[wersja z 5 X 1] Analiza Matematyczna część 4 Konspekt wykładu dla studentów fizyki Akademia Świętokrzyska 1/11 Wojciech Broniowski 1
Analiza funkcji wielu zmiennych
Przestrzeń wektorowa unormowana : X R - norma 1) x x >, = ) x + y x + y 3) ax = a x Tw. Przestrzeń unormowana ( X, ) jest przestrzenią metryczną z metryką ρ(x, y) = x y. (norma indukuje metrykę, ale metryka nie indukuje normy) D: ρ : X X R+ {} 1) ρ(x,x) = =, ) ρ(x, y) = ρ(y,x), 3) ρ(x, z) = x z = x y + y z x y + y z = ρ(x, y) + ρ(y, z) Przyklad: X = R n, x = x1 + x +... + x n (dlugosć wektora) 3
Pochodna cząstkowa n f : R R, y = f ( x) = f ( x1, x,..., xn) Pochodna cząstkowa po x w punkcie x : f f ( x1,..., xk + δ,..., xn) f ( x1,..., xk,..., xn) ( x) = lim x δ k δ Inna notacja: f ( x), f ( x) x k k k Pochodną funkcją cząstkową po x nazywamy funkcję f przyporządkowującą każdemu x wartosć ( x) x Pochodna cząstkową po x k wyliczamy tak samo, jak zwykłą pochodną, traktując pozostałe zmienne jako stałe f ( x, y, z) = z sin( xy) f ( x, y, z) = zy cos( xy), f ( x, y, z) = zx cos( xy), f ( x, y, z) = sin( xy) x y z k k 4
Gradient n f : R R Gradientem funkcji f nazywamy wektor pochodnych cząstkowych, tj. f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) = grad f ( x) =,,..., x1 x xn Operator Nabla =,,..., x1 x xn f x y = x + y f x = x y ( ) (, ), ( ), 5
Interpretacja geometryczna gradientu Kierunek najszybszego wzrostu f ( x, y) = 1 x y f ( x, y) = ( x, y) F = V 6
Pochodna funkcji złożonej k m f : R R, gi : R R, i = 1,..., k, posiadające pochodne cząstkowe w punkcie x i yk = gk ( x). Oznaczamy f g ( x) = f ( g ( x),..., g ( x)) ( ) 1 k Tw. Pochodna cząstkowa funkcji f g wynosi m ( f g) ( x) f ( y) gi( x) =, j = 1,..., k x y x Przyklad: j i= 1 i j f ( y1, y) = y1 y + y1, g1( α, β, γ ) = α + β + γ, g( α, β, γ ) = α f ( y) f ( y) g f ( y) g α α α f ( y) f ( y) =..., =... β γ 1 = + = ( y + )1 + y1α = α + α( α + β + γ ) y1 y 7
h( α( s, t), β ( s, t), γ ( s, t)) h α h β h γ = + + s α s β s γ s h( α( s, t), β ( s, t), γ ( s, t)) h α h β h γ = + + t α t β t γ t κ ( f ( x, y), y) κ f = x f x κ ( f ( x, y), y) κ f κ = + y f y y 8
Pochodne cząstkowe wyższych rzędów n f U R, f : U R, ( x) różniczkowalna x i f Pochodna cząstkowa drugiego rzędu: ( x) = f x j x = f i x x f f f f Tw. W U istnieją pochodne i, ciągle w x. Wtedy =. x x x x x x x x j i i j j i i j j i D: Φ ( x, y) = f ( x + h, y + k) - f ( x, y + k) - f ( x + h) + f ( x, y) ϕ( x, y) = f ( x + h, y) f ( x, y), ψ ( x, y) = f ( x, y + k) f ( x, y) Z Tw. Lagrange'a o wartosci sredniej θ, θ, η, η (,1) : 1 1 Φ ( x, y) = ϕ( x, y + k) ϕ( x, y) = kϕ ( x, y + θ k) ϕ ( x, y θ k) f ( x h, y θ k) f ( x, y θ k) hf ( x θ h, y θ k) y y + 1 = + + 1 + 1 = xy + + 1 Φ ( x, y) = hkf ( x + θ h, y + θ k) xy 1 Podobnie Φ ( x, y) = ψ ( x + h, y) ψ ( x, y)... Φ ( x, y) = hkf ( x + η h, y + η k) yx 1 f ( x + θ h, y + θ k) = f ( x + η h, y + η k). Z ciaglosci f ( x, y) = f ( x, y) xy 1 yx 1 xy yx 1 ji 9
Macierz drugich pochodnych (hessian): f ''( x, y) f x f x y f x y f y = 3 f f Pochodna cząstkowa rzędu trzeciego: ( x) = = x x x x x x k j i k j i f kji = + 3 f : R R, f ( x, y, z) x yx f = x + y, f = x, f =, f = f = 1, f = x y xx xy yx yy 1
Wzór Taylora dla wielu zmiennych f U R R P = x y P x + h y + k P P U :, (, ), (, ), j j j j f ( x, y) j l l d f ( x, y)( h, k) = h k różniczka rzedu j (dwa wymiary) j l l i l = x y Tw. f ma ciągle pochodne cząstkowe rzędu n w U θ (,1): f ( P) = f ( P ) + 1 d f ( P n 1 n )( h, k) d f ( P )( h, k) d f ( x + hθ, y + kθ ))( h, k) +... + + 1! ( n 1)! n! m Dla d wymiarów i n = czlonów, f : R R, mamy f ( x + h) = f ( x) + h + h h d d d f ( x) 1 f ( x + θh) i i j i= 1 xi i= 1 j= 1 xi x j d f : U R R d-wymiarów j j j j! f ( x1,..., xd ) i1 id d f ( x)( h) = h1... hd, i1 +... + i i d = j 1 id i!... i! x... x i,..., i = 1 d 1 d 1 d (wzór Taylora taki sam, jak wyżej) 11
Przyklad: y x xy x y xy x xy 7x y f ( x) = sin( x)cos( xy) e x xy + + + + 6 6 6 1 4 1 3 3 3 5 4 3 dokładna przybliżona wielomianem 1
Ekstrema funkcji wielu zmiennych Tw. (warunek konieczny ekstremum lokalnego) Jeżeli funkcja ma ekstremum lokalne w punkcie x i ma w tym f ( x) pochodne cząstkowe, to =. x i Dowód: Ustalmy i, następnie rozważmy g( x) = f (..., x, x, x Funkcja g( x) ma ekstremum dla x = x i 1 x+ 1 co oznacza =., i i 1 x+ 1, a zatem z tw. o warunku,...). dg( x) koniecznym ekstremum dla funkcji jednej zmiennej mamy =, dx f (..., x, x, x,...) x f ( x, y) = x + y x =, y = f ( x, y) f ( x, y) = = x y 13
Forma kwadratowa to wyrażenie postaci g h h a h n x y z zx xy n ( ) = i ij j (np. dla = 3: + 1 + ) i, j= 1 Forma kwadratowa jest dodatnio okreslona, jeżeli h : g( h) > a ujemnie okreslona, jeżeli h : g( h) <. Jeżeli nie zachodzi żaden z tych przypadków, to forma jest nieokreslona. f ( x) Tw. Rozważmy formę d f ( x)( h) = hih j i niech f ( x) ma ciągle pierwsze xi x j i drugie pochodne w okolicy x, oraz f ( x x a) d f ( x)( h) jest dodatnio okreslona to f ma w x minimum lokalne b) d f ( x)( h) jest ujemnie okreslona to f ma w x maksimum lokalne c) d f ( x)( h) jest nieokreslona to f nie ma i ) =. Wtedy jeżeli w x ekstremum lokalnego 14
Minorem rzędu k macierzy a rzędu m nazywamy wyznacznik utworzony z pierwszych k rzędów i pierwszych k kolumn tej macierzy: A k a a 11 1k k1 a = a kk Tw. Forma g( h) = h a h jest dodatnio okreslona, jeżeli wszystkie jej minory są i ij j k dodatnie, Ak >, k = 1,,.., m, a ujemnie okreslona, jeżeli (-1) Ak >, k = 1,,.., m. Jeżeli nie zachodzi żadna z tych dwóch sytuacji, to forma jest nieokreslona. Przypadek m = : W= f ( x, y) f ( x, y) x x y f ( x, y) f ( x, y), = = f ( x, y) f ( x, y) x y x y y f ( x, y) 1) W >, > - minimum x f ( x, y) ) W >, < - maksimum x 3) W < - punkt siodlowy 4) W = - brak rozstrzygnięcia 15
minimum maksimum 16
Siodło: f(x)=x -y +xy Poszukiwanie ekstremów globalnych na obszarze domkniętym: 1) znalezienie ekstremów lokalnych we wnętrzu ) inspekcja brzegu i "rogów" 17
Funkcje uwikłane F( x, y) - ciągla, F( x, y) = y = y( x) - funkcja uwiklana Tw: F( x, y ) =, F, F - ciągle w otoczeniu ( x, y ), F ( x, y ) x y y 1) ε > δ > x ( x δ, x + δ ) jedyne y ( y ε, y + ε ) : F( x, y) = ) y '( x) = Fx ( x, y( x)) F ( x, y( x)) y 1 F x y = x + y = y = x 1 Fx = x, Fy = y y '( x) =, y '( ) = 1 - mamy "bez wysilku" y (, ) 1, x - równanie okręgu i punkt doń należący F x y = x x y + x y = y = y (, ) (1 )sin, x - nie da się odwiklać! F (,) = 1 y y xy x sin y y '( x) =, y '() = 1 y x ln x y + (1 x ) cos y 18
Wyprowadzenie ): F( x, y( x)) =, Z tw. o pochodnej funkcji zlożonej: d F ( x, y ( x )) = F x( x, y ) + y '( x ) F y( x, y ) = dx d d Ponadto F( x, y( x)) = ( Fx ( x, y) + y '( x) Fy ( x, y) ) = dx dx = F + y '( x) F + y ''( x) F + ( y '( x) ) F = x x xy y F x F x Fxx Fxy + y ''( x) Fy + Fyy = F y F y y ''( x) = F F F F F + F F xx y xy x y yy x 3 Fy F Ekstremum y( x) : y '( x) = Fx = y ''( x) = F yy xx y 19
Przyklad krzywej trzeciego stopnia: Lisć Kartezjusza 3 3 (, ) 3 F x y = x + y xy = y 6 3 3 3 3 3 3 F = y x y + y y y 3 3 (, ) (,) (, ) ( 4, ) x y Fx 3x 3y 3 6 3 ' = = ' = dla = + 3 = Fy 3y 3x x =, y = 4, F y '' = x y y y y x x x x 3 3 xx F F F F + F F y xy x y yy x 3 Fy 6 x(3y 3 x) + 6(3x 3 y)(3y 3 x) + 6 y(3x 3 y) = 3 (3y 3 x) (po wstawieniu) y ''( x, y ) < - maksimum =
Ekstrema warunkowe f, g : R R Funkcja f ma w punkcie ( x, y ) maksimum warunkowe, jeżeli δ > x, y : ( x - x ) + ( y - y ) < δ g( x, y) = f ( x, y ) f ( x, y) analogicznie: minimum... f ( x, y ) f ( x, y) g g( x, y) = y = y( x), y ' = g x y g x Rozważmy F( x) = f ( x, y( x)) F '( x) = f x + f y y ' = f x f y = g funkcja może mieć ekstremum gdy f g = Przyklad: f ( x, y) = x + y, g( x, y) = x + y 1 warunek: y = x, x = y = ± 1 f g x y y x y f g x y y x g y f g 1
Metoda mnożników Lagrange a Tworzymy pomocniczą funkcję Φ ( x, y) = f ( x, y) λg( x, y), gdzie λ nazywa się mnożnikiem Lagrange'a lub czynnikiem nieoznaczonym Lagrange'a. Następnie znajdujemy ekstrema funkcji Φ tak, jakby zmienne x i y byly niezależne. Rozwiązujemy uklad równań Φ =, Φ =, g( x, y) =. x y Dowód: Φ = f + λg =, Φ = f + λg =. Eliminując λ dostajemy f g = f g. x x x y y y x y y x Dla n zmiennych i k warunków mamy następujące uogólnienie: x x Φ( 1,,..., xn = f x1 x xn + λ1g1 x1 x xn + + λk gk x1 x xn Szukamy ekstremum ) (,,..., ) (,,..., )... (,,..., ) Φ ( x, x,..., x ) = f ( x, x,..., x ) + λ g ( x, x,..., x ) +... + λ g ( x, x,..., x ) = j 1 n j 1 n 1 j 1 1 n k j k 1 n Ponadto g ( x, x,..., x ) =, r = 1,..., k, co lacznie daje n + k równań na n + k niewiadomych r 1 ( n zmiennych x i k czynników λ). n
Krzywe i rozciągłości wielowymiarowe Φ V R U R k n Φ Φ k n 1 :, homeomorfizm (1 1, i ciągle), U, V otwarte. Wtedy U nazywamy k-wymiarową powierzchnią (hiperpowierzchnią, rozciągloscią, rozmaitoscią) Φ1 Φ ma n skladowych, Φn. Ukladamy gradienty Φn w macierz: Φ '( x) =... Φn Φ jest homeomorfizmem regularnym, jeżeli x V rząd Φ '( x) = k. Wtedy U nazywamy k-wymiarową powierzchnią gladką k= - zerowymiarowa powierzchnia (punkty izolowane) k=1 - krzywa, linia k= - powierzchnia k> - hiperpowierznia 3
Przyklad: π π cost sin t k = 1, n =, U = (, ), Φ =, ', : ' rz ' 1 luk gladki t U sin t Φ = cost Φ Φ = 1 t k 1, n, U ( 1,1),, t : ' sgn( t) = = = Φ = Φ = w t = Φ' nie instnieje (szpic) t t Parametr t numeruje punkty wzdłuż krzywej 4
Krzywa domknięta gładka: Φ : [ a, b] R n Φ( a) początek, Φ( b) koniec Φ( a) Φ( b) homeomorficzna z przedzialem Φ ( a) = Φ( b) homeomorficzna z okregiem RYS., str. 1 5
Krzywe stopnia drugiego (stożkowe) Powstają z przecięcia stożka płaszczyzną: Okrąg, elipsa, parabola, hiperbola ax bxy cy dx fy g + + + + + = a b d = b c f, J = d f g a b b c a d c f I = a + c, K = + krzywa / d g f g okrąg=elipsa, a = c J I K elipsa > < parabola hiperbola < linie przecinajace się < linie przekrywające się 6
Redukcja do prostszej postaci: Przez obrót możemy się pozbyć czlonu mieszanego x ' = x cosφ + y sinφ y ' = x sinφ + y cosφ φ φ φ φ Czlon mieszany wynosi wtedy x ' y '[( a c) cos sin + b(cos sin )] b π i znika dla tg( φ) = dla c a oraz φ= dla c = a. Po takim obrocie c a 4 mamy Ax ' + Cy ' + Dx ' + Fy ' + G =. Dla A, C, czlonow liniowych pozbywamy się przez transformację x '' = x ' + D / A y '' = y ' + F / C Ax + Cy + G = Wtedy '' '' ''. x y c a b c a b e + = 1, >, =, = mimosród a b a a = b = r x + y = r, okrąg = = y ax, x ay parabola x a y = 1, xy = c hiperbola b 7
Elipsa x a y + = 1 b, ( ) c = a b a b c e = a mimośród XF + XF = a = const. 1 F 1, F - ogniska a - półoś wielka b - półoś mała 8
9
3
Całki eliptyczne (*) x = a sin φ, y = bcosφ długość łuku elipsy Ψ Ψ Ψ dφ 1 k sin dx dy dx dy d a b d ( ) + ( ) = φ cos φ sin φ φ dφ + = + = dφ cos φ + ( )sin φ φ = sin φ φ = 1 sin φ φ a a c d a c d a e d Φ L( Φ ) = a 1 e sin d φ φ π = F( k, Ψ ), k < 1, F( k) = F( k, ) φ dφ k φ = E k Ψ k < E k = E k 1 sin (, ), 1, ( ) (, ) dφ (1 + hsin φ) 1 k sin = K( h, k, Ψ) φ π Całka eliptyczna: I rodzaju II rodzaju III rodzaju W wielomian stopnia 3 lub 4 31
Hiperbola PF PF = a = const. 1 x y = 1 a b c = a + b c e = > 1 a asymptoty 3
Parabola x = e = 1 4ay 33
34
Stosunek długości czerwonych odcinków ukośnych do poziomych wynosi e directrix = kierownica 35
Krzywa y = y( x) Krzywizna krzywej płaskiej równanie stycznej w ( x, y ) : y y = y '( x)( x x ) 1 równanie normalnej w ( x, y ) (prostopadla do stycznej): y y = ( x x ) y '( x) π 1 ( jest tak dlatego, bo y '( x) = tgα, więc tg( α + ) = ctgα = ) y '( x) Rozważmy punkty na krzywej, ( x, y ) i ( x, y ), oraz normalne w tych punktach: 1 1 1 1 y y = ( x x ), y y = ( x x ). Ich punkt wspólny to 1 1 y '( x) y '( x1) ( y1 y) ( y1 y) 1 + y '( x1) 1 + y '( x1) * x1 x * x x = x y '( x), y = y +. y '( x1) y '( x) y '( x1) y '( x) x x x x 1 1 1 + ( y '( x )) 1 + ( y '( x )) W granicy x x dostajemy x x y '( x ), y y. * * 1 = = + y ''( x) y ''( x) (1 + y '( x ) ) 3/ Odleglosć tego punktu od ( x, y) to ρ =, a krzywizna to y ''( x) 1 z def. ρ 36
d y dy y d y x y y x Dla krzywej parametrycznej ( x( t), y( t)) mamy =, = =, dx x dx x x r. stycznej y ( x x( t)) x ( y y( t)) = t r. normalnej x ( x x( t)) + y ( y y( t)) = t * wsp. srodka krzywizny x x( t) krzywizna 1 xt ytt ytxtt = 3/ ρ t t t t dt x t tt t t tt 3 t t ( t ) x + y x + y = y y t xt x y y x x y y x ( xt + yt ) t t * t t t, y = ( ) + t tt t tt t tt t tt Krzywizna nie zależy od ukladu wspólrzędnych (translacje, obroty). 37
Parametryzacja kanoniczna krzywej (*) ( x( t), y( t), z( t)) t s( t) = dt ' x + y + z dlugosć krzywej mierzona od s s t t t t t ' t ' t ' s = x + y + z > t( s) ( x[ t( s)], y[ t( s), z[ t( s)]) krzywa sparametryzowana kanonicznie dx xt xt dy dz = =, =..., =... ds s x + y + z ds ds t t t t dx dy dz + + = 1 ds ds ds Dla d = y = f ( x) dα dα dx f 1 1 kąt stycznej do Ox: α = arctg f ' = = = ds dx ds 1+ f 1+ f ρ xx x x Interpretacja: krzywizna jest pochodną tangensa nachylenia krzywej po parametrze kanonicznym 38
Powierzchnie kawałkami gładkie RYS Sfera Alexandra Butelka Kleina 39
4
Całki wielowymiarowe 41
Definicja całki wielowymiarowe Uogólnienie jednowymiarowej calki Riemanna na n wymiarów: P = [ a, b ] [ a, b ]... [ a, b ] 1 1 P = ( b a )... ( b a ) 1 1 δ = ( b a ) +... + ( b a ) 1 1 n n n Dokonujemy podzialu n-wymiarowego prostokąta m = inf{ f ( x) : x P}, M = sup{ f ( x) : x P} i i i n s = m P +... + m P, S = M P +... + M P n 1 1 k k 1 1 k k Rozważamy normalny ( δ ) ciąg podzialów * * n n * * Jeżeli s to wielkosć tę n n s = lim s calka dolna, S = lim S calka górna funkcji f na prostokącie P = S n n i nazywamy wielokrotną calka Riemanna Notacja: dxdy f ( x, y), dxdydz g( x, y, z) P P 4
Całka iterowana P = [ a, b ] [ a, b ] 1 1 b b1 b1 b dy dx f ( x, y), dx dy f ( x, y) calki iterowane a a1 a1 a Tw. Fubiniego: Jeżeli f : P R jest ciągla, to obie calki iterowane są równe calce Riemanna dxdy f ( x, y). P (analogicznie dla większej liczby wymiarów) Przyklad: P = [,1] [, ] P 1 1 1 x y dxdy (x y + ) = dx dy (x y + ) = dx ( + y) = dx(x + 4) = + 4 3 y= 3 x y y dy dx y + = dy ( + x) = ( ) 4 3 dx + = + 3 3 x= 1 = (x ) 1 43
Całki po dowolnym obszarze A R n f ( x) dla x A F( x) = dla x P \ A ϕ, ψ : [ a, b] R A = {( x, y) : a x b, ϕ( x) y ψ ( x)} zbiór normalny względem Ox Tw. Jeżeli f : A R jest ciągla, to jest calkowalna, oraz ψ ( x) dxdy f ( x, y) = dx dy f ( x, y) A a ϕ ( x) b Przyklad: A={( x, y) : x 1, y 1 x} trójkąt 1 1 x 1 dxdy xy dx dy xy dx (1 x) x 1 1 = = = 4 A 44
Zastosowania całek wielokrotnych V = A dxdydz A = {( x, y, z) : x, y, x, x + y + z 1} x, y ustalone z 1 x y x ustalone, szukamy największego możliwego y: y 1 x z, ponieważ najmniejsze z = y 1 x 1 1 x 1 x y 1 1 x 1 (1 x) 1 V = dx dy dz = dx dy(1 x y) = dx (1 x) = 6 1 Jest to tzw. objetosć sympleksu. W n wymiarach V = n! 45
Środek ciężkości 1 1 x = x dxdy y y dxdy A = A A figura -wym. 1 1 x = x dxdydz, z z dxdydz bryla V = V V A V Objętosć bryly obrotowej powstalej w wyniku obrotu regularnego zbioru A wokól Ox: V = π y dxdy 1 Reguly Guldina: V = πη A, η = y dxdy, A Dla torusa V = πa π r Podobnie dla powierzchni powstalej w wyniku obrotu luku mamy 1 S = πξ L, ξ = ydt - odleglosc srodka ciężkoci luku od osi obrotu L Dla torusa S = πa π r β α A A 46
Pole powierzchni z = f ( x, y), ( x, y) A f f S = dxdy 1+ + x y A Wzór wynika z konstrukcji przybliżającej powierzchnię równoleglobokami Przyklad: f ( x, y) = 1 x y A = {( x, y) : x, y, x + y 1} S = dxdy 3 = A 3 47
Zamiana zmiennych - dyfeomorfizm 1 n n f C R U V R :, homeomorfizm rzędu n -1 (bijekcja, pochodna odwracalna, f i f ciągle) 1 1 1 1 1 1 ϕ ( b ) Pamiętamy, że dla jednej zmiennej dy f ( y) = dx f [ ϕ ( x)] ϕ '( x), y = ϕ ( x) n n Tw. ϕ : X R Y R klasy C ϕ ( a ) J ( x) = jakobian przeksztalcenia ϕ Wtedy Y ϕ x ϕ n x n ϕ x n ϕ n x n... f ( y) dy.. dy =... f [ ϕ ( x)] J ( x) dx.. dx, y = ϕ ( x,..., x ) X b a 1 n i i 1 n 48
Podstawowe układy współrzędnych Współrzędne biegunowe (osiowe) Φ : R R Φ1 x( r, φ) Φ ( r, φ) = =, x r cos φ, y r sinφ y( r, φ) = = Φ r( x, y) 1 y Φ ( x, y) =, r x y, φ=arctg φ( x, y) = + x x x r φ cosφ r sinφ Φ '( r, φ) = = y y sinφ r cosφ r φ cosφ r sinφ J = = r (, ) ( (, ), (, )) sinφ r cosφ dxdy f x y = rdrdφ f x x φ y r φ Homeomorfizm regularny dla r, rząd Φ ' =. Dla r = jest osobliwosć, bo w tym punkcie nie można okreslić kąta 49
Przyklady: dxdy x y rdrdφ r π = = dr dφ = Rπ r + x + y R r R I = e dxdy = e rdrdφ = π rdre = π e = π π e I R = lim I = π R R x y r r r R x + y R r R R R x y x x I = dx e dy e = dx e dx e = π r= 5
Współrzędne eliptyczne x = ar cosφ y = br sinφ x a y + = = b r, J abr Współrzędne walcowe (cylindryczne) x = r cosφ y = r sinφ z = z J = r Liniowa zmiana skali x = ax ' y = by ' z = cz ' J = abc 51
Współrzędna sferyczne (kuliste) Φ : R R 3 3 x = r sinθ cosφ y = r sinθ sinφ z = r cosθ θ [, π ] - kąt osiowy(szerokosć geogr.), φ [, π ) - kąt biegunowy (azymutalny, dlugosć geogr.) sinθ cosφ r cosθ cosφ r sinθ sinφ Φ ' = sinθ sinφ r cosθ sinφ r sinθ cosφ cosθ r sinθ J = r sinθ r = rz Φ ' = 1 w srodku kuli nie można okreslić kątów θ = θ = π rz Φ ' = na biegunach nie można okrelić kąta φ 5
Przyklad: Objętosć kuli π π R 1 π 3 R 4 3 V = dxdydz = dr dθ dφr sinθ = dr d cosθ dφr = π = π R 3 3 x + y + z < R ( d cosθ = sin θdθ ) R 1 Srodek ciężkosci pólkuli: η = x + y + z < R z> x + y + z < R z> z dxdydz dxdydz R π / π dr d d r r 3 1 = θ φ sin θ cosθ = π R 3 R 1 π 4 3 R 3 3 π R 3 3 1 3 = dr d cos θ dφ r cosθ = π = R π R 4 8 53
Równania prostej i płaszczyzny r r prosta o kierunku a i należącym do niej punkcie x : r r r x( t) = x + ta r plaszczyzna o wektorze a do niej prostopadlym i należącym do r r r r niej punkcie x : ( x x ) a = 54
Płaszczyzna styczna Płaszczyzna styczna do powierzchni gładkiej o równaniu f(x,y,z)= dana jest równaniem f ( x, y, z) f ( x, y, z) f ( x, y, z) ( x x) + ( y y) + ( z z) = x y z f ( x, y, z) f ( x, y, z) f ( x, y, z) Wektor,, jest prostopadly do x y z powierzchni w punkcie ( x, y, z ). Prosta prostopadla do powierzchni w tym punkcie ma więc równanie parametryczne f ( x, y, z ) f ( x, y, z ) f ( x, y, z ) t + x, t + y, t + z x y z Dla sfery f = x + y + z R, więc prosta prostopadla ma równanie ( xt + x, y t + y, zt + z ) 55
Elementy analizy fourierowskiej 56
Szereg Fouriera f : [ π, π ] C funkcja calkowalna z kwadratem modulu: dx f ( x) (przestrzeń L ) 1) uklad ortonormalny funkcji: φ : [ π, π ] C π -π dxφ ( x) φ ( x) = δ * m n mn n ) uklad φ ( x) jest zupelny, tj. kazda funkcje z L mozna zapisac jako n szereg f ( x) = c φ ( x) n n π π π * * * m = m n n = n m n -π -π -π dxφ ( x) f ( x) dxφ ( x) c φ ( x) c dxφ ( x) φ ( x) = c δ = c n mn m π -π 57
1 inx W szeregu Fouriera φn ( x) = e, x [ π, π ] (ortonormalny). π 1 inx 1 inx inx f ( x) = cne = c + cne + c ne = π π 1 1 inx inx inx inx 1 ( e + e ) ( e e ) c + ( cn + c n) + i( cn c n ) = π 1 1 i a + a cos nx + b sin nx n 1 1 ( szereg F. z funkcjami sin i cos) n π π π 1 1 1 a = dx f ( x), an = dx f ( x)cos nx, bn = dx f ( x)sin nx π π π π π π 58
Przyklad: f ( x) = sgn( x), x [- π, π ] (nieciągla!) a n =, n =,1,,... π π 4 1 π, n - nieparzyste bn = dx sin nx dx sin nx cos nx nπ π = π = = nπ π, n - parzyste w punktach nieciągłości średnia arytmetyczna wartości po obu stronach, tutaj (1-1)/= 59
Dla f : [ a, b] C rozwinięcie Fouriera ma postać nπ x nπ x f ( x) = a + a cos + bn sin T gdzie a = T 1 T b b a n 1 T 1 dx f ( x), 1 nπ x 1 nπ x an = dx f ( x)cos, bn dx f ( x)sin, ( n ) T = > T π T a b - a =, oraz Uwagi: Podobnie jak w rozwinięciu Taylora, rozwinięcie Fouriera reprezentuje daną funkcję z pomocą (nieskończonej liczby) współczynników. Reprezentacją funkcji jest więc nieskończenie wymiarowy wektor (c n ). Każda funkcja całkowalna z kwadratem ma rozwinięcie Fouriera. b a 6
1 inx 1 f ( x) = cne, g( x) = dne π π π π n= * * ( ) ( ) = n n= dxf x g x c d n n= inx 61
Transformata Fouriera (ciągła) Rozważmy f : R C, dla której dt f ( t) (przestrzeń L ). Transformatą Fouriera funkcji f nazywamy 1 ˆ( ) iωt f ω = dt e f ( t ), ω R π Wlasnosci: 1. fˆ ( ω) jest ciągla iωa. g( t) = f ( t - a) gˆ ( ω) = e fˆ ( ω) 3. g( t) = f ( t / a) gˆ ( ω) = afˆ ( aω), a > 4. f - różniczkowalna, f ' L f '( ω) = iω fˆ ( ω) 1-1 6
Splotem funkcji f i g nazywamy ( f * g)( y) = dx f ( y x) g( x) Tw. ( f * g)( ω) = fˆ ( ω) gˆ ( ω). Odwrotna transformata Fouriera: 1 iωt f ( t) = dω e fˆ ( ω), t R π * ˆ * Równosć Parsevala: dt f ( t) g( t) = dω f ( ω) gˆ ( ω) Równosć Plancherela: dt f ( t) = dω f ( ω) ˆ 63
Re Im sygnał czasowy widmo częstości rozmycie szerokości od skończonego zakresu w t 64
Transformata Fouriera funkcji Gaussa a a f ( t) = e, f ( ω) = dte e t t d 1 1 f dte a e iωt i dte a ω te t t 1 d a iωt ia d a iωt i dt( a ) e e dt e e ˆ t a 1 π ˆ( ) iωt = dω π = = π = = = π dt π dt = ia π t dte d e dt iωt Rozwiązanie: fˆ ( ω) = Ce a ω t iωt t a iωt = a ω dte e = a ω fˆ( ω ) (szerszy sygnał, węższe widmo) t a ω 1 a C = fˆ () = dte due a fˆ ( ω) ae π = = = π a u 65
Równania różniczkowe 66
Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe zwyczajne ma ogólną postać F( x, y( x), y '( x),...) =, gdzie... oznaczają możliwosć wystąpienia wyższych pochodnych. Zmienna x jest zmienną niezależną, a y( x) jest szukaną funkcją. Rząd równania to najwyższy rząd pochodnej. W szczególnosci, równanie różniczkowe rzędu pierwszego ma postać F( x, y, y ') =. Równanie różniczkowe cząstkowe ma ogólną postać F( x, x,..., x, y( x,..., x ), 1 n 1 n y( x1, n 1..., x ) y( x,..., xn),...,,...) = x x (równaniami cząstkowymi nie bedziemy się zajmować) 1 n Uklad równań różniczkowych zwyczajnych na n funkcji y ( x) ma postać F ( x, y ( x),..., y ( x), y '( x),..., y '( x),...) =, i = 1,..., n i 1 n 1 n i Model fizyczny/ekonomiczny/meteorologiczny... r. różniczkowe 67
Przykład: oscylator harmoniczny F( t, x( t), x ( t), x ( t)) = r. mechaniki f = ma prawo Newtona k kx t = mx t k m > = ω m x t = ω ( ) ( ),,, oscylator harmoniczny ( ) x( t) r. różniczkowe do rozwiązania x( t) = Acos( ωt) + Bsin( ωt) ogólna postać rozwiązania x t = Aω ωt + Bω ωt x t = ω x t Sprawdzenie: ( ) sin( ) cos( ), ( ) ( ) Warunki początkowe: x( t) = x, x ( t) = v A = x, Bω = v v x t = x ωt + ωt ω ( ) cos( ) sin( ) rozwiązanie spelniające war. początkowe 68
Przykład: rozpad promieniotwórczy / wzrost populacji dn ( t) = λn( t), λ > dt (ubytek na jedn. czasu proporcjonalny do liczby atomów) Rozw.: N ( t) = N exp( λt) liczba nierozpadlych atomów po czasie t λ λ N( t) = N exp( λt) populacja w czasie t, prawo wzrostu Malthusa Bardziej realistyczne równanie: dn ( t) = λn t N t N dt x = N N x = λx x * ( )[1 ( ) / ], * / (1 ) (nieliniowosć!) 69
Rozwiązanie równania populacji ( λ = 1): dx dx x x = x(1 x) dt ln t C exp( t C) dt = = + = + x(1 x) x 1 x 1 1 1 1 1 = exp( C)exp( t) 1 = C 'exp( t) x( t) = x x 1 C 'exp( t) 1 1 war. początkowy: x( t = ) = x 1 = C ' x( t) = x 1 x + x 1 exp( t) 1 x x x 1+ exp( t) exp( t) t ln, x (,) (1, ) x x 1 x 1 (w t ln osobliwosć) x x = x 1 = x( t) = x : lim x( t) = 1 t 7
Ogólne uwagi i twierdzenia Rozwiązanie y( x) r.r. nazywamy calką r.r., a wykres ( x, y( x)) krzywą calkową. Calka ogólna równania rzędu pierwszego jest postaci y( x) = f ( x, C), gdzie C jest stalą. Stalą tę wyznacza się z warunku poczatkowego y = f ( x, C). Rozwiązanie osobliwe to rozwiązanie, którego nie można uzyskać z postaci f ( x, C) dla żadnej wartosci C. y ' Przyklad: y ' = y = 1 ( y )' = 1 y = x + C, x + C y ( x + C), x C y( x) =, x < C y( x ) = rozw. osobliwe 71
Jednoznaczność rozwiązań Tw. (o jednoznacznosci rozwiązań) R. postaci y ' = f ( x, y), f ( x, y) i f ( x, y) ciagle w pewnym otoczeniu ( x, y ) y otoczenie ( x a, x + a), w którym jest okreslona dokladnie jedna funkcja φ( x) o wlasnociach: φ '( x) = f ( x, φ( x)), φ( x ) = y. 7
Równanie o zmiennych rozdzielonych dy p( y) y '( x) = q( x) p( y) = q( x) p( y) dy = q( x) dx p( y) dy = q( x) dx dx P( y) = p( y) dy, Q( x) = q( x) dx, P( y) = Q( x) + C, C pewna stala Rozwiązanie jest dane w postaci uwiklanej! 3 ' 3, ' d dy d d D: ( P( y( x)) Q( x) C) = P( y) Q( x) = y ' p( y) q( x) = dx dx dy dx Przyklad: 3 dy( t) y t 3 3 y = t y dy = tdt = + C y = t + 3C dt 3 3 C = C y = t + C 3 y t C ' 3 3 3 Warunek początkowy: y( t) = y = + y = ( t t ) + y 3 3 Z nieskończonej liczby rozwiązań z parametrem C warunek początkowy wybiera jedno! 73
Rozwiązanie równania populacji ( λ = 1): dx dx x x = x(1 x) dt ln t C exp( t C) dt = = + = + x(1 x) x 1 x 1 1 1 1 1 = exp( C)exp( t) 1 = C 'exp( t) x( t) = x x 1 C 'exp( t) 1 1 war. początkowy: x( t = ) = x 1 = C ' x( t) = x 1 x + x 1 exp( t) 1 x x x 1+ exp( t) exp( t) t ln, x (,) (1, ) x x 1 x 1 (w t ln osobliwosć) x x = x 1 = x( t) = x : lim x( t) = 1 t 74
Jednoparametrowe rodziny krzywych R. populacji x = x(1 x) x( t) = 1 1 x x 1+ exp( t) Inne równanie y y = t y( t) 3t = 3 + y 3 75
Równania sprowadzalne do równania o zmiennych rozdzielonych y ' = f ( ax + by + c) u = ax + by + c u ' = a + by ' = a + bf ( u) u ' = 1 a + bf ( u) R. jednorodne w x i y : y y '( x) = f x y u( x) =, y = ux, y ' = u ' x + u x u ' x + u = f ( u) u ' 1 =, f ( u) u, x f ( u) u x 76