Kolejność postępowania w prostej analizie MES w SWS

Transkrypt

1 MES-1 10 Część I Kolejność postępowania w prostej analizie MES w SWS Kroki analizy Zakładamy, że model już jest uproszczony, zdefiniowane są materiał, obciążenie i umocowanie (krok 0). Krok 1. Wstępna siatka. Robimy wstępną (zwykle domyślną) siatkę, sprawdzamy/poprawiamy jej jakość, przeprowadzamy obliczenia i robimy wstępną analizę wyników: 1. Sprawdzenie ogólnej poprawności umocowania/obciążenia przez analizę reakcji oraz ogólnego wyglądu konstrukcji odkształconej. Jeżeli są błędy wracamy do kroku 0 2. Czy dalsza analiza ma sens? Jeżeli wynik (naprężenia, ugięcie, itp.) wyraźnie przekracza dopuszczalny poziom, to dalsza analiza traci sens i trzeba najpierw zmienić samą konstrukcję (dokładniej projekt). Proszę pamiętać, że taki wniosek możemy zrobić nawet na podstawie bardzo wstępnych i niedokładnych (zwykle zaniżonych) wyników. 3. Za pomocą wskaźników błędu i map naprężeń oceniamy dokładność rozwiązania oraz wyznaczamy strefy, w których gęstość siatki ma być zmieniona. Przy tym w SWS można ignorować strefy, w których błąd jest duży, ale poziom naprężeń niski. W innych (czytaj lepszych) programach wskaźników jest sporo, można dokładniej zbadać każdy wynik. 4. Decyzja czy dalsze obliczenia są konieczne i możliwe? Kroki 2-N. Osiągnięcie wyników zbieżnych o wymaganej dokładności. Jednym z celów tych kroków może być modyfikacja fragmentów modelu (np. zawierających karby) powodujących rozbieżność wyników 1. Generujemy nową siatkę o zmienionej gęstości, sprawdzamy jej jakość, ew. zmieniamy siatkę 2. Przeprowadzamy obliczenia, oceniamy dokładność wyników na różne sposoby (wskaźnik błędu, różnica pomiędzy wynikami po uśrednianiu węzłowym i elementowym, itp.) 3. W przypadku rozbieżności zmieniamy model, w przypadku osiągnięcia zbieżności i zadowalającego poziomu dokładności kończymy obliczenia Część II Uproszczenia 1. Elementy prostsze od 3D Typy modeli elementów konstrukcji Generalne zasady 1. Żyjemy w świecie 3D, każdy element konstrukcji ciało 3D 2. Czy musimy w MES wszystko modelować używając elementów 3D? Niekoniecznie. 3. Opis geometrii ciała zawsze wymaga 3 niezależnych wymiarów, opis pól naprężeń/odkształceń może być prostszy. W MES modelujemy fizykę, nie geometrię! Model MES model CAD. Jeżeli w jakieś części konstrukcji dominują naprężenia w jednym kierunku, to ją można modelować za pomocą prostych typów elementów.

2 4. Używanie elementów uproszczonych (wszystkie poza 3D) zawsze oznacza połączenie rozwiązania analitycznego z numerycznym. 5. Czy można uparcie używać tylko elementów 3D (a la SimulationXpress)? Skutki: duży czas obliczeń, niska dokładność, brak uniwersalnych algorytmów generacji siatek 3D dla wszystkich typów elementów. 6. Podstawowe zasady modelowania w MES: 1) Upraszczamy; 2) Upraszczamy; 3) Upraszczamy... W literaturze angielskojęzycznej często rozróżnia się elementy skończone podobne do obiektów rzeczywistych (3D i płaskie) i niezawierające dziwnych stopni swobody (rotations) od bardziej sztucznych (pręty, belki, powłoki). Pierwsze noszą nazwę solid elements, czyli elementy-ciała, drugie structural elements, czyli elementy konstrukcyjne, tzn. elementy modelujące typowe części konstrukcji. Elementy skończone fizyczne (Solid Elements) Element przestrzenny 1. Brak uproszczeń od strony równań równowagi. Elementy tego typu są autentycznymi elementami 3D 2. W każdym węźle mamy 3 stopnie swobody: dla układu kartezjańskiego są to przemieszczenia w kierunkach X,Y,Z. Wyniki są w 100% wynikami MES Przemieszczenia w węzłach u otrzymujemy z rozwiązania układu równań równowagi: Ku = F Odkształcenia ε w każdym elemencie e obliczamy (zwykle w punktach całkowania numerycznego) za pomocą macierzy pochodnych funkcji kształtu dla danego elementu B e : ε = B e u e. Tu u e jest wektorem przemieszczeń w węzłach dla elementu e. Naprężenia σ w każdym elemencie e obliczamy (również w punktach całkowania numerycznego) za pomocą prawa Hooka: σ = D e ε. Tu D e jest macierzą prawa Hooka dla danego elementu 3. Wady tych elementów: bardzo długi czas obliczeń, duże wymagania sprzętowe 4. Zastosowanie: konstrukcję klockowate (trzy wymiary podobnej wielkości), złącza 5. Dodatkowe uproszczenia: uwzględnienie symetrii, usuwanie zaokrągleń, faz, małych otworów, elementy liniowe zamiast kwadratowych, itp. Płaski stan naprężeń (plane stress) Model ma stałą grubość, znacznie mniejszą od dwóch pozostałych wymiarów (np. z x, y). Obciążenie (zwykle rozciąganie lub bardzo rzadko ściskanie) działa tylko w jednej płaszczyźnie (np. XY) modelu i jest niezmienne w kierunku grubości. Możliwość wyboczenia musi być wykluczona W kierunku prostopadłym do przekroju (np. Z) mamy zerowe naprężenia (σ zz = σ xz = σ yz = 0) oraz niezerowe odkształcenie główne ε zz i zerowe odkształcenia styczne ε xz = ε yz = 0. To pozwala uprościć równania równowagi Wyniki są częściowo numeryczne (przemieszczenia i naprężenia w płaszczyźnie przekroju), częściowo analityczne (jedno zerowe naprężenie normalne i dwa stycznych, dwa zerowych odkształcenia styczne) I.Rokach,

3 Na czym oszczędzamy? Jak często p.s.n. używany jest w praktyce? Procedura obliczeniowa dla wszystkich zagadnień płaskich jest dokładnie taka sama, jak opisana wyżej dla zagadnień 3D. Ale obliczenia są znacznie szybsze i prostsze bo: W każdym węźle mamy tylko 2 stopnie swobody: przemieszczenia w kierunkach X,Y w płaszczyźnie przekroju. Niezerowych składników tensora naprężeń mamy tylko 3 zamiast 6. Drastycznie zmniejsza się rozmiar macierzy sztywności K ponieważ siatka płaska ma znacznie mniej węzłów niż przestrzenna Zastosowanie Bardzo ograniczone, najczęściej w badaniach koncepcyjnych lub naukowych, tylko dla pojedynczych części. Płaski stan odkształceń (plane strain) y y z x W płaskim stanie odkształceń mamy brak odkształceń w jednej z płaszczyzn głównych modelu (w danym przypadku ε zz = ε xz = ε yz = 0). Odpowiednia składowa naprężeń (σ zz ) jest niezerowa dla niezerowego współczynnika Poissona, ale σ xz = σ yz = 0, dla wszechstronnego rozciągania dodatnia. Obszar zastosowań jest bardzo podobny do p.s.n. Uwaga! W SWS 2017 wyniki w tym trybie są niepoprawne. Gdzie w ciele 3D są strefy PSN oraz PSO Tu był pokazany przykład bezpośrednio w SWS Na każdej nieobciążonej powierzchni ciała mamy brak naprężeń normalnych i stycznych do powierzchni, czyli PSN W środkowych warstwach najbardziej obciążonych fragmentów konstrukcji stan naprężeń może być zbliżony do PSO Osiowa symetria (axisymmetric) 1. W przypadku symetrii osiowej konstrukcji i obciążenia modelujemy połowę przekroju modelu wzdłuż osi 2. W każdym węźle mamy 2 stopnie swobody: przemieszczenia w kierunku promieniowym i osiowym 3. Wyznaczamy odkształcenia i naprężenia w płaszczyźnie przekroju oraz dodatkowo obwodowe (prostopadłe do płaszczyzny przekroju) 4. Zastosowanie w praktyce: bardzo szerokie Cechy elementów fizycznych W elementach fizycznych płaskich występuje połączenie przybliżonego rozwiązania numerycznego z dokładnym dodatkiem teoretycznym. p.s.n.: σ zz = σ xz = σ yz = ε xz = ε yz = 0; Można zapamiętać to tak: zerowe są wszystkie naprężenia powiązane z kierunkiem grubości (najmniejszego z wymiarów) modelu oraz wszystkie odkształcenia styczne zawierające ten kierunek. p.s.o.: ε zz = ε xz = ε yz = σ xz = σ yz = 0; Można zapamiętać to tak: zerowe są wszystkie odkształcenia powiązane z kierunkiem grubości (największego z wymiarów) modelu oraz wszystkie naprężenia styczne zawierające ten kierunek I.Rokach,

4 osiowa symetria: ε θθ = u/r, σ rθ = σ zθ = ε rθ = ε zθ = 0, gdzie u jest przemieszczeniem w kierunku promieniowym Zerowe są wszystkie naprężenia i odkształcenia styczne powiązane z kierunkiem obwodowym. Jedynym typem obciążenia jest obciążenie realistyczne: ciśnienie lub przemieszczenie przyłożone do powierzchni lub całej objętości ciała. Brak obciążeń wypadkowych ( kumulacyjnych ) typowych dla elementów konstrukcyjnych (siła skupiona, moment, itp). Elementy konstrukcyjne (Structural Elements) Element sztywny Definicja 1. W najprostszym przypadku jest to element konstrukcji, który narzuca stałą odległość pomiędzy dwoma punktami modelu. 2. Element nie ma kształtu, masy, itp. Ma nieskończoną sztywność. 3. Jedynym typem wyniku, który pozwala obliczyć są siły złącza Pręt (lina, kabel) Definicja 1. Element konstrukcji, w którym jeden z wymiarów (np x) jest wielokrotnie większy od pozostałych (x y, z) 2. Element jest raczej prostolinijny (wykrzywiony = belka), obciążenie rozciąganie lub (z ograniczeniami wynikającymi z możliwości wyboczenia) ściskanie. 3. Lina lub kabel mogą być poddane tylko rozciąganiu 4. Element konstrukcji charakteryzuje się stałym przekrojem. Przekroje są w stanie tylko oddalać się lub zbliżać się, pozostając równoległymi ( harmonijka ). Uproszczenia dotyczące pola naprężeń Prawda W każdym przekroju prostopadłym do osi x działa tylko jeden typ obciążenia siła osiowa. Przy braku obciążenia rozłożonego siła osiowa jest jednakowa dla całego pręta. Ściema W każdym przekroju naprężenie osiowe = siła / pole (σ = F/A). Równanie równowagi dla pręta (brak rozłożonego obciążenia) F F F To, że siła osiowa jest stałą dla wybranego pręta można zapisać jako F(x) = const...ale lepiej zrobić to tak: F (x) = 0 Wyznaczanie naprężeń Równanie równowagi dla pręta zawiera tylko siłę osiową. Tylko ją i wyznacza program MES i wyznacza dokładnie. Również w analizie MES wyznaczane są przemieszczenia I.Rokach,

5 Równanie równowagi nie zawiera naprężeń i nie pozwala je wyznaczyć. Wzór σ = F/A wynika z dodatkowego założenia hipotezy płaskich przekrojów i realnie daję nam średnią wartość naprężeń osiowych. Wpływ zmiennego przekroju α Chociaż formalnie wzór σ = F/A jest dokładny tylko dla prętów o stałym przekroju, można używać go nawet dla przekrojów łagodnie zmiennych. W przypadku prętów cylindrycznych odpowiedni kąt zwężenia przekroju α ma nie przekraczać 20. Jak w SWS uzyskać elementy prętowe? Najpierw odpowiedni fragment modelu musi być przekształcony na belkę (albo za pomocą operacji "Traktuj jako belkę", albo automatycznie za pomocą naprżedzia "Konstrukcje spawane") Dalej zmieniamy typ zaznaczonego fragmentu z belki na człon kratownicy Gdzie naprężenie = siła/pole przekroju? Kolorami czerwonym i niebieskim pokazane są strefy, w których naprężenie rozciągające różni się od wytrzymałościowego (czyli średniego po przekroju) więcej niż o 5%. Wnioski Strefa nierównomiernych naprężeń nie przekracza jednej szerokości (lub średnicy) pręta. Brak możliwości poprawnego modelowania złączy Tu był przykład pokazany bezpośrednio w SOLIDWORKS Simulation. Joint s hell Ten i poprzedni przykłady pokazują na czym polega typowe dla wszystkich elementów konstrukcyjnych zjawisko joint s hell (czyli brak możliwości poprawnego modelowania złączy) I.Rokach,

6 Podstawowe założenia każdego modelu prętowego W każdym pręcie działa tylko siła osiowa W złączach de facto mamy przeguby beztarciowe (czyli modelujemy wariant najgorszy: np. śruby i nity się poluzowały). Z tego powodu w każdym złączu kąty pochylenia poszczególnych prętów będą zmieniać się skokowo. Jedynym parametrem charakteryzującym przekrój pręta jest pole. Wynika z tego, że ugięcie kratownicy będzie zależeć tylko od tego pola a nie od kształtu profilu, czyli J, jak w belkach. Model prętowy = model bardzo prymitywny. Nie tylko pole przekroju pręta jest stałe, ale i kształt tego przekroju. Wniosek praktyczny: Ponieważ dla takiego pręta naprężenie=siła/pole przekroju, to nie ma sensu używać więcej niż 1 element dla modelowania każdego pręta. Nie wolno dzielić pojedyncze pręty więcej niż na jeden element. Każde złącze elementów prętowych jest dodatkowym przegubem! Dlatego w SWS zarówno zmiana gęstości całej siatki jest niemożliwa. Typy kratownic Ograniczenia na ugięcia realnych konstrukcji Stara prawda konstruktorska Konstrukcje o długości poniżej 5 m projektujemy po naprężeniom, dłuższe po przemieszeniom. 1. Belki budowlane: podtrzymujące dach lub służące podporą do nieotynkowanych ścian 1/240, jeżeli działa żywe (ruchome) obciążenie 1/360 rozpiętości pomiędzy ścianami (2000 International Building Code) 2. Ugięcia nadwozi samochodów do 1/ Mosty do 1/420 odległości pomiędzy filarami Fundamentalna cecha pręta sprowadzenie naprężeń w przekroju do siły osiowej. Równanie równowagi dla pręta zawiera tylko siłę osiową. Tylko ją wyznacza program MES i wyznacza dokładnie. Stałe naprężenie w każdym przekroju nie jest wymagane od elementu konstrukcji, który modelujemy prętem. To może być łańcuch, taśma perforowana,... Istotnym jest to, że modelowany element zachowuje się, jak pręt (kabel, lina) w skali całej konstrukcji I.Rokach,

7 Metoda używana w niektórych programach do oceny dokładności naprężeń (obliczanie różnicy naprężeń na granicach ES) w przypadku konstrukcji prętowych działa raczej jakościowo. Skok naprężeń na granicy pomiędzy grubym i cienkim prętami sugeruje raczej błąd samego modelu a nie błąd gęstości siatki. W złączu kilku prętów ani siły osiowe, ani naprężenia nie muszą być jednakowe. F F Modele 2D a szczególnie 3D mogą być sztucznie niestabilne Podsumowując można stwierdzić, że: Wybór elementów prętowych oznacza nasze przekonanie, że w tym elemencie konstrukcji dominuje siła osiowa MES w miarę poprawnie wyznacza tylko tę siłę. Wzór na naprężenia to już dodatek zewnętrzny. O ile relacja σ = F/A nie jest warunkiem koniecznym do używania prętów, ona realnie dość często ma miejsce. Wtedy możemy powiedzieć, że rozkład naprężeń w pręcie faktycznie nie zależy od współrzędnych y, z. W takim przypadku nie ma sensu modelować pręt, jako ciało 3D. Wykład został opracowany w LATEXe za pomocą klasy BEAMER, graficznego pakietu PGF/TikZ i pakietu do tworzenia wykresów PGFPLOTS. Zanim wydrukujesz pomyśl o środowisku. Jedna kartka = 200 ml wody + 2 g drewna + 2 r CO 2 Before printing think about environment. One page 200 ml water + 2 g wood + 2 g CO I.Rokach,