Metoda pól klasycznych w opisie gazu bozonowego w równowadze termodynamicznej

Emilia Witkowska Metoda pól klasycznych w opisie gazu bozonowego w równowadze termodynamicznej Praca doktorska napisana pod kierunkiem doc. dr hab. Mariusza Gajdy Instytut Fizyki Polskiej Akademii Nauk Warszawa 27

Spis treści i Spis treści Streszczenie iii 1 Wprowadzenie 1 1.1 Co to jest kondensat Bosego-Einsteina?.............. 3 1.2 Metoda Bogoliubowa........................ 3 1.3 Metoda pól klasycznych...................... 9 2 Kwantowanie drgań nieliniowej struny 13 2.1 Dynamika nieliniowej struny.................... 13 2.2 Stan równowagi termodynamicznej................ 15 2.3 Elementarne wzbudzenia: fonony................. 18 3 Dynamika fazy kondensatu Bosego Einsteina 24 3.1 Klasyczne pole na sieci: model................... 24 3.2 Implementacja numeryczna.................... 26 3.3 Metoda pól klasycznych: wyniki symulacji numerycznych.... 27 3.4 Metoda Bogoliubowa: wyniki rachunków analitycznych..... 3 3.4.1 Funkcja korelacji liczby atomów w kondensacie...... 31 3.4.2 Dynamika wariancji fazy kondensatu........... 4 4 Naładowane nieliniowe pole Kleina Gordona 46 4.1 Model................................ 46 4.2 Metoda Bogoliubowa: opis w temperaturze zerowej....... 49 4.2.1 Widmo elementarnych wzbudzeń............. 5 4.2.2 Operator pola........................ 51 4.2.3 Hamiltonian......................... 53 4.2.4 Ładunek........................... 54 4.2.5 Granica pola nieoddziałującego: λ.......... 55 4.2.6 Granica nierelatywistyczna................. 56 4.3 Metoda pól klasycznych: opis w temperaturze większej od zera. 57 4.4 Przybliżenie Bogoliubowa Popowa................. 67 4.5 Kondensat Bosego Einsteina relatywistycznych cząstek..... 75 5 Podsumowanie wyników 79 Bibliografia 82

ii Metoda pól klasycznych w opisie gazu bozonowego w równowadze termodynamicznej

Streszczenie iii Streszczenie W niniejszej pracy prezentujemy metodę pól klasycznych służącą do opisu kondensatu Bosego-Einsteina w stanie równowagi termodynamicznej. Metoda ta została zaproponowana w pracach [1, 2, 3] i zastosowana do opisu własności kondensatu Bosego Einsteina. W tej pracy metodę pól klasycznych zastosowaliśmy w dwóch przypadkach: analizy dynamiki fazy kondensatu Bosego Einsteina, oraz badania dynamiki i właściwości termicznych dodatnio naładowanego pola Kleina Gordona. W obu przypadkach omówione zostały wyniki symulacji numerycznych wykonanych metodą pól klasycznych, oraz rachunków analitycznych wykonanych w przybliżeniu Bogoliubowa. Proponujemy również fizyczną interpretację, istotnego w metodzie pól klasycznych, parametru obcięcia modów o wysokich energiach. We wprowadzeniu opisujemy podstawowe własności kondensatu Bosego- Einsteina, oraz omawiamy jego definicję zaproponowaną przez Penrosa i Onsagera [4]. Rozważamy dwie metody służące do opisu kondensatu: metodę Bogoliubowa, słuszną w temperaturze T =, oraz metodę pól klasycznych, będącą uogólnieniem metody Bogoliubowa dla temperatur T >. Rozdział drugi poświęcony jest badaniu fizycznego znaczenia parametru obcięcia występującego w metodzie pól klasycznych. Na podstawie analizy własności rzeczywistego pola wychyleń oddziałujących oscylatorów pokazujemy, że parametr obcięcia jest istotnym fizycznym parametrem równoważnym wprowadzeniu stałej Plancka do klasycznej teorii pola. W rozdziale trzecim prezentujemy analizę dynamiki fazy kondensatu Bosego Einsteina w temperaturze większej od zera. W szczególności, koncentrujemy się na analizie trzech funkcji: wariancji fazy, funkcji korelacji liczby atomów w kondensacie i funkcji korelacji amplitudy modu o zerowej energii. Wykonaliśmy obliczenia numeryczne oraz rachunki analityczne metodą Bogoliubowa w ramach trzech przybliżeń: (i) Bogoliubowa, (ii) Bogoliubowa uwzględniającego skończony czas życia kwazicząstek, oraz (iii) przybliżenia opierającego sie na hipotezie ergodycznej. Pokazaliśmy, że wariancja fazy jest kwadratową funkcją czasu, a czas korelacji liczby atomów w kondensacie jest nieskończony. Przybliżenie Bogoliubowa poprawnie opisuje dynamikę funkcji jedynie dla krótkich czasów, natomiast długoczasowe zachowanie jest poprawnie opisane po założeniu ergodyczności dynamiki. Oznacza to, że zachowanie energii podczas ewolucji układu wprowadza dodatkowe korelacje między amplitudami modów i nie pozwala na znikanie pewnych funkcji korelacji. Obliczyliśmy również zależność temperaturową interesujących nas wielkości,

iv Metoda pól klasycznych w opisie gazu bozonowego w równowadze termodynamicznej zarówno metodą pól klasycznych, jak i metodą Bogoliubowa. Wariancja fazy i długoczasowe zachowanie dwuczasowej funkcji korelacji liczby atomów w kondensacie są kwadratowymi funkcjami temperatury. Wyniki rachunków analitycznych w przybliżeniu ergodycznym są w bardzo dobrej zgodności z wynikami symulacji numerycznych w ramach metody pól klasycznych nawet w temperaturach bliskich temperatury krytycznej. W rozdziale czwartym stosujemy metodę pól klasycznych do opisu własności naładowanego nieliniowego pola Kleina-Gordona. Relatywistyczne pole w stanie równowagi termodynamicznej badamy numerycznie oraz analitycznie w ramach przeprowadzonej do tego celu procedury Bogoliubowa. Pokazaliśmy, że dla energii rzędu masy spoczynkowej następuje makroskopowe gromadzenie się ładunku w stanie o najniższej energii powstaje kondensat Bosego Einsteina. Analizując widmo amplitud wykazaliśmy, że w układzie istnieją dwa typy wzbudzeń: fononowe, których relacja dyspersyjna jest liniowa dla małych pędów, oraz wzbudzenia charakteryzowane przez kwadratową relację dyspersyjną dla małych pędów. W przybliżeniu Bogoliubowa obliczyliśmy energie tych wzbudzeń oraz zdiagonalizowaliśmy hamiltonian i ładunek. Sprawdziliśmy, że wielkości te mają poprawną granicę pola nieoddziałującego i właściwą granicę nierelatywistyczną. Numerycznie badaliśmy zależność od temperatury potencjału chemicznego, ładunku cząstek, ładunku zgromadzonego w modzie o zerowej energii oraz jego fluktuacje. Pokazaliśmy, że potencjał chemiczny jest taki sam dla cząstek i antycząstek, i jest rosnącą funkcją temperatury. Wykazaliśmy również, że ładunek cząstek zmienia się pod wpływem oddziaływania i temperatury, podczas gdy ładunek antycząstek jest taki sam jak w przypadku nieoddziałującym. Główne wyniki pracy zostały podsumowane w rozdziale piątym.

Wprowadzenie 1 1 Wprowadzenie W roku 1925 Albert Einstein przewidział istnienie przejścia fazowego w doskonałym gazie atomów podlegających statystyce, która teraz nosi nazwę statystyki Bosego Einsteina [5]. Owe przejście fazowe charakteryzuje się tym, że poniżej pewnej krytycznej wartości temperatury T c przeważająca część identycznych i nieoddziałujących atomów, gromadzi się (kondensuje) w stanie o najniższej energii. Stan podstawowy zostaje makroskopowo obsadzony nawet gdy temperatura atomów jest wystarczająca do obsadzania stanów o wyższej energii. Przejście fazowe zachodzi wówczas, gdy termiczna długość fali de Broglie a λ db = 2π 2 /mk B T jest porównywalna ze średnią odległością między atomami r = ρ 1/3 ( jest stałą Plancka, m masą atomów, k B stałą Boltzmanna, T temperaturą, a ρ gęstością atomów). Termiczna długość fali de Broglie a zależy od temperatury: im niższa temperatura, tym długość fali jest większa. W trakcie obniżania temperatury długość fali rośnie i staje się większa od odległości miedzy atomami. Wtedy poszczególne fale zaczynają na siebie nachodzić i nierozróżnialność cząstek staje się istotna, atomy tracą swą indywidualność. W dobrze określonej temperaturze układ atomów ulega przemianie fazowej tworzy się kondensat. Wykorzystując idee zawarte w pracach Bosego [6] Einstein przewidział zjawisko kondensacji jeszcze przed odkryciem różnicy między bozonami i fermionami. Einstein traktował kondensację bozonów raczej jako ciekawostkę, a współcześni mu uznali zjawisko za niemożliwe do zaobserwowania w laboratorium. Przez dość długi czas uważano, że zanim układ atomów ulegnie omawianej przemianie fazowej, oddziaływania zawsze doprowadzą do przejścia w fazę stałą. Jedynym kontrprzykładem był nadciekły hel. Fenomen kondensatu Bosego-Einsteina ciekawił jednak naukowców, a jego teoria była rozwijana m.in. przez Londona, Tiszę, Landaua, Bogoliubowa, Penrosa, Onsagera, Feynmanna. Wyzwaniem dla fizyków było stworzenie układu atomowego, który pozostałby gazem w temperaturze kondensacji. Istotne było wyeliminowanie zderzeń trójciałowych, które prowadzą do tworzenia cząsteczek lub klastrów atomowych i sprzyjają przejściu w fazę stałą. Dla gazów o gęstościach rzędu 1 14 atomów/cm 3 kondensat pojawia się w zakresie temperatur od setek nano kelwinów do kilku mikro kelwinów. Stąd też wieloletnie prace nad technikami ochładzania oraz pułapkowania atomów. Potrzeba było 7-ciu lat badań, zarówno doświadczlnych jak i teoretycznych, aby zrealizować układ, który potwierdził przewidywania teorii Einsteina. Po raz pierwszy zjawisko kondensacji Bosego-Einsteina w rozrzedzonym gazie

2 Metoda pól klasycznych w opisie gazu bozonowego w równowadze termodynamicznej atomowym zaobserwowano prawie jednocześnie w dwóch grupach naukowych w 1995 roku [7, 8]. Od tego czasu doświadczalnie zbadano podstawowe własności kondensatu, przede wszystkim zmierzono frakcję skondensowaną w funkcji temperatury [9] i potwierdzono przewidywania fizyki statystycznej. W większości doświadczeń stan zwyrodnienia kwantowego osiąga się w temperaturach ok. 5 nk do 2 µk przy koncentracji rzędu 1 14 lub 1 15 atomów/cm 3. Atomy, które zastosowano w doświadczeniach to m.in. rubid, sód, potas, lit, chrom, hel, wodór. Największe kondensaty zawierają ok. 1 milionów atomów (w sodzie) lub nawet miliard (w wodorze), najmniejsze z nich zaś kilkaset. Kształt i wielkość chmurze atomów nadaje pułapka magnetyczna, a także oddziaływania. Kondensaty mogą być kuliste (sferycznie symetryczne), albo o kształcie cygara lub dysku. Cały cykl chłodzenia aż do otrzymania kondensatu, może trwać od kilku sekud do kilku minut. Wykonano szereg doświadczeń, które pokazały falową naturę kondensatu. Przykładem może być eksperyment analogiczny do doświadczenia Younga, lub eksperyment pokazujący interferencję dwóch kondensatów [1, 11]. Zaobserwowano szereg zjawisk znanych z optyki nieliniowej, takich jak: ciemne solitony [12], solitony jasne [13], czy też mieszanie czterech fal [14]. Zaobserwowano również efekt Josephsona [15]. Nauczono się kontrolować siłę oddziaływania pomiędzy atomami za pomocą rezonansów Feshbacha, umieszczono kondensat w sieci optycznej, uzyskano kondensat molekularny i zaobserwowano kondensat par Coopera. Wymieniliśmy nieliczne przykłady realizowanych doświadczeń, które obrazują różnorodność i bogactwo zjawisk fizyki układu zimnych atomów. Doświadczalna realizacja kondensatu Bosego-Einsteina różni się dość znacznie od pierwotnej idei Einsteina. Einstein przeprowadził rachunki dla gazu doskonałego w granicy termodynamicznej. W eksperymencie skończona liczba atomów znajduje się w ograniczonej przestrzeni i czuje dodatkowe siły np. związane z potencjałem pułapki, ponadto atomy oddziałują ze sobą. Oddziaływanie jest wręcz niezbędne do efektywnego chłodzenia. Dlatego też, w celu prawidłowego zrozumienia i opisu realizowanych doświadczeń należy stosować teorię, która uwzględnia ograniczenia nakładane przez eksperyment. Teoria opisu zdegenerowanego i oddziałującego gazu Bosego znana już była w latach 5-tych. W zerowej temperaturze standartowy opis oparty jest na metodzie Bogoliubowa. W ostatnich latach zaproponowano rozwinięcie tej metody do opisu kondensatu w temperaturze większej od zera, jest to tzw. metoda pól klasycznych [1, 2, 3]. Obie metody w sposób fenomenologiczny zostaną omówione w tym rozdziale, zanim jednak do tego przejdziemy rozpatrzmy definicję kondensatu w języku kwantowej teorii pola.

Wprowadzenie 3 1.1 Co to jest kondensat Bosego-Einsteina? Definicja kondensatu Bosego-Ensteina dla układu N oddziałujących bozonów została zaproponowana przez Penrosa i Onsagera [4]. Aby uogólnić koncepcję makroskopowo obsadzonego stanu autorzy rozważyli jednocząstkową macierz gęstości: n (1) (r, r ) = ˆΨ (r) ˆΨ(r ), (1.1) gdzie ˆΨ (r) oraz ˆΨ(r) to operatory pola, które odpowiednio kreują oraz anihilują cząstkę w punkcie r. Operatory te spełniają bozonowe reguły komutacyjne: [ ˆΨ(r), ˆΨ (r )] = δ (3) (r r ), [ ˆΨ(r), ˆΨ(r )] =. (1.2) Jednocząstkowa macierz gęstości jest hermitowska oraz dodatnio określona. Można ją zapisać w postaci diagonalnej w bazie ortonormalnych funkcji własnych f i (r): n (1) (r, r ) = i N i f i (r)f i (r ). (1.3) Rzeczywiste wartości własne N i spełniają warunek normalizacji: i N i = N, i równe są obsadzeniom jednocząstkowych stanów f i (r). Jeżeli jedna z wartości własnych, nazwijmy ją N, jest duża w porównaniu z pozostałymi i w granicy termodynamicznej iloraz N /N jest różny od zera, wtedy w układzie istnieje kondensat Bosego-Einsteina. Wówczas stan własny f (r) opisuje kondensat, a N jest liczbą atomów w kondensacie. 1.2 Metoda Bogoliubowa W 1947 roku Bogoliubow zaproponował metodę opisu kondensatu Bosego- Einsteina w temperaturze T = [16]. Idea metody Bogoliubowa polega na zastąpieniu operatorów anihilacji cząstek w kondensacie przez zespoloną amplitudę, co prowadzi do opisu w ramach przybliżenia średniego pola. Funkcja falowa kondensatu (parametr porządku) spełnia równanie Grossa- Pitajewskiego. W szczególności, dla jednorodnego gazu Bogoliubow zaproponował metodę diagonalizacji hamiltonianu używając liniowej kombinacji operatorów kreacji i anihilacji atomów. Owa kombinacja znana jest jako transformacja Bogoliubowa i jest podstawą pojęcia kwazicząstek jednego z najważniejszych pojęć w kwantowej teorii wielu ciał. Zaprezentowany poniżej opis przybliżenia Bogoliubowa jest raczej fenomenologiczny, co nie oznacza, że nie istnieje bardziej formalne podejście do opisu metody Bogloliubowa np. opisane w pracach [17, 18].

4 Metoda pól klasycznych w opisie gazu bozonowego w równowadze termodynamicznej Wygodnie jest wykonać rachunki w formaliźmie drugiej kwantyzacji. Hamiltonian układu N oddziałujących bozonów znajdujących się w potencjale sześciennego pudła o krawędzi L z nałożonymi periodycznymi warunkami brzegowymi ma postać: Ĥ = dr ˆΨ (r)ĥ ˆΨ(r) + 1 dr dr 2 ˆΨ (r) ˆΨ (r )V (r r ) ˆΨ(r ) ˆΨ(r), (1.4) gdzie Ĥ = ( 2 /2m) jest operatorem energii kinetycznej, a V (r r ) potencjałem oddziaływania dwuciałowego. ˆΨ (r) oraz ˆΨ(r) są operatorami pola, które odpowiednio kreują oraz anihilują cząstkę w punkcie r, i spełniają bozonowe reguły komutacyjne (1.2). Operator całkowitej liczby atomów ma następującą postać: ˆN = dr ˆΨ (r) ˆΨ(r). (1.5) Potencjał oddziaływania dwuciałowego V (r r ) może mieć dość skomplikowaną formę. W przypadku bardzo zimnych i silnie rozrzedzonych gazów atomowych tylko zderzenia centralne są istotne, niezależnie od szczegółów dwuatomowego potencjału. Zderzenia te charakteryzuje jeden parametr a długość rozpraszania fali typu s. Precyzując, pojęcie silnie rozrzedzonego gazu oznacza, że liczba atomów w objętości rozpraszania jest znikoma: n a 3 1, gdzie n jest średnią gęstością atomów. Atomy stosowane w doświadczeniach mają długość rozpraszania rzędu nanometrów 1, a gęstość chmur atomowych mieści się w granicach 1 14 1 15 atomów/cm 3. Zatem, w większości wykonywanych obecnie doświadczeń n a 3 jest zawsze mniejsze niż 1 4. Warto zauważyć, że warunek n a 3 1 jest spełniony nie tylko dla małych gęstości, ale również w przypadku słabych oddziaływań i dużych gęstości. Wobec powyższych rozważań, w niskich energich, kiedy długość fali de Broglie a jest bardzo duża, potencjał oddziaływania między atomami możemy przybliżyć przez potencjał o zerowym zasięgu: V (r r ) = g δ 3 (r r ), (1.6) gdzie g = 4π 2 a/m jest stałą sprzężenia. Dla dodatnich wartości a potencjał modeluje oddziaływanie efektywnie odpychające i efektywnie przyciągające dla ujemnych wartości a. W przybliżeniu Bogoliubowa operator pola ˆΨ(r) zapisujemy w postaci sumy: ˆΨ(r) = Φ(r) + δ ˆΨ(r). (1.7) 1 np. dla sodu 23 Na długość rozpraszania fali typu s wynosi a = 2.75nm, a dla rubidu 87 Rb jest równa a = 5.77nm,

Wprowadzenie 5 Pierwszy wyraz oznacza zespoloną funkcję kondensatu, a drugi jest operatorem opisującym nieskondensowe atomy. Zakładamy, że znaczna część atomów znajduje się w kondensacie, wtedy Φ(r) jest duże i δ ˆΨ(r) możemy traktować jako zaburzenie. Równanie Heisenberga i t ˆΨ = [ ˆΨ, Ĥ], po opuszczeniu wyrazów zawierających δ ˆΨ wyznacza ewolucję czasową funkcji kondensatu: ) i t Φ(r, t) = ( 2 + g Φ(r, t) 2 Φ(r, t). (1.8) 2m To nieliniowe równanie Schrödingera w teorii zimnych gazów atomowych nosi nazwę równania Grossa-Pitajewskiego (po raz pierwszy wprowadzone w 1961 roku). Stacjonarne rozwiązanie równania (1.8) wybieramy w postaci: Φ = Φ exp( iµt/ ), gdzie µ jest potencjałem chemicznym. Prowadzi to do następującego równania: ) µ Φ (r, t) = ( 2 2m + g Φ (r, t) 2 Φ (r, t). (1.9) Kiedy energia oddziaływania jest znacznie większa niż energia kinetyczna przybliżenie Thomasa-Fermiego wtedy można zaniedbać człon z energią kinetyczną i wyznaczyć algebraiczną postać profilu gęstości kondensatu. W obecności zewnętrznego potencjału V ext, profil gęstości kondensatu Φ 2 ma postać: Φ (r, t) 2 µ V ext g. (1.1) Powyższy wzór obowiązuje w obszarze, w którym prawa strona jest dodatnia, w przeciwnym wypadku Φ 2. W typowych eksperymentach profil gęstości jest odwróconą parabolą i przybliżenie Thomasa-Fermiego z V ext będącym potencjałem harmonicznym dobrze go modeluje. Dla jednorodnego gazu z periodycznymi warunkami brzegowymi postać funkcji falowej Φ opisującej kondensat jest szczgólnie prosta: Φ = N/V, (1.11) gdzie N jest całkowitą liczbą atomów, a potencjał chemiczny jest równy µ = g Φ 2 = gn/v. Rozkładamy operator pola w bazie fal płaskich: ( ) ˆΨ = Φ + 1 e ikr â L 3/2 k e iµt/, (1.12) k gdzie â k jest operatorem kreacji cząstki o pędzie k spełniającym bozonowe reguły komutacyjne: [â k, â k ] = δ kk, [â k, â k ] =. (1.13)

6 Metoda pól klasycznych w opisie gazu bozonowego w równowadze termodynamicznej Warunek periodyczności pola wyznacza wektor falowy: k = 2πn/L, gdzie n = (n x, n y, n z ) i n i =,..., 1,, 1,...,. Równanie Heisenberga po uwzględnieniu wyrazów liniowych w δ ˆΨ (liniowych w â k i â k ) wyznacza potencjał chemiczny µ = gn/v, oraz równanie na â k : i â k = 2 k 2 2m âk + gn V âk + gn V â k. (1.14) Zgodnie z kanoniczną transformacją Bogoliubowa â k jest superpozycją: â k = u kˆbk e iɛ kt/ + v kˆb k eiɛ kt/, (1.15) gdzie u k i v k są pewnymi funkcjami skalarnymi, zaś ɛ k jest energią elementarnych wzbudzeń. Operatory ˆb k również spełniają bozonowe reguły komutacyjne [ˆb k, ˆb k ] = δ kk jeśli: u k 2 v k 2 = 1. (1.16) ˆbk, ˆb k są operatorami odpowiednio anihilacji i kreacji kwazicząstek (nazywanych również kwazicząstkami Bogoliubowa). Wstawiając powyższą postać transformacji do równania (1.14) i porównując wyrazy z taką samą zależnością czasową otrzymujemy: ( ) 2 k 2 ɛ k u k = 2m + µ u k + µv k, (1.17) ( ) 2 k 2 ɛ k v k = 2m + µ v k + µu k. (1.18) Rozwiązaniem jest ɛ k spełnijące równanie: ( ) ( ) 2 k 2 2 2m + µ ɛ k 2 k 2m + µ + ɛ k = µ 2, (1.19) o postaci: [ ( ) ] 2 k 2 2 1/2 ɛ k = 2m + µ µ 2. (1.2) Na rysunku 1.1a pokazano przykładowe widmo wzbudzeń Bogoliubowa. Warto zauważyć, że dla małych wartości k energia wzbudzeń kwazicząstek jest liniową funkcją pędu, co jest objawem nadciekłości w układzie. W przypadku dużych k, energia ɛ k jest kwadratową funkcją pędu, dokładnie jak energia cząstki swobodnej. Funkcje u k i v k spełniają warunek normalizacji (1.16), a ich iloraz jest dobrze określony przez (1.17) i (1.18). Za pomocą tych dwóch zależności można

Wprowadzenie 7 ε k [(h/2π) 2 /m L 2 ] 7 6 5 4 3 2 1 a) 2 4 6 8 1 12 k[2 π/l] 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1.5 b) u k v k 2 4 6 8 1 12 k[2π/l] Rysunek 1.1: a) energia ɛ k wzbudzeń w funkcji wartości wektora falowego k = k. Dla małych wartości k energia jest liniowa: ɛ k k v s, gdzie v s = µ/m jest predkością dźwięku. W granicy dużych k energia wzbudzeń przyjmuje postać energii cząstki swobodnej ɛ k 2 k 2 /2m; b) współczynniki transformacji Bogoliubowa u k i v k. Dla pędów k oba współynniki są tego samego rzedu i dają ten sam wkład do (1.15), natomiast w granicy dużych pędów v k, a u k 1. Potencjał chemiczny µ = 7 2 /ml 2. jednoznacznie wyznaczyć moduły u k oraz v k : ( u k 2 = 1 2 ( v k 2 = 1 2 ɛ k 2 k 2 2m + µ + 1 ɛ k 2 k 2 2m + µ 1 ) ), (1.21), (1.22) i ich wartości u k i v k znamy z dokładnością do fazy. Na rysunku 1.1b pokazano pędową zależność rzeczywistych funkcji u k i v k. Hamiltonian (1.4) wrażony przez (1.12) posiada wyrazy nie tylko liniowe i kwadratowe, ale również wyższego rzędu w â k. Zachowując ten sam rząd rozwinięcia należy ograniczyć się do wyrazów kwadratowych oraz niższego rzędu

8 Metoda pól klasycznych w opisie gazu bozonowego w równowadze termodynamicznej w â k, co prowadzi do następującej postaci: Ĥ B = N 2 g 2V + ( ) 2 k 2 2m + 2N g â kâk + N g (â V 2V kâ k + â kâ k ). (1.23) k k Hamiltonian ten nazywany jest w literaturze hamiltonianem Bogoliubowa. Pierwszy wyraz oznacza energię N atomów w kondensacie, podczas gdy drugi jest energią niezależnych wzbudzeń, każde o energii 2 k 2 /2m+2N g/v. Ostatni wyraz nie zachowuje liczby cząstek. W celu kontrolowania średniej liczby cząstek należy dodać do hamiltonianu wyraz µ ˆN, gdzie µ jest potencjałem chemicznym. W ten sposób konstruujemy operator: gdzie ˆN jest operatorem całkowitej liczby atomów: ˆF = ĤB µ ˆN, (1.24) ˆN = N + k â kâk. (1.25) Transformacja Bogoliubowa (1.15) z (1.21) i (1.22) diagonalizuje operator ˆF : ˆF = ɛ k b k b k + N µ 2 1 ( ) 2 k 2 2 2m + µ ɛ k, (1.26) k k gdzie pierwszy wyraz jest całkowitą energią kwazicząstek i opisuje zespół nieoddziałujących kwazibozonów z energią ɛ k każdy. Drugi wyraz jest równy połowie energii cząstek w kondensacie, podczas gdy ostatni wyraz ma wartość nieskończoną ze względu na sumowanie, które rozciąga się od do +. Istnieje również inna wersja opisu przybliżenia Bogoliubowa [19] z potencjałem oddziaływania modelowanym deltą renormalizowaną 2. Zastosowanie owego potencjału usunęło nieskończoną energię z (1.26), lecz nie wniosło zmian jakościowych i ilościowych do pozostałych wyników omawianych w tej pracy. Przybliżenie Bogoliubowa jest poprawne w temperaturze zerowej. Jedną z historycznie pierwszych metod opisu kondensatu w skończonej temperaturze jest tzw. teoria Hartree-Focka-Bogoliubowa (HFB) [2]. Struktura równań tej teorii jest podobna do równań Bogoliubowa dla zerowej temperatury. W teorii HFB uwzględniona jest zależna od temperatury gęstość atomów nieskondensowanych oraz tzw. anomalna gęstość, która jest miarą korelacji pomiędzy atomami. Zaniedbując anomalną gęstość otrzymuje się tzw. przybliżenie Popowa [21], w którym spułapkowany gaz jest rozumiany jako kondensat i termiczny gaz atomów. Rachunki w przybliżeniu Bogoliubowa-Popowa wyznaczają wartość potencjału chemicznego: 2 V (r r ) δ R (r r ) = δ(r r ) r r µ P = 2 gn V gn V, (1.27)

Wprowadzenie 9 oraz widmo wzbudzeń, które w literaturze nazywane jest widmem Bogoliubowa-Popowa: ɛ P k = [ ( 2 k 2 2m + gn V ) 2 ( ) ] 2 1/2 gn. (1.28) V Teoria Popowa wyznacza widmo wzbudzeń, które bardzo dobrze zgadzające się z doświadczeniem [22]. Alternatywną do wspomnianej metody opisu termicznych własności kondensatu jest metoda pól klasycznych, która ze względu na prostotę implementacji numerycznej ma dużo szersze możliwości zastosowania. 1.3 Metoda pól klasycznych Metoda pól klasycznych jest rozwinięciem ideii Bogoliubowa na przypadek temperatur większych od zera. O ile w temperaturze zerowej tylko stan o najniższej energii jest makroskopowo obsadzony, to w temperaturach większych od zera zostają makroskopowo obsadzone również inne stany. Dlatego w metodzie pól klasycznych zastępujemy operatory anihilacji i kreacji cząstek przez zespolone amplitudy we wszystkich makroskopowo obsadzonych modach: ˆΨ = k ψ k â k Ψ = k max k= k max ψ k a k, (1.29) pozostałe mody k > k max są puste i nie są uwzględnione w opisie. W ten sposób wprowadzamy do opisu dodatkowy parametr obcięcia k max, którego wartość należy dobrze dobrać. W drugim rozdziale niniejszej rozprawy poprzez analizę pola wychyleń oscylatorów oddziałujących nieliniową lokalną siłą, proponujemy fizyczną interpretację parametru obcięcia. Należy zwrócić uwagę, że prezentowane rozumowanie jest dość ogólne, niezależne od oddziaływania i jego rodzaju czy też równań dynamicznych, i dlatego powinno być słuszne dla wszystkich pól bozonowych w przypadku makroskopowego obsadzenia modów. Ze względu na założoną makroskopowość, opis w ramach metody pól klasycznych nie jest słuszny dla pól fermionowych. Jako przykład rozważmy jednorodny gaz oddziałujących bozonów umieszczonych w potencjale pudła o krawędzi L z periodycznymi warunkami brzegowymi. Układ ten jest szczególny ze względu na posiadaną symetrię translacyjną. Jednocząstkowa macierz gęstości tego układu jest periodyczna i zależy tylko od różnicy położeń, wówczas jej funkcjami własnymi są fale płaskie. Korzystając z tej własności, bozonowy operator pola rozwijamy w bazie fal

1 Metoda pól klasycznych w opisie gazu bozonowego w równowadze termodynamicznej płaskich: ˆΨ(r, t) = 1 V k max k= k max â k (t)e ik r, (1.3) gdzie â k jest operatorem anihilacji cząstki o pędzie k w chwili czasu t, ponadto ˆN k = â kâk jest operatorem liczby cząstek o pędzie k. Równanie Heisenberga wyznaczające ewolucję operatora â k ma postać: i dâ k(t) dt = 2 k 2 2m âk + g V k max k 1, k 2 = k max â k 1 â k2 â k+k1 k 2. (1.31) Zgodnie z ideą metody pól klasycznych, zastępujemy operatory kreacji i anihilacji cząstek przez zespolone amplitudy: â k Nα k. Pamiętajmy, że taka zamiana jest uzasadniona gdy obsadzenie modu jest duże: N k = â kâk > 1. (1.32) W zerowej temperaturze tylko mod o pędzie k = spełnia założenie o makroskopowym obsadzeniu modów, więc pozostałe mody muszą zostać pominięte. W temperaturze większej od zera wiele modów może spełniać warunek makroskopowego obsadzenia, i należy je uwzględnić w równaniu (1.3), co prowadzi to do układu równań na amplitudy α k : i dα k dt = 2 k 2 2m α k + gn V k max k 1, k 2 = k max α k 1 α k2 α k+k1 k 2. (1.33) W reprezentacji położeniowej powyższy układ równań ma postać równania Grossa-Pitajewskiego: ) i t Ψ(r, t) = ( 2 + gn Ψ(r, t) 2 Ψ(r, t), (1.34) 2m gdzie rozwiązaniem jest unormowane do jedności pole Ψ(r, t), które opisuje kondensat Bosego-Einsteina i chmurę termiczną. Równanie Grossa- Pitajewskiego rozwiązywane jest numerycznie. Parametrami kontroli metody pól klasycznych są: stała sprzężenia gn, liczba modów (punktów na sieci lub k max ) oraz całkowita energia. Pozostałe wielkości, takie jak temperatura i liczba atomów, wyznaczane są przez rachunki numeryczne poprzez odpowiedni dobór k max. Warto zauważyć, że równanie Grossa-Pitajewskiego ma następującą symetrię: unormowanie pola do dowolnej liczby zmienia jedynie stałą sprzężenia g, własność ta została wykorzystana powyżej. Pole zostało unormowane do jedności i dlatego w równaniu Grossa Pitajewskiego wyraz nieliniowy jest mnożony

Wprowadzenie 11 przez N. W wyniku takiego normowania αk α k reprezentuje frakcję liczby atomów w modzie k. Numeryczne rachunki pokazały [1], że układ opisany równaniem (1.34) osiąga stan równowagi. Niezależnie od wybranego stanu początkowego o zadanej energii, dynamika równania Grossa-Pitajewskiego prowadzi do tego samego stanu równowagi. Analiza rozwiązania równania (1.34) w stanie równowagi wykazała, że energie wzbudzeń opisane są przez formułę Bogoliubowa-Popowa: [ ( ) ] 2 k 2 2 1/2 ɛ k = 2m + gn (gn ) 2, (1.35) gdzie N = N α α oznacza liczbę atomów w kondensacie. Istnienie ekwipartycji w układzie: równomiernego rozkładu energii w dostępnych modach wskazuje, że osiągnięty stan jest stanem termicznym. Temperaturę chmury termicznej obliczamy za pomocą relacji ekwipartycji: n k ε k = const = k B T, (1.36) gdzie k B jest stałą Boltzmanna. Pamiętać należy, że ze względu na zastosowaną normalizację pola, rachunki numeryczne wyznaczają frakcję liczby atomówn k = N k /N, oraz temperaturę T = T/N skalowaną przez liczbę cząstek. Wybór odpowiedniej wartości parametru obcięcia pozwala wyznaczyć nieskalowane wielkości parametrów fizycznych takich jak temperatura i liczba cząstek. Problem ten będzie dyskutowany szczegółowo w rozdziale drugim rozprawy, gdzie podajemy warunek na parametr obcięcia z żądania dopasowania klasycznego rozkładu energii do kwantowego rozkładu energii. Inna metoda dopasowania wartości obsadzenia modu o maksymalnej energii została zaproponowana w [23]. Wykorzystuje ona wynik eksperymentów pokazujących, że temperatura krytyczna gazu oddziałującego jest bliska temperaturze krytycznej gazu doskonałego, różnica wynosi ok. 4.5%. Porównując temperaturę gazu oddziałującego, dla danej frakcji atomów w kondensacie, z temperaturą gazu doskonałego, dla dokładnie tej samej frakcji, można ustalić optymalną wartość obsadzenia modu o najwyższej energii na: N kmax.6.7. Jednak w większości zastosowań wartość obsadzenia modu o najwyższej energii jest przymowana jako N kmax = 1, wtedy całkowita liczba atomów jest równa: N = N k max n kmax = 1 n kmax, (1.37) gdzie n kmax jest wyznaczona numerycznie. Temperatura T jest obliczana na podstawie relacji ekwipartycji (1.36), a jej nieskalowana wartość wynosi T = T N.

12 Metoda pól klasycznych w opisie gazu bozonowego w równowadze termodynamicznej Zauważmy, że wyniki metody pól klasycznych zależą od przyjętej wartości N kmax. Wystarczy, że zmienimy wartość obsadzenia modu o maksymalnej energii z 1 na 2, a temperatura wzrośnie dwukrotnie. Dlatego możemy stwierdzić, że znamy temperaturę i liczbę atomów jedynie z dokładnością do rzędu wielkości. Pomimo tej słabości, metoda pól klasycznych ma wielką zaletę: uwzględnia pełną nieliniową dynamikę pola, dlatego została z sukcesem zastosowana do opisu m.in. dynamiki wirów, fluktuacji fazy czy też spinorowych kondensatów [24]. Metoda pól klasycznych może być użyta w przypadku bardziej złożonym np. gazu atomowego w zewnętrznym potencjale oscylatora harmonicznego, co jest bardziej realistycznym przykładem. Prowadzi to do konieczności diagonalizowania uśrednionej jednocząstkowej macierzy gęstości. Uśrednianie łączy się bezpośrednio z uwzględnieniem realistycznych warunków pomiarowych: skończonej rozdzielczości przestrzennej i czasowej urządzeń pomiarowych. Matematycznie, uśrednianie prowadzi do znikania wyrazów pozadiagonalnych i macierz gęstości przybiera postać: n (1) (r, r ) = k N k N f kf k. (1.38) Diagonalna forma macierzy gęstości posiada interpretację fizyczną: N k jest średnim obsadzeniem modu, natomiast f k jest stanem własnym macierzy gęstości. Liczba atomów i temperatura również obliczane są na podstawie ekwipartycji (1.36) oraz założenia o makroskopowym obsadzeniu modów, np. N kmax = 1. Metoda pól klasycznych została niezależnie zbadana przez wiele grup naukowych, stąd też istnieje szereg wersji jej numerycznej implementacji. Pochodzenie metody może być odnalezione już w pracach [26], gdzie tzw. stochastyczne równanie Grossa Pitajewskiego było badane w kontekście formowania się kondensatu Bosego-Einsteina. Podobna idea została zaproponowana w [27], gdzie ewolucja równania w reprezentacji Wignera i tzw. P-reprezentacji została zastosowana do opisu pewnych własności kondensatu. Sinatra i in. [2] stosując reprezentację Wignera skonstruowali algorytm, który buduje klasyczne pole w stanie równowagi termodynamicznej o temperaturze T i liczbie atomów N. Metoda ta, znana w anglojęzycznej literaturze jako truncated Wigner method, opiera się na badaniu równania Grossa Pitajewskiego na sieci z dodatkowymi fluktuacjami w stanie początkowym, a poszczególne wielkości średnie obliczane są po stochastycznych realizacjach klasycznego pola. Implementacja ta jest kanoniczną wersją metody pól klasycznych opisaną w tej części rozdziału 3. 3 Opisaną w tym rozdziale implementację numeryczną metody pól klasycznych nazywać również wersją, lub implementacją mikrokanoniczną metody pól klasycznych.

Kwantowanie drgań nieliniowej struny 13 2 Kwantowanie drgań nieliniowej struny Podstawą metody pól klasycznych jest założenie o makroskopowości obsadzeń wszystkich uwzględnionych modów. Operatory kreacji i anihilacji cząstek w tych modach zostają zastąpione przez zespolone amplitudy. Wydaje się to uzasadnione dla temperatur bardzo małych w porównaniu z temperaturą krytyczną, gdy wszystkie atomy obsadzają ten sam mod o zerowej energii, ale w temperaturach bliskich krytycznej staje się to wątpliwe. Jednak metoda pól klasycznych bardzo dobrze opisuje własności kondensatu Bosego Einsteina we wszystkich zakresach temperatur. Kondensacja jest zjawiskiem kwantowym z istotną rolą statystyki, która w teorii kwantowej ujawnia się poprzez bozonowe reguły komutacyjne. Formalizm metody pól klasycznych nie zachowuje relacji komutacyjnych, a mimo to doskonale opisuje bozonowe własności pola. Tu popadamy w swego rodzaju sprzeczność: z jednej strony wiemy, że kondensacja jest czysto kwantowym efektem, z drugiej zaś z sukcesem opisujemy jej własności w języku pól klasycznych. Interesujące jest więc zbadanie w jaki sposób do opisu zostaje wprowadzona stała Plancka istniejąca tylko w teorii kwantowej, oraz jakie dodatkowe elementy pozwalają na kwantową interpretację wyników otrzymanych metodą pól klasycznych. Dlatego w niniejszym rozdziale badamy czysto klasyczny układ: oscylatorów oddziałujących nieliniowymi siłami. Analizujemy nieliniową dynamikę pola wychyleń oscylatorów, Sprawdzamy w jaki sposób można wprowadzić do opisu stałą Plancka s oraz interpretować wyniki pól klasycznych w języku teorii kwantowej. 2.1 Dynamika nieliniowej struny Rozważamy jednowymiarowy model elastycznej struny o długości L i liniowej gęstości ρ. Strunę dzielimy na N 1 elementów o długości l = L/N i masie m = ρl. Każdy element przybliżamy przez cząstkę punktową oddziałującą z najbliższymi sąsiadami siłami harmonicznymi. Siła F działająca na cząstkę jest proporcjonalna do jej wychylenia l ze stanu równowagi F = Y ( l /l ), gdzie Y jest modułem Younga. W ten sposób, strunę możemy wyobrażać jako N cząstek poruszających się na linii. Każda cząstka oddziałuje ze swoimi dwoma najbliższymi sąsiadami za pomocą sprężyny o stałej K = Y/l. Oznaczamy położenie równowagi cząstki (oscylatora) jako x j = jl (j = 1,..., N), a jej wychylenie ze stanu równowagi

14 Metoda pól klasycznych w opisie gazu bozonowego w równowadze termodynamicznej przez Φ j. Równanie Newtona wyznaczające dynamikę wychyleń oscylatora ma postać: m Φ j = K(2Φ j Φ j+1 Φ j 1 ), (2.1) na rozwiązanie nakładamy periodyczne warunki brzegowe: Φ j = Φ j+n. Równanie (2.1) pojawia się w wielu działach fizyki np. w fizyce ciała stałego w opisie jednowymiarowej sieci krystalicznej. Rozwiązanie analityczne tego równania wyrażone przez fale płaskie można odnaleść np. w [29]. W kolejnym kroku dopisujemy człon nieliniowy. Dla prostoty zakładamy, że nieliniowe oddziaływanie jest krótkozasięgowe (lokalne), co prowadzi do równania: m Φ j = K(2Φ j Φ j+1 Φ j 1 ) ΛΦ 3 j, (2.2) gdzie Λ jest rzeczywistym parametrem. Taka forma oddziaływania jest szeroko używana, w szczególności w tzw. teorii pola φ 4 [3]. Równanie (2.2) jest podobne do równania badanego przez Fermiego, Pastę i Ulam a (FPU) [31]. Między tymi równaniami istnieją dwie różnice: warunki brzegowe oraz nieliniowość. W układzie FPU wychylenia pierwszego i ostatniego oscylatora są równe zeru, podczas gdy w naszym przypadku nakładamy periodyczne warunki brzegowe. W równaniach FPU autorzy rozważali nielokalne nieliniowe siły postaci α(φ j φ j 1 ) r (r wynosiło 2 lub 3, a stała α była rzędu jedności), w przeciwieństwie do sił lokalnych zastosowanych w naszym układzie. Pierwsze wyniki uzyskane na komputerze M AN IAC pokazały bardzo małą, jeśli jakąkolwiek, tendencję do ekwipartycji energii [31]. W późniejszych latach szczegółowe badania wykazały, że termalizacja zależy od siły nieliniowości. Wprowadźmy następujący układ jednostek: (i) długości L, oraz (ii) czasu t = l /c, gdzie c = Y/ρ. Po przejściu do bezwymiarowych zmiennych pola φ j = Φ j /L i czasu t = τ/t, równanie na wychylenie oscylatora przybiera postać: φ j = (2φ j φ j+1 φ j+1 ) λφ 3 j, (2.3) gdzie stała sprzężenia λ = Λ K L2. (2.4) Równanie (2.3) ma jedną stałą ruchu, którą jest energia: E = 1 [ 2 φ 2 j + (φ j φ j 1 ) 2 + λ 1 2 φ4 j] (2.5) j (E = H/ɛ, gdzie H jest całkowitą energią a ɛ = KL 2 jest jednostką energii). Układ równań (2.3) rozwiązywaliśmy numerycznie dla różnych wartości energii E i liczby oscylatorów N. Zarówno początkowe wartości wychyleń φ j jak

Kwantowanie drgań nieliniowej struny 15 i początkowe wartości prędkości φ j generowaliśmy losowo z przedziału [ ψ, ψ], gdzie ψ jest parametrem, którego wartość zależy od energii (im większa energia tym większe ψ). Krok czasowy został dobrany tak, żeby zapewnić zachowanie energii podczas ewolucji układu. Ze względu na wybrane periodyczne warunki brzegowe analizowaliśmy wyniki symulacji numerycznych w bazie fal płaskich: φ j (t) = 1 N k max k=k min b k (t)e ikj, (2.6) gdzie bezwymiarowy wektor falowy k = 2πn, n = N/2,..., N/2 1. Zespolone amplitudy b k (t) spełniają warunek b k = b k (pole φ j(t) przyjmuje tylko wartości rzeczywiste), warunek ten jest automatycznie spełniony podczas implementacji numerycznej. Warto zwrócić uwagę, że mody z wektorem falowym k > k max nie są obecne a wartość pędu obcięcia k max jest parametrem 1. 2.2 Stan równowagi termodynamicznej Pierwszym wynikiem symulacji numerycznych jest spostrzeżenie, że każdy stan początkowy (o danej energii i liczbie oscylatorów) w wyniku nieliniowej dynamiki osiąga ten sam stan równowagi. W stanie równowagi b k (t) fluktuuje pomiędzy zerem a pewną maksymalną wartością. Oscylacje modu o k = mają największą amplitudę. Czas osiągnięcia stanu równowagi zależy od stanu początkowego, oraz wartości λ (rośnie wraz z malejącą siłą nieliniowości). Ponadto, dla bardzo małych λ czas termalizacji jest na tyle duży, że osiągnięcie równowagi jest niemożliwe w realnym czasie trwania symulacji numerycznych. Zajmijmy się teraz szczegółową analizą stanu równowagi. Badając widmo amplitud b k (ω) = dte iωt b k (t) uzyskujemy ważne informacje o układzie (typowe widmo amplitud przedstawione jest na rysunku 2.1 dla k = i k = 2π 5). Widmo każdego modu składa się z dwóch pików o pozycjach ω k oraz ω k. Wszystkie piki mają skończoną szerokość, która jest mała. Centralne częstości pików ω k definiujemy jako: ω k = ω> ω b k(ω) 2 ω> b k(ω) 2, (2.7) podobnie zadajemy sumaryczne amplitudy β k poszczególnych pików: β k = b k (ω) 2. (2.8) ω> 1 k max jest związany z liczbą punktów na sieci N (liczbą oscylatorów) zależnością k max = πn.

16 Metoda pól klasycznych w opisie gazu bozonowego w równowadze termodynamicznej b k (ω) 2 1.2e-8 1e-8 a) 8e-9 6e-9 4e-9 2e-9-15 -1-5 5 1 15 ω b k (ω) 2 1.4e-8 1.2e-8 b) 1e-8 8e-9 6e-9 4e-9 2e-9-15 -1-5 5 1 15 ω Rysunek 2.1: Widmo amplitud b k (ω) = dt exp(iωt)b k (t) dla a) k =, b) k = 2π 5. Parametry symulacji to E =.1, λ = 1, liczba punktów na sieci N = 64. Numeryczne rachunki wskazują, że obliczone częstości ω k związane są z wektorem falowym zależnością: ω k = 4 sin 2 k 2 + ω2, (2.9) gdzie ω jest częstością zerowego modu. Numeryczne dopasowanie ω sugeruje, że: ω 2 = 2λα k max k=k min β k 2, (2.1) z α 4.5. Ponieważ nie badaliśmy układu dla innych wartości λ, nie możemy stwierdzić, że wartość α jest uniwersalna dla naszego modelu. Na rysunku 2.2 przedstawiono relację dyspersyjną ω k, punkty odpowiadają symulacjom numerycznym, a linia ciągła to formuła (2.9). Jeżeli zaniedbamy szerokości pików, to wtedy zależność czasową każdej z fal

Kwantowanie drgań nieliniowej struny 17 2.5 2 ω k 1.5 1.5-2 -15-1 -5 5 1 15 2 Rysunek 2.2: Relacja dyspersyjna: punkty to wyniki symulacji numerycznych, natomiast linia oznacza wrór (2.9) z α = 4.5. W granicy ciągłej, kiedy równanie (2.3) przyjmuje postać równania falowego, wyraz 4 sin 2 (k/2) staje się równy k 2. Obserwowana relacja dyspersyjna zawierająca 4 sin 2 (k/2) jest wynikiem uproszczonej dyskretnej wersji drugiej pochodnej przestrzennej. Parametry symulacji wynoszą E =.1, λ = 1, liczba punktów na sieci N = 64. k płaskich możemy przybliżyć przez: b k (t) = β k e iω kt + β ke iω kt. (2.11) Z tej postaci widzimy, że każdy mod drga z dwiema częstościami różniącymi się znakiem. Całkowita energia oddziałującego układu może zostać wyrażona poprzez amplitudy β k i częstości ω k. Rachunki numeryczne wskazują, że są one powiązane zależnością: E = 2 k max k=k min ω 2 k β k 2. (2.12) Dla różnych energii układu sprawadziliśmy, że różnica pomiędzy wartościami energii danymi równaniami (2.5) i (2.12) jest rzędu 5 1%. Możemy, więc przybliżyć postać całkowitej energii przez formułę (2.12). Rachunki numeryczne dostarczją kolejnej istotnej informacji: całkowita energia jest równomiernie rozłożona na wszystkie mody. Dowodzi to osiągnięcia stanu równowagi przez klasyczy układ podczas nieliniowej ewolucji. Stan ten jest charakteryzowy przez ekwipartycję energii: ε k = 2ω 2 k β k 2 = const, (2.13) gdzie ε k = E/N jest energią zgromadzoną w modzie k, i jest taka sama dla wszystkich k. Rysunek 2.3 przedstawia obliczone numerycznie wartości ε k dla poszczególnych modów. Obserwujemy, że wartość energii zgromadzonej w poszczególnych modach bardzo słabo zależy od k.

18 Metoda pól klasycznych w opisie gazu bozonowego w równowadze termodynamicznej ε k.3.25.2.15.1.5-2-15-1 -5 5 1 15 2 k Rysunek 2.3: Ekwipartycja energii energia przypadająca na mod w funkcji wektora falowego k. Punkty odpowiadają wynikom symulacji numerycznych równania (2.3). Isniejące fluktuacje energii przypadającej na pojedynczy mod mogą być zmniejszone poprzez uśrednianie ε k po realizacjach, np: próbkując β k 2 w różnych czasach. Parametry symulacji wynoszą E =.1, λ = 1, liczba punktów na sieci N = 64. Ekwipartycja energii w klasycznym układzie jest oznaką równowagi termodynamicznej, nie ma ekwipartycji bez równowagi termodynamicznej. W klasycznych układach relacja (2.13) może służyć do definicji temperatury: T = ε k, (2.14) gdzie T jest wyrażone w jednostkach ɛ/k B (k B jest stałą Boltzmanna). Istnieją różne metody wyznaczania temperatury w układach opisywanych polami klasycznymi, lecz wszystkie muszą być zgodne z relacją ekwipartycji. Jedna z takich metod zaproponowana przez Rugh a [32], i została z sukcesem zastosowana przez Davis a i Morgana [3] w kontekście wyznaczania temperatury chmury termicznej w metodzie pól klasycznych. W swej pracy Davis i Morgan porównują wartości temperatur obliczonych za pomocą relacji ekwipartycji oraz metodą Rugh a, i pokazują, że wyniki obu metod są zbliżone. 2.3 Elementarne wzbudzenia: fonony Wyrażenie (2.12) przypomina energię zbioru oscylatorów harmonicznych o częstości ω k i amplitudzie β k. Taki układ można łatwo skwantować i wprowadzić pojęcie fononów. W pierwszym kroku należy zdefiniować bezwymiarową amplitudę. W tym celu potrzebujemy pewnej uniwersalnej stałej, która ma wymiar działania. Wybieramy oznaczenie dla tego elementarnego działania, na tym etapie wartość może być dowolna.

Kwantowanie drgań nieliniowej struny 19 Wprowadzamy charakterystyczną amplitudę A (k): A (k) =, (2.15) 2mΩ k gdzie Ω k = ω k /t. Energia (2.12) wyrażona przez amplitudy B k = β k /A (k) wynosi: H = k max k=k min Ω k B k 2. (2.16) W tej postaci całkowita energia jest sumą elementarnych wzbudzeń o energii Ω k, a dodatnia wielkość B k 2 jest miarą liczby tych wzbudzeń: N k = B k 2. (2.17) Wprowadzoną wielkość N k nazywać będziemy liczbą fononów w modzie k 2. Ze względu na brak ograniczenia na amplitudę oscylatorów ten klasyczny model może opisywać tylko wzbudzenia typu bozonowego. Energia (2.16) wyrażona poprzez N k ma postać: H = k max k=k min Ω k N k, (2.18) i jest taka sama jak energia kwantowych oscylatorów. Relacja ekwipartycji (2.14) wyrażona przez liczbę fononów N k wynosi: Ω k N k = k B T, (2.19) gdzie k B jest stałą Boltzmanna (k B T = ɛ T ). Powyższa postać jest klasyczną granicą ( Ω k /k B T 1) rozkładu Bosego Einsteina dla cząstek o zerowym potencjale chemicznym: N k = 1 e Ω k/k BT 1 k BT. (2.2) Ω k Definiując bezwymiarową amplitudę wprowadziliśmy stałą o wymiarze działania. Na gruncie teorii klasycznej nie istnieje jednak żaden przepis pozwalający wyznaczyć wartość stałej, dlatego musimy teraz odwołać się do teorii kwantowej. Rozważmy energię kwantowych oscylatorów harmonicznych (2.18). W naszym modelu rozkład gęstości energii jest jednowymiarową analogią rozkładu Plancka ciała doskonale czarnego. Gęstość energii dana rozkładem Plancka jest rosnąca funkcją częstości aż do pewnej maksymalnej wartości, po czym wykładniczo maleje do zera. Początkowy wzrost związany jest z elementem objętości 2 Zdefiniowana w ten sposób liczba fononów nie jest liczbą całkowitą, co nie jest poważną wadą jeśli N k 1.

2 Metoda pól klasycznych w opisie gazu bozonowego w równowadze termodynamicznej w przestrzeni fazowej, która w trzech wymiarach rośnie jak k 2, a w jednym wymiarze nie zależy od k. W zastosowanej przez nas implementacji numerycznej wszystkie mody o wektorze falowym k > k max nie są obsadzone i wykładniczy zanik zastąpiony jest przez ostre obcięcie w k = k max. Pokażemy, że właściwy wybór wartości obcięcia jest istotnym elementem wyznaczającym wartość. Analizując gęstość energii zakładamy, że w granicy ciągłej całkowita energia ma postać (2.18) oraz, że rozkład liczby cząstek N k dany jest przez statystykę Bosego-Einsteina z częstością ω k w granicy termodynamicznej (L i k N k/l = const), gdzie 4 sin 2 (k/2) k 2 w (2.9). Widmo gęstości energii wynosi: du dk = ω k N k, (2.21) dω k dω k i w przypadku rozpartywanego jednowymiarowego układu z widmem ω k = ω 2 + k 2 ma postać: du dω k = 2ω2 k N k. (2.22) ω 2 k ω 2 W punkcie ω k = ω widmo gęstości energii jest nieoznaczone, ale całkowalne, i przestrzenna gęstość energii ρ(e) zgromadzonej w przedziale energii od do E jest już dobrze oznaczona: ρ(e) = E ( du dω k ) dω k. (2.23) Na rysunku 2.4 przedstawiono zależność gęstości energii zgromadzonej w przedziale (, E) w funkcji E. Linia ciągła odpowiada gęstości energii z kwantowym rozkładem liczby cząstek (2.2), natomiast pozostałe linie odpowiadają gęstości energii z rozkładem klasycznym (2.19). W przypadku kwantowym ρ(e) nasyca się, a wartość energii nasycenia jest jednowymiarowym odpowiednikiem pozycji maksimum rozkładu Plancka. W klasycznym przypadku gęstość energii rośnie liniowo do wartości zależnej od parametru obcięcia, powyżej której jest ona stała. Na rysunku 2.4 pokazano linie dla trzech różnych wartości energii obcięcia ω kmax : linia przerywana odpowiada ω kmax = T, linia przerywanokropkowana ω kmax = 1.64 T, a linia kropkowana ω kmax = 2 T. Zauważmy, że obcięcie wysokich modów jest w rzeczywistości niczym innym jak symulowaniem kwantowego rozkładu energii. Gęstość energii z klasycznym rozkładem liczby cząstek może modelować gęstość energii z kwantowym rozkładem, o ile wartość pędu obcięcia jest dobrze dobrana. Obcięcie należy wybrać w zgodzie z teorią kwantową. W rozważanym modelu najlepsze uzgodnienie wyznacza: ω kmax = 1.64 k B T. (2.24)

Kwantowanie drgań nieliniowej struny 21 Ρ ε 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 ε Rysunek 2.4: Gęstość energii (2.23) w funkcji E zgodnie z kwantowym rozkładem Bosego Einsteina oznaczone linią ciągłą. Gęstość energii ρ(e) z rozkładem Bosego Einsteina w granicy klasycznej dla trzech różnych wartości energii obcięcia ω kmax : ω kmax = T linia przerywana; ω kmax = 1.64 T linia przerywano - kropkowana; ω kmax = 2 T linia kropkowana. Pozostałe parametry to ω =.5 i T = 1.5. i nadaje działaniu wartość stałej Plancka. Zauważmy, że związek (2.24) przypomina, z dokładnością do czynnika rzędu jeden, prawo przesunięć Wiena 3, a w prawie Wiena figuruje stała Plancka. Porównanie równań (2.24) i (2.19) pokazuje, że liczba fononów w modzie o maksymalnej energii Ω kmax jest rzędu jeden, a dopasowanie do kwantowego rozkładu wyznacza wartość obsadzenia tego modu na: N kmax =.6. (2.25) Zauważmy, że konkluzje zawarte w [23] również sugerują aby obsadzenie modu o maksymalnej energii było w granicach.6.7, co jest zgodne z naszym wynikiem. Równanie (2.24), czyli warunek uzgodnienia klasycznego rozkładu gęstości energii z rozkładem kwantowym, wprowadza stałą Plancka do teorii pól klasycznych. Uzgodnienie obu rozkładów może być alternatywną metodą ustalenia wartości N kmax. Jednakże, dla prostoty w większości zastosowań metody pól klasycznych przyjmuje się N kmax = 1. W przykładzie 1, stosujemy ten wynik i pokazujemy, w jaki sposób można numerycznie obliczyć obsadzenie modu o zerowej energii w funkcji temperatury. Przykład 1 Prezentujemy zastosowanie omówionej procedury do wyznaczenia populacji modu o zerowej energii w funkcji temperatury. Najpierw rozwiązujemy równanie (2.3) dla zadanej energii i liczby punktów na sieci, w naszych rachunkach wybieraliśmy raczej małe wartości N od 16 do 124. Następnie spraw- 3 Prawo Wiena określa zmianę położenia maksimum rozkładu gęstości energii ciała doskonale czarnego ze względu na temperaturę.

22 Metoda pól klasycznych w opisie gazu bozonowego w równowadze termodynamicznej 1.5 n N Ph.5.5.2.4.6.8.1 T Rysunek 2.5: Frakcja liczby fononów w modzie k = w funkcji temperatury dla dwóch wartości całkowitej liczby fononów: N P h = 85 (punkty szare) i N P h = 175 (punkty czarne). Punkty to wyniki symulacji numerycznych równania (2.3) z λ = 1, a linia ciągła to dopasowanie z α = 4.5. dzamy czy układ osiągnął stan równowagi termodynamicznej poprzez oszacowanie na kilku etapach ewolucji czy wyznaczone częstości ω k i amplitudy β k spełniają relację ekwipartycji. Kiedy stan stacjonarny zostaje osiągnięty, z warunku N kmax = 1 obliczamy całkowitą liczbę fononów, a z relacji ekwipartycji temperaturę. Populacje wszystkich modów wyznaczamy w następujący sposób: N k = β k 2 β kmax 2. (2.26) Jeżeli liczba fononów N P h = k N k jest inna niż zakładana, zmieniamy liczbę punktów na sieci i powtarzamy rachunki. Im mniejsza jest energia, tym mniejsze musi być N aby całkowita liczba fononów została zachowana. W ten sposób można wyznaczyć obsadzenia wszystkich modów w funkcji temperatury dla zadanej wartości całkowitej liczby fononów. Rysunek 2.5 przedstawia populacje modu o k = w funkcji temperatury dla stałej λ = 1 i dwóch różnych wartości całkowitej liczby fononów. Linie oznaczają dopasowanie do punktów numerycznych. Jak widać na rysunku 2.5, obsadzenie zerowego modu gwałtownie rośnie w otoczeniu T. W analizowanym przykładzie nie ma przejścia fazowego, ponieważ układ jest jednowymiarowy. Uwagi 1. Rola parametru obcięcia została już podkreślona w [28] i zauważając, że obcięcie jest ważnym parametrem nie wnosimy nic nowego. Natomiast istotne jest zrozumienie, że obcięcie modów o wysokich energiach wynika nie tylko z implementacji lub samouzgodnienia metody pól klasycznych,