Element Fiki Teoretnej Stanisław Bednarek (semestr letni 9) I. Wst p. Mehanika klasna. Wprowadenie. Wi. Współr dne uogólnione. Zasada najmniejsego diałania (element rahunku wariajnego). II. Transformaja Galileusa, jednorodno i iotropowo prestreni i asu. Funkja Lagrange a stki swobodnej w inerjalnm układie odniesienia. Funkja Lagrange a dla stki w polu potenjalnm. Funkja Lagrange a układu wielu stek. Transformaja e współr dnh karteja skih do współr dnh uogólnionh. Funkja Lagrange a dla stki swobodnej we współr dnh sfernh i lindrnh. Prkładowe astosowanie formalimu Lagrange a. C stka w polu entralnego potenjału. Wahadło matematne. III. Bardiej aawansowane astosowania formalimu Lagrange a. Wahadło ło one. Wdielenie podukładu układu stek oddiałwuj h. Problem wahadła matematnego, którego punkt awiesenia wkonuje pionowe drgania. Równania ruhu w nieinerjalnh układah odniesienia. IV. Prawa ahowania, ałki ruhu. Energia. P d. Moment p du. Zmienne kline a ałki ruhu. Równania kanonine Hamiltona. Nawias Poissona. () Mehanika relatwistna V. Zasada wgl dno i Einsteina Prediał asoprestrenn. Transformaja Lorenta.
Transformaja odwrotna. Kontrakja długo i i dlataja asu. Transformaja pr dko i. VI. Relatwistna ałka diałania. P d i energia stki swobodnej. Relatwistna asada ahowania energii. Relatwistna funkja Hamiltona. Transformaja energii i p du, terowektor. VII. Geometria asoprestreni, element rahunku tensorowego. Tensor kontrawariantne i kowariantne. Tensor metrn. Tensorowe własno i operatorów ró nikowh. (3) Elektrodnamika VIII. C stka w ewn trnm polu elektrnm i magnetnm, teropotenjał pola elektromagnetnego. Interpretaja teropotenjału. Niemiennio ehowania potenjałów elektromagnetnh. Transformaja Lorenta dla pól elektrnego i magnetnego. IX. Pierwsa para równa Mawella. Cterowektor g sto i pr du, równanie i gło i. Pole elektromagnetne wwołane adanm rokładem ładunków i pr dów. Diałanie pola elektromagnetnego, druga para równa Mawella. Równania Mawella w postai ró nikowej. Kowariantn (jawnie relatwistn) apis równa Mawella. X. Równania Mawella w ró nikowej i ałkowej postai. Refleksja nad sposobem wprowadenia równa Mawella. Zastosowanie równa Mawella w postai ałkowej. Prawo Coulomba. Potenjał skalarn ładunku punktowego. Układ kilku ładunków punktowh. Ci gł rokład g sto i ładunku. Pole elektrne wokół jednorodnie naładowanego wala. Smetria prostok tna- jednorodnie naładowana płasna, kondensator. Zastosowania praw Mawella w postai ałkowej do magnetostatki. Pole magnetne wewn tr niesko enie długiego solenoidu.
XI. Transformaja Lorenta w magnetostate. Zastosowania równa Mawella w postai ró nikowej. Równanie Poissona i Laplae a. Twierdenie o jednonano i rowi a równania Laplae a i Poissona. Prawo Biota-Savarta. XII. Prewodniki i warunki bregowe na ih powierhniah. Ładunki indukowane. Pole elektrostatne w obeno i prewodników. Metoda obraów. Obra a ładunek indukowan. Rowini ie multipolowe XIII. Pola elektrne i magnetne w o rodkah, ale no i pomi d E i D ora H i B. Istota wektorów pól. Polaraja dielektrka. Dielektrki liniowe. Granie o rodków dielektrnh Zmienne pole elektromagnetne. Fala płaska. XIV. Elektrodnamika klasna w nanostrukturah półprewodnikowh. 3
I. Wst p. Fik mo na podieli w ale no i od problemów jakimi si ajmuje wró ni ró ne jej diał, np. fika j drowa, iała stałego, niskih temperatur, astrofika itd. Nieale nie od podiału tematnego istnieje podiał na fik do wiadaln i teoretn. Ta ostatnia wró nia si spefinmi nar diami pra. S nimi kartka papieru, ołówek i komputer jako nar dia materialne i aparat matematn, któr mo em okre li jako niematerialne nar dia pra teoretka. Celem niniejsego wkładu jest aponanie słuha kilkoma takimi niematerialnmi nar diami pra u wanmi w kilku wbranh diałah fiki. Wkład trwa tlko jeden semestr, w wi ku m nie jest mo liwa ani kompleksowa ani dogł bna analia problemów. Wbrałem problem, które według mojej oen s najwa niejse lub najiekawse. Podieli je mo na na nast puj e grup tematne: I. Mehanika klasna II. Mehanika relatwistna III. Elektrodnamika Ł je b die asada najmniejsego diałania, pr pomo której uskane ostan wsstkie podstawowe prawa fiki. Pre ledim jednoe nie ewoluj funkji diałania. Zostanie ona po tkowo aproponowana dla mehaniki klasnej nast pnie uogólniona do mehaniki relatewistnej, a kolejna modfikaja powoli na obj ie ni elektrodnamiki. 4
Klasna Mehanika Teoretna. Jest to diał Fiki, któr opisuje ruh bardiej lub mniej ło onh układów finh. Na wst pie musim pogodi si faktem, i nie jeste m w stanie opisa ałego wseh wiata w ałej jego ło ono i. Jeste m museni posłu si prbli eniami i ograni si do opisu jego niewielkiej stki. Prst puj do anali jakiegokolwiek jawiska musim wpunktowa wsstkie prbli enia i ało enia whod e do rahunku. Ih spełnienie jest warunkiem wiargodno i uskanh wników. W elu unikni ia nieporoumie j kowh ustali musim na wst pie kilka najwa niejsh poj i prbli e. Układem nawa b diem wseh wiata, któr opisujem. Mo em ało brak oddiałwania układu rest wseh wiata, mówim wówas o układie iolowanm (np. stka swobodna), lub uwgl dniam to oddiałwanie traktuj je jako oddiałwanie ewn trne (np. iało w polu sił i ko i). Najprostsm układem (lub jego elementem) jest punkt materialn ( stka), któr roumie b diem jako obiekt fin, którego romiar mo na aniedba pr opisie jego ruhu (np. elektron w polu j dra, planeta na orbiie). Prestre, w której rogrwa si mehanika punktu materialnego jest trójwmiarowa. Poło enie punktu materialnego opisujem trójwmiarowm wektorem wod m r. Do apisu wektora wod ego posługujem si układem współr dnh. Naj iej stosowa b diem układ prostok tn karteja ski, lub krwoliniow: sfern, lindrn, parabolin. Równie wa n rol jak prestre, w której rogrwa si b d jawiska spełnia as. B diem go roumieli jako parametr numeruj kolejno dare. Pełn informaj o ruhu pojednego punktu materialnego awiera jego trajektoria (tor) li poło enie w funkji asu r(t) i stanowi sukane rowi anie problemu mehaninego. Znaj trajektori mo em wli pr dko jako pierws i prspiesenie jako drug pohodn wektora wod ego po asie, a nih mo em wli wsstkie poostałe wielko i fine np. energi, p d, sił. Uwaga: pohodne po asie onaa b diem d d kropk : r(t) r(t), r(t) r(t ). dt dt Zwi ki pomi d współr dnmi, pr dko iami i prspieseniami nawam równaniami ruhu. S to na ogół równania ró nikowe r du, w którh niewiadom funkj stanowi trajektoria r(t) (np. równania Newtona). Pr nanh równaniah ruhu warunkiem jednonano i rowi ania jest podanie warunków po tkowh. Mog b nimi poło enie i pr dko stki w wbranej hwili. Warunki te okre laj stan układu. W prpadku gd układ składa si N punktów materialnh ( stek), rowi aniem problemu mehaninego jest 3N-wmiarowa trajektoria li podanie wektorów wod h wsstkih stek whod h w skład układu. Lib nieale nh współr dnh konien do opisu układu nawam lib stopni swobod i onaam liter f. C stka swobodna w prestreni trójwmiarowej ma 3, a układ N stek 3N stopni swobod. 5
Wi. Lib stopni swobod ograni mog tw. wi, li wi ki pomi d współr dnmi, które mus b spełnione w dowolnej hwili asu. Mog b adane w postai równo i lub nierówno i: f i (r,...rn, t), i...nw lub fi (r,...rn, t), i...nw Pierws tp wi ów nawam dwustronnmi, drugi jednostronnmi. Je eli równania wi ów nie awieraj jawnej ale no i asowej nos naw skleronominh, w preiwnm wpadku reonominh. Wi naruone na współr dne nos naw wi ów holonominh. Casem spotkam si wi ami naruonmi na pr dko i, s one nieholonomine. Ka de nieale ne równanie wi ów dwustronnh ogrania lib stopni swobod układu o. Prkład wi ów:. Ruh stki w płas nie dwuwmiarowej (,) mo em uska naruaj funkj wi ów: f (r) Liba wi ów p, liba stopni swobod f.. Ruh po okr gu : f(r) f(r) + R p, f. W obu prkładah podane ostał wi holonomine, skleronomine, dwustronne. 3. Ruh piłki na boisku. (wi jednostronne). Współr dne uogólnione. Wst powanie wi ów powoduje, e w równaniah ruhu uwgl dnia musim dodatkowe sił reakji wi ów. Wi e si to e nan komplikaj równa. C sto komplikaji udaje si unikn pre odpowiedni wbór układu współr dnh. Np. w prkładie wstar prej do współr dnh biegunowh. Wówas wi ustalaj odległo stki od po tku układu. Współr dn odpowiadaj jednemu stopniowi swobod jest k t, któr nie jest ogranian pre wi. W ten sposób dohodim do korstnego punktu widenia ułatwie rahunkowh poj ia współr dnh uogólnionh. Współr dnmi uogólnionmi układu o f stopniah swobod nawam dowoln biór f wielko i q,...q f wnaaj h jednonanie poło enia iał twor h układ. q q,...,f { }( ) ϕ 6
Pohodne po asie współr dnh uogólnionh nawam pr dko iami uogólnionmi. q { q }(,...,f ) np. w układie biegunowm q { r, ϕ},q { r, ϕ }. Naturalnie współr dne i pr dko i w układie karteja skim q {,, },q {,, } stanowi równie sególn prpadek współr dnh i pr dko i uogólnionh, o ile liba stopni swobod nie jest ograniona pre wi. Ze wgl du na uniwersalno współr dnh uogólnionh, wsstkie ogólne rowa ania w dalsej i wkładu b d prowadone w th wła nie współr dnh. Dopiero w konkretnh astosowaniah b diem prehodili do najwgodniejsh (e wgl du na smetri układu) konkretnh układów współr dnh. Zasada najmniejsego diałania (element rahunku wariajnego). Cał mehanik klasn mo na opre (histornie tak ona powstała) na równaniah Newtona i potraktowa je jako elementarne, startowe ało enie teorii słu ej do opisu jawisk. Jednak e w wielu prpadkah jest to niewgodne, sególnie w momenie prej ia do nieklasnej teorii. Pre prawie dwie ie lat po Newtonie fi posukiwali uogólnie i bardiej uniwersalnh podej. Takim udanm uogólnieniem teorii prowad m do praw ruhu w postai najbardiej odpowiadaj ej rowa anemu układowi jest asada najmniejsego diałania, lub inaej asada wariajna Hamiltona. Ropatrm układ o f stopniah swobod, opiswan współr dnmi uogólnionmi q. Nieh biór funkji: q q (t) gdie...f opisuje ruh rewist układu i stanowi rowi anie problemu. Zdefiniujm inn biór funkji, mienion w porównaniu do ruhu rewistego o niewielk warto w ka dej hwili asowej: ~ q q (t) + δq (t) i nawijm go ruhem porównawm. δ q (t) niesko enie małe odhlenie od ruhu rewistego nawam wariaj współr dnej uogólnionej. Je eli pre F(q,q, t) onam dowoln funkj współr dnh i pr dko i uogólnionh ora asu, mo em wli jej wariaj jako ró ni pomi d funkj od argumentów odpowiadaj h ruhowi porównawemu i rewistemu: δf F( ~ q, ~ q, t) F(q,q, t) F(q + δq,q + δq, t) F(q,q, t) F F δq + δq q q gdie δq (t) ~ q q stanowi wariaj pr dko i uogólnionej. Owi ie e wgl du na liniowo : d δ q (t) δq (t) dt Mo em równie definiowa wariaj funkjonału. Rowa m funkjonał w postai: t [ q,q ] dtf(q,q I Jego wariaja t, t) 7
δi I t t [ q~, q~ ] I[ q,q ] dt( F(q ~, q~, t) F(q,q, t) ) t t dtδf Mo em tera sformułowa asad najmniejsego diałania. Rowa am ruh rewist i porównawe w pewnm okre lonm prediale asu ( t, t ), pr ało eniu, e w hwilah odpowiadaj h po tkowi i ko owi prediału współr dne uogólnione wsstkih ruhów prjmuj jednakowe ustalone warto i: ~ q (t ) q (t ) ora ~ q (t ) q (t ) li δq (t ) δq (t ) q q(t) q(t ) q(t ) ~ ( ) q t t t Postulat: Dla ka dego układu mehaninego mo na nale funkj współr dnh i pr dko i uogólnionh ora asu L(q,q, t) tak, e funkjonał: S t [ q~, q~ ] dtl(q ~, q~ t, t) prjmuje najmniejs warto dla ruhu rewistego, tj. ~ q (t) q (t). Funkja L nosi naw funkji Lagrange a, a funkjonał S nawam diałaniem. Warunek najmniejsego diałania dla ruhu rewistego generuje równania ruhu we współr dnh uogólnionh. Naru m ten warunek, li a dajm δ S. t t t L L δs δ dtl(q δ δ + δ,q, t) dt L(q,q, t) dt q q q q t t t t L L d dt δq + δq q q dt t t L d L d d L dt δq δ + δ q q q dt q dt dt q t t t L d L t L L d L dt q q δq dt q q dt q q t q dt q δ δ + δ t t Poniewa warunek ten musi b spełnion dla dowolnego wboru wariaji współr dnh uogólnionh, musi si erowa wra enie w nawiasie: 8
L d L q dt q Równania te nos naw równa Lagrange a (drugiego rodaju). Stanowi one układ równa ruhu (f równa ró nikowh drugiego r du) na funkje q (t), stanowi e trajektorie ruhu rewistego we współr dnh uogólnionh. Zanim skonstruujem funkj Lagrange a dla najprostsego układu wró m uwag na pewne jej własno i wnikaj e jej definiji i uskanh pr jej pomo równa ruhu.. Funkja Lagrange a apisana w ró nh układah współr dnh uogólnionh mo e prowadi do ró nh wi ków pomi d nimi (równa ruhu). Je eli funkja Lagrange a apisana w jednh współr dnh prowadi do poprawnh równa ruhu, wówas równania ruhu uskane tej samej funkji Lagrange a apisanej w innh współr dnh s równie poprawne (pretransformowane). Transformaja funkji Lagrange a sto jest łatwiejsa ni transformaja gotowh równa ruhu. Funkja Lagrange a układu ło onego dwóh nie oddiałwuj h podukładów jest sum funkji Lagrange a obu i. L B L +L B Funkja Lagrange a nie jest definiowana jednonanie. Pomno enie funkji Lagrange a pre dowoln stał (ró n od era) prowadi do th samh równa ruhu. L al L Dodanie do funkji Lagrange a pohodnej upełnej po asie dowolnej funkji współr dnh i pr dko i uogólnionh prowadi do th samh równa ruhu. d L L + f (q,q, t) L dt Własno i pow se s do owiste, pierwsa wnika liniowo i równa Lagrange a, druga daje to samo diałanie, gd po sałkowaniu i narueniu warunków po tkowh pohodna upełna dowolnej funkji daje ero. Zwró m jednak uwag na odró nienie pohodnej po asie stkowej od upełnej. Dowolna funkja współr dnh, pr dko i i asu f (q,q, t) dla ruhu rewistego awiera dodatkow ale no asow popre współr dne i pr dko i. Jej ró nika upełna ma posta : f f df (q,q, t) dq + dq + dt, q q a upełna pohodna po asie: d f dq f dq f f f f (q,q, t) + + q + q + dt q dt q dt t q q t 9
Podsumowanie I.. We wprowadeniu ustalili m m ajmowa si b diem podas niniejsego wkładu.. Podane ostał podstawowe poj ia mehaniki klasnej: układ, punkt materialn, prestre, as, trajektoria, równanie ruhu, stan układu, wi, stopnie swobod. 3. Wi dwustronne ograniaj lib stopni swobod, awaj ka de równanie wi ów obni a lib stopni swobod o. 4. Wprowadili m poj ie współr dnh uogólnionh, które stanowi biór wielko i, wnaaj h jednonanie poło enie iała. Ih liba jest równa libie stopni swobod. 5. Wprowadili m element rahunku wariajnego definiuj trajektorie ruhu rewistego i porównawh, ró ni e si o mał wielko, któr nawali m wariaj współr dnej uogólnionej. 6. Wprowadili m poj ie wariaji funkji współr dnh i pr dko i uogólnoionh ora wariaji utworonego takih funkji funkjonału. 7. Zapostulowali m asad najmniejsego diałania, godnie któr funkjonał: S t [ q~, q~ ] dtl(q ~, q~ t, t) osi ga minimum dla ruhu rewistego. 8. danie nikania wariaji diałania prowadi do równa Lagrange a, które powinn stanowi równania ruhu dla współr dnh uogólnionh: L d L q dt q 9. Funkji Lagrange a L jese nie umiem konstruowa, ale ponali m ju jej pewne własno i wnikaj e e sposobu jej wprowadenia.
II. Transformaja Galileusa, jednorodno i iotropowo prestreni i asu. Konstrukja funkji Lagrange a bauje na podstawowh własno iah prestreni i asu, które mus b uwgl dnione pr tworeniu równa ruhu. Równania ruhu owi ie ale od wboru układu współr dnh i nieo serej roumianego układu odniesienia. Podstawowmi układami odniesienia, w którh b diem praowa b d tw. układ inerjalne. Inerjalnm układem odniesienia nawam układ odniesienia, w którm ruh swobodn odbwa si e stał pr dko i (np. dla stki w polu sił i ko i układ wi an powierhni iemi nie jest inerjaln, ale inerjaln jest układ wi an e swobodnie spadaj wind ). Własno inerjalno i jest równowa na jednorodno i i iotropowo i prestreni ora jednorodno i asu. Onaa to, e w układie inerjalnm nie ma wró nionh poło e, kierunków i hwil. Sformułujm tera bardo wa ne ało enie teorii: Wsstkie układ odniesienia porusaj e si wgl dem pewnego inerjalnego układu odniesienia e stał pr dko i s równie inerjalne. Zało enie to wmusa jednolit opis jawisk finh we wsstkih układah odniesienia porusaj h si wgl dem siebie jednakowmi pr dko iami a jednoe nie powala na ih swobodn wbór. Zwi ek pomi d poło eniami i pr dko iami pr prej iu pomi d dwoma inerjalnmi układami odniesienia (słusn w mehanie klasnej) nosi naw Transformaji Galileusa. Je eli mam dwa układ odniesienia (,,) i (,, ), pr m układ primowan porusa si wgl dem nie primowanego pewn stał pr dko i V, a wi poło enie po tku układu primowanego dane jest w układie nie primowanm wi kiem: R( t) R() + Vt R (t) wówas punkt o współr dnh r ma w układie nie primowanm współr dne r R( t) + r R() + Vt + r Pomi d pr dko iami mam wi ek: v V + v Zwi ek pomi d pr dko iami wnika ało enia asu bewgl dnego, li jednakowego we wsstkih inerjalnh układah odniesienia (w mehanie relatwistnej nie dokonuje si tego ało enia).
Funkja Lagrange a stki swobodnej w inerjalnm układie odniesienia. Załó m, e układ, któr opisujem składa si pojednej nie oddiałwuj ej otoeniem stki. Układ posiada tr stopnie swobod, poło enie stki opisuje wektor wod r, a pr dko jego pohodna po asie v r. Ih składowe potraktujm jako współr dne i pr dko i uogólnione. B d wi one stanowi argument funkji Lagrange a L( q,, q t) L( r, v, t) Ze wgl du na jednorodno prestreni (brak wró nionego punktu) funkja Lagrange a nie powinna ale e od poło enia a e wgl du na jednorodno asu nie powinna równie od niego ale e. Jednm argumentem, od którego mo e funkja Lagrange a ale e jest pr dko. le prestre jest iotropowa. Brak wró nionego kierunku w prestreni poostawia jednie ale no od bewgl dnej warto i pr dko i. Najprosts tak funkj jest : L v. Prj ie funkji Lagrange a w tej postai apewnia jednoe nie niemiennio równa ruhu pr prej iu pomi d ró nmi układami inerjalnmi. Zauwa m, e d L(v) v ( v + V) v + v V + V v + (r V + V t) dt L(v ) v Zało enie innej, np. nieliniowej ale no i funkji Lagrange a od kwadratu pr dko i jest dopusalne e wgl du na jednorodno i iotropowo prestreni i asu, nie daje jednak niemiennio i równa ruhu pr prej iah pomi d inerjalnmi układami odniesienia. W uskanm wra eniu stała nie jest wnaona jednonanie i mo e b prj ta dowolnie. Je eli prjmiem m, uskam: L mv T gdie pre T onaam energi kinetn układu. Wkorstajm uskan posta funkji L i wstawm j do równa Lagrange a: L d L q dt q Otrmujem: m d m d ( r ) ( r ) mr i mr i ri dt r i dt li mr jest to nane nam równanie Newtona dla ruhu stki swobodnej w inerjalnm układie odniesienia. Zauwa m, e upełnie ogólnh rowa a uskali m prejnie wnaon ( dokładno i do b d h jej ogóln własno i niejednonano i) funkj Lagrange a dla stki swobodnej a uskane równa Lagrange a równanie ruhu jest poprawne. Postulat spełnienia asad najmniejsego diałania jest wi dla stki swobodnej słusn. Uskan wnik mo em nathmiast uogólni na układ N nie oddiałwuj h otoeniem i pomi d sob stek: N L L T T N a a a a Funkj Lagrange a takiego układu stanowi jego ałkowita energia kinetna.
Funkja Lagrange a dla stki w polu potenjalnm. Powró m do układu ło onego jednej stki, tm raem oddiałwuj ej otoeniem. Funkj Lagrange a musim uupełni o wra odpowiedialn a oddiałwanie. Wra ten powinien ale e od współr dnh i jest dan pewn funkj miennh prestrennh U( r) : L(r, r, t) T(r U ) ( r ) Wstawiws j do równa Lagrange a uskujem: d L L U( r) mr i + dt r i ri ri lub mr U( r) Roponajem tu równanie Newtona w polu sił danh potenjałem U( r). Uskali m wi interpretaj składnika funkji Lagrange a odpowiedialnego a oddiałwanie polem ewn trnm. Jest nim energia potenjalna prj ta e nakiem preiwnm. Funkja Lagrange a układu wielu stek. Uogólnienie uskanego wniku na układ wielu stek preprowadam podobnie jak dla układu stek nie oddiałwuj h, uwgl dniaj w energii potenjalnej oddiałwanie stek polem ewn trnm ora pomi d sob : L T U T stanowi ałkowit energi kinetn stek twor h układ, a U- sum energii potenjalnh stek: N N m a L Ta U(r,..., rn ) r a U(r,..., rn ) a a Transformaja e współr dnh karteja skih do współr dnh uogólnionh. Energi kinetn układu stek najłatwiej apisa we współr dnh karteja skih: N 3 ma T ai. a i Jednak e potenjał posiada sto smetri preferuj inn układ współr dnh. Dlatego sto musim dokona transformaji energii kinetnej. Dla ułatwienia dskusji mie m onaenia miennh: ai,,...,3n T 3N m. Współr dne układu karteja skiego wra am pre współr dne uogólnione f ( q,... q f ) f f q q β β β wstawiam to do wra enia na energi kinetn 3N T gdie m f f q q f f m f f f 3N β q βq β tββ q βq β β β β qβ qβ β, β β 3
t ββ 3N m f f t q q β β ββ ({ qβ }). Wra one pow smi worami formalne prej ie do innego układu miennh wgl da do skomplikowanie. Nie awse jednak konien b die taki sposób post powania. Natomiast wró m uwag na uskan ogóln własno : energia kinetna jest form kwadratow pr dko i uogólnionh o współnnikah b d h funkjami współr dnh uogólnionh. Funkja Lagrange a dla stki swobodnej we współr dnh sfernh i lindrnh. Dokonajm dla ilustraji prej ia układu karteja skiego do dwóh naj iej stosowanh krwoliniowh układów współr dnh lindrnego i sfernego.. Współr dne lindrne r osϕ r sinϕ Energia kinetna napisana we współr dnh karteja skih ma posta : T m ( + + ) Wst puj e w niej pr dko i preprowadam do współr dnh lindrnh r osϕ ϕ r sin ϕ r sin ϕ + ϕ r osϕ ( os ϕ ϕ sinϕ osϕ ϕ sin ϕ sin ϕ ϕ sinϕ osϕ ϕ os ϕ ) T m r r r + r + r + r r + r + m r + r + ( ϕ ) Poniewa energia potenjalna dla stki swobodnej jest równa, funkja Lagrange a awiera wł nie energi kinetn : m L(r,,,, r t r,, ) ( r ϕ ϕ + ϕ + ). Współr dne sferne r osϕ sin ϑ r sin ϕ sin ϑ r osϑ Mo em podobnie jak poprednio dokona podstawienia. Wmaga to troh dłu sego rahunku r ni pr prej iu do współr dnh lindrnh. Posłu m si atem inn metod, di ki której wra enie na kwadrat pr dko i mo na uska be adnh rahunków. Wektor pr dko i w ka dm punkie prestreni rokładam na tr ortogonalne le nie karteja skie składowe: r ( r, ϑ r, ϕ r sin ϑ). Otrmujem: m T ( r + ϕ r sin ϑ + ϑ r ) ϑ ϕ ϑ r r ϕ r sin ϑ 4
Prkładowe astosowanie formalimu Lagrange a. C stka w polu entralnego potenjału. O wbore współr dnh krwoliniowh sto deduje smetria potenjału, któr odejmujem od energii kinetnej pr tworeniu Lagrangianu. W seregu problemów spotkam si potenjałem o smetrii sfernej ale nm wł nie od odległo i od wró nionego punktu w prestreni, tw. potenjałem entralnm (np. planeta w obeno i potenjału grawitajnego gwiad). Praujem wówas we współr dnh sfernh. Lagrangian ma posta : ( ) L m r + ϕ r sin ϑ + ϑ r V( r), Z równa Lagrange a: d L L dt q q Powinni m otrma układ równa ruhu. Lim odpowiednie pohodne stkowe: L L mr m ϕ r L ϑ mr, sin, ϑ r ϕ ϑ L V L L m( ϕ r sin ϑ + rϑ ),, mϕ r os ϑ sin ϑ r r ϕ ϑ Po wstawieniu ih do równa Lagrange a otrmujem układ równa : V mr m( r sin + r ϕ ϑ ϑ ) + r mr sin ϑ ϕ + mrsin ϑ r ϕ + mr os ϑ sin ϑ ϑ ϕ mr ϑ + mr ϑ r mr ϕ os ϑ sin ϑ Uskali m układ treh równa ró nikowh drugiego stopnia wgl dem asu na sukan trajektori ( r( t), ϕ( t), ϑ ( t) ). nalitne rowi anie tego układu równa jest niestet skomplikowane. Znanie łatwiej wkona to rowi uj problem numernie. Wahadło matematne. eb naprawd doeni alet stosowania formalimu Lagrange a rowa m prost prkład, w którm wst puj e wi utrudniaj wdobie równa ruhu asad dnamiki Newtona. Rowa m układ jaki stanowi płaskie wahadło matematn, li punkt materialn o masie M awieson na nieroi gliwej nii o R długo i R. Układ taki ma tlko jeden stopie swobod, któr we lrosϕ współr dnh biegunowh stanowi k t odhlenia wahadła od pionu. W th współr dnh energia kinetna układu ma posta : l ϕ T M R ϕ Energia potenjalna liona wgl dem punktu awiesenia wahadła dana jest wra eniem: U MgR osϕ Zatem funkja Lagrange a: L T U M R ϕ + MgR osϕ Równanie Lagrange a generuje równanie ruhu: MR ϕ + MgR sin ϕ, które po uproseniu prjmuje posta : R ϕ + g sin ϕ. 5
Owi ie to samo równanie ruhu powinni m uska bepo rednio równania Newtona. Prjrjm si takiemu roumowaniu. Pr ało eniu płaskiego ruhu poło enie wahadła opiswane jest dwuwmiarowm wektorem wod m r( t). Równanie ruhu Mr F Mg + F r awiera sił i ko i i sił reakji wi ów. Warto tej ostatniej sił nie jest nana, ale warunku prenosenia tej sił pre elastn ni nam kierunek jej diałania i wiem, e b die równowa równoległ do nii składow sił i ko i. ϕ R M F ϕ ϕ Mg W reultaie wpadkowa siła diałaj a na iało jest prostopadła do nii a jej warto : F Mg sin ϕ. Dwuwmiarowe równanie Newtona ropisujem na składowe karteja skie: M Mg sin ϕos ϕ M Mg sin ϕ Prehodim tera do współr dnh biegunowh R sin ϕ R os ϕ R ϕ os ϕ R ϕ os ϕ R ϕ Rϕ sin ϕ sin ϕ Rϕ sin ϕ Rϕ os ϕ Uskane pohodne wstawiam do obu równa ruhu M( Rϕ os ϕ Rϕ sin ϕ) Mg sin ϕos ϕ M( Rϕ sin ϕ + Rϕ os ϕ) Mgsin ϕ Górne równanie mno m pre os ϕ dolne pre sin ϕ i dodajem stronami. Wnik po redukji niektórh elementów prjmuje posta : Rϕ g sin ϕ 6
Uskali m to samo równanie ruhu, ale porównanie długo i rahunków wpada na kor formalimu Lagrange a. Podsumowanie II. Wprowadili m poj ie układu inerjalnego, ało li m równowa no praw mehaniki we wsstkih układah inerjalnh. Wprowadili m poj ie transformaji Galileusa opisuj ej prej ia pomi d układami inerjalnmi w mehanie klasnej. Korstaj jednorodno i i iotropowo i prestreni ora jednorodno i asu uskali m wra enie na funkj Lagrange a dla stki swobodnej. Sprawdili m, e równania Lagrange a s równowa ne równaniom Newtona. Uogólnili m funkj Lagrange a na prpadek stki w polu ewn trnego potenjału ora układu wielu stek oddiałwuj h polem ewn trnm i pomi d sob. Pokaali m, e pr prej iu do dowolnh współr dnh uogólnionh energia kinetna stki jest biliniow form pr dko i uogólnionh. Napisali m funkje Lagrange a we współr dnh lindrnh i sfernh. Znale li m równania ruhu we współr dnh sfernh dla problemu stki w polu sił entralnh. Na prkładie wahadła matematnego porównali m sposób poskiwania równa ruhu formalimu Lagrange a i asad dnamiki Newtona. 7
III. Bardiej aawansowane astosowania formalimu Lagrange a. Na poprednim wkładie ponali m najprostse astosowania formalimu Lagrange a. Mam nadiej, e ju one powolił pokaa jego alet. Oba problem mo na bło rowi a łatwiej i nieo sbiej ni startuj równa Newtona. Dla osób, które jese nie s prekonane do tego formalimu prgotowałem kilka prkładów wkorstania formalimu Lagrange a. Wahadło ło one. Powró m do wahadła matematnego o masie M i długo i R ale do niego prepm drugie wahadło o masie m i długo i r. Problem si nanie komplikuje. Znaleienie sił reakji wi ów staje si na m problemem rahunkowm. W takih prpadkah formalim Lagrange a stanowi nakomite nar die pra usuwaj e kłopot. ϕ R M r m Dodatkowe iało wnosi dodatkow stopie swobod. Opisem go pr pomo k ta okre laj ego odhlenie nii r od pionu. Poło enie mas m mo em apisa we współr dnh karteja skih jako: R sin ϕ + r sin R os ϕ + r os Energia kinetna iała o masie m: m Tm (R ϕ + r + Rr os( ϕ ) ϕ ) Energia potenjalna U m mg(r os ϕ + r os ) Funkja Lagrange a dla drugiego iała m Lm (R ϕ + r + Rr os( ϕ ) ϕ ) + mg(r os ϕ + r os ) Po dodaniu funkji Lagrange a dla obu iał uskujem funkj Lagrange a ałego układu: M L LM + Lm TM UM + Tm Um R ϕ + MgR os ϕ + m + (R ϕ + r + Rr os( ϕ ) ϕ + mg(r os ϕ + r os ) 8
Wór ten mo na upor dkowa i wli układ dwóh równa ruhu odpowiadaj h obu stopniom swobod. Prkład astosowania formalimu Lagrange a do opisu ruhu brł stwnej. Poniewa agadnienia mehaniki klasnej nie ograniaj si do układów punktów materialnh, rowi m adanie, w którm dskutowa b diem problem niepunktowego iała. Posukajm równa ruhu dla jednorodnej kulki o masie m i promieniu r, to ej si be po ligu po wewn trnej stronie poboni wala o promieniu R, umiesonego w polu sił i ko i tak, e jego o nahlona jest pod k tem do poiomu. Dla utrudnienia ałó m, e promie kulki r nie jest aniedbwalnie mał w porównaniu promieniem lindra R. W tm prpadku wbór układu współr dnh podktowan b die warunkami wi ów. r R-r ϕ R Układ ma dwa stopnie swobod. We współr dnh lindrnh s nimi U m g(d + r os ϕ). W energii kinetnej musim uwgl dni energi ruhu post powego i obrotowego kulki Iω mv T + gdie I jest momentem bewładno i kuli: I mr 5 L T (q,q,t) U(q,qB(t)) Pr dko ruh post powego rodielam na składow wdłu osi wala i prostopadł do niej: V i Vϕ (R r) ϕ. Z warunku toenia be po ligu wnaam wi ek pomi d pr dko i k tow ruhu obrotowego kuli i pr dko i ruhu post powego. Pr dko ruhu obrotowego musim równie roło na dwie składowe: ω r, ωϕr Rϕ Po podstawieniu uskanh wra e na składowe pr dko i do woru na energi kinetn uskujem: m( + R ϕ ) m( + (R r) ϕ ) 7m R ( R r) T + + m ϕ 5 + 5 Energia potenjalna pola sił i ko i wi ana jest wsoko i ponad ało on poiom odniesienia, któr umie im tak, b wra enie na energi bło najprostse. Jako punkt odniesienia prjmiem najni s punkt osi wala. V(, ϕ ) mg( sin + (R r)sin ϕos ) Ł energi kinetn i potenjaln uskujem funkj Lagrange a: 9
( R r) 7m R L T V + m ϕ + 5 mg( sin + (R r)sin ϕos ) L 7m L R, m + ( R r) ϕ 5 ϕ 5 L L mgsin, mg(r r) os ϕos ϕ I równania ruhu: 7m + mgsin 5 R m + ( R r) mg(r r) os ϕos 5 ϕ + W rowa anm prkładie równania na współr dne odpowiadaj e obu stopniom swobod s nieale ne. Mówim o separaji miennh. W kierunku równoległm do osi wala mam toenie kulki po równi pohłej a w kierunku prostopadłm, toenie kulki po wn tru okr gu. Tej separaji mogli m oekiwa i oba ruh potraktowa nieale nie. Mo liwo separaji ruhu pojawia si awse kied arówno energia kinetna jak i potenjalna dad si predstawi w postai sum składników, którh ka d awiera tlko jedn mienn. Wdielenie podukładu układu stek oddiałwuj h. Rowa m tera nast puj prkład. Załó m, e układ udaje si podieli na dwa podukład i B. Wówas funkja Lagrange a ałego układu awiera sum Lagrangianów obu podukładów, ora potenjał oddiałwania pomi d nimi, ale n wł nie od współr dnh uogólnionh obu podukładów: L L (q,q, t) + L (q,q B B B, t) U(q,qB) Je eli ustalim rewist ruh podukładu B, adaj odpowiednie trajektorie: qb qb(t) Współr dne uogólnione podukładu B prestaj b swobodnmi parametrami układu. Lagrangian układu B mo em potraktowa jako funkj asu i potraktowa j jako pohodna upełn po asie jej ałki nieonaonej d LB LB(t) LB(t) dt dt Mo na j wted usun Lagrangianu. Równie energia potenjalna staje si wówas funkj współr dnh uogólnionh podukładu i asu. Tak wi otrmujem: L L (q,q, t) U(q,qB(t)) funkj Lagrange a układu w polu ewn trnego potenjału wwołanego oddiałwaniem podukładem B. Zilustrujm to prkładem. Chem rowi a problem wahadła matematnego, którego punkt awiesenia wkonuje pionowe drgania adane fukj : d(t) d + Cos ωt.
Startuj równa Newtona ał pewno i b diem mieli w tpliwo i jakie sił diałaj na wahadło. U jem formalimu Lagrange a i predstawionego pow ej triku podiałem układu na i. d(t) r m Rowa am układ ło on punktowej mas m awiesonej na spr nie o długo i d i współnniku spr sto i k. Masa m m mo e wkonwa pionowe ruh. Do mas m podwiesone jest wahadło matematne o długo i r i masie m mog e porusa si w wró nionej płas nie pionowej. Znajd m Lagrangian tego układu. Układ posiada stopnie swobod: długo spr n d i k t odhlenia wahadła od pionu ϕ. Poło enie pierwsego iała wnaa długo spr n d, poło enie drugiego rokładam na dwie składowe pionow i poiom : d + r os ϕ, d r sin ϕϕ r sin ϕ, r os ϕϕ Wra am energie kinetne obu iał pre pr dko i uogólnione odpowiadaj e stopniom swobod: M T d m m T ( d rsin ϕϕ ) + r os ϕϕ ( d d ϕ rsin ϕ+ r ϕ ) Podobnie energie potenjalne: k U (d d ) Mgd U Mg(d + r osϕ) Otrmujem: L T + T U U M d m + k ( d d ϕ rsin ϕ+ r ϕ ) (d d ) + Mgd + mg(d + r osϕ) Rowa an układ mo em podieli na dwie i. Nieh stanowi wahadło, a B masa M na spr nie. Ustalm ruh i B układu, akładaj, e masa m wkonuje ustalone drgania dane funkj : d(t) d + Cos ωt Pr tm ało eniu mo em odrui Lagrangian pierwsej stki ora w poostałej i ast pi mienn nieale n d funkj asu d (t). m L + ( d(t) d(t) ϕ r sin ϕ+ r ϕ ) + mg(d(t) + r os ϕ) m + ( C ω sin ωt + Cωϕ sin ωtr sin ϕ+ r ϕ ) + mg(d + Cos ωt + r os ϕ) d M r
Mo em dokona dalsh abiegów na Lagrangianie polegaj h na usuni iu wsstkih składników daj h si predstawi w postai pohodnej upełnej po asie. Poostaje jego równowa na posta : m L + ( Cωϕ sin ωtrsin ϕ+ r ϕ ) + mgr osϕ Układ posiada owi ie tlko jeden stopie swobod odpowiadaj współr dnej ϕ. Równania ruhu w nieinerjalnh układah odniesienia. Zasad najmniejsego diałania i wnikaj e niej równania Lagrange a wprowadili m pred definiowaniem poj ia układu inerjalnego. Formalim Lagrange a jest wi słusn w dowolnh, równie nieinerjalnh układah odniesienia. Wstar na funkj Lagrange a a niej mo na otrma równania ruhu. Funkj Lagrange a na raie potrafim skonstruowa tlko w układie inerjalnm. W układie nieinerjalnm uskam j prehod układu inerjalnego. Załó m, e w układie inerjalnm któr onam pre Σ najduje si stka oddiałwuj a ewn trnm potenjałem U(r ). Funkja Lagrange a w tm układie odniesienia ma posta : m L v U(r) Onam pre Σ drugi układ odniesienia porusaj si wgl dem układu Σ pr dko i V ( t). Układ ten b die równie inerjaln, je eli pr dko V ( t) b die stała w asie. Zało enie ale no i asowej pr dko i wgl dnej układów prowadi do układu nieinerjalnego. Je eli w układie Σ stka porusa si pr dko i v, to w układie Σ posiada pr dko v v + V( t) Wstawm to wra enie do funkji Lagrange a : m m m L ( v + V( t) ) U v + mv V( t) + V( t) U Zauwa m, e trei składnik sum stanowi pohodn upełn pewnej funkji i mo e osta funkji Lagrange a usuni t. Składnik drugi prekstałim korstaj e wi ku: d d mv V( t) ( mr V( t) ) mr V( t) dt dt Pierws tego wra enia mo na równie usun funkji Lagrange a. Poostaje: m L v mr V( t) U Mo em tera uska równania ruhu: m r + mv( t) + U lub m r mv( t) U Zauwa m, e w równaniu ruhu pojawiła si proporjonalna do mas stki jednorodna siła skierowana preiwnie do kierunku prspiesenia układu nieinerjalnego. Mo em j nawa sił bewładno i. Wnik wdaje si do owist. Prejd m atem do anali mniej owistego problemu. Rowa m tera układ Σ, którego po tek pokrwa si po tkiem układu Σ, le obraaj si wgl dem niego pr dko i k tow Ω (ale n od asu). Wbierm osie i równolegle do pr dko i k towej Ω i najd m wi ki pomi d pr dko iami w obu układah.
Składowe wektora wod ego r w płas nie, wra am pre odległo r od po tków układów i k t ϕ w układie Σ : r sin ϕ r os ϕ Je eli w asie dt stki prebwaj w układie Σ odinek (d,d), to w układie Σ preb d dodatkowe odinki wnikaj e e wi ksenia k ta ϕ o Ω dt. d d + r sin( ϕ + Ωdt) r sin ϕ d + rωdt os ϕ d + Ωdt d d + r os( ϕ + Ωdt) r os ϕ d rωdt sin ϕ d Ωdt Po podieleniu pre dt otrmujem: r r + Ω(,,) Poniewa układ współr dnh wbrali m tak, eb Ω (,, Ω) ϕ atem Ω Ω r Ωj Ωi Ω(,,). i j k Poprednie wra enie mo na apisa jako: r r Ω r Wstawm ten wnik do odpowiedniego wra enia na funkj Lagrange a. Otrmujem: m m m L v + mv V( t) + V( t) U ( r Ω r) + m( r Ω r ) V( t) U atem m m L r mr Ω r + ( Ω r) mrv ( t) mr( V( t) Ω) U Jest to funkja Lagrange a dla stki w układie nieinerjalnm, porusaj m si wgl dem pewnego układu inerjalnego pr dko i liniow V (t) i obraaj ego si wgl dem niego pr dko i k tow ( t) Ω. Napism równania ruhu dla tej stki. Dla uprosenia apisu wprowad poj ie pohodnej kierunkowej, któr ona jako. r B die onaa wektor o składowh,,. Dla pohodnej kierunkowej po wektore wod m jest to po prostu operator, a dla pohodnej po pr dko i odpowiednik. W tm apisie równania Lagrange a maj posta : d L L. dt r r Wkorstajm je do uskanej funkji Lagrange a. L mr mω r r d L mr m r m r dt r Ω Ω r rωdt 3
L mr Ω m r ( Ω r) Ω mv( t) m( V( t) Ω) U Równania ruhu prjmuj posta : m r mω r + mω r mr m( r) Ω Ω Ω mv( t) m( V( t) Ω) U o po upor dkowaniu daje: m r U mv( t) + mω r + mω r m( Ω r ) Ω m( V( t) Ω) Tak wi opró sił wnikaj ej potenjału U pojawia si podobnie jak poprednio jednorodna siła bewładno i wnikaj a prspiesonego ruhu prostoliniowego układu. Dodatkowe wra enia maj równie harakter sił bewładno i wnikaj h ruhu obrotowego układu. Pierwsa nih wnika e mian pr dko i k towh, nast pna ma harakter sił Coriolisa, a druga sił od rodkowej. Zwró m uwag na kierunki i wrot kolejnh składników sił bewładno i. Łatwo sprawdi, e w prpadku iała spowaj ego w porusaj m si ruhem obrotowm układie odniesienia Kierunek tej ostatniej sił pokrwa si promieniem wod m stki w układie. Kierunek sił Coriolisa jest prostopadł do osi obrotu układu nieinerjalnego ora wektora pr dko i. Podsumowanie III. Zastosowali m formalim Lagrange a do podwójnego wahadła matematnego. Nast pnie do uskania równa ruhu brł stwnej. Nauli m si jak sobie radi trajektori naruon na jedn e miennh pre wdielenia układu jego i, adania jego ruhu i potraktowania jej jako układu ewn trnego. Na ako enie uskali m równanie ruhu w nieinerjalnm układie odniesienia. Zało li m ruh nieinerjalnego układu odniesienia ale n od asu pr dko i liniow ora jego obrót e mienn pr dko i k tow. 4
IV. Prawa ahowania, ałki ruhu. Spo ród wsstkih wielko i finh, które mo na obserwowa w układie sególne naenie maj te wielko i, które s stałe w asie. Mówim o ih ahowaniu. W ró nh układah, li w ale no i od harakteru potenjałów (sił) ewn trnh mog b ahowane ró ne wielko i. Wied jakie prawa ahowania słusne s w ropatrwanm układie mo em wkorsta je w elu ułatwienia rowi ania problemu. Wielko i ahowane w asie słu nam równie do klasfikaji (okre lenia) stanu układu. Zanijm od upełnie ogólnh rowa a, które powol nam okre li lib nieale nh wielko i finh, dla którh mo na sformułowa prawa ahowania. Wielko i te nawam ałkami ruhu. Układ o f stopniah swobod jest podas ruhu opiswan pre f wielko i b d h funkjami asu - współr dnh i pr dko i uogólnionh. Sukam nie mieniaj h si w asie funkji th wielko i f( q, q ) onst( t). Zauwa m, e trajektorie, li ale no i asowe współr dnh uogólnionh wliam rowi uj układ f równa ruhu. Poniewa równania ruhu s równaniami ró nikowmi drugiego r du, do rowi a sególnh wprowadam f warunków po tkowh. Rowi ania mus atem awiera f stałh: q q ( t,,..., ) f q q ( t,,..., ) f Traktuj pow se wi ki jako układ równa mo em go rowikła wgl dem stałh i i uska f wielko i, które niew tpliwie od asu nie ale, a stanowi funkje współr dnh i pr dko i uogólnionh. Jedn th stałh usuwam ustalaj hwil po tkow, np.: f t. Poostaje f- wielko i. Mo em wi sformułowa ogóln reguł : Dla układu awieraj ego f stopni swobod mo na okre li f- ałek ruhu. Całki ruhu jako wielko i stałe w asie mo na wkorsta pr rowi waniu równa ruhu, mo na równie posługiwa si nimi do okre lania stanu układu. Niektóre nih maj bardiej uniwersaln harakter. Sególne naenie maj ałki ruhu bepo rednio wi ane własno iami asu i prestreni jednorodno i i iotropowo i. Maj one sególn własno - s addtwne. Ih warto dla układu, któr mo na podieli na dwa nie oddiałwuj e podukład jest sum ih odpowiednih warto i dla podukładów. Energia. Zanijm od ałki ruhu wi anej jednorodno i asu. Je eli rowa an układ jest iolowan, warunku jednorodno i asu wnika, e funkja Lagrange a nie awiera jawnej ale no i asowej: L t. Zatem jej upełna pohodna po asie wnika wł nie ale no i asowej współr dnh i pr dko i uogólnionh: dl L L q + q. dt q q Korstaj równa Lagrange a prekstałam j do: dl d L L d L d L q + q q q dt dt q q dt q dt q 5
Odejmuj od siebie obie stron równania uskujem: d L dt q q L, sk d wnika: L q q L E onst ( t ) Wielko E ma wmiar energii i jest ałk ruh dla ka dego układu iolowanego. Poniewa jej nieale no asow uskali m pr ało eniu L, wnik ten mo em t nathmiast uogólni na układ najduj e si w polu sił ewn trnh nieale nh od asu. Takie układ nawam ahowawmi. Poniewa uprednio pokaali m, e energia kinetna układu stek jest form kwadratow pr dko i uogólnionh mo em auwa, e: L T q q T q, q li: E T( q,) q L. Poniewa funkja Lagrange a jest ró ni energii kinetnej i potenjalnej L T( q,) q U( q), otrmujem: E T( q,) q + U( q). Całka ruhu E jest sum energii kinetnej i potenjalnej, stanowi wi energi ałkowit układu. P d. Wdob d m tera ałki ruhu wi ane jednorodno i prestreni. Ropatrm iolowan układ kilku stek. Załó m, e nie wst puj w nim potenjał ewn trne. W takim prpadku prestre mo em traktowa jako jednorodn, o onaa, e aden punkt w prestreni nie jest wró nion. Ropatrujem niesko enie małe presuni ie równoległe ałego układu i dam niemiennio i funkji Lagrange a wgl dem takiego presuni ia. Jest ona wnikiem jednorodno i prestreni. ra ra + ε, rai rai + εi L L δl εi εi ai rai i a rai Poniewa ε i s dowolne, otrmujem warunek: L a r ai Korstaj równa Lagrange a otrmujem: L d L d L a rai a dt r ai dt a r ai Wra enie, którego pohodna si eruje stanowi nast pn ałk ruhu: L Pi onst( t). a r ai Poniewa we współr dnh karteja skih 6
m L r U ( r ), ai a i i dla nowej ałki ruhu otrmujem: P m r lub P m r i a a ai a a a Uskana ałka ruhu stanowi p d ałkowit układu. Z drugiej stron ten sam warunek L U Fi a rai a rai a onaa erowanie si sum sił w układie (prawo akji i reakji). Mo em tera definiowa now wielko, któr nawam p dem odpowiadaj m okre lonej współr dnej układu. We współr dnh karteja skih L pi mr i r i (Uwaga. P d pojednej stki nie jest ałk ruhu. Całk ruhu jest p d ałkowit.) Podobn wielko mo em definiowa we współr dnh uogólnionh: L p q Nawam j p dem uogólnionm spr onm e współr dna uogólnion q. Dla układu stek we współr dnh karteja skih p d uogólnion odpowiadaj poło eniu stki pokrwa si e nanm fiki ogólnej wra eniem pi mr i. W prpadku współr dnh krwoliniowh, p d uogólnione nie mus mie nawet wmiaru p du, jednak e awse s liniowmi funkjami pr dko i uogólnionh. Podobnie mo em definiowa sił uogólnion L F q i napisa wnikaj równa Lagrange a wi ek p F. Moment p du. Znajd m tera ałk ruhu wnikaj iotropowo i prestreni. W tm elu apism wektor wod e stek we współr dnh sfernh i dokonajm obrotu o jednakow dla wsstkih stek niesko enie mał k t δϕ. Pr takim obroie bewgl dna warto mian wektora wod ego dana jest wra eniem: δr r sin ϑδϕ Poniewa ponadto kierunek δ r jest prostopadł do δ r δϕ r a jego pohodna po asie: δ ϕ i r : 7
δ r δϕ r Załó m, e funkja Lagrange a nie ale w sposób jawn od asu (układ iolowan) i a dajm jej niemiennio i pr obroie δϕ. ϑ L L δl δrai + δr ai ai rai r ai Korstam definiji p du i jego asowej pohodnej: L d L L pi, p i ri dt r i ri uskujem: p δr + p δr, ai ( ) ai ai ai ai a po wstawieniu wra e uskanh na δ ϕ i δr, otrmujem: p ( δϕ r ) + p ( δϕ r ) ai ( ai a i ai a i ) lub w apisie wektorowm: p ( δϕ r ) + p ( δϕ r ) a ( a a a a ) Po mianie kolejno i nników w ilonie miesanm mo em wi gn pred nawias δϕ : d δϕ ( ra p + a ra pa ) δϕ ra pa dt a Korstaj dowolno i δϕ otrmujem: d ra pa dt a li uskali m ałki ruhu J r p onst( t) a a a a Jest to wektor ałkowitego momentu p du układu. Mo em go potraktowa jako sum momentów p du stek twor h układ: J j gdie j r p a a a a a Całkowit moment p du jest ahowan w prpadku układu iolowanego. Jest ahowan równie wted gd w prestreni nie jest wró nion aden kierunek, a wi na prkład dla stki w polu sił entralnh, tn. gd potenjał ale wł nie od odległo i od po tku układu, a nie ale od k tów. Zmienne kline a ałki ruhu. Wraaj do równa Lagrange a mo em auwa inn sposób posukiwania ałek ruhu. L d L q dt q Je eli funkja Lagrange a nie ale od pewnej współr dnej uogólnionej np. q, współr dn tak nawam mienn klin. Zauwa m, e wówas: L d L d p q dt q dt r δϕ δr 8
o onaa, e p d uogólnion spr on e mienn klin jest ałk ruhu. Zilustrujm t mo liwo posukiwania ałek ruhu prostm prkładem. Napism we współr dnh sfernh funkj Lagrange a dla stki w polu sił entralnh: m L ( r + ϕ r sin ϑ + ϑ r ) U(r) Zauwa m, e funkja ta nie ale od k ta ϕ. Zatem ϕ jest mienn klin. Całk ruhu powinien b p d spr on do tej miennej. L p ϕ mϕ r sin ϑ ϕ Łatwo sprawdi, e p d ten stanowi ponan ju ałk ruhu, mianowiie etow składow momentu p du. J r p Równania kanonine Hamiltona. W ponanm pre nas formalimie Lagrange a układ mehanin opiswan bł pr u iu współr dnh i pr dko i uogólnionh. W pewnh astosowaniah, wgodniej jest opisa układ pr pomo innh wielko i finh. W mehanie kwantowej nie operuje si poj iem pr dko i stki, gd ona jest naogół nieokre lona, ale p dem maj m nanie leps interpretaj fin. Prejd m wi do formalimu, w którm układ ostanie opisan pr u iu współr dnh i p dów uogólnionh. Nosi on naw formalimu Hamiltona. Ró nik funkji Lagrange a L dl q dq L + q dq korstaj definiji p du uogólnionego ora równa Lagrange a L p q d L L p dt q q mo em prekstałi do postai: dl ( p dq + pdq ) ( p dq + pdq + q dp q dp ) d pq + ( p dq q dp ) o mo na apisa jako: d ( pq L) ( p dq q dp ) Lew stron potraktujm jako ró nik upełn nowej funkji, któr nawiem funkj Hamiltona: L H (p q L) ( q L) E q Zauwa m, e funkja Hamiltona odpowiada definiowanej poprednio energii ałkowitej układu. Ró nika upełna funkji Hamiltona dana jest wra eniem dh q dp p dq ( ) 9
Mo em auwa bardo istotn w tm momenie własno funkji Hamiltona. Zgodnie definij ró niki upełnej, ró niki po prawej stronie okre laj nieale ne argument funkji. S nimi współr dne i p d uogólnione. Funkja Hamiltona jest funkj współr dnh i p dów (pami tam, e funkja Lagrange a bła funkj współr dnh i pr dko i). Poniewa H H dh dp + dq dp dq porównuj to wra enie poprednim uskujem równania: H H q ora p dp dq Nos one naw równa Hamiltona. Jest to układ f równa ró nikowh pierwsego r du. Zauwa m, e je eli równania Hamiltona s spełnione, wówas: dh H H H H H q p ( p q + q p ) + dt + + q p t t t W prpadku braku jawnej ale no i hamiltonianu od asu otrmujem prawo ahowania energii. Podsumujm uskan wnik. Funkja Hamiltona odpowiada wra eniu na energi ałkowit b d sum energii kinetnej i potenjalnej: H T + U, w którm ale no od pr dko i ostała ast piona ale no i od p dów: H H( q, p, t) Równania Hamiltona: H H q ora p dp dq podobnie jak równania Lagrange a prowad do równa ruhu. Nawias Poissona. W formalimie hamiltonowskim wielko i fine wra am funkjami poło e i spr onh nimi p dów uogólnionh. Dot to arówno hamiltonianu okre laj ego energi ałkowit układu jak i innh wielko i finh. Rowa m pewn wielko fin, której ale no od współr dnh, p dów i asu dana jest pewn funkj f(q,p,t). Zupełn pohodn asow tej funkji df dt f f t + q q + f p p mo em prekstałi korstaj równa Hamiltona: H H q ora p dp dq do postai: df f f H H f f + (f, H) + dt t q p q p t Wst puje tutaj wra enie budowane pohodnh stkowh po p die i poło eniu wj iowej funkji f, ora hamiltonianu. Wra enie to nosi naw nawiasu Poissona funkji f i funkji H. Poniewa nawias Poissona wielko i finej f i hamiltonianu okre la jej upełn pohodn asow mo e b pomon w posukiwaniu ałek ruhu. Je eli funkja f 3
nie ale jawnie od asu, o onaa erowanie si jej pohodnej stkowej, to warunkiem b bła ałk ruhu jest nikanie jej nawiasu Poissona hamiltonianem: ( H, f ). Nawias Poissona mo na definiowa dla dowolnej par wielko i finh apisanh w formalimie Hamiltona (atem b d m funkjami poło e i p dów). Dowolnej pare (q,p) i B(q,p) prpor dkujem funkj nos naw nawiasów Poissona, definiowan jako: n B B (, B) q p q p W dalsm i gu wkładu nie b diem wkorstwa nawiasów Poissona, prejdiem bowiem do innh agadnie, jednak e musim im po wi i nieo uwagi e wgl du na ih rol w prej iu od mehaniki klasnej do kwantowej. Na m ona polega dowiem si w prsłm semestre, disiaj ogranim si do ponania kilku ih własno i, do którh odwołam si w prsłm semestre podas wkładu mehaniki kwantowej.. (, B) ( B, ),. (,) 3. ( + B, C) (, C) + ( B, C), 4. ( B, C) ( B, C) + (, C) B, 5. ((, B),C) + ((C,),B) + ((B,C),), 6. (, W), ( W, B) W(, B) dla stałej (nieale nej od poło e i p dów) W: 7. ( q, q ), ( p, p ), ( q, p ) δ i j i j i j ij 8.(, q i ) p i 9. (, p i ) q. ( ) j, j j i Pierwsa własno (antsmetria) jest widona na pierws rut oka be wkonwania adnh rahunków: (, B) ( B, ) Z niej kolei wnika bepo rednio: (, ). Ze wgl du na liniowo nawiasów Poissona wgl dem obu wielko i finh równie be trudu uskujem ih rodielno wgl dem sumowania: ( + B, C) (, C) + ( B, C). Własno rodielno i dla ilonu wielko i finh musim poli : n ( B) C C ( B) ( B, C) q p q p n B C + B C B C C q p q p q p q B p n B C B C n + B C C B q p q p q p q p ( B, C) + B(, C) Podobnie lim własno 5. Własno 6 wnika bepo rednio definiji nawiasów Poissona: 3
(, W), ( W, B) W(, B), a własno i 7-9 równie sprawdam w pami i. Podsumowanie IV. Wprowadili m poj ie ałki ruhu jako wielko i finej niemiennej w asie. Z ogólnh rowa a wnika, e układ o f stopniah swobod mo e mie f- nieale nh ałek ruhu. Kilka najwa niejsh ałek ruhu wnika podstawowh własno i prestreni i asu. Di ki jednorodno i asu ałk ruhu jest energia, di ki jednorodno i prestreni p d ałkowit a ałk ruhu wnikaj iotropowo i prestreni jest ałkowit moment p du. Nast pnie wprowadili m poj ie miennej klinej i pokaali m, e p d uogólnion spr on do miennej klinej jest równie ałk ruhu. Korstaj wprowadonej uprednio definiji p du uogólnionego presli m do nowego formalimu, w którm jako mienne nieale ne traktowane s nie współr dne i pr dko i ale współr dne i p d. Nosi on naw formalimu Hamiltona. W formalimie tm rol funkji Lagrange a prejmuje funkja Hamiltona, maj a sens energii ałkowitej układu wra onej popre poło enia i p d. Równania ruhu generowane s pre tw. równania kanonine Hamiltona. Dla f stopni swobod stanowi one układ f równa ró nikowh pierwsego r du wgl dem asu (równania Lagrange a stanowiła układ f równa drugiego r du). W formalimie Hamiltona definiujem tw. Nawias Poissona, które w mehanie klasnej s pomone pr posukiwaniu ałek ruhu a najwa niejsm ih astosowaniem jest prej ie od mehaniki klasnej do kwantowej. Podsumowanie mehaniki klasnej.. Mehanik teoretn budowali m postuluj na wst pie asad najmniejsego diałania: Dla ka dego układu mehaninego mo na nale funkj współr dnh i pr dko i uogólnionh ora asu L(q, q, t) tak, e funkjonał: [ ] t S q ~, ~ q dt L( ~ q, q ~, t) t prjmuje najmniejs warto dla ruhu rewistego, tj. ~ q ( t) q ( t). Funkja L nosi naw funkji Lagrange a, a funkjonał S nawam diałaniem.. W ogólno i funkja Lagrange a jest ró ni energii kinetnej i potenjalnej: L(r, r, t) T(r U ) ( r ) 3. Znaj funkj Lagrange a mo em uska równania ruhu wkorstuj równania Lagrange a II rodaju: L d L q dt q 4. Wprowadili m poj ie ałki ruhu. Mo em nale f- nieale nh ałek ruhu. Niektóre nih wi ane s podstawowmi własno iami prestreni i asu: E,P, J. Ponadto ałkami ruhu s p d kanoninie spr one do miennh klinh ora wielko i fine, którh nawias Poissona hamiltonianem nika. 3
5. Pr pomo funkji Lagrange a mo em definiowa p d uogólnione: L p q 6. Traktuj jako mienne nieale ne współr dne uogólnione i p d uogólnione mo em prej do alternatwnego formalimu Hamiltona, w którm równania ruhu uskujem równa Hamiltona H H q ora p dp dq gdie funkja Hamiltona stanowi wra enie na energi ałkowit układu wra on jako funkj poło e i p dów. H( q, p, t) T + U 7. W formalimie Hamiltona ka dej pare wielko i finh mo na prpisa nawias Poissona: n B B (, B) q p q p posiadaj ał sereg iekawh własno i. Th ostatnih prpomina nie b d, poniewa omówili m je pred hwil. 33
() Mehanika relatwistna V. Zasada wgl dno i Einsteina Mehanika klasna opisuje poprawnie sereg jawisk finh i pod konie XIX w wdawało si, e pr jej pomo mo na interpretowa wsstkie jawiska wst puj e w prrodie. Jednak e w miar udoskonalania metod pomiarowh i roserania kierunków bada ekspermentalnh aobserwowano jawiska, którh mehanika klasna nie bła w stanie poprawnie opisa. Pierwsm faktem do wiadalnm wkraaj m poa obsar stosowalno i mehaniki klasnej a pre to apreaj jej poprawno i bł eksperment Mihelsona i Morlea, któr (w 88r) pokaali, e pr dko wiatła nie ale od pr dko i układu odniesienia w którm dokonujem pomiaru. V l Tmasem godnie mehanik klasn, je eli układ porusa si pr dko i V wdłu długo i l, to as potrebn na jej pokonanie pre wiatło błb: l l l l t + ( + v + v). v + v v v Natomiast je eli układ obróim, tak b układ porusał si prostopadle do l, potrebn jest as: l t. Zauwa m, e t >t o nie jest godne wnikiem ekspermentu. Stało pr dko i wiatła w układah porusaj h si wgl dem siebie jest sprena wnikiem transformaji Galileusa, której prawdiwo stanowi jedno podstawowh ało e mehaniki klasnej (pami tam, e korstali m niej konstruuj pierws funkj Lagrange a). Bł dna jest atem ała teoria klasna. Problem polega na ało eniu niesko onej sbko i rohodenia si oddiałwa. Zało enie to jest bł dne. Okauje si mianowiie, e istnieje maksmalna pr dko presłania informaji, t maksmaln pr dko i rohodi si wiatło i dlatego nawano j pr dko i wiatła. Naturalnie problem pojawiaj si dopiero pr bardo du h pr dko iah stek twor h układ, dla którh pr dko rohodenia si oddiałwa jest nie do aniedbania. Teoria uwgl dniaj a now fakt ekspermentaln ostała sformułowana w 95r. pre Einsteina. Bauje ona na dwóh podstawowh ało eniah, które nos naw asad wgl dno i Einsteina. Wsstkie jawiska fine prebiegaj jednakowo we wsstkih inerjalnh układah odniesienia. Maksmalna pr dko rohodenia si oddiałwania (informaji) jest w ka dm inerjalnm układie odniesienia jednakowa i wnosi.998* 8 m/s. 34