Wykład 3. Ruch w obecno ś ci wię zów

Wykład 3 Ruch w obecno ś ci wię zów Wię zy Układ nieswobodnych punktów materialnych Układ punktów materialnych, których ruch podlega ograniczeniom wyraŝ onym przez pewne zadane warunki dodatkowe. Wię zy Przyczyny powodują ce ograniczenie ruchu punktów materialnych nazywa się wię zami. Równania wię zów Warunki ograniczają ce ruch, wynikają ce z istnienia wię zów nazywamy równaniami lub nierównoś ciami wię zów. W przypadku równań mamy do czynienia z tzw. wę złami dwustronnymi; w przypadku nierównoś ci z wę złami jednostronnymi. 1

Wię zy holonomiczne Wię zy holonomiczne Ŝ ą Wię zy ograniczają ce ruch w przestrzeni konfiguracyjnej, poprzez uczynienie pewnych obszarów przestrzeni konfiguracyjnej niedostę pnymi dla ruchu. Równania i nierównoś ci wę złów holonomicznych wią ze sobą jedynie współrzę dne punktów i czas. Wię zy reonomiczne Jeś li równania i nierównoś ci wę złów nie zaleŝ ą nazywamy reonomicznymi. jawnie od czasu to wię zy Wię zy - przykłady Kulka poruszają ca się pomię dzy dwiema równoodległymi powierzchniami Jeś li rozmiary kulki są małe, a powierzchnie dostatecznie bliskie sobie to równanie wię zów przymnie postać : gdzie f(x,y,z)=0 jest równaniem powierzchni Dwie kulki połą czone nicią Małych rozmiarów kulki połą czone są nierozcią gliwą i niewaŝ ką nicią. Nierównoś ć wię zów przebiera wówczas postać : gdzie l jest długoś cią nici. 2

Wię zy przykłady 2 Koralik poruszają cy się na sztywnym drucie Jeś li rozmiary kulki są małe i porusza się ona bez luzu na drucie to równania wię zów mają postać : gdzie krzywa opisują ca kształt drutu jest przecię ciem dwóch płaszczyzn o równaniach f 1 (x,y,z)=0, f 2 (x,y,z)=0 Kulka w prostopadło ś ciennym pudełku Mała kula porusza się wewną trz prostopadłoś ciennego pudełka o sztywnych ś ciankach. Nierównoś ci wę złów mają postać : Siły reakcji wię zów Istnienie wię zów powoduje pojawienie się w tzw. sił reakcji. W przedstawionych przykładach widać, iŝ siły są siłami sprę Ŝ ystymi, prostopadłymi do powierzchni i krzywych wyznaczonych równaniami wię zów. ć Prostopadłoś siły reakcji do (hiper)powierzchni w przestrzeni konfiguracyjnej moŝ na wyrazić w nastę pują cy sposób: Prostopadłoś ć siły reakcji do (hiper)krzywej - tzn. przecię cia dwóch(kilku) (hiper)powierzchni - w przestrzeni konfiguracyjnej zapisuje się nastę pują co: 3

Równania Newtona w obecno ś ci sił reakcji wię zów Rozpatrzmy opis dynamiki ruchu układu punktów materialnych w obecnoś ci dwustronnych wę złów holonomicznych. W równaniach Newtona wystę pują dodatkowe siły reakcji wię zów. Trajektorie punktów i postać tych sił moŝ na znaleź ć rozwią zują c równania Newtona wraz z równaniami wę złów. PowyŜ szy układ n równań róŝ niczkowych i k równań algebraicznych pozwala wyznaczyć n trajektorii r(t) i k funkcji λ(t) przy zadanych 6n warunkach począ tkowych. Stopnie swobody Gdy układzie wystę pują holonomiczne wę zły dwustronne to równania wę złów uzaleŝ niają do siebie współrzę dne w przestrzeni konfiguracyjnej. Stopnie swobody Liczbę bę dą cą rocznica pomię dzy iloś cią współrzę dnych konfiguracyjnych a liczbą równań wię zów nazywamy liczbą stopni swobody układu. Liczba stopni swobody układu okreś la iloś ć zmiennych niezaleŝ nych spoś ród 3n współrzę dnych przestrzeni konfiguracyjnej Np. Punkt poruszają cy się po zadanej krzywej w przestrzeni trójwymiarowej opisany trzema współrzę dnymi, lecz z powodu dwóch równań wię zów opisują cych krzywą posiada tylko jeden stopień swobody 4

Ruch swobodny Równanie Newtona moŝ na przedstawić w równowaŝ nej postaci: gdzie wektor (1a) (1b) jest dowolnym co do wielkoś ci i kierunku wektorem. MnoŜ ą c skalarne równanie Newtona (1a) przez wektor δr otrzymujemy równanie (1b). Natomiast korzystają c z dowolnoś ci δr i przyjmują c kolejno dla równania (1b): otrzymujemy równanie Newtona dla kolejnych składowych kartezjań skich x(t), y(t), z(t) wektora połoŝ enia Ruch po powierzchni PokaŜ emy, iŝ w przypadku ruchy punktu materialnego po powierzchni o równaniu f(x,y,x,t)=0 równanie Newtona (2a) moŝ na zapisać w formie: (2b) 5

Ruch po powierzchni MnoŜ ą c równanie (2a) przez wektor δr otrzymujemy natychmiastowo równanie (2b). Aby przeprowadzić dowód twierdzenia odwrotnego wyznaczmy δx z zaleŝ noś ci Wstawiają c δx do równania (2b) otrzymamy: gdzie: X, Y, Z oznaczają składowe wektora siły F Ruch po powierzchni Wobec dowolnoś ci wektorów δx i δy otrzymujemy: Rozdzielają c zmienne x i y w pierwszym równaniu i x i z w drugim dostajemy PowyŜ szy układ trzech równań jest toŝ samy z równaniem wektorowym (2a) 6

Ruch po krzywej Równanie Newtona dla punktu poruszają cego się nastę pują cą postać : po zadanej prostej na (3a) MoŜ na pokazać, iŝ równanie to moŝ na przedstawić w innej równowaŝ nej postaci: ( (3b) Przesunię cie wirtualne Wektor δr jest, zgodnie ze swoja definicją, styczny do powierzchni (lub krzywej) wię zów. Okreś la zatem, w danej chwili czasu, wszystkie potencjalnie kierunki przesunię ć zgodne z wę złami. Z tego powodu okreś lany jest jako tzw. przesunię cie wirtualne. Wektor przesunię cia wirtualnego naleŝ y odróŝ nić od jednoznacznie okreś lonego wektora przesunię cia rzeczywistego dr wskazują cego kierunek ruchu w chwili t. W przypadku gdy równania wię zów zaleŝ ą od czasu, tor ruchu nie porywa się z krzywą wię zów( lub nie leŝ y na powierzchni wię zów). Wówczas wektory δr i dr nie bę dą w ogólnoś ci leŝ eć na tej samej płaszczyź nie. 7

Praca sił reakcji Siły reakcji wię zów są prostopadłe do powierzchni lub krzywej wię zów. Ze stycznoś ci wektora przesunię cia wirtualnego do powierzchni lub krzywej wię zów wynika, iŝ jest on prostopadły do siły reakcji wię zów Praca wykonywana przez siły reakcji wię zów na przesunię ciach wirtualnych (tj. zgodnych z wię zami) jest równa zeru. Równowaga Punkt materialny znajduje się w połoŝ eniu równowagi wzglę dem układu odniesienia U, gdy nie posiadają c prę dkoś ci począ tkowej v(0)=0 zachowuje to połoŝ enie w póź niejszych chwilach czasu. Łatwo zauwaŝ yć, iŝ oznacz to równieŝ, Ŝ e punkt w połoŝ eniu równowagi nie posiada przyspieszenia. Z zasady d Alemberta otrzymujemy: W warunkach równowagi działają ce siły zewnę trzne muszą być prostopadłe do powierzchni (lub krzywych) wię zów. Siły akcji prostopadłe do powierzchni (lub krzywych) wię zów nie wykonują pracy; nie wpływają zatem na ruch układu; zmieniają natomiast wartoś ć sił reakcji wię zów. Pracę wykonaną na przesunię ciach wirtualnych (tzn. zgodnych z wię zami) nazywamy pracą wirtualną. W warunkach równowagi praca wirtualna jest równa zeru. 8

Zasada d Alemberta Dynamika układu w obecnoś ci wię zów okreś lona jest wyłą cznie przez siły zewnę trzne styczne do powierzchni (krzywych) wię zów. F oznacza wypadkową siłę zewnę trzną a wektor δr (tzw. wektor przesunię ć wirtualnych) jest dowolnym wektorem stycznym do powierzchni (krzywych wię zów.) Warunku zawartego w zasadzie d Alemberta nie spełniają siły reakcji wię zów. Wobec czego, w powyŝ szym równaniu moŝ na uwzglę dnić jedynie siły akcji F a Zasada d Alemberta dla układu punktów materialnych Ruch na powierzchni Ruch układu n punktów materialnych naleŝ y rozpatrywać w 3n wymiarowej przestrzeni konfiguracyjnej. Podobnie (tj. jako 3n wymiarowe obiekty) naleŝ y rozumieć hiperpowierzchnie wię zów i hiperkrzywe (przecię cia hiperpowierzchni) wię zów. Zasada d Alemberta dla układu n punktów z hiperkrzywą wię zów (utworzoną z przecię cia p hiperpłaszczyzn) moŝ e być zapisana w nastę pują cej postaci: 9

Podsumowanie Wię zy holonomiczne ograniczają ce ruch w przestrzeni konfiguracyjnej, poprzez uczynienie pewnych obszarów przestrzeni konfiguracyjnej niedostę pnymi dla ruchu. Wystę powanie wię zów w wywołuje pojawienie się dodatkowych sił w układzie zwanych siłami reakcji wię zów. Siły te są prostopadłe do płaszczyzn i krzywych wię zów. Sformułowanie zasady d Alemberta jest równowaŝ ne równaniom Newtona, jawnie uwzglę dniają cym siły trakcji wię zów. Praca wykonywana przez siły reakcji wię zów na przesunię ciach wirtualnych (tj. zgodnych z wię zami) jest równa zeru. Siły akcji prostopadłe do powierzchni wię zów nie mają wpływu na dynamikę układu zmieniają jedynie wartoś ć sił reakcji wię zów Wykład 4 Równania Lagrange a 10

Współrzę dne uogólnione Równania wię zów dwustronnych uzaleŝ niają od siebie współrzę dne w przestrzeni konfiguracyjnej. Na ogół z p równań postaci: Daje się wyznaczyć p współrzę dnych jako funkcje pozostałych. (Współrzę dne: x 1,x 2,,x 3n są współrzę dnymi - np. kartezjań skimi - n punktów w 3-wymiarowej przestrzeni.) Liczba niezaleŝ nych współrzę dnych pozwalają cych jednoznaczne okreś lić połoŝ enia punktów ograniczonych wię zami jest równa licznie stopni swobody układu f=3n-p. f współrzę dnych pozwalają cych jednoznacznie okreś lić połoŝ enia punktów układu zgodne z wię zami nazywamy współrzę dnymi uogólnionymi Współrzę dne uogólnione Wprowadź my nastę pują ce oznaczenia dla zespołu współrzę dnych kartezjań skich i zespołu współrzę dnych uogólnionych: Łatwo zrozumieć iŝ dla kaŝ dego równania wię zów zachodzi: Fakt, iŝ wszystkie funkcje f k są toŝ samoś ciowo równe dla dowolnych wartoś ci współrzę dnych q wynika z tego, Ŝ e spełniają one równania wę złów z załoŝ enia. Z powyŝ szej toŝ samoś ci wynika, Ŝ e: dla wszystkich l ik. 11

Współrzę dne uogólnione Składowe kartezjań skie wszystkich przesunię ć wirtualnych są wariacją funkcji x(q,t) Wielkoś ci oznaczone δq l są zgodnymi z wię zami. nazywane uogólnionymi przesunię ciami wirtualnymi MoŜ na wykazać, iŝ warunek Ŝ ą dają cy stycznoś ci przesunię ć wirtualnych do hiperpowierzchni wię zów nie ogranicza wyboru uogólnionych przesunię ć wirtualnych ZauwaŜ my, iŝ prawa strona jest zawsze, tj. niezaleŝ nie do warto ś ci δq l, równa zeru. Wynika to z: Siły uogólnione Wprowadzają c do zasady d Alemberta uogólnione przesunię cia wirtualne otrzymamy: Wielkoś ci oznaczone jako: nazywamy siłami uogólnionymi. 12

Równania Lagrange a (II rodzaju) Dokonują c nastę pują cego przekształcenia: gdzie T ma sens energii kinetycznej: moŝ na zapisać zasadę d Alemberta w innej formie: (1) Równania Lagrange a (II rodzaju) Wobec dowolnoś ci uogólnionych przesunię ć równowaŝ ne układowi równań postaci: wirtualnych równanie (1) jest dla l=1,2,,f. Równania te nazywany równaniami Lagrange a II rodzaju. Równania Lagrange a (II rodzaju) są równaniami róŝ niczkowymi drugiego rzę du. Pozwalają one wyznaczyć trajektorie f współrzę dnych uogólnionych dla układu 3n punktów materialnych o f stopniach swobody. Aby rozwią zać (scałkować ) równania Lagrange a (II rodzaju) naleŝ y podać 2f warunków począ tkowych dla połoŝ eń i prę dkoś ci uogólnionych w postaci: 13

Równania Lagrange a (II rodzaju) W równaniach Lagrange a (II rodzaju) nie wystę pują siły reakcji wię zów oraz równania wię zów jako warunki dodatkowe. Zatem z równań tych nie moŝ na wyznaczyć sił reakcji. Wybór współrzę dnych uogólnionych, dla zadanej postaci wię zów nie jest jednoznaczny. MoŜ na wykazać, iŝ równania Lagrange a (II rodzaju) mają taką samą postać niezaleŝ nie od wyboru współrzę dnych uogólnionych. Równania te są wię c niezmiennicze wzglę dem przekształceń współrzę dnych uogólnionych zgodnych z wę złami. Równania Lagrange a (II rodzaju) dla sił potencjalnych Jeś li siły X j mają postać sił potencjalnych, tzn. w układzie kartezjań skim siłę wypadkową moŝ na zapisać jako gradient potencjału V: (gdzie, j=1,2,,3n), to siły uogólnione moŝ na wyrazić nastę pują co: Gdy V jest potencjałem, to zaleŝ y jedynie od połoŝ eń uogólnionych i od czasu. Zatem: (gdzie, l=1,2,,f). Dzię ki temu równanie Lagrange a moŝ na przedstawić w nastę pują cej formie: 14

Równanie Lagrange a (II rodzaju) dla sił potencjalnych Definiują c funkcję : nazywaną funkcją Lagrange a moŝ na zapisać równanie Lagrange a (II rodzaju) w nastę pują cej postaci: (2) gdzie l=1,2,,f Znalezienie trajektorii ruchu we współrzę dnych uogólnionych wymaga znajomoś ci postaci funkcji Lagrange a. Aby podać funkcję Ladrange a naleŝ y zapisać energię kinetyczną i potencjalną układu czą stek we współrzę dnych uogólnionych, a nastę pnie wyznaczyć ich róŝ nicę. Równania Lagrange a (II rodzaju) potencjał uogólniony MoŜ na wykazać, iŝ równania Lagrange a mogą mieć postać (2) gdy gdzie funkcja U, nazywana potencjałem uogólnionym jest zwią zania z siłami ( i siłami uogólnionymi) nastę pują cymi zaleŝ noś ciami: gdzie l=1,2,,f; j=1,2,,3n Funkcja U nie jest potencjałem. Oznacza to, iŝ praca wykonana przez siły Q i X okreś lone powyŝ szymi wzorami zaleŝ y od drogi ma której przemieszczano układ w przestrzeni konfiguracyjnej. 15

Przykłady równa ń Lagrange a (II rodzaju) Znajdź funkcję Lagrange a oraz równania ruchu dla czą stki poruszają cej się po paraboloidzie pod wpływem przycią gania ziemiskiego. Równanie paraboloidy (równanie powierzchni wię zów) ma postać : Zapisują c energię kinetyczną i potencjał we współrzę dnych cylindryczny oraz eliminują c z za pomocą równania wię zów otrzymamy: Funkcja Lagrange a ma postać : Przykłady równa ń Lagrange a (II rodzaju) Wyznaczają c jawną postać nastę pują cych wyraŝ eń : Otrzymujemy z równań Largang a nastę pują cą postać równań ruchu: 16

Przykłady równa ń Lagrange a (II rodzaju) Znajdź funkcję Lagrange a oraz równania ruchu dla podwójnego wahadła płaskiego. Wprowadzany współrzę dne uogólnione: Kwadrat prę dkoś ci we wsp. kartezjań skich) wyraŝ a się poprzez wsp. uogólnione: Pozwala to wyrazić energię kinetyczną we współrzę dnych uogólnionych. Przykłady równa ń Lagrange a (II rodzaju) Znają c postać energii kinetycznej i potencjału moŝ na podać postać funkcji Lagrange a: Z równań Lagrange a otrzymujemy dwa równania ruchu: 17

Podsumowanie Współrzę dne uogólnione pozwalają jednoznacznie okreś lić połoŝ enia punktów układu zgodne z wię zami. Liczba współrzę dnych uogólnionych jest równa liczbie stopni swobody układu. Równania Lagrange a (II rodzaju) są równaniami róŝ niczkowymi drugiego rzę du. Pozwalają one wyznaczyć trajektorie f współrzę dnych uogólnionych dla układu 3n punktów materialnych o f stopniach swobody. Aby rozwią zać (scałkować ) równania Lagrange a (II rodzaju) naleŝ y podać 2f warunków począ tkowych dla połoŝ eń i prę dkoś ci uogólnionych W równaniach Lagrange a (II rodzaju) nie wystę pują równania wię zów jako warunki dodatkowe siły reakcji wię zów oraz Dla pewnej kategorii sił moŝ na zdefiniować potencjał (lub potencjał uogólniony). Pozwala to wprowadzić do równań Lagrange a funkcję Lagrange a. Funkcja Lagrange a jest róŝ nicą energii kinetycznej i potencjału (lub potencjału uogólnionego) 18