F t+ := s>t. F s = F t.

M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną σ-algebr (F t F, t 0) spełniającą nastepujące własności: (i) Jeśli s, t 0 oraz s < t to F s F t (F nazywamy wtedy filtracją). (ii) Filtracja F = {F t } t 0 jest prawostronnie ciągła tj. F t+ := s>t F s = F t. Rodzinę F o powyższych własnościach nazywamy filtracją prawostronnie ciągłą, a uporządkowana czwórkę (Ω, F, F, P ) nazywamy bazą stochastyczną. W dalszym ciągu o przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P ) oraz o filtracji {F t } t 0 będziemy dodatkowo zakładać: (iii) Przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P ) jest zupełna. (iv) Każda σ-algebra F t zawiera wszystkie elementy A F, takie że P (A) = 0. Wtedy uporządkowana czwórkę (Ω, F, F, P ) będziemy nazywać zupełną bazą stochastyczną. Można wykazać, że dla danej bazy stochastycznej (Ω, F, F, P ) istnieje zupełna baza stochastyczna (Ω, F, F, P ) taka, że F F, F t F t dla F t F, Ft F, t 0 oraz P F = P. Założenie o zupełności bazy stochastycznej będzie obowiązywać przez cały nasz wykład. Wprowadźmy jeszcze oznaczenie pewnej σ-algebry; F := t 0 F t tzn. F jest najmniejszą σ-algebrą zawierającą wszystkie elementy filtracji F. Będziemy w naszym wykładzie przyjmować F = F. 1.2 Czasy zatrzymania Definicja 1.1 Odwzorowanie T : Ω [0, ] nazywamy czasem zatrzymania (stopu), jeśli dla każdego t 0 zachodzi {T t} F t, gdzie Uwaga. Ponieważ {T t} := {ω Ω : T (ω) t}. (1.1) {T = } = Ω \ B, gdzie B = t 0{T t} = oraz B t 0 F t = F, {T n} n=1

M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 2 więc {T = } F. Przedstawimy teraz podstawowe własności czasów zatrzymania. Lemat 1.2 Stały czas T t 0, gdzie t 0 [0, ] jest czasem zatrzymania Dowód. Mamy {T t} = { dla t < t0, Ω dla t t 0, dla każdego t 0 oraz, Ω F t. Lemat 1.3 Jeśli T jest czasem zatrzymania to {T > t}, {T < t}, {T = t} F t. Dowód. Własności te wynikają z równości: {T > t} = {T t}, {T < t} = {T r}, r Q + r<t {T = t} = {T t} {T < t}. Lemat 1.4 Odwzorawanie T : Ω [0, ] jest czasem zatrzymania gdy, dla każdego t 0 zachodzi {T < t} F t. Dowód. W jedna stronę implikacja wynika z lematu 1.3. W drugą stronę mamy m 1 {T t} = n=1 { T < t + 1 } = n n=m { T < t + 1 } F n t+ 1 m Stąd i z prawostronnej ciągłości filtracji F dostajemy {T t} m=1 F t+ 1 m = F t+ = F t. Lemat 1.5 Jeśli S i T są czasami zatrzymania to odwzorowania S T, S T, S + T są także czasami zatrzymania.

M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 3 Dowód. Odwzorowania S T, S T są czasami zatrzymania, ponieważ {S T t} = {S t} {T t}, {S T t} = {S t} {T t}, dla każdego t 0 oraz zbiory te należą do F t jako iloczyn oraz suma (odpowiednio) elementów z F t. W celu wykazania, że S + T jest czasem zatrzymania na mocy lematu 1.4 wystarczy pokazać, że {S + T < t} F t dla każdego t 0. Niech więc t > 0 (dla t = 0 teza jest oczywista). Zauważmy, że (1.2) {S + T < t} = {S < q} {T < r}. q,r Q + r+q<t Rzeczywiście, jest oczywiste, że zbiór po prawej stronie jest zawarty w zbiorze po lewej stronie. W druga stronę. Niech ω {S + T < t}. Oznaczmy δ := t S(ω) T (ω). Z gestości zbioru liczb wymiernych na prostej wynika, że istnieją nieujemne liczby wymierne q i r takie, że 0 < q S(ω) < δ 2 oraz 0 < r T (ω) < δ 2 Stąd mamy, więc S(ω) < q T (ω) < r q + r < δ + S(ω) + T (ω) = t z definicji δ. Zatem ω należy do zbioru po prawej stronie równania (1.2), co kończy dowód tej równości. Stosując teraz (1.2) od razu uzyskujemy tezę lematu. Lemat 1.6 Jeśli {T n } n N jest ciągiem czasów zatrzymania to odwzorowania sup T n, n 1 inf n 1 T n są też czasami zatrzymania. Dowód. Prawdziwe są równości: { } T n t = n 1{T n t} oraz sup n 1 { } inf T n < t = {T n < t}. n 1 n 1 Stąd i z lematu 1.4 dostajemy tezę. Definicja 1.7 Niech T będzie czasem zatrzymania względem ustalonej filtracji. Określmy rodzinę zbiorów { F T := A F : A {T t} F t }. t 0

M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 4 Jest to rodzina zdarzeń losowych, o których możemy powiedzieć (w danej chwili t), że zaszły lub nie o ile nastąpił moment T przed chwilą t. Łatwo zauważyć, że F T jest σ-algebrą. Podamy teraz pewne własności F T. Lemat 1.8 Czas zatrzymania T jest F T -mierzalny. Dowód. Dla t 0 i dla każdego s 0 mamy { {T t} gdy t s, {T t} {T s} = {T s} gdy t s i obu przypadkach zbiór ten należy do F s (W pierwszym przypadku wynika to z zawierania F t F s ). Lemat 1.9 Jeśli t 0 0 i T t 0 to F T = F t0. Dowód. Dla t 0 0 zachodzi równość A {T t} = { A gdy t t0, gdy t < t 0. Stąd A F T wtedy i tylko wtedy gdy, A F t dla t t 0 tj. wtedy i tylko wtedy gdy A F t0. Uwaga. Zauważmy, że jeśli t 0 i T = t 0 to teza lematu 1.9 również zachodzi. Lemat 1.10 Jeśli T jest czasem zatrzymania, S jest F T -mierzalną zmienną losową taką, że S T to S jest czasem zatrzymania. Dowód. Z F T -mierzalności zmiennej losowej S otrzymujemy {S t} {T t} F t dla każdego t 0, a ponieważ T S, więc {S t} {T t}. Zatem {S t} = {S t} {T t} F t. Lemat 1.11 Jeśli S, T są czasami zatrzymania oraz S T to F S F T. Dowód. Dla każdego t 0 i A F S mamy ( ) A {T t} = A {S t} {T t} F t bo S T i A {S t} F t, {T t} F t. Zatem A F T.

M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 5 Lemat 1.12 Jeśli {T n } n N jest danym ciągiem czasów zatrzymania to dla czasu zatrzymania T = inf n N T n zachodzi równość F T = Dowód. Z lematu 1.11 otrzymujemy inkluzję W drugą stronę. Jeśli A F T F Tn. n=1 F Tn. n=1 F Tn tj. dla każdego n IN i t 0 n=1 (1.3) A {T n t} F t. Z lematu 1.3 wynika, że {T n < t} F t, więc z (1.3) mamy A {T n < t} = {T n < t} ( A {T n t} ) F t. Stąd { } (1.4) A {T < t} = A inf T n < t = A {T n < t} F t. n N Zatem na mocy (1.4) mamy A { T < t + m} 1 Ft+ 1 dla m IN. Stąd dla każdego k IN m mamy Zatem A {T t} = m=1 ( { A T < t + 1 }) = m A {T t} k=1 F t+ 1 k n N m=k ( { A T < t + 1 }) m = F t+ = F t. F t+ 1. k Lemat 1.13 Jeśli S, T są czasami zatrzymania to następujące zdarzenia losowe {S < T }, {T S}, {T = S} należą do F S F T = F S T. Dowód. Wystarczy wykazać, że podane zdarzenia losowe należą do F T i do F S. Dla ustalonego t 0 otrzymujemy {T < S} {T t} = ( ) ( ) {T < r} {r < S} {T = t} {t < S} F t, r<t r Q

M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 6 oraz {T < S} {S t} = r<t r Q ( ) {T < r} {r < S} {S t} F t, więc {T < S} należy do F T i do F S. Oczywiście przez symetrię {T > S} również należy do F T i do F S. Zdarzenie losowe {S T } należy do podanych σ-algebr jako dopełnienie {S < T }. W końcu {T = S} = {T S} {S T } F S F T = F S T. Lemat 1.14 Niech S i T będą czasami zatrzymania. Jeśli A F S to A {S T } F S T oraz A {S < T } F S T. Dowód. Z założenia i z lematu 1.13 mamy A {S T } F S, a ponieważ ( A {S T } ) {S T t} = ( A {S T } ) {S t} Ft dla każdego t 0, zatem A {S T } F S T. Analogicznie dowodzimy drugą część lematu. Uwaga. Z powyższego lematu od razu otrzymujemy: Dla A F S A {S T } F T, A {S < T } F T. Lemat 1.15 Niech X będzie F-mierzalną zmienną losową oraz taką, że E X <. Zachodzi równość (1.5) E[E[X F T ] F S ] = E[X F T S ] dla dowolnych czasów zatrzymania T i S. Dowód. Ponieważ (F T S F T z lematu 1.11) E[X F T S ] = E[E[X F T ] F T S ] więc wystarczy wykazać lemat dla F T -mierzalnej zmiennej losowej Y (E Y < ). tj. (1.6) E[Y F S ] = E[Y F T S ].

M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 7 Z własności warunkowej wartości oczekiwanej wynika, że wystarczy wykazać (1.6) dla Y = I A, A F T (I A oznacza indykator zbioru A). Niech więc A F T oraz F F S. Na mocy lematu 1.14 zbiory F {S T } i A {T < S} należą do F S T. Otrzymujemy E[I A F S T ] dp = E[I A F S T ] dp + E[I A F S T ] dp F F {S T } = P (A F {S T }) + F F {S>T } E[I A {S>T } F S T ] dp = P (A F {S T }) + P (A F {S > T }) = P (A F ) = E[I A F S ] dp. Wprowadzimy teraz szczególne podzbiory w [0, ) Ω tzw. przedziały stochastyczne. Niech S i T będą czasami zatrzymania. Wtedy zbiór ]]S, T ]] := {(t, ω) [0, ) Ω : S(ω) < t T (ω)} będziemy nazywać przdziałem stochastycznym lewostronnie otwartym i prawostronnie domkniętym. Podobnie określamy następujące przedziały stochastyczne: ]]S, T [[, [[S, T ]], [[S, T [[. Zauważmy, że [[T ]] := [[T, T ]] = {(t, ω) [0, ) Ω : T (ω) = t} oraz ]]s, t]] :=]s, t] Ω dla s, t IR. Ponadto wszystkie przedziały stochastyczne należą do B([0, )) F. 1.3 Procesy i cadlag procesy Niech (E, A) będzie mierzalna przestrzenią (w naszym wykładzie będziemy rozważać tylko dwa przypadki, kiedy ta przestrzeń jest równa ( IR, B(IR) ) albo ( IR d, B(IR d ) ) ). Przez proces stochastyczny rozumiemy odwzorowanie z [0, ) Ω w E takie, że dla każdego t 0 odwzorowanie F X t ( ) : Ω E Ω ω X t (ω) E jest F-mierzalne tzn. X t jest zmienną losową. Proces ten będziemy oznaczać przez X lub X = {X t } t 0. Definicja 1.16 Niech X i Y będą procesami stochastycznymi określonymi na tej samej przestrzeni probabilistycznej. Mówimy, że proces X jest modyfikacją (wersją) procesu Y (lub Y jest modyfikacją (wersją) procesu X) jeśli P ( {X t Y t } ) = 0. t 0

M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 8 Definicja 1.17 Procesy stochastyczne X i Y nazywamy nierozróżnialnymi jeśli ( ) P (π({x Y })) = P {X t Y t } = 0, gdzie π jest rzutem na Ω. Zauważmy, że powyższa definicja wymaga, aby zbiór π({x Y }) = t 0{X t Y t } t 0 był mierzalny. Jeśli procesy X i Y są nierozróżnialne, to mówimy, że jeden z nich jest realizacją drugiego. Relacja nierozróżnialności procesów jest relacją równoważności i w dalszej części wykładu bedziemy identyfikować procesy nierozróżnialne. Oczywiście jeśli dwa procesy są nierozróżnialne to jeden z nich jest wersją drugiego. Podzbiór A [0, ) Ω nazywamy nieistotnym jeśli proces I A jest nierozróżnialny od procesu zerowego lub równoważnie P (π(a)) = 0. Niech X będzie procesem stochastycznym i ustalmy ω Ω. Odwzorowanie t X t (ω) nazywamy trajektorią procesu X. Wyróżnimy pewne klasy procesów ze względu na własności ich trajektorii. Definicja 1.18 Niech X będzie procesem X jest cag procesem jeśli jego trajektorie są lewostronnie ciągłe. X jest cad procesem jeśli jego trajektorie są prawostronnie ciągłe. X jest cadlag procesem jeśli jego trajektorie są prawostronnie ciągłe i posiadają lewostronne granice. X jest caglad procesem jeśli jego trajektorie są lewostronnie ciągłe i posiadają prawostronne granice. X jest ciągłym procesem jeśli jego trajektorie są ciągłe. Twierdzenie 1.19 Jeśli X i Y są cad lub cag procesami i X jest modyfikacją Y to procesy X i Y są nierozróżnialne. Dowód. ( Dla każdego r Q + oznaczmy przez A r = {X r Y r }. Z założenia P (A r ) = 0. Stąd P r Q r) + A = 0. Z jednostronnej ciągłości wynika, że A := t 0 A t = r Q + A r. Zatem P (A) = 0 czyli X i Y są nierozróżnialne.

M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 9 Z dowodu powyższego twierdzenia wynika, że stosowanie cad lub cag procesów daje nam możliwość badania ich własności ograniczając się tylko do pewnego przeliczalnego gęstego podzbioru IR + np. zbioru nieujemnych liczb wymiernych Q +. Zajmiemy sie teraz problemem mierzalności procesów stochastycznych. Zaczniemy od definicji. Definicja 1.20 Proces X = {X t } t 0 nazywamy procesem adaptowanym względem filtracji F = {F t } t 0 jeśli dla dowolnego t 0 odwzorowanie ω X t (ω) jest F t -mierzalne. Lemat 1.21 Niech T : Ω [0, ] będzie zmienną losową. T jest czasem zatrzymania gdy, proces I [[0,T [[ jest adaptowany. Dowód. Niech t 0. Zauważmy, że I [[0,T [[ (t, ω) = { 1 gdy T (ω) > t, 0 gdy T (ω) t, = I {T >t} (ω) Stąd wynika, że następujące odwzorowanie I [[0,T [[ (t, ) jest F t -mierzalne wtedy i tylko wtedy gdy, {T t} F t co oznacza, że T jest czasem zatrzymania. Definicja 1.22 Proces X nazywamy mierzalnym jeśli odwzorowanie X : [0, ) Ω E (s, ω) X s (ω) jest mierzalne względem σ-algebry B([0, )) F. Definicja 1.23 Dany proces X nazywamy procesem progresywnie mierzalnym względem filtracji F = {F t } t 0 jeśli dla każdego t 0 odwzorowanie X : [0, t] Ω E (s, ω) X s (ω) jest mierzalne względem σ-algebry B([0, t]) F t. Lemat 1.24 Jeśli X jest procesem progresywnie mierzalnym to jest również procesem mierzalnym i adaptowanym. Dowód. Z definicji X [0,t] Ω : (s, ω) X s (ω)

M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 10 jest B([0, t]) F t -mierzalne. Stąd dla t odwzorowanie jest F t -mierzalne, bo X t : ω X t (ω) ( X 1 (A) ) t = X 1 t (A) dla A B(IR), gdzie dla D B([0, t]) F t, D t := {ω : (t, ω) D} F t. Z założenia X [0,t] Ω jest B([0, t]) F t B([0, t]) F = ( B([0, )) F ) [0,t] Ω mierzalny. Stąd XI [0,t] Ω jest B([0, )) F mierzalny. Przechodząc z t dostajemy mierzalność X (względem B([0, )) F). Twierdzenie odwrotne jest na ogół fałszywe. Przykład 1.25 Niech Ω = [0, ), F = L([0, )) oraz (1.7) P (A) = e x dλ(x), A F. Określmy filtrację nastepująco: A F t = {A F : λ(a) = 0 albo λ(a ) = 0}, t 0. Zdefiniujmy proces X = {X t } t 0 wzorem { 1 gdy ω = t, X t (ω) = 0 gdy ω t. Łatwo zauważyć, że X jest procesem adaptowanym i mierzalnym. Aby udowodnić, że X nie jest procesem progresywnie mierzalnym skorzystamy z następującego twierdzenie, które podamy bez dowodu. Twierdzenie 1.26 Niech (Ω, F, P ) będzie zupełną przestrzenią probabilistyczną, (K, B) będzie przestrzenią Borela, a π rzutem K Ω na Ω. Jeśli B B(K) F, to π(b) F. Dadajmy jeszcze, że przestrzeń mierzalną (K, B) nazywamy przestrzenią Borela jeśli istnieje odwzorownie mierzalne z tej przestrzeni, którego odwrotne też jest mierzalne w przestrzeń ([0, 1], B([0, 1]). Można udowdnić, że każdy borelowski podzbiór przestrzeni metrycznej ośrodkowej i zupełnej (tzw. przestrzeni polskiej) jest przestrzenią Borela (oczywiście z σ-algebrą zbiorów borelowskich). Niech t > 0. Zastosujemy powyższe twierdzenie przyjmując K = [0, t]. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, F t, P ), gdzie Ω = [0, ) oraz P dane jest wzorem (1.7) jest zupełna. Zauważmy ponadto, że {(s, ω) : s [0, t], ω Ω, X s (ω) = 1} =,

M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 11 gdzie jest przekątną kwadratu [0, t] 2. Gdyby X był progresywnie mierzalny, to B([0, t]) F t ale wtedy na mocy Twierdzenia 1.26 mamy F t π( ) = [0, t], co jest niemożliwe. Jednak, gdy proces ma jednostronnie ciągłe trajektorie to zachodzi twierdzenie odwrotne do lematu 1.24. Twierdzenie 1.27 Jeśli proces X jest adaptowany i cad lub cag to jest progresywnie mierzalny. Dowód. Musimy wykazać, że dla każdego t > 0 odwzorowanie X : [0, t] Ω E jest B([0, t]) F t -mierzalne. Ustalmy t > 0. Dla każdego n IN niech k = 1, 2, 3,..., 2 n. Określmy X n : [0, t] Ω E wzorem oraz X n s (ω) = X k2 n t(ω) gdy s [(k 1)2 n t, k2 n t), X n t (ω) = X t (ω) w przypadku, gdy X jest cad (wtedy X n też jest cad, co w dowodzie tym nie jest istotne) oraz X n s (ω) = X (k 1)2 n t(ω) gdy s ((k 1)2 n t, k2 n t], oraz X n 0 (ω) = X 0 (ω) w przypadku, gdy X jest cag procesem (wtedy X n też jest cag, co w dowodzie tym nie jest istotne). Zauważmy, że dla a IR mamy {(s, ω) : X n s (ω) a} = {t} {X t a} 2 n k=1 w przypadku, gdy X jest cad procesem, oraz {(s, ω) : X n s (ω) a} = {0} {X 0 a} 2 n k=1 [(k 1)2 n t, k2 n t) {ω : X k2 n t(ω) a} ((k 1)2 n t, k2 n t] {ω : X (k 1)2 n t(ω) a} w przypadku, gdy X jest cag procesem. Zatem X n jest mierzalne wzgledem σ-algebry B([0, t]) F t. Ponieważ lim n Xs n = X s punktowo dla s [0, t] (bo X jest cad lub cag) więc X jest progresywnie mierzalnym procesem.

M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 12 Niech X będzie procesem, a T czasem zatrzymania. Określmy odwzorowanie (proces w chwili zatrzymania T ) X T : Ω E wzorem X T (ω) := X T (ω) (ω). Zauważmy, że gdy T (ω) = + to możemy mieć trudność w określeniu X T dla takich ω. Mamy wtedy dwie możliwości: albo lim t X t istnieje (punktowo) i wtedy określamy X := lim t X t, albo granica ta nie istnieje i wtedy zamiast X T rozważamy X T 1 {T < }. Twierdzenie 1.28 Niech X będzie procesem progresywnie mierzalnym i niech T będzie czasem zatrzymania. Wtedy: 1. Jeśli T jest skończony to X T jest F T -mierzalne. 2. Jeśli T nie jest skończonym czasem zatrzymania oraz X nie jest określone, to X T 1 {T < } jest F T -mierzalne. 3. Jeśli T nie jest skończonym czasem zatrzymania oraz X := lim t X t istnieje (punktowo) to X T jest F T -mierzalne. Dowód. Pokażemy najpierw, że X T jest F-mierzalne. Załóżmy, że T < + i zauważmy, że X T jest złożeniem dwóch odwzorowań oraz (Ω, F) ([0, ) Ω, B([0, )) F) ω f (T (ω), ω) ([0, ) Ω, B([0, )) F) (IR, B(IR)) (t, ω) g X t (ω) Ponieważ odwzorowanie f jest F-mierzalne (z definicji czasu zatrzymania) oraz g jest B([0, )) F-mierzalne, stąd X T = g f jest F-mierzalne. Jeśli T nie jest skończony to zauważmy, że X T {T < } = g f, gdzie g i f są jak powyżej z tym, że f jest określone na przestrzeni mierzalnej ({T < }, F {T < } ). Zatem X T {T < } jest F {T < } - mierzalne. Stąd X T I {T < } jest F - mierzalne. Jeśli teraz T + oraz X istnieje, to X jest F-mierzalne oraz {T = } F. Ponieważ X T = X T I {T < } + X I {T = }, i na mocy poprzedniego X T I {T < } jest F-mierzalne, więc X T jest F-mierzalne. Mając teraz na uwadze definicję F T zauważmy, że dla zakończenia dowodu twierdzenia wystarczy wykazać nastepującą zależność: Dla t IR + i A B(IR) (1.8) {X T A} {T t} F t.

M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 13 Mamy (1.9) {X T A} {T t} = {X S A} {T t}, gdzie S = T t. Zmienna losowa X S jest złożeniem dwóch odwzorowań oraz (Ω, F t ) ([0, t] Ω, B([0, t]) F t ) ω f (S(ω), ω) ([0, t] Ω, B([0, t]) F t ) (IR, B(IR)) (s, ω) g X s (ω), gdzie f jest F t -mierzalna, a g jest B([0, t]) F t -mierzalna. Ponieważ X S = g f zatem X S jest F t -mierzalna. Stąd i z (1.9) widzimy, że (1.8) zachodzi, co kończy dowód. Twierdzenie 1.29 Niech T będzie danym skończonym czasem zatrzymania, to σ-algebra F T jest najmniejszą σ-algebrą generowana przez zmienne losowe otrzymane z cadlag i adaptowanych procesów w chwili w T tj. Dowód. Niech F T = σ{x T : X -cadlag adaptowany proces} G = σ{x T : X-cadlag adaptowany proces}. Niech Λ F T wtedy X t = I Λ I {t T } jest cadlag i adaptowanym procesem oraz X T = I Λ. Stąd Λ G. Niech X będzie adaptowanym, cadlag procesem. Wtedy z twierdzenia 1.27 proces X jest progresywnie mierzalny, a z twierdzenia 1.28 zmienna losowa X T jest F T -mierzalna tzn. G F T 1.4 Przykłady czasów zatrzymania Stwierdzenie 1.30 Niech T będzie czasem zatrzymania oraz niech A F T. Określmy T A : Ω [0, ] wzorem { T (ω) dla ω A, (1.10) T A (ω) = + dla ω / A. Wtedy T A jest czasem zatrzymania. Ponadto T A = T A {T < }. Dowód. Łatwo zauważyć, że T A jest czasem zatrzymania, bo dla t 0 mamy {T A t} = A {T t} F t.

M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 14 Stwierdzenie 1.31 Niech X będzie procesem adaptowanym cad lub cag. Jeśli T jest czasem zatrzymania to dla a > 0 zmienna losowa T a określona wzorem (1.11) T a (ω) = inf{t : t > T (ω), X t (ω) X T (ω) > a} (przyjmujemy T a (ω) =, gdy T (ω) = ) jest czasem zatrzymania. Dowód. Zauważmy, że dla t > 0 mamy równość (1.12) {T a < t} = {ω Ω : s > T (ω), X s (ω) X T (ω) (ω) > a}. s Q [0, t) Rzeczywiście, jeśli ω należy do zbioru po prawej stronie równości (1.12), to istnieje s Q [0, t) takie, że T (ω) < s oraz X s (ω) X T (ω) (ω) > a. Stąd T a (ω) s < t, czyli ω {T a < t}. W drugą stronę. Niech ω {T a < t}, to z definicji T a i własności kresu dolnego istnieje t 1 < t takie, że T (ω) < t 1 oraz X t1 (ω) X T (ω) (ω) > a. Korzystając teraz z jednostronnej ciągłości trajektorii X wnosimy, że istnieje s Q takie, że T (ω) < t 1 < s < t w przypadku cad procesu (T (ω) < s < t 1 < t dla cag procesu) dla którego X s (ω) X T (ω) (ω) > a. Stąd ω należy do zbioru po prawej stronie równości (1.12), co kończy dowód (1.12). Zauważmy ponadto, że (1.12) możmy zapisać w postaci (1.13) {T a < t} = {ω Ω : I {T <s} (ω) X s (ω) X T (ω) (ω) > a}. s Q [0, t) Zmienna losowa I {T <s} X s jest F s -mierzalna (bo T jest czasem zatrzymania, a X jest adaptowany), a zmienna losowa X T I {T <s} jest F T s -mierzalna (twierdzenie 1.27 i 1.28 oraz lemat 1.14). Ponieważ F T s F s, wiec również F s -mierzalna. Stąd i z (1.13) dostajemy tezę stwierdzenia. Twierdzenie 1.32 Niech X będzie adaptowanym cadlag procesem oraz niech A będzie otwartym zbiorem to czas pierwszego dotarcia do zbioru A określony wzorem jest czasem zatrzymania. T (ω) = inf{t > 0 : X t (ω) A} Dowód. (Szkic) Wystarczy pokazać, że {T < t} F t dla t 0. Ale z otwartości A i z tego, że X jest adaptowany i ma prawostronnie ciągłe trajektorie mamy (1.14) {T < t} = {X s A}. s Q [0,t)

M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 15 Zatem {T < t} F t. Powyższe twierdzenie możemy rozszerzyć na dowolne zbiory borelowskie i procesy progresywnie mierzalne. Do tego jednak potrzebne nam będą dodatkowe fakty i definicje. Definicja 1.33 Niech A [0, ) Ω będzie niepustym zbiorem. Funkcję D A (ω) = inf{t 0 : (t, ω) A}, ω Ω nazywamy debiutem zbioru A. Zauważmy, że dla t > 0 mamy (1.15) {D A < t} = π(a [[0, t[[). Rzeczywiście, ω {D A < t} wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje 0 t 1 < t taki, że (t 1, ω) A, co z kolei jest równoważne warunkowi (t 1, ω) A [[0, t[[ ω π(a [[0, t[[). Stwierdzenie 1.34 Jeśli A B([0, ) F, to D A jest zmienna losową. Dowód. Teza stwierdzenia wynika natychmiast z (1.15) oraz z twierdznia 1.26. Twierdzenie 1.35 Jeśli A [0, ) Ω jest zbiorem progresywnie mierzalnym (tzn. I A jest procesem progresywnie mierzalnym), to D A jest czasem zatrzymania. Dowód. Niech t > 0. Zbiór A jest progresywnie mierzalny, więc A [[0, t]] B([0, t]) F t. Ponadto [[0, t[[ B([0, t]) F t. Zatem A [[0, t[[ B([0, t]) F t. Teraz z lematu 1.4, z równości (1.15) oraz z twierdzenia 1.26 dostajemy tezę. Uwaga. Zauważmy również, że zmienna losowa (1.11) jest debiutem zbioru ]]T, [[ {(t, ω) : X t (ω) X T (ω) (ω) > a} = ]]T, [[ {(t, ω) : X t (ω) X T (ω) (ω)i [[T, [[ (t, ω) > a} Ponieważ procesy: I ]]T, [[, X, X T I [[T, [[ są progresywnie mierzalne, więc z twierdzenia 1.35 dostajemy inny dowód stwierdzenia 1.31. Twierdzenie 1.36 Jeśli X jest progresywnie mierzalny to dla dowolnego zbioru borelowskiego B odwzorowanie T (ω) = inf{t > 0 : X t (ω) B} jest czasem zatrzymania.

M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 16 Dowód. Oznaczmy A 1 = {(t, ω) [0, ) Ω : X t (ω) B}. Z założenia A 1 jest zbiorem progresywnie mierzalnym. Zauważmy, że również zbiór ]]0, ]] jest progresywnie mierzalny (bo dla każdego t > 0 mamy ]0, t] Ω B([0, t]) F t ). Oznaczmy A = A 1 ]]0, ]]. Dla zakończenia dowodu wystarczy zauważyć, że T = D A i skorzystać z twierdzenia 1.35. 1.5 Procesy zatrzymane i lokalizacja Niech T będzie czasem zatrzymania i niech X = {X t } t 0 będzie procesem. Proces X T określamy jako { Xt (ω) dla t < T (ω), Xt T (ω) = X T (ω) (ω) dla t T (ω), i nazywamy go procesem zatrzymanym w chwili T. Możemy również zapisać X T t (ω) = X T (ω) t (ω). Twierdzenie 1.37 Jeśli X jest progresywnie mierzalnym procesem i T jest skończonym czasem zatrzymania, to proces X T jest również progresywnie mierzalny. Dowód. Możemy przedstawić X T jako sumę dwóch procesów: X T = I [[0,T [[ X + I [[T,+ [[ X T. Proces I [[0,T [[ jest cad i adaptowany, więc (z twierdzenia 1.27) jest progresywnie mierzalny. Zatem stąd i z założenia wynika, że I [[0,T [[ X jest też progresywnie mierzalny. Z twierdzenia 1.28 zmienna losowa X T jest F T -mierzalna i jest oczywiste, że proces I [[T,+ [[ X T jest cad. Dowód będzie zakończony jeśli pokażemy, że jest on również adaptowany. Aby to udowodnić wystarczy pokazać, że dla każdego A F T proces I [[T,+ [[ I A jest adaptowany, co jest prawdą, bo {ω Ω : I [[T,+ [[ (t, ω)i A (ω) = 1} = A {T t} F t. Podamy teraz definicję lokalizacji. Rozważmy niemalejący ciąg {T n } czasów zatrzymania, taki że lim n T n = +. W dalszej części wykładu będziemy ten ciąg nazywać ciągiem lokalizacyjnym. Mówimy np., że proces X jest lokalnie ograniczony jeśli istnieje ciąg lokalizacyjny {T n }, taki że dla każdego n IN proces X Tn zatrzymany w czasie T n jest ograniczony. Tę technikę lokalizacji będziemy stosować w wielu sytuacjach.