = 1000 1 + 0.16 = 892.86 [zª], = 862.07 [zª]. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 14
Rozdziaª 3 Dyskonto handlowe proste. 3.1. Dyskonto handlowe. Zapªata za po»yczenie pieni dzy mo»e by zrealizowana w formie odsetek od po»yczonej kwoty. Nie jest to jednak jedyna forma zapªaty, omówimy teraz zapªat za po»yczk zwan dyskontem. Dyskontem handlowym nazywamy zapªat za po»yczk obliczon za pomoc stopy dyskontowej na podstawie kwoty, któr dªu»nik zwróci po ustalonym czasie, przy czym dyskonto jest pªatne z góry (w momencie otrzymania po»yczki) i pomniejsza kwot przekazanych pieni dzy. Dyskonto handlowe bywa nazywane procentem pªatnym z góry. Warto± dyskonta zale»y od kwoty, któr mamy zwróci oraz od czasu, na jaki po»yczamy pieni dze. Roczna stopa, przy u»yciu której oblicza si warto± dyskonta nosi nazw stopy dyskontowej. Mamy Zasada dyskonta handlowego (prostego). Dyskonto jest obliczane od kwoty, któr dªu»nik zwróci po ustalonym czasie, jest proporcjonalne do tego czasu i jest odejmowane od tej kwoty w momencie udzielenia po»yczki. Niech: F kwota spªaty (warto± nominalna po»yczki), D dyskonto, P warto± pocz tkowa po»yczki (warto± nominalna po potr ceniu dyskonta) d roczna stopa dyskontowa, n czas od otrzymania do zwrotu po»yczki, wyra»ony w latach. Zgodnie z zasad dyskonta handlowego: oraz sk d równie» D = df n (3.1) P = F D = F (1 dn). (3.2) F = P. (3.3) 1 dn Warto jeszcze zwróci uwag,»e warto± pocz tkowa po»yczki nie mo»e by ujemna czyli F D > 0 15
Rozdziaª 3. Dyskonto handlowe proste. sk d dostajemy,»e dn < 1, co oznacza,»e przy danej stopie d czas udzielenia po»yczki musi speªnia warunek za± przy ustalonym czasie n stopa musi speªnia warunek n < 1 d, (3.4) d < 1 n. (3.5) Przykªad 3.1. Aby dzi± dosta po»yczk zobowi zujemy si odda po 3 miesi cach 1500 zª. Jaka jest opªata za po»yczk, je±li ma ona posta dyskonta o stopie d = 14%. Wobec (3.1) 3 D = 0.14 1500 = 52.50 zª, 12 a zatem otrzymamy P = F D = 1500 52.50 = 1447.50 zª. Przykªad 3.2. Po koniec 2001 roku du» popularno±ci cieszyªy si w Polsce tzw. lokaty antypodatkowe z odsetkami pªatnymi z góry w zwi zku z 20% tzw. podatkiem Belki. Zaªó»- my,»e dysponujemy kwot 10000 zª i chcemy je zdeponowa na póª roku maj c do wyboru dwie oferty: w banku X póªroczn lokat z odsetkami pªaconymi z góry przy stopie rocznej d = 12% w banku Y póªroczn, tradycyjn lokat z oprocentowaniem r = 15% w stosunku rocznym. Która oferta jest lepsza? W banku X po»yczka lokata ma charakter dyskontowy z kwot pocz tkow P = 10000 zª, musimy wi c obliczy kwot ko«cow F : F = P 1 dn = 10000 1 0.12 1 2 W banku Y mamy,»e odsetki b d wynosiªy I = rp n = 0.15 10000 1 2 ale b d obci»one podatkiem, a zatem bank wypªaci nam Zatem, lepiej skorzysta z oferty banku X = 10638.30 zª = 750.00 zª K = 10000 + 0.8 750.00 = 10600.00 zª. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 16
Rozdziaª 3. Dyskonto handlowe proste. Obliczymy jeszcze przy jakiej stopie r obie oferty s jednakowo opªacalne P 1 dn = P + rp n 0.8 1 = 1 + rn 0.8 1 dn 1 rn 0.8 = 1 dn 1 rn 0.8 = nd 1 dn r = 1.25d 1.25 0.12 = 1 dn 1 0.12 1 = 0.159 6 = 15.96%. 2 3.2. Stopa dyskontowa a stopa procentowa. Zajmiemy si odpowiedzi na pytanie kiedy stopa dyskontowa i procentowa wygeneruj w jednakowym czasie jednakowe odsetki. Takie stop nazywamy równowa»nymi. Zasada równowa»no±ci stopy dyskontowej i procentowej. Roczna stopa dyskontowa d i roczna stopa procentowa r s równowa»ne w czasie n, je±li dyskonto i odsetki obliczane przy tych stopach dla tej samej po»yczki s równe. Wyprowadzimy teraz analityczny warunek równowa»no±ci obu stóp. Skoro (przy oznaczeniach przyj tych w tym oraz poprzednim rozdziale) D = I przy warunku K 0 = P, wi c wobec (3.1) df n = rp n, sk d uwzgl dniaj c (3.3) czyli oraz Ze wzorów (3.6)-(3.7) wynika Wªasno± 3.1. P 1 dn = rp, r = d = d (3.6) 1 dn r. (3.7) 1+rn 1. Wysoko± równowa»nych stóp nie zale»y od kwoty udzielonej po»yczki, ale zale»y od czasu na jaki j udzielono. 2. Istnieje dokªadnie jeden okres n, w którym stopy s równowa»ne (zwany okresem równowa»no±ci stóp dyskontowej i procentowej), wynosi on n = 1 d 1 r. (3.8) 3. Okres równowa»no±ci stóp d i n jest dodatni (wynika, to z warunku (3.4)). Aktualizacja: 9 czerwca 2011 17
Rozdziaª 3. Dyskonto handlowe proste. 4. Dla ka»dego okresu n i ka»dej stopy procentowej r istnieje równowa»na w okresie n stopa dyskontowa d. 5. Dla ka»dej stopy dyskontowej d i ka»dego okresu n speªniaj cego warunek nd < 1 istnieje równowa»na w okresie n stopa r. Zauwa»my te»,»e warunkiem, aby warto± pocz tkowa po»yczki przy dyskoncie przy okresie po»yczki n byªa dodatnia byªa nierówno± n < 1, która dla okresu równowa»no±ci d otrzymanego w (3.8) jest oczywi±cie speªniona. Przykªad 3.3. Powró my do przykªadu, w którym rozwa»ali±my inwestycj w 26 tygodniowe bony skarbowe o warto±ci 10000 zª. Nominalna cena zakupu tych bonów wynosiªa 9521.06 zª. Przyjmijmy F = 10000 zª, P = 9521.06 zª, n = 26 7. Roczna stopa dyskonta 360 wynosiªa wi c d = D nf = F P nf Roczna stopa rentowno±ci tej inwestycji jest równa r = D np = 10000 9521.06 26 7 360 10000 = 0.0947 = 9.47%. = 10000 9521.06 26 7 360 9521.06 = 0.0995 = 9.95%. Jest to oczywi±cie roczne oprocentowanie po»yczki 9521.06, której warto± wraz z odsetkami wyniosªaby po 26 tygodniach 10000 zª. Powy»szy przykªad uzmysªawia nam nast puj ce spostrze»enie. Wªasno± 3.2. Roczna stopa zysku (rentowno±ci) z transakcji, w której opªat jest dyskonto obliczone przy stopie d za czas n jest roczn stop procentow r równowa»n stopie d w czasie n. Dowód. Rzeczywi±cie, roczna stopa zysku wynosi w tym wypadku D np = I np = r. W praktyce du»e znaczenie ma Wªasno± 3.3. Niech d i r b d stopami rocznymi dyskontow i procentow odpowiednio równowa»nymi w okresie n. Niech D b dzie warto±ci dyskonta, za± I warto±ci odsetek przy po»yczce na n lat (n < 1 ). Wówczas d 1. 2. D > I n > n, D < I n < n. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 18
Rozdziaª 3. Dyskonto handlowe proste. Dowód. Niech P b dzie warto±ci pocz tkow po»yczki, F kwot spªaty po»yczki dyskontowej o warto±ci pocz tkowej P po n latach.. Mamy wobec (3.1), (3.2) oraz (3.6),»e D = df n, Zatem I = rp n = rf (1 dn)n = W konsekwencji (przy zaªo»eniu,»e n < 1 d ) d 1 dn F (1 dn)n = df n. 1 d n 1 d n D I = 1 d n 1 dn. D > I 1 d n 1 dn > 1 n > n oraz D < I 1 d n 1 dn < 1 n < n teraz n > n, to D > I, je±li n < n, to D < I. Mamy równie» Wªasno± 3.4. Niech n oznacza czas od otrzymania do zwrotu po»yczki, I warto± odsetek za czas n przy stopie rocznej stopie procentowej r, za± D warto± dyskonta tej samej po»yczki za czas n lat przy rocznej stopie dyskontowej d (n < 1 ). Wówczas: d 1. 2. D > I r < D < I r > d 1 dn d > r 1 + rn. d 1 dn d < r 1 + rn. Dowód. Mamy wobec (3.3) sk d (przy zaªo»eniu n < 1 d ) D I = df rp = F = dp 1 dn P 1 dn 1 rp = d 1 dn 1 r, oraz D > I d 1 dn 1 r > 1 r < D < I r > d 1 dn d > r 1 + rn d 1 dn d < r 1 + rn Aktualizacja: 9 czerwca 2011 19
Rozdziaª 3. Dyskonto handlowe proste. 3.3. Weksle. Weksel stanowi zobowi zanie do zapªaty okre±lonej kwoty w ustalonym terminie i ma form dokumentu sprecyzowanego odpowiednimi przepisami. Kwot, do zapªaty której zobowi zuje weksel nazywamy warto±ci nominaln weksla. Termin, w którym weksel ma by spªacony nazywamy terminem wykupu weksla. Warto± weksla obliczon na podstawie jego warto±ci nominalnej przy ustalonej stopie dyskontowej d na okre±lony dzie«poprzedzaj cy poprzedzaj cy termin jego wykupu nazywamy warto±ci handlow (aktualn ) weksla. Poniewa» weksel stanowi form po»yczki liczonej wedªug zasady dyskonta handlowego, zast pujemy dotychczas stosowan terminologi dotycz c dyskonta handlowego w nast puj cy sposób: kwota spªaty F warto± nominalna weksla, opªata za po»yczk (dyskonto) D warto± dyskonta weksla, warto± pocz tkowa po»yczki P = F D warto± aktualna weksla, czas od otrzymania do zwrotu po»yczki n czas do wykupu weksla. W konsekwencji, aktualna warto± weksla o warto± nominalnej F, przy stopie dyskontowej (rocznej) d na n lat przed wykupem wynosi P = F (1 dn). Warto jeszcze zwróci uwag,»e w odniesieniu do weksli czas w dniach zamienia si na lata wedªug reguªy bankowej (1 rok = 360 dni). Przykªad 3.4. Zobowi zanie do zapªaty za dostaw pewnego towaru o warto± 195 jp (jednostek pieni»nych) ma posta weksla podpisanego 3 lipca na sum 200 jp z terminem wykupu 3 pa¹dziernika tego samego roku. Mamy wi c F = 200, P = 195, D = F P = 5. Czas do wykupu wyra»ony w dniach (wg tabeli) 276 183 = 92 dni; wyra»ony w latach Stopa dyskontowa d = D nf = 5 200 92 360 n = 92 360. = 5 5 92 9 = 9 92 = 9.78%. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 20
Rozdziaª 3. Dyskonto handlowe proste. Równowa»na stopa procentowa przy czasie n wynosi r = 9 d 1 dn = 1 9 92 92 92 360 9 92 1 1 40 = 9 92 40 39 = 3 23 10 13 = 30 299 = 10.03%. Oznacza to,»e gdyby±my 3 lipca po»yczyli 195 jp, to zwrot 3 pa¹dziernika 200 jp oznaczaªby stop procentow 10.03%. Innymi sªowy po»yczka byªaby korzystniejsza od wystawienia weksla przy stopie mniejszej ni» 10.03%. Wynika to równie» bezpo±rednio z wªasno±ci 3.4. Przykªad 3.5. Firma X rozwa»a dwa warianty pozyskania potrzebnych jej ±rodków: wystawienie weksla o terminie wykupu za 90 dni przy stopie dyskontowej d = 16%, albo 90 dniowa po»yczka przy stopie rocznej r = 17%. Która opcja jest korzystniejsza. Mamy d 1 dn = 0.16 1 0.16 90 360 = 0.16 1 16 100 1 4 = 16 100 100 96 = 1 6 = 16.67% < r. Zatem z wªasno±ci 3.4 wynika,»e weksel jest bardziej opªacalny. Mo»emy równie» obliczy czas n, przy którym obie stopy s równowa»ne. Z (3.8) mamy to jest n = 1 d 1 r = 100 16 100 17 = 25 17 400 68 = 25 68 0.367 647 058 8 360 = 132.352 941 2 dni. = 0.367 647 058 8 Z wªasno±ci 3.3 po»yczka byªaby korzystniejsza dla czasu co najmniej 133 dni. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 21
Rozdziaª 4 Procent skªadany 4.1. Zasada oprocentowania skªadanego. Przypomnijmy,»e w przypadku oprocentowania prostego odsetki s dopisywane do kapitaªu dopiero po zako«czeniu czasu oprocentowania. Taki proces nazywa si kapitalizacj. Gdy jednak odsetki powi kszaj kapitaª w równych odst pach czasu, przed upªywem czasu oprocentowania mamy do czynienia z procentem skªadanym. Czas, po upªywie którego odsetki s za ka»dym razem dopisywane do kapitaªu nazywa si okresem kapitalizacji. Zasada oprocentowania skªadanego. Oprocentowanie skªadane polega na tym,»e odsetki (proste) oblicza si za ka»dy ustalony z góry okres i kapitalizuje si je na koniec tego okresu. Omówimy trzy zasadnicze typy oprocentowania skªadanego zwi zane z ró»nymi okresami kapitalizacji. 4.2. Kapitalizacja roczna. Przypu± my,»e dany jest kapitaª pocz tkowy K 0 > 0 i roczna stopa procentowa r, a odsetki s kapitalizowane co rok. Niech n oznacza okres oprocentowania wyra»ony w latach. Przy kapitalizacji rocznej musimy poczyni zaªo»enie,»e n N (:= {1, 2,...}). Obliczmy warto± kapitaªu po upªywie kolejnych lat: po roku K 1 = K 0 + rk 0 = K 0 (1 + r) po dwóch latach K 2 = K 1 + rk 1 = K 1 (1 + r) = K 0 (1 + r) 2. po n latach. K 0 (1 + r) n Zatem, po upªywie n lat kapitaª K n wynosi: za± ª czne odsetki po upªywie n lat: K n = K 0 (1 + r) n, (4.1) I n = K n K 0 = K 0 ((1 + r) n 1). (4.2) 22
Rozdziaª 4. Procent skªadany Równania (4.1)-(4.2) stanowi model oprocentowania skªadanego przy kapitalizacji rocznej, albo krócej: model kapitalizacji rocznej. Widzimy te»,»e przy modelu rocznym kapitaª wzrasta geometrycznie z ilorazem (1 + r). Model ten mo»e by wi c opisany za pomoc równania ró»nicowego postaci K n+1 = K n (1 + r) n, n N {0}. Šatwo wida,»e przy danym kapitale pocz tkowym K 0 i ko«cowym K n (K n > K 0 ) za n lat roczna stopa oprocentowania wynosi r = n Kn K 0 1, (4.3) za± przy danym kapitale pocz tkowym K 0, ko«cowym K n (K n > K 0 ) i stopie rocznej r czas oprocentowania n (wyra»ony w latach) wynosi ( ) ( ) K Kn ln n K 0 n = log 1+r = K 0 ln (1 + r). (4.4) W tym drugim przypadku nale»y dodatkowo zaªo»y,»e K 0, K n i r s tak dobrane,»e ) ln( Kn K 0 ln(1+r) jest liczb naturaln. Przykªad 4.1. Rozwa»my pi cioletni lokat w wysoko±ci K 0 = 10000 zª przy czym: (a) odsetki s naliczane po jej zako«czeniu a stopa procentowa wynosi r = 12%, (b) lokata jest kapitalizowana corocznie a stopa procentowa wynosi r = 10%. W pierwszym przypadku warto± ko«cowa kapitaªu wynosi K 5 = K 0 (1 + rn) = 10000 (1 + 0.12 5) = 16000.00 zª, w drugim K 5 = K 0 (1 + r) n = 10000 (1 + 0.1) 5 = 16100.00 zª. Widzimy wi c,»e pomimo ni»szej stopy kapitalizacja jest bardziej opªacalna. Mo»emy si te» zastanowi jaka stopa roczna r bez kapitalizacji wygeneruje po 5 latach ten sam kapitaª co stopa r z kapitalizacj : r = K 5 K 0 1 n = 16100 1 10000 5 = 12.20%, i na odwrót, jaka stopa roczna ˆr z kapitalizacj wygeneruje po 5 latach ten sam kapitaª co stopa roczna r bez kapitalizacji K5 16000 ˆr = 5 1 = 5 K 0 10000 1 9.856%. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 23
Rozdziaª 4. Procent skªadany 4.3. Kapitalizacja podokresowa Przypu± my,»e odsetki dopisywane s za ka»dym razem po upªywie czasu krótszego ni» 1 rok. Wtedy taki okres nazywamy podokresem kapitalizacji. Oczywi±cie kapitaª b dzie wzrastaª dokªadnie wg tej samej zasady co przy kapitalizacji rocznej, pod warunkiem»e do jego opisu b dziemy u»ywa stopy z zwi zanej z tym podokresem czyli stopy podokresowej. Poj cie stopy podokresowej pojawiªo si przy omawianiu oprocentowania prostego. W przypadku kapitalizacji podokresowej jest ona równa procentowi, o jaki wzrasta kapitaª za ka»dym razem po upªywie jednego podokresu. Liczb podokresów kapitalizacji przypadaj cych na jeden rok nazywa si cz stotliwo±ci kapitalizacji. Wprowadzaj c oznaczenia analogiczne jak dla oprocentowania prostego przyjmijmy k cz stotliwo± kapitalizacji (ile razy w roku dopisywane s odsetki), m k czas oprocentowania wyra»ony w liczbie podokresów (zakªadamy,»e m k N), i k stopa podokresowa. Wtedy, rozumuj c analogicznie jak dla kapitalizacji rocznej dostajemy,»e kapitaª K mk po upªywie czasu m k (czyli na koniec m k tego podokresu), przy kapitale pocz tkowym K 0 wynosi K mk = K 0 (1 + i k ) m k, a ª czne odsetki po upªywie czasu m k wynosz I mk = K 0 ((1 + i k ) m k 1). Przykªad 4.2. Niech warto± pocz tkowa kapitaªu wynosi K 0 = 1000 zª. Kapitaª ro±nie wedªug oprocentowania skªadanego z kapitalizacj kwartaln (k = 4) i stop kwartaln i 4 = 6%. Wówczas okres 2 lat stanowi 8 podokresów (m k = 8). Kapitaª ko«cowy wynosi wi c K 8 = K 0 (1 + i k ) m k = 1000 (1 + 0.06) 8 = 1593.85 zª. Cz sto warunki oprocentowania z kapitalizacj podokresow z cz stotliwo±ci kapitalizacji k razy w roku mog by podane przy u»yciu tak zwanej rocznej stopy nominalnej r k (a nie podokresowej i k ). W tym wypadku podawana roczna stopa nominalna r k jest deniowana jako stopa proporcjonalna do stopy podokresowej, dokªadniej r k := k i k. Kapitaª po upªywie m k okresów przy powy»szych warunkach oprocentowania i przy kapitale pocz tkowym K 0 b dzie wynosi K mk = K 0 ( 1 + r kk ) mk, albo, je±li zamiast czasu wyra»onego w liczbie podokresów u»yjemy odpowiadaj cego mu czasu wyra»onego w n latach, K n = K 0 ( 1 + r kk ) nk. Warto równie» zwróci uwag,»e o ile stopa podokresowa wyra»aªa procent o jaki wzro±nie nas kapitaª w ci gu jednego okresu kapitalizacji, to stopa roczna nominalna ju» takiej Aktualizacja: 9 czerwca 2011 24
Rozdziaª 4. Procent skªadany wªasno±ci nie posiada (chyba,»e podokres jest równy 1 rok co, cho formalnie poprawne, podwa»a praktyczny sens u»ycia okre±lenia podokres). U»ywaj c rocznej stopy nominalnej mo»na wprowadzi jeszcze jeden wspóªczynnik mierz cy szybko± wzrostu kapitaªu. Przy poprzednich oznaczeniach zbadajmy iloraz warto±ci kapitaªu po dwóch nast puj cych po sobie latach K n+1 = K ( ) 0 1 + r kk nk+k ( ( ) K n K 0 1 + r kk nk = 1 + r ) k k. k Wspóªczynnik ten oznaczany przez ρ k nie zale»y od n i zwany jest rocznym czynnikiem oprocentowania. Informuje on ile razy zwi ksza si kapitaª po upªywie roku. Ma on nast puj c (do± jasn intuicyjnie wªasno± ) Wªasno± 4.1. Przy ustalonej rocznej stopie nominalnej roczny czynnik oprocentowania jest tym wi kszy (czyli kapitaª ro±nie tym szybciej), im krótszy jest okres kapitalizacji. 4.4. Kapitalizacja ci gªa Przypu± my,»e dana jest roczna stopa nominalna r c. Je±li zaªo»ymy,»e cz stotliwo± kapitalizacji k mo»e wzrasta nieograniczenie (czyli okres kapitalizacji staje si niesko«czenie maªy, dodatni), to przy zaªo»eniu,»e stopa r c jest niezmienna dostajemy,»e po n latach kapitaª K n, którego warto± pocz tkowa byªa K 0 b dzie wynosi ( K n = lim K 0 k 1 + r c k ) nk = lim k K 0 ( ( 1 + r ) k c rc k ) nrc = K 0 e rcn. (4.5) Zauwa»my,»e powy»szy wzór ma sens nie tylko dla n N, n mo»e by liczb rzeczywista dodatni, musimy tylko pami ta,»e odpowiada upªywowi czasu wyra»onego w jednostce 1 rok. Z tego powodu wygodniej b dzie dla oznaczania czasu u»ywa litery t. Zatem, w chwili t 0 warto± kapitaªu K(t) podlegaj cego oprocentowaniu ci gªemu (z kapitalizacj co niesko«czenie krótki czas) z roczn stop nominaln r c wynosi K(t) = K(0)e rct. (4.6) Je»eli zaªo»ymy,»e zamiast warto±ci kapitaªu pocz tkowego w chwili t = 0 znana jest warto± kapitaªu w chwili t = t 0, to jego warto± w dowolnej chwili t t 0 wynosi b dzie K(t) = K(t 0 )e rc(t t 0). (4.7) Wreszcie, je±li przyjmiemy r = e rc 1, to wzór (4.7) przyjmie posta K(t) = K(t 0 )(1 + r) (t t 0). (4.8) Wzory (4.5)-(4.8) opisuj wi c model oprocentowania skªadanego przy kapitalizacji ci gªej (co niesko«czenie krótki czas) zwany równie» modelem kapitalizacji ci gªej. Šatwo sprawdzi, podstawiaj c we wzorze (4.8) t = t 0 +1,»e r jest roczn stop efektywn, czyli w ci gu roku kapitaª pocz tkowy podlegaj cy modelowi (4.8) wzro±nie o dokªadnie r%. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 25
Rozdziaª 4. Procent skªadany Powy»szy model mo»na równie» wyprowadzi nast puj co. Przypu± my,»e kapitalizacja odbywa si co t lat ( t nie musi by wielko±ci caªkowit ). Wówczas, je±li w chwili t warto± kapitaªu wynosiªa K (t) oraz kapitalizacja nast pi w chwili t + t, to K (t + t) = K (t) + K (t) r c t st d K (t + t) K (t) = r c K (t). t Gdyby okres kapitalizacji byª niesko«czenie krótki, to czyli K (t + t) K (t) lim t 0 t = r c K (t) K (t) = r c K (t). (4.9) Rozwi zaniem powy»szego równania jest ka»da funkcja postaci, K (t) = ce rct, gdzie c jest dowoln staª. Zakªadaj c,»e w chwili pocz tkowej t = 0 warto± kapitaªu wynosiªa K 0 mamy,»e K 0 = c, sk d K (t) = K 0 e rct. Tak jak poprzednio musimy pami ta,»e powy»sze rozumowanie jest prawdziwe, je±li jednostk czasu t jest 1 rok. Równanie (4.9) mówi,»e przy kapitalizacji ci gªej pr dko± wzrostu kapitaªu w chwili t jest proporcjonalna do jego wielko±ci, za± wspóªczynnik tej proporcjonalno±ci interpretujemy jako roczn stop nominaln. 4.5. Równowa»no± stóp procentowych oprocentowania skªadanego. Zajmiemy si teraz problemem równowa»no±ci stóp procentowych w oprocentowaniu skªadanym. Przypomnijmy ogóln denicj stóp równowa»nych. Dwie stopy procentowe i k1 i i k2 s równowa»ne w czasie n, je±li przy tym samym kapitale pocz tkowym K 0 generuj w czasie n identyczne odsetki albo, co na jedno wychodzi generuj ten sam kapitaª ko«- cowy K n. Denicja ta, wprowadzona przez nas w rozdziale dotycz cym oprocentowania prostego obowi zuje bez wzgl du na rodzaj oprocentowania. Podamy analityczny warunek równowa»no±ci dwóch stóp procentowych. Zajmijmy si najpierw oprocentowaniem skªadanym z kapitalizacj dyskretn. Rozwa»my dwa modele oprocentowania skªadanego. W pierwszym mamy do czynienia z kapitalizacj k 1 razy w roku i stop podokresow i k1 (zwi zan z podokresem 1 k 1 ), w drugim z kapitalizacj k 2 razy w roku i stop podokresow i k2 (zwi zan z podokresem Aktualizacja: 9 czerwca 2011 26
Rozdziaª 4. Procent skªadany 1 k 2 ). Niech dany b dzie kapitaª pocz tkowy K 0 oraz czas n lat. Wówczas, stopy i k1 s równowa»ne wtedy i tylko wtedy, gdy i k2 oraz zatem K 0 (1 + i k1 ) nk 1 = K 0 (1 + i k2 ) nk 2 (1 + i k1 ) k 1 = (1 + i k2 ) k 2. Ta sama zale»no± przy u»yciu rocznych stóp nominalnych r k1 i r k2 proporcjonalnych do stóp i k1 i i k2 odpowiednio ma posta ( 1 + r k 1 k 1 ) k1 = ( 1 + r k 2 k 2 ) k2. Wreszcie, przy u»yciu rocznych czynników oprocentowuj cych ρ k1 i ρ k2 (odpowiadaj cych stopom r k1 i r k2 odpowiednio) dostajemy warunek równowa»no±ci w postaci ρ k1 = ρ k2. Oczywi±cie, z powy»szych wzorów wynika,»e równowa»no± stóp procentowych nie zale»y od kapitaªu pocz tkowego, ani czasu oprocentowania. Tym samym udowodnili±my Wªasno± 4.2. Niech i k1 oraz i k2 b d stopami podokresowymi i k1 oraz i k2 odpowiadaj cymi podokresom kapitalizacji k 1 i k 2, za± r k1, r k2 rocznymi stopami nominalnymi oraz ρ k1, ρ k2 rocznymi czynnikami oprocentowuj cymi odpowiadaj cymi stopom i k2, i k2 odpowiednio. Wówczas nast puj ce warunki s równowa»ne (1) stopy i k1 oraz i k2 s równowa»ne, (2) (1 + i k1 ) k 1 = (1 + i k2 ) k 2, ( ) (3) 1 + r k1 ( ) k 1 k 1 = 1 + r k2 k 2 k 2, (4) ρ k1 = ρ k2. Z powy»szej wªasno±ci ªatwo wynika,»e je»eli i k1 jest stop podokresow odpowiadaj c podokresowi kapitalizacji k 1, to równowa»na stopa podokresowa i k2 odpowiadaj ca podokresowi kapitalizacji k 2 wyra»a si wzorem i k2 = (1 + i k1 ) k 1 k 2 1. W szczególno±ci, stopa roczna (odpowiadaj ca okresowi kapitalizacji 1 raz w roku) równowa»na stopie i k odpowiadaj cej podokresowi k nazywana stop efektywn, jest oznaczana symbolem r ef i wynosi r ef = (1 + i k ) k 1 = ρ k 1, (4.10) gdzie ρ k oznacza roczny czynnik oprocentowania dla stopy podokresowej i k. Poniewa» roczny czynnik oprocentowania mierzy ile razy powi kszy si kapitaª w ci gu roku, to stopa efektywna informuje nas o ile procent powi kszy si ten kapitaª w ci gu roku. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 27
Rozdziaª 4. Procent skªadany Stopa podokresowa i k odpowiadaj ca okresowi kapitalizacji k równowa»na stopie efektywnej r ef wynosi natomiast i k = (1 + r ef ) 1 k 1. Wreszcie, je±li r k1 jest roczn stop nominaln odpowiadaj c podokresowi kapitalizacji k 1, to jak ªatwo sprawdzi, równowa»na roczna stopa nominalna r k2 odpowiadaj ca podokresowi kapitalizacji k 2 wyra»a si wzorem ( ) ( ) k1 r k2 = 1 + r k k 1 2 k 1 1 k 1. Je»eli teraz porównamy kapitalizacj ci gª przy rocznej stopie nominalnej r c z kapitalizacj k razy w roku i stop podokresow i k, to te dwie stopy s równowa»ne wtedy i tylko wtedy, gdy e rc = (1 + i k ) k. W szczególno±ci, stopa efektywna równowa»na stopie r c wynosi r ef = e rc 1 = ρ c 1. Na zako«czenie zajmiemy si problemem równowa»no±ci stóp procentowych przy oprocentowania skªadanym i prostym. Niech i k b dzie stop podokresow odpowiadaj c podokresowi k, za± r roczn stop procentow przy oprocentowaniu prostym. Wówczas, w my±l zasady równowa»no±ci stóp stopy s równowa»ne w okresie n lat wtedy i tylko wtedy, gdy (1 + i k ) nk = 1 + rn. Równowa»no± stóp oprocentowania prostego i zªo»onego zale»y wi c od okresu oprocentowania. Mo»na udowodni,»e je±li te dwie stopy s równowa»ne w okresie n, to nie s równowa»ne w»adnym innym okresie. 4.6. Stopa zmienna w czasie, stopa przeci tna. Przypu± my,»e kapitaª K 0 zostaª zªo»ony na n lat z kapitalizacj roczn, przy czym w kolejnych latach obowi zywaªy stopy r (i), i = 1, 2,..., n. Wtedy warto± kapitaªu w kolejnych latach wynosi K 1 = K 0 ( 1 + r (1) ), K 2 = K 0 ( 1 + r (1) ) ( 1 + r (2)), Indukcyjnie dowodzimy,»e warto± kapitaªu po n latach wynosi... K n = K 0 j i=1 ( 1 + r (i) ), (4.11) za± ª czne odsetki po n latach ( j ( I n = K ) ) 0 i=1 1 + r (i) 1. (4.12) Aktualizacja: 9 czerwca 2011 28
Rozdziaª 4. Procent skªadany Powy»sze wzory opisuj model oprocentowania skªadanego rocznego przy zmiennej stopie. Mo»emy wprowadzi dla tego modelu stop przeci tn (roczn ) r jako stop roczn, która wygeneruje po okresie n lat ten sam kapitaª K n, zatem sk d K 0 (1 + r) n = K 0 n i=1 ( 1 + r (i) ), r = n n j=1 (1 + r(i) ) 1. (4.13) Je±li oznaczymy przez ρ przeci tny roczny czynnik oprocentowuj cy odpowiadaj cy stopie przeci tnej, to ρ = r + 1 = n n j=1 (1 + r(i) ), mo»emy wi c powiedzie,»e przeci tny roczny czynnik oprocentowuj cy jest ±redni geometryczn rocznych czynników oprocentowuj cych w kolejnych latach okresu n lat. Uogólniaj c powy»sze wzory, je±li stopy i (j), j = 1, 2,..., m s stopami okresowymi (niekoniecznie rocznymi) w kolejnych okresach, to warto± ko«cowa kapitaªu pocz tkowego K 0 zªo»onego na czas m podokresów (z kapitalizacj na koniec ka»dego okresu) wynosi K m = K 0 m j=1 ( 1 + i (j) ), (4.14) za± stopa przeci tna w czasie m podokresów, zwana m okresow stop przeci tn, ī wynosi ī = m m j=1 (1 + i(j) ) 1. (4.15) Zauwa»my,»e wobec wzoru (4.14) m okresowy czynnik oprocentowuj cy ρ m (rozumiany jako wielko± o jak zmieni si kapitaª po upªywie m podokresów) wynosi ρ = m j=1 ( 1 + i (j) ), (4.16) natomiast m okresowa stopa efektywna r (czyli o jaki procent zmieni si kapitaª po upªywie m podokresów) wynosi r = ρ m 1 = m j=1 ( 1 + i (j) ) 1 (4.17) Rozwa»my teraz sytuacj, w której kapitaª K 0 zostaª zªo»ony na n lat z kapitalizacj ci gª, przy czym w kolejnych latach obowi zywaªy nominalne stopy nominalne r c (j), j = 1, 2,..., n. Wtedy kapitaª K n po n latach ma warto± K n = K 0 e r(1) c e r(2) c...r c (n) = K 0 e n j=1 r(j) c, za± roczna nominalna stopa ±rednia r c oprocentowania ci gªego speªnia warunek i wynosi e rcn = e n j=1 r(j) c, r c = 1 n n j=1 r(j) c, czyli jest ±redni arytmetyczn stóp r (j) c, j = 1, 2,..., n. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 29
Rozdziaª 4. Procent skªadany 4.7. Dyskontowanie skªadane. Zajmiemy si teraz operacj odwrotn do obliczania kapitaªu ko«cowego na podstawie kapitaªu pocz tkowego, który podlegaª oprocentowaniu skªadanemu, czyli operacj dyskontowania. Przypu± my,»e znamy warto± kapitaªu ko«cowego K n, który powstaª z kapitaªu pocz tkowego K 0 zdeponowanego na n lat przy oprocentowaniu skªadanym. Rozwa»my dwa przypadki: 1. Okres kapitalizacji wynosi rok i roczna stopa procentowa jest równa r. Wtedy z zale»no±ci K n = K 0 (1 + r) n dostajemy natychmiast,»e K 0 = K n (1 + r) n. 2. Kapitalizacja jest ci gªa z roczn stop r c. Wówczas K n = K 0 e rcn, sk d K 0 = e rcn K n. W obydwu przypadkach warto± dyskonta (czyli ró»nica mi dzy kapitaªem ko«cowym i pocz tkowym) jest równa warto±ci ª cznych odsetek od kapitaªu K 0. Czynniki 1 1+r oraz e rc nazywaj si rocznymi czynnikami dyskontuj cymi przy kapitalizacji rocznej i ci gªej odpowiednio. Jest to wspóªczynnik ν przez jaki trzeba pomno»y kapitaª na koniec dowolnego roku, aby otrzyma kapitaª na pocz tku tego roku tzn, K n = νk n+1, Obliczaj c roczn stop dyskontow d, czyli o ile procent trzeba zmniejszy kapitaª K n+1 na koniec dowolnego roku, aby otrzyma kapitaª K n na pocz tku tego roku mamy d = K n+1 K n K n+1 = 1 ν. Zatem, roczna stopa dyskontowa przy kapitalizacji rocznej ze stop roczn r wynosi d = 1 1 1 + r = r 1 + r, za± przy kapitalizacji ci gªej i stopie nominalnej r c d c = 1 e rc. Przy u»yciu czynnika dyskontuj cego kapitaª pocz tkowy K 0, który wygeneruje po n latach kapitaª ko«cowy K n wyra»a si wzorem a przy u»yciu rocznej stopy dyskontowej d : K 0 = ν n K n, K 0 = (1 d) n K n. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 30
Rozdziaª 4. Procent skªadany 4.8. Oprocentowanie a inacja. Mianem inacji okre±lamy zjawisko spadku siªy nabywczej kapitaªu, czyli ilo±ci dóbr (towarów i usªug), które mo»emy kupi za ten kapitaª. Miar inacji w ustalonym okresie czasu jest stopa procentowa inacji, która wyra»a procentowy wzrost cen towarów i usªug w tym okresie. Poniewa» inacyjny wzrost cen w danym okresie nakªada si na wzrost cen w poprzednim okresie, wi c model opisuj cy inacyjne zmiany cen jest modelem oprocentowania skªadanego ze zmiennymi w czasie stopami wyra»onego równaniem (4.11). Przypu± my,»e badamy inacyjne zmiany cen w m okresach. Niech: i (j) inf okresowa stopa inacji w okresie j = 1, 2,..., m, f inf m okresowa stopa inacji (równa procentowi o jaki wzrosn ceny ª cznie po upªywie m okresów), ī inf przeci tna w czasie m okresów stopa inacji. Zgodnie ze wzorami (4.16)-(4.17) mokresowy czynnik inacji 1 + i inf wynosi 1 + f inf = ( ) m j=1 1 + i (j) inf, czyli jest iloczynem czynników inacji z kolejnych okresów. Za± zgodnie z (4.15) przeci tna w czasie m podokresów stopa inacji wynosi ī inf = m 1 + f inf 1 = m m j=1 ( ) 1 + i (j) inf 1. (4.18) Bior c pod uwag wpªyw inacji na zmian warto±ci kapitaªu pocz tkowego K 0 po upªywie pewnego ustalonego okresu t nale»y rozró»ni jego wzrost nominalny np. zwi zany z faktem,»e kapitaª byª zdeponowany w banku, z jego wzrostem realnym zwi zanym z siª nabywcz tego kapitaªu. Zaªó»my,»e dana jest pewna stopa procentowa i nom zwana w tym kontek±cie stop nominaln. Wedªug tej stopy, po upªywie czasu t kapitaª ko«cowy b dzie wynosi K nom = K 0 (1 + i nom ). (4.19) Jednak warto± K real tego kapitaªu zwi zana z jego siª nabywcz b dzie tyle razy mniejsza ile razy wzrosªy ceny w tym okresie. Je±li wi c i inf oznacza stop inacji w tym okresie, to K real = K nom 1 + i nom = K 0. (4.20) 1 + i inf 1 + i inf Powy»sze rozwa»ania pozwalaj na formalne wprowadzenie poj warto± kapitaªu nominalnego i realnego. Warto±ci nominaln kapitaªu na koniec okresu dªugo±ci t przy danej stopie i nom nazywamy warto± okre±lon równo±ci (4.19), tzn. K nom := K 0 (1 + i nom ). Aktualizacja: 9 czerwca 2011 31
Rozdziaª 4. Procent skªadany Warto±ci realn kapitaªu na koniec okresu dªugo±ci t przy stopie inacji i inf nazywamy warto± okre±lon równo±ci (4.20) t.j. Stop realn nazywamy liczb Wobec (4.19)-(4.20) K real = K real := Knom 1+i inf. i real := 1 + i nom 1 + i inf 1. (4.21) K nom 1 + i inf = K 0 (1 + i nom ) 1 + i inf = K 0 (1 + i real ), czyli stopa i real jest w istocie stop procentow informuj c o ile procent zmienia si warto± realna kapitaªu w badanym okresie czasu t. Bezpo±rednio z (4.21) wynika,»e 1 + i nom = (1 + i real ) (1 + i inf ). (4.22) Powy»sza zale»no± nosi nazw wzoru Fishera. Mo»emy wi c powiedzie,»e czynnik nominalnego oprocentowania kapitaªu jest iloczynem czynnika realnego wzrostu kapitaªu i czynnika inacji. Ze wzoru Fishera wynika,»e oraz Mamy Wªasno± 4.3. i real = inom i inf 1+i inf (4.23) i inf = inom i real 1+i real. 1. Stopy nominalna jest równa stopie realnej jedynie przy zerowej inacji. 2. Je±li i inf > 0, to i real < i nom i inf. 3. Je±li i inf < 0, to i real > i nom i inf = i nom + i inf 4. i real > 0 i inf < i nom W okresach, w których stopa inacji jest ujemna mówimy o deacji, której miar jest stopa i inf. Wtedy wªasno± 4.3.3 mówi,»e przy deacji (o stopie mniejszej ni» 1) warto± realna jest wi ksza ni» stopa nominalna nawet powi kszona o stop deacji. Przykªad 4.3. Tegoroczne ±rodki przyznane uczelni na prace naukowo-badawcze s wy»sze do ubiegªorocznych o 22%. Jaki jest realny wzrost tego funduszy, je±li stopa inacji wynosi 13%? sk d Przykªad pokazuje sens wzoru Fishera. Mam oczywi±cie,»e 1 + r real = 1 + r nom 1 + r inf = 1.22 1.13 1.0796, r real = 7.96% Aktualizacja: 9 czerwca 2011 32
Rozdziaª 4. Procent skªadany Przykªad 4.4. Przewiduj c stop inacji 5% rocznie ustalono,»e spªata po»yczki 6500 zª wyniesie po dwóch latach 8000 zª. Obliczymy realn roczn stop oprocentowania po»yczki, je±li (a) poziom inacji b dzie zgodny z przewidywaniami, (b) w pierwszym roku inacja wyniesie 6%, a w drugim 9%. (Ad a) Obliczymy najpierw roczn stop nominaln r nom oprocentowania po»yczki. Poniewa» 8000 = 6500 (1 + r nom ) 2, wi c r nom = 8000 6500 1 10.94%. Korzystaj c ze wzoru Fishera albo bezpo±rednio z (4.23) r real = r nom r inf 1 + r inf = 0.1094 0.05 1 + 0.05 5.66%. (Ad b) Stopa inacji zmieniaªa si w ci gu caªego okresu dwóch lat. Mo»emy jednak obliczy stop przeci tn, która zgodnie z okre±leniem, wygenerowaªaby w okresie dwóch lat identyczny spadek warto±ci nominalnej kapitaªu. Zgodnie ze wzorem (4.18) r inf = (1 + 0.06) (1 + 0.09) 1 7.49%. r nom r inf 1 + r inf = 0.1094 0.0749 1 + 0.0749 3.21%. Powró my jeszcze do zale»no±ci mi dzy warto±ci realn kapitaªu i jego warto±ci nominaln. Wobec okre±lenia warto±ci realnej K real = K ( ) ( nom 1 + iinf i inf = K nom = K nom 1 i ) inf. 1 + i inf 1 + i inf 1 + i inf Obliczenie kapitaªu realnego na podstawie kapitaªu realnego przypomina wi c operacj dyskontowania ze stop d inf := i inf. 1 + i inf Aktualizacja: 9 czerwca 2011 33
Rozdziaª 5 Warto± kapitaªu w czasie 5.1. Model warto±ci kapitaªu w czasie. Jest rzecz jasn,»e warto± kapitaªu jest wielko±ci zmienn w czasie. Ta sama kwota pieni dzy posiadana 10 lat temu dzi± stanowi zupeªnie inn warto±. W matematyce - nansowej za aktualn warto± kapitaªu rozumie si jego warto± w chwili obecnej present value (PV). Dla oznaczenia przyszªej warto±ci kapitaªu u»ywa si skrótu FV future value. Oczywi±cie dla obliczenia przyszªej warto±ci kapitaªu na podstawie warto±ci obecnej stosuje si model oprocentowania, natomiast dla obliczenia warto±ci obecnej na podstawie warto±ci przyszªej model dyskontowania. Rozwa»my nast puj cy Przykªad 5.1. N pocz tku roku pan Kowalski ma zdeponowane na lokacie rocznej oprocentowanej 6% w skali roku 100000 zª. Na koniec roku pan Kowalski otrzyma 40000 zª jako zapªat za pewn prac zlecon. Zauwa»my,»e 1. Pan Kowalski nie mo»e powiedzie,»e na koniec roku b dzie posiadaczem kwoty 140000 zª albowiem b dzie posiadaczem kwoty 40000 zª oraz 100000 zª powi kszonej o odsetki: 100000 1.06 + 40000 = 1460000. 2. W chwili obecnej pan Kowalski nie mo»e (na ogóª) uwa»a si za posiadacza kwoty 140000 zª. Gdyby chciaª za t kwot kupi samochód, to nawet likwiduj c lokat musiaªby wzi kredyt na pozostaª kwot. W sytuacji, gdyby otrzymaª kredyt do ko«ca roku musiaªby go spªaci wraz z odsetkami, czyli w kwocie przekraczaj cej 40000zª. Powy»szy przykªad pokazuje,»e aby analizowa warto± kapitaªu potrzebne jest u»ycie jakiego± mechanizmu rachunkowego przeliczaj cego jego warto± na wskazan chwil czasu. Oczywi±cie takim mechanizmem jest oprocentowania i dyskontowanie. Na ogóª do przeliczania warto±ci kapitaªu w czasie u»ywa si modelu zwi zanego z procentem (dyskontem) skªadanym. Niech R t K (t) b dzie funkcj modeluj c warto± kapitaªu w czasie (t oznacza czas mierzony w latach). Przypu± my,»e znana jest jego warto± K (t 0 ) w chwili t 0. Zastosujemy model wykªadniczy oprocentowania czyli model kapitalizacji ci gªej. Zaªó»my, 34
Rozdziaª 5. Warto± kapitaªu w czasie»e kapitaª podlega oprocentowaniu skªadanemu ze stop efektywn r > 0. Wobec (4.8) mamy dla t t 0 K (t) = K (t 0 ) (1 + r) t t 0, gdy» kapitaª podlega oprocentowaniu. Aby obliczy warto± kapitaªu dla t < t 0 musimy zauwa»y,»e zgodnie z modelem wykªadniczym sk d K (t 0 ) = K (t) (1 + r) t 0 t, K (t) = K (t 0 ) (1 + r) t t 0. Zatem, modelem zmiany warto±ci kapitaªu w czasie jest funkcja K (t) = K (t 0 ) (1 + r) t t 0, t R. (5.1) Oczywi±cie w przypadku, gdy kapitaª podlega oprocentowaniu skªadanemu z kapitalizacj okresow powy»szy funkcja uci gla dyskretne zmiany warto±ci kapitaªu. Wtedy warto±ci argumentu t powinny by dyskretne, zwi zane z dªugo±ci okresu kapitalizacji (pami tajmy,»e w ka»dym wypadku t wyra»a czas mierzony w latach). Za pomoc rocznej stopy nominalnej r c (speªniaj cej warunek (1 + r = e rc ) model (5.1) mo»e by wyra»ony jako K (t) = K (t 0 ) e rc(t t 0). Zwró my te» uwag,»e we wzorze (5.1) wybór chwili t 0 jest arbitralny t 0 mo»na zast pi dowolnie inn chwil t 1. Wtedy K (t 1 ) = K (t 0 ) (1 + r) t 1 t 0 oraz K (t) = K (t 0 ) (1 + r) t t 0+t 1 t 1 = K (t 0 ) (1 + r) t 1 t 0 (1 + r) t t 1 = K (t 1 ) (1 + r) t t 1. Kolejn istotn cech modelu (5.1) jest jego addytywno±. To znaczy, je±li kapitaª K podlegaj cy modelowi (5.1) jest sum kapitaªów K 1,... K m, tzn. K (t) = m K j (t), j=1 to ka»dy z kapitaªów K j zmienia sw warto± wedªug tego samego modelu tzn. K (t) = K (t 0 ) (1 + r) t t 0 = (1 + r) t t 0 m K j (t 0 ) = j=1 m K j (t 0 ) (1 + r) t t 0. j=1 Przykªad 5.2. Przypu± my,»e koszt produkcji towaru A wytwarzanego przez rm B przypadaj cy na jednostk czasu w chwili t wynosi c (t) (jest to tzw. strumie«kosztów produkcji wyra»ony w jednostkach monetarnych dzielonych przez czas; mo»na t wielko± uto»samia z pr dko±ci zmiany kosztów produkcji). Przypu± my,»e nie uwzgl dniamy zmiany warto±ci pieni dza w czasie. W tej sytuacji dla maªego przyrostu czasu t o chwili t do chwili t + t mo»na przyj,»e koszt produkcji nie zmienia si w tym przedziale czasowym i w konsekwencji wynosi c ( t) t. Post puj c jak przy konstrukcji caªki w sensie Riemanna dostajemy,»e caªkowity koszt produkcji w czasie od t 0 = 0 do chwili t = T wynosi T 0 c (t) dt. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 35