00 Preysław Baran www.ar.raow.pl\~pbaran Ruch wody w grunce rowąane ogólne Do yślowo wyodrębnonego prostopadłoścanu gruntu o wyarach nesońcene ałych podłącono peoetry Rys.. aładay że na erunu y grunt sę ne ena ate soncentruey sę na prepływe w erunu pooo ponowo. Rys. Fltraca pre eleentarny prostopadłoścan gruntu Prędość wody dopływaące do gruntu erunu onacy pre analogcne prędość wody dopływaące erunu pre. Pry preścu pre grunt woda ne a uż prędośc weścowe opory tarca ate onacy e prędość na wyścu erunu pre a erunu pre. Prepływ na weścu do prostopadłoścanu wynese odpowedno: erune erune q d dy q d dy I odpowedno na wyścu prostopadłoścanu: erune q' ' d dy erune q' ' d dy Poneważ opory tarca nesaą prędość nesaą równeż wysoość cśnena cego sute est spade wercadła wody poędy peoetra A A ora B B Rys.. ate ożna napsać że nastąpła ana prędośc weścowe na dany erunu.
00 Preysław Baran www.ar.raow.pl\~pbaran Stąd: ' q' erune d d d dy ' q' erune d d d dy aładay że : - ruch wody est ustalony - selet gruntu woda są pratycne neścślwe - w wode ne oże powstawać próżna W wąu powyżsy lość wody dopływaące do prostopadłoścanu a nego wypływaące w dany case us być sobe równa a ate: q q q' q' d dy d dy d d dy d dy d d dy 0 d d dy d dy d d dy Po uproscenu otryuey równane różncowe cągłośc ltrac: 0 Ruch wody w grunce odbywa sę godne prawe Darcy ate dla gruntu otropowego prędośc ltrac wynosą : erune erune gde: są spada hydraulcny odpowedno w erunu. na nus pry współcynnu ltrac onaca że erune dodatn prędośc est w stronę nesaącego sę cśnena. Po podstawenu do równana cągłośc ltrac otryay: 0 0
00 Preysław Baran www.ar.raow.pl\~pbaran Uprascaąc pre dostaey dwuwyarowe równane Laplace a: 0 a wprowadaąc operator nabla : otryay: 0 Rowąane powyżsego równana onaca naleene tae wartośc wartośc potencału tóra będe średną wsystch wartośc na nesońcene ały oręgu otacaący dany punt w cały obsare analy pry nanych warunach bregowych. Aby óc naleźć suaną wartość ożna posłużyć sę edną etod pryblżonych nuerycnych np. etodą różnc sońconych MRS. W nasy wypadu astąpy różnce nesońcene ałe we wore Laplace a różnca sońcony. Pred doonane te operac usy preprowadć tw. dysretyacę obsaru analy. Poneważ suay wartośc ao średne otacaących ą wartośc wydelay na ropatrywany pre nas obsare satę puntów. Paętać tuta należy ż podał satą puntów us być na tyle gęsty aby różnce w odległoścach były ałe co prowadć będe do doładnesego rowąana. apreentuę tuta to postępowana dla sat wadratowe Rys. ożna dysretyować równeż satą tróątną seścoątną. 5 3 0 0 3 5 Rys. Dysretyaca obsaru wadratową satą puntów Soncentruy sę na żółty węźle 3. Ma on cterech sąsadów 3 3 5 3 tóry stanową ego otocene. aładay że są on oddalen od węła żółtego o sońcene ałą wartość. Nase adane będe polegało na naleenu oruły pryblżone oblcaące drugą pochodną wględe dla 3
00 Preysław Baran www.ar.raow.pl\~pbaran żółtego węła. Poneważ est uncą do wynacena pochodnych sorystay rownęca unc w sereg Taylora: d da a a d da a... W nasy prypadu na erunu dla sąsadów węła żółtego otryay: dla 5 3 dla 3 3 ora: a stąd po podstawenu: : : d d d d d d d d tera dodaey te oruły do sebe: d d d d d d d d d d d d d d d d... d d... stąd wór na drugą pochodną wględe prybere postać:...... d d d d d d analogcne dla wględe :
00 Preysław Baran www.ar.raow.pl\~pbaran 5 d d Ja uż było wsponane est uncą ennych podstawaąc powyżse oruły do równana Laplace a otryay: 0 0 0 ate równane Laplace a w apse różnc sońconych prybere postać: 0 Stąd wartość dla węła centralnego otoconego cterea sąsada będe równa: aast współrędny pry stały wyare oca sat lepe operować poycą węła. Wówcas powyżsy wór otrya następuącą orę: apreentuę tuta procedurę oblcenową waną etodą relasac polegaącą na wylcanu nowych wartośc w olenych teracach na podstawe dowolnych ałożonych wartośc. Procedura est o tyle nteresuąca gdyż co byśy ne ałożyl rowąane awse nastąp. Prytocę w ty escu dwe techn teracyne: Jaobego wolna ale prosta: Nad-relasacyna syba ale barde łożona: [ ] ω ω gde: est nuere terac ω współcynne nad-relasac.5.85. Oblcena prowady do chwl gdy różnce poędy wartośca dwóch ostatnch terac będą odpowedno ałe:
00 Preysław Baran www.ar.raow.pl\~pbaran 0 a Kolena rec: wartośc bregowe. Nacęśce posługuey sę dwoa rodaa wartośc bregowych. Perwsy opsue naną wartość potencału warune Drchleta drug naną wartość prędośc ltrac warune Neuanna. Potencał oże być nacęśce est rouany ao peoetrycny poo wody poo wercadła w peoetre erony od ałożonego poou odnesena. ole warune bregowy dla prędośc est nacne barde soplowany. Popatry nże: - V Rys. 3 Warune bregowy dla prędośc Jeżel prędość w tóryś puntów analowanego obsaru est nana wówcas astępuey węeł będący na erunu e dałana a aast nego wprowaday wetor prędośc Rys. 3. Ropatry naną wartość prędośc na erunu. godne prawe Darcy będe ona równa: Wartość perwse pochodne wględe otryay wyorystanego wceśne rownęca unc w sereg Taylora: : : d d d... d d d d... d...... 6
00 Preysław Baran www.ar.raow.pl\~pbaran 7 Po odęcu powyżsych równań: d d d d d d d d Dla unc otryay następuący wór na perwsą pochodną wględe : d d Stąd: Poneważ na erunu ne a węła - Rys. 3 usy go wyelnować pre połącene powyżsego równana równane Laplace a: ate dla warunu bregowego pry nane prędośc w erunu ponowy otryay następuący wór na potencał w węźle : I analogcne w erunu pooy:
00 Preysław Baran www.ar.raow.pl\~pbaran Podsuowuąc: Podstawy teoretycne MRS są race proste a to postępowana w prypadu orystana te etody est łatwy do wytłuacena. Newątplwy atute etody est prostota dałań arytetycnych. W asade są to nożena dodawana cyl operace tóre są nasybce wyonywane pre oputer. Do preprowadena tach oblceń ożey sorystać nawet e wyłego arusa alulacynego. Oblcena asady są stablne stnee awse rowąane etoda relasac. Nestety aby óc sorystać e woru Laplace a należy nać wartośc bregowe otacaące cały obsar analy. Jest to casa bardo trudne do ustalena np. położene stałt rywe depres. Sęga sę wtedy do etod uprosconych powalaących oreślć wanowane cechy rywe depres a edy uż est to nane prowad sę oblcena roładu potencałów. Ocywśce stneą sposoby na obeśce tego typu postępowana ale o ty powey sobe pry następne oa. Kolena westa est wąana saą dysretyacą a poocą sat puntów casa cężo ą aadoptować do realnych warunów własca pry soplowane geoetr obsaru analy. 8