Kilka spraw praktycz-

Kilka spraw praktycz- MES2 2 nych Część I Uproszczenia, cd. Symetria konstrukcji Zasada nr. Uwzględniamy symetrię rakz -displ. y-displ.=z-displ. z z y y z y rak z-displ. rak z-displ. W tym przypadku wystarczy przeprowadzić obliczenia dla /8 konstrukcji. W wielu programach MES można określić warunki brzegowe w dodatkowym układzie współrzędnych. W programach zaawansowanych również używamy constrains ograniczeń na przemieszczenia. Symetria cykliczna, wykrzywione granice części W tym przypadku warunek brzegowy przemieszczenia na wszystkich liniach podziału konstrukcji na symetryczne części są jednakowe (po obróceniu o 360/N stopni) Antysymetria obciążenia /2 rak obrotu Przy obciążeniu symetrycznym wszystkie wyniki dla drugiej połowy konstrukcji są lustrzanym odbiciem tych dla pierwszej połowy. Przy obciążeniu antysymetrycznym, wyniki dla drugiej połowy = (wyniki dla pierwszej połowy) ( ) rak ugięcia Antysymetria w 2D

Symetryczna konstrukcja, niesymetryczne obciążenie /2 /2 /2 /2 = + Krok Podziel obciążenie na pół Krok 2 Przyłóż 2 połówki obciążenia symetrycznie. To będzie pierwszy schemat (symetryczny). Krok 3 Przyłóż 2 połówki obciążenia antysymetrycznie. To będzie schemat drugi. W sumie dają model wejściowy. Wnioski Każde niesymetryczne obciążenie, które działa na symetryczną konstrukcję można zastąpić sumą symetrycznego i antysymetrycznego obciążenia. To szczególnie opłaca się dla konstrukcji z dużą ilością osi lub płaszczyzn symetrii (koła zębate, turbiny, itp.). N razy mniejsza ilość węzłów = co najmniej N 3 szybsze obliczenia. Jeszcze jeden przykład Symetria 2/3 /2 /2 /3 /3 5/6 5/6 2/3 /2 Antysymetria /3 /3 /2 /6 /6 rak symetrii obciążenia, symetryczna konstrukcja 4.0.0 5-4-207 I.Rokach, 2005 207 2

Część II Elementy na sterydach niekompatybilne funkcje kształtu Nawet w przypadku braku symetrii obciążenia dobry program MES (np. ADINA) pozwala analizować tylko /N część symetrycznej konstrukcji. Przy pełnej symetrii rozwiązujemy układ równań N razy mniejszy od układu dla całej konstrukcji, w przypadku braku symetrii obciążenia dwa takie układy. Próba zginania elementu Q4 Stopień zawyżenia sztywności elementu - do osiągnięcia θ = θ 2 potrzebujemy M 2 = ( +ν ν + ( a ) ) 2 M 2 b a/b = 2 3 ν=0,2,46 2,7 4,79 ν=0,3,48 2,64 4,56 ZależnośćM 2 /M od a/b dla różnych wartościν Na czym polega problem Tradycyjne funkcje kształtu zapewniają ciągle pole przemieszczeń w całym modelu (na którym nam nie zbyt mocno zależy) ale jednocześnie produkują pole naprężeń (na którym nam bardzo zależy) ze skokami na granicach elementów Tradycyjne elementy liniowe sztucznie usztywniają model poddany zginaniu, bo nie są w stanie zamodelować zmiennych naprężeń (Nieco szatański) pomysł Dodać nowe bezwęzłowe kwadratowe funkcje kształtu do tradycyjnego elementu Q4. Koszt: przemieszczenia na granicach elementów już nie będą ciągle. Zysk: lepsze modelowanie zginania w ramach bardzo prostych i powszechnie używanych elementów Q4. Dlaczego po prostu nie użyć elementów kwadratowych? 4.0.0 5-4-207 I.Rokach, 2005 207 3

Elementy kwadratowe są bardziej kosztowne Zwykła zamiana liniowych funkcji kształtu na kwadratowe prowadzi do problemów na granicach elementów różnych typów Zadanie domowe A jak to będzie dla elementów trójkątnych: T3, T6 i T7? Elementy Q4 i Q8 nie są przyjaciółmi C C Pomysł na dodatkowe wewnętrzne funkcje kształtu Cztery standardowe poliliniowe funkcje kształtu uzupełniamy 2 funkcjami kwadratowymi, z których każda zanika tylko na 2 granicach elementu N 5 (ξ) = ξ 2, N 6 (η) = η 2 Nowe funkcji nie mają swoich węzłów, aproksymacja funkcji f(ξ, η) wewnątrz elementu ma postać f(ξ,η) 4 f i N i (ξ,η)+αn 5 (ξ)+βn 6 (η) i= przy czym, w odróżnieniu od f i, współczynniki α i β nie mają klarownego sensu fizycznego. Dlatego dodatkowe funkcje kształtu uważa się za niekompatybilne z pozostałymi. Przemieszczenia poza węzłami już nie są ciągle 4.0.0 5-4-207 I.Rokach, 2005 207 4

Elementy Q4/Q6 Elementy Q4 To samo jeszcze raz Widzimy, że element Q6 jest w stanie poprawnie modelować zginanie, ale kosztem powstawania szczelin pomiędzy elementami. Na tym właśnie polega niekompatybilność elementów Q6. Ale każdy program MES, w obawie o zdrowie psychiczne użytkownika szczeliny te dyskretnie ukrywa. Wpływ dodatkowych funkcji kształtu Cena obliczeniowa różnych elementów Zależność ilości węzłówn w od ilości elementów dla siatki zn n = n 2 elementów 4.0.0 5-4-207 I.Rokach, 2005 207 5

N w = (n+) 2 N w = (n+) 2 N w = (2n+) 2 n 2 N w = (2n+) 2 Q4,N w n 2 Q4/6,N w n 2 Q8, N w 3n 2 Q9, N w 4n 2 Wnioski Elementy Q4/6 nic nie kosztują, bo zmienneαiβsą kondensowane (element ten w zasadzie jest superelementem) Elementy Q4/6 zdecydowanie lepiej od tradycyjnych Q4 modelują naprężenia pochodzące od zginania We wszystkich programach komercyjnych praktycznie nie ma tradycyjnych elementów Q4, domyślnie zamiast nich używane są elementy typu Q4/6. Ale każdy producent programów MES wprowadza swoje elementy niekompatybilne. Dlatego różne programy dają różne wyniki dla tych samych siatek. Część III Ekstrapolacja Richardsona, albo jak pozbyć się błędów obliczeniowych nie będąc Papieżem Teoria w pigułce y(h) y(h/2) y(0) h/2 Ah/2 Niech y(0) jest dokładną wartością, y(h) i y(h/2) - wartości przybliżone i { y(h) = y(0)+ah y(h/2) = y(0)+ /2Ah { y(h) = y(0)+ah 2y(h/2) = 2y(0) + Ah Ah (2)-() y(0) = 2y(h/2) y(h) h Teoria w pigułce 2 y(h) y(h/2) y(0) h/2 A(h/2) 2 Niech y(0) jest dokładną wartością, y(h) i y(h/2) - wartości przybliżone i { Ah 2 y(h) = y(0)+ah 2 y(h/2) = y(0)+a(h/2) 2 (2)-() y(0) = 4y(h/2) y(h) h 3 { y(h) = y(0)+ah 2 4y(h/2) = 4y(0)+Ah 2 = y(h/2)+ y(h/2) y(h) 3 4y lepszych ygorsze y dokł 3 + + + = + + 4.0.0 5-4-207 I.Rokach, 2005 207 6

Realnie wszystko jest bardziej skomplikowane. Zwykle jest kilka źródeł błędu i pełny wzór na wartość przybliżoną ma postać y(h) = y(0)+ah+h 2 +Ch 3... przy czym mnożniki A,, C nie są stałymi lecz funkcjami h. Dlatego wzór Richardsona praktycznie nigdy nie pozwala otrzymać dokładnej wartości y(0). Ale w większości realnych sytuacji pozwala bardzo mocno poprawić wynik. Ekstrapolacja Richardsona, wzór ogólny W ogólnym przypadkuy(h) = y(0)+ah n y(0) = 2n y(h/2) y(h) 2 n Najczęściej używane wzory n Wzór Zastosowanie = y(h/2)+ y(h/2) y(h) 2 n y = 2y(h/2) y(h) MES: przemieszczenia u i w el. liniowych, naprężenia σ ij w el. kwadratowych 2 y = 4y(h/2) y(h) 3 MES: przemieszczenia u i w el. kwadratowych 4 y = 6y(h/2) y(h) 5 Całkowanie: metoda Gaussa 2-punktowa Zagadnienie do rozwiązania 5 Dane wejściowe Wymiary belki 5, przekrój kwadratowy, E = 333 /3 Amplituda rozłożonego obciążenia, siła wypadkowa = 2 /3 Rozwiązania teoretyczne Rozkład naprężeń stycznych σ yz jest stały dla wszystkich przekrojów i odpowiada kształtowi obciążenia Rozkład naprężeń normalnych w każdym przekroju jest liniowy. Amplituda σ yy rośnie od 0 na prawym końcu belki do 20 w zamocowaniu. Maksymalne ugięcie belki δ E = PL3 = (Euler-ernoulli), δ T = δ E + 3EI 2+ν P 0(+ν) Gbh,0295 (Timoszenko),δ 2D = δ E + 3+ν P,04 (płaski 2 Gbh stan naprężeń) Naprężenia σ yy Naprężenia σ yz 20 20 2 3 4 5 0.5 0 0 2 3 4 5 0.5 0.5 4.0.0 5-4-207 I.Rokach, 2005 207 7

Na czym polega wredność zagadnienia MES najgorzej radzi sobie z naprężeniami stycznymi. Tu na dodatek ich rozkład jest paraboliczny. To leży poza możliwościami aproksymacyjnymi elementów liniowych i kwadratowych. Rozkład naprężeń normalnych jest podwójnie liniowy. Elementy liniowe będą mieć problem z interpolacją tego kształtu. Jakie ES zostaną użyte. Elementy trójkątne: liniowy T3 (3-węzłowy) kwadratowe: T6 i T7 2. Elementy czworokątne: liniowy Q4 liniowy Q4/6, niekompatybilny kwadratowe: Q8 i Q9 Wyniki: ugięcie Ugięcie: element T3, schemat: N 0.4 0.3 0.2 0. Dokładność wyników dla siatki N dla elementów T3 jest wyjątkowo niska. Sztywność belki jest zawyżona 3- krotnie. 0 25 50 75 Stopnie swobody Ugięcie: schemat: N Teoria Timoszenki Teoria Eulera-ernoulliego 2D Element Q4 lepszy od T3, lecz gorszy od pozostałych Element Q4/6 najbardziej efektywny 0.8 0.6 0 25 50 75 00 25 Stopnie swobody Q4 Q4/6 Q8 Q9 T6 T7 Elementy T6 i T7 są nieznacznie gorsze od wszystkich elementów kwadratowych. iorąc pod uwagę łatwość generacji siatek trójkątnych, to jest bardzo pozytywny wynik. Wyniki dla Q8 i Q9 są porównywalne Ugięcie dla T3, inne podejście 4.0.0 5-4-207 I.Rokach, 2005 207 8

0.4 Ugięcie: element T3, schemat: N 0.3 0.2 0. Wykres we współrzędnych względnych pokazuje, że zbieżność przemieszczeń w przypadku elementu T3 jest liniową funkcją /n. Oznacza to, że dla znalezienia dokładnej wartości ugięcia można było zastosować ekstrapolację Richardsona dla n =. Ale nie tym razem. 0 0. 0.2 0.3 0.4 0.5 Względny krok siatki wzdłuż belki Ugięcie dla Q4, inne podejście Ugięcie: element Q4, schemat: N 0.75 0.5 Zbieżność przemieszczeń w przypadku elementu Q4 jest liniową funkcją h = /n. Ekstrapolacja liniowa (n = we wzorze Richardsona) tym razem pozwala znaleźć dokładniejsze rozwiązanie. Przykład: u(0,5) = u 2 = 0,288, u(0,25) = u 4 = 0,607 u = 2u 4 u 2 = 2 0,607 0,288 = 0,926 0.25 0 0. 0.2 0.3 0.4 0.5 Względny krok siatki wzdłuż belki Ugięcie dla Q4/6, inne podejście Ugięcie: element Q4/6: N.05 0.95 2D Teoria Timoszenki Zbieżność przemieszczeń w przypadku niekompatybilnego elementu Q4 jest liniową funkcją h = /n, ale tylko na samym początku. Szybko osiągamy stabilne rozwiązanie. Wzór Richardsona również działa: u(0,5) = u 2 = 0,963, u(0,25) = u 4 =,00 u = 2u 4 u 2 = 2,00 0,963 =,039 0 0. 0.2 0.3 0.4 0.5 Względny krok siatki wzdłuż belki Ugięcie dla elementów kwadratowych, inne podejście 4.0.0 5-4-207 I.Rokach, 2005 207 9

Ugięcie, elementy kwadratowe, schemat: N 0.9 2D Teoria Timoszenki Teoria Eulera-ernoulliego Q8 Q9 T6 T7 Zbieżność przemieszczeń w przypadku elementu kwadratowych jest kwadratową funkcją h = /n albo liniową funkcją h 2 = /n 2. Tu można było skorzystać z ekstrapolacji Richardsona dla n = 2. Przykład dla T6:u 2 = 0,803,u 4 = 0,972 u = /3(4u 4 u 2 ) = /3(4 0,972 0,803) =,028 0.8 0 0. 0.2 0.25 (Względny krok siatki wzdłuż belki) 2 Wnioski końcowe Każde zagadnienie zawsze rozwiązujemy kilkakrotnie: albo używając jakościowo różnych modeli, albo zagęszczając siatkę (najczęściej 2-krotnie) Możliwe są 2 scenariusze: albo przy zmianie modelu wynik zmienia się nieznacznie, albo zmiany są duże W pierwszym przypadku sprawdzamy co się dzieje z energią modelu i (jeżeli tam też nie ma zmian) zachowujemy najbardziej dokładny wynik. Który? O tym też może zadecydować energia lub częstotliwość własnych drgań W drugim przypadku można zastosować ekstrapolację Richardsona, żeby zobaczyć jak daleko jest do dokładnego rozwiązania. Literatura [] oeraeve Ir.P., Introduction to the inite Element Method (EM), Institut Gramme - Liege, 200. [2] ADINA Theory and Modeling Guide, ADINA R&D, Watertown, 202. Wykład został opracowany w LATEXe za pomocą klasy EAMER, graficznego pakietu PG/TikZ i pakietu do tworzenia wykresów PGPLOTS. Obliczenia wewnątrz dokumentu zostały przeprowadzone za pomocą EQC. 4.0.0 5-4-207 I.Rokach, 2005 207 0