MES 4. 1 Przykłady błędów MES. 2 Proces V&V. Weryfikacja i walidacja. Czy MES jest nieomylny?

Transkrypt

1 MES 4 błędu Zbieżność. Wskaźniki 1 Przykłady błędów MES Czy MES jest nieomylny? Katastrofa platformy Sleipner A Skutki: kompletne zniszczenie konstrukcji o wadzę 97K ton, trzęsienie ziemi (3 stopnie w skali Richtera), straty finansowe ok. 1G USD (w cenach 1991 roku). Przyczyna: zaniżenie wartości naprężeń stycznych w jednym z elementów konstrukcji o 47% w wyniku błędu w modelu MES. A jak z tą dokładnością jest teraz? Wyniki testów NAFEMS 2 Proces V&V. Weryfikacja i walidacja Czym są weryfikacja i walidacja? Uproszczona definicja Weryfikacja to proces porównania rozwiązania MES do dokładnego lub umownie dokładnego rozwiązania matematycznego. Umownie dokładnym nazywamy albo rozwiązanie ze znaną wysoką dokładnością, albo rozwiązanie, które przyjmuje się za dokładne w wyniku umowy (np. normy). Walidacja to proces porównania rozwiązania MES z danymi doświadczalnymi. Dokładna definicja: jest to proces sprawdzenia w jakim stopniu nasz model reprezentuje realny świat z punktu widzenia przyszłego zastosowania w praktyce. Czy jedno nie oznacza drugiego? 1. Pyt: Czy matematyczna poprawność modelu nie oznacza automatycznie zgodności z eksperymentem? Odp: Nie zawsze 2. Pyt: Czy zgodność z eksperymentem nie oznacza, że teoria jest poprawna? Odp: Nie zawsze Czy sam program MES jest sprawdzony? 1. Do sprawdzenia poprawności matematycznej (czyli weryfikacji) programów MES służą standardowe testy (ang. benchmark, dosłownie punkt odniesienia lub wzorzec ). Autorem większości testów jest NAFEMS (National Agency for Finite Element Methods and Standards brytyjska ale de facto międzynarodowa organizacja zajmująca się wprowadzeniem norm i zasad bezpiecznego używania MES w praktyce). 2. Ilość testów, którą jest w stanie zaliczyć program stanowi o jego wartości i wiarygodności. Kilka najbardziej sprawdzonych programów (nie SWS) na podstawie testów można używać w energetyce jądrowej. 3. Każda wersja SWS zawiera opis zaliczonych testów.

2 Walidacja główne przyczyny rozbieżności pomiędzy wynikami numerycznymi a doświadczalnymi W odróżnieniu od dokładnych wyników matematycznych, dane doświadczalne zawsze zawierają mniejsze lub większe błędy (np. pomiarowe). Dlatego ich zgodność z wynikami obliczeń w 100% jest zwykle niemożliwa. Geometria Stopień niepewności lub zagrożenia: mały. Źródła: odchyłki, błędy produkcyjne. Sposoby eliminacji: sprawdzenie możliwie dużej ilości niekorzystnych konfiguracji konstrukcji Materiał Stopień niepewności: od małego do dużego. Źródła: ograniczenia modeli konstytutywnych, technologia produkcji, starzenie się materiału, rozrzut statystyczny wyników badań. Sposoby eliminacji: używanie zaawansowanych modeli konstytutywnych, bardzo duża ilość obliczeń dla różnych parametrów materiałowych. Obciążenie Stopień niepewności: duży. Źródła: brak informacji o wszystkich możliwych scenariuszach eksploatacji konstrukcji. Sposoby eliminacji: w prostych sytuacjach próba oszacowania maksymalnego możliwego obciążenia, w skomplikowanych duża ilość obliczeń dla różnych wariantów obciążenia. Umocowanie i złącza Stopień niepewności: największy. Źródła: skomplikowana natura warunków kontaktu detali konstrukcji, brak możliwości stworzenia powtarzalnych warunków w złączach przy montażu, zużycie materiału w złączach. Sposoby eliminacji: metoda superelementów (w SWS nazywana "Tworzeniem podkonstrukcji"), duża ilość obliczeń dla różnych wariantów złącz. Prymitywna, ale skuteczna metoda ogólna Całą niepewność lub brak informacji na temat tych 4 parametrów ukrywamy we współczynnikach bezpieczeństwa Metody weryfikacji: badanie zbieżności Wynik Rozbieżność Zbieżność Zbieżność polega na uniezależnieniu wyniku od gęstości siatki. Siatka tylko narzędzie i nie może wpływać na wynik Rozbieżność naprężeń zwykle świadczy o istnieniu karbu Gęstość siatki (ilość węzłów) Często występuje zbieżność po jednemu parametru (np. przemieszczeniom) i rozbieżność po innemu (np. naprężeniom) Zbieżność nie zawsze oznacza osiągnięcie matematycznie dokładnego wyniku. Oznacza tylko to, że więcej z modelu niczego nie da się wycisnąć. Przykład: prędkość, którą osiąga Maluch po tuningu będzie niższą od maksymalnie możliwej dla samochodu w ogóle Pytania bez odpowiedzi Gdzie najlepiej zagęścić siatkę? Jaki jest poziom błędu dla obecnej siatki? Czy muszę dalej ją zagęszczać? 3 Wskaźniki błędu Łatwizna: błędy w miejscach przyłożenia siłowego obciążenia Wartości naprężeń na granicy badanego modelu zwykle są częściowo znane I.Rokach,

3 y p x Na ścianach bocznychσ xx = 0,τ xy = 0 Na górnej krawędzi też τ xy = 0. Pośrodku σ yy = p, na końcach σ yy = 0 Na dolnej krawędzi brak przyłożonych naprężeń. Nic konkretnego o dokładności rozwiązania nie da się powiedzieć. Można tylko zsumować reakcje. Zasada maksimum W zagadnieniach statycznych, przy braku obciążenia wewnątrz konstrukcji, ekstremalne wartości naprężeń są osiągane zawsze na granicach ciała. Ekstremalne wartości błędu obliczeniowego też. Realnie porównanie obciążenia i wartości naprężeń na granicach jest łatwe tylko jeżeli granicy modelu są równolegle do osi układu współrzędnych. Nie da się stosować tego podejścia dla obciążeń w postaci sił skupionych lub przemieszczeń. 3.1 Gdzie najlepiej liczyć naprężenia? Przybliżenie funkcji i jej pochodnej 1 Funkcja, sin(x) Aproksymacja Pochodna funkcji, cos(x) Pochodna łamanej Aproksymacja funkcji jest (czasami) dokładna tylko w węzłach Pochodna łamanej ma skoki. Przybliża pochodną funkcji bardzo niedokładnie i nie jednoznacznie (na granicach). Ale w 1 punkcie wewnątrz elementu (zwykle) mamy dokładną wartość pochodnej. Magiczne punkty znajdują się obok środku każdego z odcinków linii prostej (dla liniowej pochodnej dokładnie pośrodku) Przybliżenie funkcji i jej pochodnej 2 Funkcja, sin(x) Krótka historia tematu: 1. Barlow (1976) zauważył zjawisko doświadczalnie 2. Herrmann (1972) twierdzenie Pochodna funkcji, cos(x) Pochodne 2 paraboli Programy MES obliczają pochodne rozwiązania (np. odkształcenia, naprężenia) tylko w punktach całkowania numerycznego. W pozostałych punktach uśrednianie, interpolacja, itp. Krótkie podsumowanie I.Rokach,

4 W programach MES mamy dwa zasadniczo różniące się rodzaje wyników: 1. Wyniki węzłowe (ang. nodal results), np. przemieszczenia. Są obliczane w węzłach na podstawie rozwiązania układu równań równowagi. Mają najwyższą dokładność właśnie w węzłach, wewnątrz elementów błąd generalnie jest wyższy. 2. Wyniki elementowe (ang. elemental results), np. odkształcenia i naprężenia. Są wyznaczane poprzez różniczkowanie danych węzłowych. Mają najwyższą dokładność w punktach Barlowa. Dla najprostszych liniowych elementów, takich jak pręt 2-węzłowy, trójkąt 3-węzłowy lub czworościan 4- węzłowy w środku ciężkości. Na granicach elementów błąd jest największy (jest widoczny jako skoki). 3. Punkty Barlowa dla elementów w kształcie trójkąta (2D) lub czworościanu (3D), czyli używanych w SWS, nie są magiczne Każdy program MES oblicza wyniki węzłowe tylko w węzłach, a wyniki elementowe tylko w punktach Barlowa. Wyniki pokazywane na wykresach lub wyprowadzane do pliku np. wartości naprężeń w węzłach powstają po dodatkowym uśrednianiu, wygładzaniu, itp. Gdzie są te cudowne punkty w 2D? 3.2 Wskaźniki błędu Pojęcie wskaźniku błędu Max? Max? MES oblicza naprężenia tylko w punktach całkowania numerycznego. Wszytko reszta interpolacja. Błąd Skoki naprężeń na granicach elementów (wskutek interpolacji) pozwalają oszacować błąd obliczeń na tych granicach. W wielu programach wskaźnik błędu = skok naprężeń / maksymalna ich wartość. Po mnożeniu przez 100% można uważać, ze jest to błąd względny na tej granicy Podstawa wszystkich wskaźników musimy mieć dwa rozwiązania w jednym punkcie I.Rokach,

5 Uwagi praktyczne 1. Realnie wskaźnik błędu wyznacza się tylko dla wybranej komponenty naprężeń (np. σ xx lub naprężeń efektywnych). Praktyka pokazuje, że dla różnych komponent dokładność obliczeń jest różna. Najgorsze wyniki zwykle mamy dla naprężeń stycznych. Który z tych błędów musimy zminimalizować? Ten, który dotyczy naprężeń, na których nam zależy najbardziej: dla materiałów kruchych maksymalnych rozciągających, dla materiałów plastycznych naprężeń efektywnych. 2. SolidWorks Simulation postanowił obejść problem zależności wielkości wskaźniku błędu od wybranej komponenty naprężeń lub odkształceń przez porównanie energii odkształceń na granicach elementów. Zaletą tego rozwiązania jest uniwersalność (pozwala zlecić automatyczne zagęszczanie siatki programowi, wadą brak konkretnego przełożenia otrzymanej wartości wskaźnika błędu po energii na błąd po naprężeniom. SolidWorks Simulation, podejście praktyczne Uśrednianie elementowe Uśrednianie węzłowe Krok 1 Policz zagadnienie i wyświetl rozkład wybranych naprężeń (głównych lub efektywnych) elementowo i węzłowo. Pierwsza metoda zwykle daje wartości lekko zawyżone, druga wyraźnie zaniżone. Krok 2 Porównaj maksymalne wartości naprężeń w obydwu przypadkach. Jeżeli różnica jest większa 10%, zagęść siatkę i idź do kroku 1. Równolegle warto sprawdzić wartość błędu energii w interesującym nas obszarze. Czy to działa? /(x 2 +1) pochodna aproksymacja /(x 2 +1) pochodna aproksymacja /(x 2 +1) pochodna aproksymacja Wnioski 1. Bezmyślne zagęszczanie siatki w całej konstrukcji obniża błąd obliczeń w najbardziej obciążonych częściach bardzo powolnie I.Rokach,

6 2. Bardziej opłaca się zagęszczać siatkę lokalnie w okolicach stref z dużymi błędami. 3. Zagęszczenie siatki N razy powoduje N-krotny spadek błędu dla elementów liniowych i N 2 -krotny spadek błędu dla elementów kwadratowych (domyślne w SWS). 4. Jest to droga zabawa N-krotne zwiększenie ilości węzłów siatki skutkuje co najmniejn 3 -krotnym wydłużeniem czasu obliczeń. 5. Wskaźnik błędu pozwala nie tyle oszacować prawdziwą wartość błędu obliczeniowego, ile określić w jakich miejscach konstrukcji on jest stosunkowo większy. Dobrze zaprojektowana siatka (ostatni rys.) ma wszędzie mniej-więcej ten sam poziom błędu (np. poniżej 5%). Siatki z samoadaptacją przykład 1 Siatki z samoadaptacją przykład 2 W tym przykładzie (element turbiny) program działa wyjątkowo inteligentnie: zagęszcza siatkę w strefach wysokich naprężeń i robi ją rzadką w strefach naprężeń niskich lub stałych. Samoadaptacja w SWS 1. Samoadaptacja w SWS jest dostępna tylko w najprostszych przypadkach 2. Samoadaptacja typu h polega na zagęszczaniu siatki bez zmiany typu elementu 3. Samoadaptacja typu p polega zwiększeniu stopnia aproksymacji w elemencie (liniowa, kwadratowa, itp.) bez zagęszczania siatki I.Rokach,

7 4. Najbardziej efektywną jest metoda mieszana (nie jest dostępna w SWS), następną jest p-metoda Podsumowanie praktyczne Wszystkie wyniki analizy MES są wynikami przybliżonymi Najdokładniejsze wartości przemieszczeń są w węzłach, naprężeń w tzw. punktach Barlowa. Dla elementów dobrych (czworokąt, sześcian) pokrywają się oni z punktami całkowania numerycznego. Do uzyskania dobrego wyniku w SWS zaleca się rozwiązać zagadnienie na kilku siatkach o różnej gęstości oraz używając dwie metody wygładzania i porównać wyniki. Stabilizacja poziomu naprężeń i spadek różnicy pomiędzy nimi poniżej 10% (zwykle) świadczy o tym, że wynik jest w okolicach dokładnego rozwiązania. Do oceny (zwykle mało precyzyjnej) dokładności wyniku na jednej siatce służą wskaźniki błędu. W niektórych prostych sytuacjach SWS sam zapewnia zbieżność i wystarczającą dokładność wyniku używając procedurę samoadaptacji Wykład został opracowany w LATEXe za pomocą klasy BEAMER, graficznego pakietu PGF/TikZ i pakietu do tworzenia wykresów PGFPLOTS I.Rokach,