Elementy belkowe i. Brak źródeł koncentracji naprężeń (chyba, że jest możliwość ich uwzględnienia).

Transkrypt

1 MES1 11 powłokowe Elementy belkowe i Część I Elementy belkowe Kiedy używamy modeli belkowe? Elementy konstrukcyjne, w których jeden z wymiarów jest wielokrotnie (> 4 razy) większy od innych i zginanie lub skręcanie ma wpływ na rozkład naprężeń. Może być wykrzywiony. Brak źródeł koncentracji naprężeń (chyba, że jest możliwość ich uwzględnienia). Obciążenie nie jest przyłożone zbyt gęsto (np. odległość pomiędzy siłami skupionymi mniej niż 2 szerokości belki) albo zmienia swoją amplitudę zbyt gwałtownie. Modelowanie elementów konstrukcyjnych, wytrzymałość których albo nie jest zagrożona, albo nie ma dużego wpływu na wytrzymałość całej konstrukcji. Teoretycznie belki nie mogą być poddane rozciąganiu lub ściskaniu a pręty - zginaniu lub skręcaniu. W programach MES przestrzegana jest tylko druga zasada (element prętowy jest prawdziwym prętem), ale element belkowy łączy w sobie cechy belki i pręta i może być poddany dowolnemu obciążeniu. Uproszczenia dotyczące pola naprężeń Prawda W każdym przekroju prostopadłym do osi x obciążenie sprowadza się do momentu gnącego (zawsze), siły poprzecznej (nie zawsze) i siły osiowej (nie zawsze). Ściema Przekrój belki po obciążeniu pozostaje prostopadły do osi obojętnej (tylko przy braku siły poprzecznej). Ściema Naprężenia normalne w przekroju zmieniają się liniowo. Realnie to jest najprostsza aproksymacja, czasami dość dokładna, czasami (belki mocno wykrzywione) nie. Podobnie jak w przypadku pręta, tu my zakładamy, że podstawową współrzędną, od której zależy pole naprężeń w belce jest x (kierunek wzdłuż osi). Zależności (bardzo uproszczone) naprężeń od pozostałych współrzędnych są brane z teorii. F σ sr = o + M Wnioski praktyczne 1. Przestrzenny rozkład naprężeń normalnych w belce sprowadza się do 1 siły osiowejf o (podobnie jak w pręcie reprezentuje czyste rozciąganie) i 1 (2D) lub 2 (3D) momentów M (reprezentują odchylenie naprężeń od średniej wartości i powstałe wskutek tego zginanie).

2 2. Analogicznie 1 (2D) lub 2 (3D) siły poprzeczne i moment skrętny reprezentują sumę (dokładniej 3 różne całki po powierzchni przekroju) naprężeń stycznych. 3. Fundamentalna cecha belki sprowadzenie naprężeń w przekroju do momentu(ów) gnącego(ych), momentu skrętnego, siły osiowej i sił(y) poprzecznej(ych). Równanie równowagi dla belki zawiera tylko te składowe. Tylko je wyznacza program MES i wyznacza (dla sił i momentów skupionych w węzłach) dokładnie. Nie wszystko belkowate jest belką Belka Nie belka (a) (b) 1. W przypadku (b) jeden z wymiarów obiektu (grubość materiału) jest wyraźnie mniejszy od pozostałych. To podpada pod definicję powłoki. 2. W przypadku (b) prawie każde obciążenie wywoła zmianę kształtu przekroju i wyboczenie zamiast zginania Wypaczenie lub deplanacja (warping) przekroju przy skręcaniu Zjawisko to dotyczy tylko profili otwartych (ceownik, teownik, itp.), szczególnie cienkościennych. W wyniku jego kąt skrętu przekroju zmienia się nieliniowo wzdłuż osi belki. Rys z ADINA Theory and Modeling Guide-A Do uwzględnienia deplanacji element typu beam w programach MES zawiera dodatkowy stopnień swobody Nie dotyczy profili wypełnionych i zamkniętych Moment M pokazany na rysunku powodujący deplanację nazywa się bimomentem i ma nietypowy wymiar (w SI Nm 2 ) Połączenia belek Lista warunków, które muszą zadowalać połączenia belek (szczególnie cienkościennych) jest długa. Najważniejsze z nich: belki muszą mieć jednakową wysokość, przecinać się pod katem prostym, leżeć w jednej płaszczyźnie. Większość realnych konstrukcji nie spełnia tych warunków I.Rokach,

3 Teorii belek: teoria Eulera-Bernoulliego [18 stulecie] 1. Najstarsza i najprostsza teoria. Zakłada, że przekrój belki jest zawsze prostopadły do osi neutralnej 2. Wyznacza ugięcie belki tylko z momentu gnącego. Nie uwzględnia wpływu na ugięcie siły poprzecznej (odkształceń stycznych) 3. Teoria wewnętrznie sprzeczna: Pozwala wyznaczyć rozkład naprężeń stycznych, ale nie uwzględnia ich wpływu ani na ugięcie belki, ani na wykrzywienie przekroju. Realnie sprawdza się dla 1 /5 a/b 5,L/ max(a,b) > 10 a L b Teorii belek: teoria Timoshenki [pocz. 20 stulecia] x Ugięcie wg. teorii Eulera-Bernoulliego u EB x 3 Dodatek wg. teorii Timoshenki u T x 1. Najbardziej znana z nowoczesnych teorii. Zakłada, że przekrój belki nie musi być prostopadły do osi neutralnej 2. Zakłada stały poziom naprężeń stycznych na części powierzchni przekroju (jeżeliajest polem przekroju, to naka, gdziek < 1). Wzory dla przekroju (k 1 ) i kołowego (k 2 ): k 1 = 5 6 k 1 = 10(1+ν) 12+11ν k2 = 6(1+ν) 7+6ν Brak jedynej uniwersalnej metody na wyznaczanie k dla dowolnego przekroju. Dla przekrojów wypełnionych stałej wielkości czasem zaleca się wybierać k = 1. Dobre programy MES (np. Nastran a nawet SWS) mają elementy belkowe oparte o teorię Timoshenki. Gdzie to wszystko w SWS? PPM na nazwę części, Edytuj definicję, grupa Właściwości przekroju, współczynniki ścinania w kierunku 1 i 2. Kiedy i jaką teorię stosować? Różnica pomiędzy ugięciami: (teoria T)/(teoria E-B) Różnica pomiędzy teoriami, % nw W Względna długość belki n Teoria Timoshenki zawsze pozwala otrzymać większe wartości ugięcia, niż teoria Eulera-Bernulliego. Ale różnica dla belki wspornikowej o względnej długości 4 jest poniżej 5% I.Rokach,

4 Szkoła im. Chucka Norrisa reakcji Siła wypadkowa F 1/4 1/2 1/4 1/3F 1/3F 1/3F Źle 1/4F 1/2F 1/4F Lepiej 3/16F 10/16F 3/16F Dokładnie Droga lub trajektoria obciążenia (ang. load path) jest standardowym tematem dla pierwszych rozdziałów wielu zachodnich podręczników wytrzymałości. Ten konkretny przykład pochodzi z książki Jenkins C.H.M, Khanna S.K., Mechanics of Materials, Elsevier, Szkoła im. Chucka Norrisa naprężenia normalne 40kN 10kN kN Zakładamy, że naprężenia normalne działają tylko w półkach a ścianka teownika jest nieobciążona 2. W takim przypadku siły wypadkowe w pólkach będą400/100 = 4 razy większe od siły przyłożonej na końcu belki. 3. Zakładając równomierny rozkład naprężeń normalnych w przekrojach półek otrzymujemy σ n 40000/(10 50) = 80N/mm 2. Wartość dokładna σ max = 81.3N/mm 2, różnica < 2%. 4. Metoda działa również dla, Szkoła im. Chucka Norrisa naprężenia styczne Wzory wytrzymałości dla naprężeń stycznych (wzór Żurawskiego) są w miarę dokładne dla, przy czym tylko dla ale nie dla Naprężenia styczne mają znikomy wpływ na zginanie belek o względnej długości > 10. W niektórych konstrukcji (np. skrzydła samolotów) dominują krótkie belki obciążone przez ścinanie. τ = Q/A Q Przybliżony (nierealny) Dokładny,τ max = 3 /2τ r Przybliżony, τ max = 2τ r 1 Elementy belkowe w MES Co wyznacza MES, a co wynika z dodatkowych założeń Równania teorii belek zawierają tylko ugięcia, obroty przekroju, momenty i siły poprzeczne. Tylko je wyznacza MES, w niektórych programach nie da się uzyskać inne wyniki, np. naprężenia I.Rokach,

5 Podobnie jak w przypadku prętów naprężenia wyznaczamy po wprowadzeniu dodatkowych hipotez, dlatego nie warto traktować je jako żdzenne"wyniki analizy MES Dlaczego stopni swobody elementów belkowych zawierają obroty? A jak inaczej zamodelować np. skręcanie belki, czyli skręcanie jej osi (pojedynczej linii)? Dodatkowe stopnie swobody a zamocowanie y x Brak: x-, y-displ, z-rot Brak: y-displ 2 Dokładność elementów belkowych Siły i momenty zastępcze, węzłowe W elementach belkowych (tradycyjne dla MES) obciążenie rozłożone zastępujemy siłami i momentami skupionymi w węzłach Rysunek pochodzi z ADINA Theory and Modeling Guide (tmg-a_89.pdf), rozdział wynika z niego, że w szczególnym przypadku równomiernie rozłożonego obciążenia q 1 = q 2 = q i jednakowych elementów w każdym węźle wewnętrznym będzie dwa momenty skupionych o jednakowej amplitudzie ql 2 /12, ale różnych znakach. Dlatego na schemacie wyżej tylko w ostatnim węźle mamy przyłożony moment skupiony. Równanie osi neutralnej i niektóre jego rozwiązania EJ d4 u dx 4 = q(x) I.Rokach,

6 q(x) rozwiązanie 0 wielomian 3 stopnia stała wielomian 4 stopnia f-cja liniowa wielomian 5 stopnia Dobra nowina Funkcje kształtu zwykłego elementu belkowego są wielomianami 3 stopnia, czyli w nich zaszyto dokładne rozwiązanie zagadnienia dla modelu obciążonego tylko skupionymi siłami i/lub momentami. Przy rozciąganiu/ściskaniu element belkowy zachowuje się jak liniowy element prętowy. W złączach elementów belkowych pozostają ciągłymi przemieszczenia oraz ich 1 i 2 pochodne. Wnioski praktyczne 1. Element belkowy jest bardziej skomplikowanym (ale i znacznie dokładniejszym) niż element prętowy 2. Jeżeli na konstrukcję działa obciążenie, które można zastąpić siłami/momentami skupionymi, to rozwiązanie MES dla odpowiedniego modelu belkowego będzie identyczne z dokładnym rozwiązaniem z wytrzymałości i nie ma możliwości polepszenia go przez zagęszczanie siatki 3. Jeżeli na konstrukcję działa rozłożone obciążenie, to rozwiązanie MES w tej strefie dokładnym nie będzie, ale poprzez zagęszczanie siatki da się go polepszyć. 4. Jak dla prętów, w modelach belkowych występuję joint s hell. Skoki naprężeń nie koniecznie pozwalają na ocenę dokładności rozwiązania. To wszystko nie jest takie proste s r 1 s Moment (siła) dla której belki wyznaczany jest w węźle 1? Tu musimy wyciągać wyniki z lokalnych węzłów dla każdego elementu r r s M M Metoda używana przez niektóre programy MES do oceny dokładności rozwiązania (oparta o skoki naprężeń w węzłach) nie pracuje w przypadku połączenia belek (tak samo, jak dla prętów). Naprężenia w elementach belkowych Można zmusić program MES do obliczenia naprężeń w belkach, ale będą to naprężenia wyznaczone ze wzorów analitycznych ( obcych dla MES). W każdym razie będą to naprężenia wyznaczone w lokalnym układzie współrzędnych, powiązanych z osią belki I.Rokach,

7 Część II Płyty i powłoki Podstawowe definicje Płyta lub powłoka definicja 1. Obiekt, w którym jeden z wymiarów charakterystycznych jest wielokrotnie mniejszy od pozostałych 2. W obciążeniu dominuje zginanie (jeżeli wyłącznie rozciąganie płaski stan naprężeń, dominacja rozciągania membrana) Kiedy NIE używamy płyt/powłok Jeżeli zmiany grubości powłoki są gwałtowne Zmiany obciążenia wzdłuż powłoki są zbyt częste ( okres zmiany obciążenia jest porównywalny do grubości powłoki) Uwaga! Te same ograniczenia dotyczą belek. Nie zawsze możemy ich używać bez istotnej utraty dokładności. Rozwiązanie powtórna analiza lokalna (2D lub 3D) dla podejrzanego fragmentu konstrukcji. Jaka jest różnica pomiędzy płytą a powłoką? Najprostsza definicja Powierzchnia środkowa płyty zawsze jest płaska, powłoki wykrzywiona Jak duże ma być wykrzywienie, żeby płytę zastąpić powłoką? h Analogicznie jak w teorii belek przyjmuje się, że obiekt jest płytą, jeżeli R/h > 10 R Uwaga praktyczna Chociaż obliczenia zgodnie z teorią płyt są prostsze i trwają krócej, większość producentów programów MES zaleca zawsze używać elementy powłokowe (shell) zamiast elementów do modelowania płyt (plate) Teorii płyt/powłok Kirgoffa Prosta teoria, analog teorii Eulera-Bernoulliego. W SWS nazywana jest teorią cienkich powłok. Daje dobre wyniki dla powłok o względnej grubościh/l 1/20 Reissnera-Mindlina Analog teorii Timoszenki. W SWS nazywana jest teorią grubych powłok. Można używać dla powłok nie grubszychh/l 1 /10 Stare znajome: stopni swobody i prawdziwe wyniki MES Stopnie swobody W przypadku 3D każdy węzeł ma 5 lokalnych stopni swobody. Brak tylko obrotów wokół osi prostopadłej do płaszczyzny środkowej. "Prawdziwe"i "dodatkowe"wyniki Sytuacja jest identyczna do teorii belek: ugięcia, obroty przekroju, siły poprzeczne i momenty są "prawdziwe"(pochodzą z analizy MES), reszta wyników (np. naprężenia) wymaga dodatkowych hipotez I.Rokach,

8 Modelowanie ciał 3D za pomocą powłok: 2 podejścia T-ownik modelujemy za pomocą 2 powłok lub płyt Niestety oznacza to, że w pewnej strefie mamy podwójną ilość materiału (skutek zaniżenie naprężeń) Można zrobić to inaczej, ale wtedy musimy połączyć środkowe powierzchnie powłok albo za pomocą tzw. rigid links (więzi sztywnych), albo za pomocą glue mesh na odległość Model z trzech powłok wymaga 2 zbiorów więzi sztywnych lub dwukrotnego zdalnego sklejania siatek Wniosek Alternatywa: albo mamy nadmiar materiału, albo wprowadzamy dość sztuczne więzi stałe. Modelowanie powłokami (jak i całe życie) to nie bajka Czy jest optymalna metoda łączenia powłok? 1. Jedynej Standardowej Poprawnej Metody brak. Wszystko zależy od sytuacji oraz programu 2. W SWS od wersji 2016 najmniej pracochłonną metodą jest (ale nie zawsze) łączenie zdalne powierzchni środkowych. Femap/NX Nastran od lat wyraźnie preferuje tę operację 3. Najbardziej uniwersalną metodą jest używanie więzi stałych. Ale ma ona sporo wad. Część III Typy obciążenia Siła skupiona Analog w świecie rzeczywistym nie istnieje Jest wypadkową sił osiowych lub poprzecznych w przekroju konstrukcji Przykładamy do elementów prętowych, belkowych i powłokowych (z ograniczeniami). Nie używamy z elementami płaskimi i 3D (powodują powstanie nieskończonych naprężeń). Ręczne przyłożenie sił skupionych w pojedynczych węzłach konstrukcji 2D/3D jest możliwe. Lecz to będzie model jakiegoś obciążenia rozłożonego. Siła skupiona jest tak mocno uproszczonym modelem realnego obciążenia, że daje dobre wyniki tylko dla uproszczonych elementów skończonych (wszystkich z rodziny structural, ale nie płaskich i 3D). Moment gnący lub skręcający Istnieją tylko dla elementów, w których są stopni swobody typu rotation, tzn. belkowych i powłokowych (z ograniczeniami) Przy próbie przyłożenia do elementów, w których brak rotation mogą spowodować wyzerowanie wyznacznika macierzy sztywności I.Rokach,

9 Siła rozłożona wzdłuż linii Model belkowy Model powłokowy W rzeczywistym świecie nie istnieje Służy do modelowania rozłożonego obciążenia w modelach z elementami belkowymi lub powłokowymi Nie da się przyłożyć ten typ obciążenia do modelu płaskiego (problem z jednostkami) lub 3D (nieskończone naprężenia). Wnioski Jedynymi fizycznymi typami obciążenia są: ciśnienie, przemieszczenia przyłożone do powierzchni oraz siły objętościowe lub masowe (np. bezwładność, ciężar własny) Obciążenia występujące w elementach konstrukcyjnych (structural) są wypadkowymi realnego obciążenia. Próby przyłożenia takich obciążeń do modelu 3D zawszę kończą się niefizycznymi wynikami lub niepowodzeniem. Nie da się w sposób jednoznaczny zastąpić obciążenie zdefiniowane w modelu strukturalnym obciążeniem w modelu 2D/3D. Odwrotna operacja zawsze jest możliwa (kosztem utraty szczegółów). Wykład został opracowany w LATEXe za pomocą klasy BEAMER, graficznego pakietu PGF/TikZ i pakietu do tworzenia wykresów PGFPLOTS. Zanim wydrukujesz pomyśl o środowisku. Before printing think about environment I.Rokach,