S k = R 1 q k + R 2 q k R k 1 q 2 + R k q.

Transkrypt

1 Matematyka nansowa - 5. Strumienie pªatno±ci: renty I. Motywacja, oznaczenia, zaªo»enia Rent cz sto nazywa si dowolny strumie«pªatno±ci. Jednak dla nas rent b dzie strumie«pªatno±ci polegaj cy na wypªacaniu pewnych sum (rat) z wcze±niej uzbieranych ±rodków lub na podstawie umowy. Prostymi przykªadami rent s comiesi czne wypªaty wynagrodzenia, czy emerytury, typowa renta z posiadanego kapitaªu, dywidendy z posiadania akcji, kupony z tytuªu posiadania obligacji. W zadaniach zwi zanych z rentami istotne b d nast puj ce wielko±ci i oznaczenia: Stopa procentowa r z podanym okresem kapitalizacji OK i okresem stopy OS. Jak zwykle, zakªadamy przy dalszych wzorach,»e OS = OK. Je±li tak nie jest, zaczynamy zadanie od uzgodnienia stopy za pomoc stopy wzgl dnej. Okres pªatno±ci OP jest to odst p czasowy pomi dzy kolejnymi wpªatami. Jest to domy±lna jednostka czasu w takim zadaniu (przyjmujemy OP = 1). N - liczba pªatno±ci. Przez R i oznaczamy wysoko± i-tej raty renty. Je±li wszystkie raty s równe, oznaczamy ich wysoko± przez R. Przez S i oznaczamy warto± renty po zako«czeniu i-tego okresu pªatno±ci, zaktualizowan na moment i. Doprecyzujmy ostatni punkt: S i to warto± kapitaªu zawartego we wszystkich pªatno- ±ciach do ko«ca i-tego okresu pªatno±ci, zaktualizowana na koniec i-tego okresu pªatno- ±ci. Jest równa ona sumie zaktualizowanych na ten moment warto±ci wszystkich rat renty wpªaconych do tego momentu. Jak przy wpªatach, musimy ustali dodatkowe zaªo»enia dotycz ce sposobu dokonywania wypªat rent. Mog by one dokonywane: z doªu, czyli na ko«cu ka»dego okresu pªatno±ci, czyli w momentach 1, 2,..., N 1, N. Tak sytuacj oznaczaj podkre±lenia danych zmiennych i oznacze«np. S k. Jest to domy±lny sposób dokonywania pªatno±ci w strumieniu nansowym tj. je±li w zadaniu nie jest nic innego napisane, to zakªadamy,»e pªatno±ci s z doªu. z góry, czyli na pocz tku ka»dego okresu pªatno±ci, czyli w momentach 0, 1, 2,..., N 1. Tak sytuacj oznaczaj kreski nad danymi zmiennymi i oznaczeniami np. S k. Przy okazji wpªat analizowali±my ró»ne modele kapitalizacji wkªadów: zªo»ony, prosty i polski. Dokªadnie tak samo mo»na analizowa te modele w sytuacji rent. Jednak»e, z powodów wyja±nionych wcze±niej, model zªo»ony jest najbardziej sensownym modelem wyceny w przygniataj cej wi kszo±ci sytuacji, wi c od tej pory tylko ten model b dziemy analizowa - zarówno w tej cz ±ci wykªadu, jak i w kolejnych. II. Renta czasowa - wzory Tak jak przy wkªadach, zakªadamy,»e wypªaty rat dokonywane s okresowo co okres OP, z doªu, przy zªo»onym modelu kapitalizacji w podokresach, stopie procentowej r o OK = OS (je±li by tak nie byªo, zadanie zaczniemy od uzgodnienia okresu stopy za pomoc stopy wzgl dnej). W tym modelu, pierwszym krokiem jest uzgodnienie OK i OP przez zmian dªugo±ci okresu kapitalizacji stopy r. By móc to uczyni zmieniamy stop r na stop r ef, tak,»e OS ef = OK ef = OP, takim samym wzorem jak zwykle. We wzorach b dziemy cz ±ciej u»ywa czynnika akumulacji q = 1 + r ef. Zauwa»my,»e wszystkie zaªo»enia s dokªadnie takie jak w modelu wkªadów okresowych: jedyn ró»nic jest notacja R i zamiast W i oraz kierunek przepªywu kapitaªu. Zatem otrzymane wzory musz by takie same, jak wzory otrzymane w wypadku wkªadów. W szczególno±ci, je±li zaªo»ymy,»e wysoko±ci rat s dowolne (R 1, W 2,..., W N ), w momentach 1, 2,..., N, to: S k = R 1 q k 1 + R 2 q k R k 1 q + R k. S k = R 1 q k + R 2 q k R k 1 q 2 + R k q. 1

2 2 Przy najcz stszym zaªo»eniu,»e wszystkie raty s równe (R 1 = R 2 =... = R N = R), mamy: Twierdzenie 1 (Renta, raty z doªu). Twierdzenie 2 (Renta, raty z góry). S k = R qk 1 q 1. S k = Rq qk 1 q 1. Mo»emy oblicza warto± aktualn renty, zgodnie ze wzorem: Twierdzenie 3 (Warto± aktualna renty). P V = S N q N. S N oczywi±cie oznacza S N lub S N, w zale»no±ci od kontekstu. B dzie to kluczowy wzór w wielu zagadnieniach zwi zanych z rent. P V mo»e by cen, jak inwestor jest gotów zapªaci za pozyskanie danej renty, je±li szuka stopy zwrotu r ef na okres pªatno±ci lub te» kapitaªem pocz tkowym, z którego jest wypªacana renta i który ma wystarczy na caªy czas jej trwania, je±li jest inwestowany wedªug warunków oprocentowania. III. Renta wieczysta Rent o sko«czonej liczbie rat nazywamy rent czasow. Mo»liwa te» jest próba zaplanowania tzw. renty wieczystej, czyli renty o niesko«czonej liczbie rat. Na przykªad w ten sposób mo»na zaplanowa sobie wypªaty emerytury, bez zakªadania dªugo±ci»ycia na tej emeryturze. Taki format mog te» przybra wypªaty z niektórych inwestycji (np. obligacji wieczystych, zwanych konsolami), a tak»e przydaje si on przy fundamentalnej wycenie akcji. Dla ustalenia uwagi, bez utraty ogólno±ci, zakªadamy,»e mamy zawsze do czynienia z tzw. rent pewn - czyli wypªacan niezale»nie od tego, czy odbiorca»yje i od jakichkolwiek innych okoliczno±ci. Spróbujmy wyceni warto± tera¹niejsz renty wieczystej P V lub, w innej interpretacji, wielko± kapitaªu K z której mo»na j wypªaca. Zaªó»my,»e rata takiej renty wynosi R w, renta jest wypªacana z doªu i obowi zuje stopa procentowa r, taka,»e OS = OK = OP (w innym wypadku u»ywamy stopy wzgl dnej i efektywnej tak, by dopasowa te okresy), a q = 1 + r. Otrzymujemy nast puj ce wzory na warto± kapitaªu K potrzebnego do wypªaty renty wieczystej w wysoko±ci R w : Twierdzenie 4 (Renta wieczysta, raty z doªu). K = R w r. Twierdzenie 5 (Renta wieczysta, raty z góry). K = R wq r. Te wzory ªatwo przeksztaªci tak, by otrzyma wzory na maksymaln mo»liw rent wieczyst wypªacan z kapitaªu K: Twierdzenie 6 (Maksymalna renta wieczysta z doªu). R w = Kr. Twierdzenie 7 (Maksymalna renta wieczysta z góry). R w = Kr q.

3 Co ciekawe, do wzoru na maksymaln rent wieczyst z doªu mo»na doj± bez przeksztaªce«matematycznych, a czysto logicznie: otó», Kr s to odsetki, które gromadz si na naszej inwestycji w trakcie pierwszego okresu pªatno±ci. Je±li wypªacamy kwot nie wi ksz ni» Kr, to kapitaªu wyj±ciowego nie ubywa, wi c mo»emy takie kwoty wypªaca w niesko«czono±. Je±li za± wypªacamy wi cej, to kapitaª startowy si zmniejsza, wi c coraz mniejsze s od niego odsetki i coraz wi kszy jest z ka»d rat ubytek kapitaªu, który stopniowo maleje do zera. Dlatego Kr jest to maksymalna wysoko± renty wieczystej z doªu. Analogiczn analiz z dodatkiem przesuni cia w czasie mo»na przeprowadzi dla renty wieczystej z góry. Wspomn jeszcze,»e w niektórych ¹ródªach rent czasow nazywa si annuitetem, a wieczyst perpetuitetem. Nie wymagam znajomo±ci tego nazewnictwa. IV. Renta geometryczna Wyobra¹my sobie,»e kto± oblicza kapitaª potrzebny mu do przej±cia na emerytur. Kapitaª potrzebny mu na emeryturze w jednostce czasu OP szacuje na R. Jednak»e, nie chce wypªaca kolejnych rat emerytury w staªej wysoko±ci: potrzebuje uwzgl dni inacj, wynosz c i w czasie OP. Dlatego ka»da kolejna rata musi by 1 + i = a razy wi ksza. W ten sposób kolejne raty emerytury ukªadaj si w ci g geometryczny: R, Ra, Ra 2,.... Jakiego wzoru mo»na u»y do oszacowania wielko±ci potrzebnego kapitaªu? Zaªó»my,»e pierwsza rata wynosi R i przewidziane jest N rat. Wtedy: Twierdzenie 8 (Renta geometryczna z doªu). {R qk a k S k =, q a; q a krq k 1, q = a. Twierdzenie 9 (Renta geometryczna z góry). {Rq qk a k S k =, q a; q a krq k, q = a. Wszelkie inne obliczenia (np. obliczanie warto±ci aktualnej) prowadzimy dokªadnie tak samo jak dla renty staªej. Zauwa»my,»e renta staªa te» jest rent geometryczn, ale dla ilorazu a = 1. Wzory po podstawieniu a = 1 si zgadzaj, wi c tak naprawd wystarczy zna wzory na rent geometryczn i wzory na rent staª wynikaj z nich natychmiast. V. Zako«czenie renty czasowej W porównaniu z zadaniami z wkªadów oszcz dno±ciowych, w zadaniach z rent czasowych mo»e pojawi si nowy problem - czas i sposób wymuszonego zako«czenia wypªat. O ile wpªaca kapitaª na jaki± program oszcz dno±ciowy mo»na potencjalnie w niesko«czono±, to wypªaca mo»na tylko wtedy, gdy jaki± kapitaª do wypªacania nam zostaje. Rozwa-»amy zatem zadanie typu: przy danym modelu oprocentowania, na ile wypªat rent w wysoko±ci R wystarczy kapitaª K? Dodatkowo, maªo prawdopodobne, by wypªaty tej samej wysoko±ci DOKŠADNIE wyczerpaªy dany kapitaª, wi c powstaje pytanie - jakiej wysoko±ci b dzie ostatnia wypªata? Wyznaczenie liczby mo»liwych wypªat renty o danej wysoko±ci jest do± proste. Wystarczy zastosowa wynikaj ce z zale»no±ci K = S N q N : Twierdzenie 10. (Równanie ko«ca renty) Kq N = S N. Pechowo, to równanie jest do± podobne do równania na kapitaª uzbierany po N wpªatach: K = S N (ale od niego si ró»ni). Prawdopodobnie dlatego studenci cz sto je myl na sprawdzianach. Wystarczy jednak pami ta,»e równania ko«ca renty u»ywamy tylko w wypadku wypªaty rent i wszystko b dzie dobrze. No dobrze, u»yli±my równania ko«ca renty do obliczenia liczby rat i otrzymali±my wynik, który niemal na pewno nie jest caªkowity, np. 11, 7. Co on oznacza? Otó» w tym 3

4 4 przypadku wynik zaokr glamy w dóª, gdy» okazuje si,»e mo»emy np. wypªaci 11 rent danej wysoko±ci i jeszcze co± nam zostanie z kapitaªu, ale nie tyle, by wypªaci dwunast rent tej samej wysoko±ci. Czyli N w praktyce b dzie najwi ksz liczb caªkowit nie wi ksz ni» rozwi zanie równania ko«ca renty. Dygresja: w trakcie rozwi zywania równania ko«ca renty trzeba rozwi za równanie wykªadnicze. Mo»e to by niemo»liwe, gdy» wymagaªoby obliczenia logarytmu liczby ujemnej. Taka sytuacja oznacza,»e równanie to nie ma rozwi zania, wi c renta o danej wielko±ci jest wieczysta, nie czasowa! Zanim zastanowimy si, gdzie wliczy kapitaª pozostaªy po N okresach pªatno±ci (oznaczmy go przez K N ), policzymy, ile go zostaªo. Oczywi±cie, b dzie to kapitaª startowy zaktualizowany na moment N pomniejszony o zaktualizowan na moment N warto± renty: K N = Kq N S N. Gdy wyznaczyli±my ju» liczb rent staªej wysoko±ci, mo»emy zdecydowa, co si dzieje z reszt kapitaªu. S dwie mo»liwo±ci post powania: ostatnia rata zwi kszona - pozostaj cy po ostatniej racie kapitaª doliczamy do ostatniej raty, która dzi ki temu b dzie wi ksza ni» R. Ostatni rat jest rata numer N. ostatnia rata zmniejszana - z pozostaj cego po ostatniej regularnej racie kapitaªu tworzymy dodatkow rat. Oczywi±cie jest ona mniejsza ni» R. Ostatni rat jest rata numer N + 1. Konkretne obliczanie wysoko±ci ostatniej raty zale»y od tego, czy raty s spªacane z doªu, czy z góry. Zaªó»my,»e raty s spªacane z doªu i ostatnia rata ma by zwi kszona. W takim wypadku ostatnia rata to rata numer N, a ta rata jest pªacona w momencie N. Dlatego wystarczy do niej doliczy kapitaª warto±ci K N : R N = R + K N Zaªó»my,»e raty s spªacane z doªu i ostatnia rata ma by zmniejszona. W takim wypadku ostatnia rata to rata numer N + 1, a ta rata jest pªacona w momencie N + 1. Dlatego jest ona równa warto±ci K N przesuni tej o jeden okres do przodu: R N+1 = K N q. Zaªó»my,»e raty s spªacane z góry i ostatnia rata ma by zwi kszona. W takim wypadku ostatnia rata to rata numer N, a ta rata jest pªacona w momencie N 1. Dlatego trzeba do jej zwykªej wysoko±ci R doliczy pozostaj cy kapitaª warto±ci K N cofni ty w czasie o jeden okres (bo K N znajduje si w momencie N): R N = R + K N q 1 Zaªó»my,»e raty s spªacane z góry i ostatnia rata ma by zmniejszona. W takim wypadku ostatnia rata to rata numer N + 1, a ta rata jest pªacona w momencie N. Dlatego jest ona po prostu równa pozostaj cemu kapitaªowi warto±ci K N : R N+1 = K N VI. Stopa zwrotu renty jako inwestycji Zaªó»my,»e w zagadnieniu zwi zanym z rent zachodzi OS = OK = OP. Czym wªa±ciwie w takim zadaniu jest r? Mo»na rozwa»a r jako stop zwrotu inwestycji (o okresie bazowym OP ), na któr wpªacili±my kapitaª pocz tkowy K, i dzi ki temu mo»emy wypªaca z tego kapitaªu z odsetkami rent o zadanej wysoko±ci. Jednak»e, zrozumieniu lepiej sªu»y inna interpretacja: r jest IRR inwestycji (o okresie OP ), w której inwestor musi wpªaci P V renty dzi± by uzyska prawa do przychodów w wysoko±ci kolejnych rat renty w momentach, kiedy te raty s wypªacane.

5 Dlatego zadania dotycz ce obliczania kapitaªu wyj±ciowego renty mo»emy traktowa jako poszukiwania ceny, któr inwestor byªby skªonny zapªaci za dan rent, je±li wymaga stopy zwrotu r ze swojej inwestycji. B dziemy u»ywa takiej interpretacji przy wycenie instrumentów nansowych daj cych prawo do renty (obligacji kuponowych, akcji daj - cych prawo do dywidend). Z drugiej strony, próba obliczenia r (czyli IRR) z pozostaªych danych w równaniach renty prowadzi do tych samych problemów, co obliczanie IRR w innych sytuacjach - w szczególno±ci konieczno±ci rozwi zywania równa«wielomianowych n-tego stopnia. Wyj tkiem s renty wieczyste o staªej wysoko±ci, dla których IRR przy zadanej cenie i wysoko±ci raty jest ªatwe do obliczenia. 5