LABORATORIUM FIZYCZNE Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej ĆWICZENIE 5 Wyznaczanie modułu sztywności G metodą dynamiczną.
Ćwiczenie 5 ĆWICZENIE 5 Wyznaczanie modułu sztywności G metodą dynamiczną 1. Wprowadzenie Małgorzata Duraj Ciała stałe poddawane działaniu zrównoważonych sił lub momentów sił ulegają odkształceniom. Jeżeli po usunięciu sił ciało odzyskuje pierwotny rozmiar i kształt, mówimy o jego właściwościach sprężystych. Dokładne ich omówienie wymaga poznania ogólnej teorii sprężystości oraz mechanizmów wiązao międzyatomowych, które określają właściwości sprężyste i zakres stosowania praw sprężystości. Naprężenie mechaniczne pojawiające się w materiale jednorodnym, pochodzące od sił oddziaływania międzycząsteczkowego, równoważy siły zewnętrzne wywołujące odkształcenie materiału. Jeżeli siły odkształcające działają prostopadle do powierzchni ciała (rys. 1), to Rys. 1. Odkształcenia powstające pod wpływem sił stycznych i normalnych mówimy wtedy o naprężeniu normalnym, które określamy jako stosunek siły normalnej F n do pola powierzchni S: = F n /S Gdy działająca siła (F s ) jest stycznia do powierzchni, to naprężenie nazywamy stycznym lub ścinającym: = F s /S. Jeżeli siły działające na ciało są dostatecznie małe, to przesunięcie względne poszczególnych punktów materiału, czyli odkształcenie sprężyste, jest proporcjonalne do przyłożonych sił (naprężeo). Własnośd ta nosi nazwę prawa Hooke a. Prawo Hooke a zapisane dla naprężeo normalnych i obejmujące naprężenia dodatnie (ściskanie) i ujemne (rozciąganie) ma postad: = E, (1) gdzie miarą odkształcenia: = l/l jest wydłużenie względne. Współczynnik proporcjonalności E nazywa się modułem Younga. Prawo Hooke a dla naprężeo stycznych wyraża się wzorem: = G, ()
Wyznaczanie modułu sztywności G metodą dynamiczną gdzie odkształceniem względnym jest w tym wypadku kąt ścinania, który dla małych wartości jest równy (rys. 1): y tg. x Współczynnik proporcjonalności G nazywa się modułem sztywności. Moduł ten (jak również E) jest dla danego materiału zależny od temperatury. Jak wynika z teorii sprężystości, za pomocą tych dwóch niezależnych stałych: modułu Younga E i modułu sztywności G można określid wszystkie własności sprężyste jednorodnego i izotropowego ciała. Na przykład przy zginaniu belki mamy do czynienia z czystym rozciąganiem i czystym ściskaniem opisywanym modułem E, do opisu skręcania prętów i rozciągania sprężyn wystarcza moduł sztywności G, natomiast względne zmiany objętości ciała powstające pod wpływem ciśnienia hydrostatycznego dają się wyrazid poprzez obydwa moduły E i G. Moduł G charakteryzuje odkształcenia powstające przy skręcaniu pręta, ponieważ każdy element skręcanego drutu ulega odkształceniu typu prostego ścinania (patrz rys. 3). Jeżeli jeden koniec cylindrycznego pręta o długości l i promieniu r jest zamocowany nieruchomo, a drugi skręcony o kąt (momentem pary sił skręcających), to jak pokazano w Uzupełnieniu, wartośd momentu sił sprężystych M pręta, dążącego do przywrócenia równowagi, jest proporcjonalna do kąta skręcenia, a stała proporcjonalności zależy od długości pręta, jego promienia oraz własności materiału: M r G (3) l Wzór powyższy jest dogodny do wyznaczania modułu sztywności G. Metoda statyczna polegałaby na pomiarze wielkości występujących we wzorze (3). W metodzie dynamicznej wyznacza się moduł sztywności z pomiaru okresu drgao wahadła torsyjnego. W tym celu pręt, którego moduł sztywności G mamy wyznaczyd, zawieszamy pionowo, a na jego koocu umieszczamy symetryczne ciało (wibrator) o znanym momencie bezwładności I (rys. ). Gdy drut skręcimy i puścimy swobodnie, wibrator na jego koocu wykonuje (dla niewielkich kątów skręcenia, w granicach sprężystości) drgania torsyjne, opisywane zgodnie z drugą zasadą dynamiki dla ruchu obrotowego równaniem: I M, gdzie: I M moment bezwładności wibratora, wektor przyspieszenia kątowego, wektor momentu sił działających na pręt. 3
Ćwiczenie 5 Równanie ruchu względem osi obrotu przechodzącej przez oś pręta ma postad równania oscylatora harmonicznego (patrz dwiczenie i 3): I D, D 0 () I gdzie wartośd momentu kierującego: D = Gr /l wynika ze wzoru (3), a częstośd drgao tego ruchu spełnia warunek: = D/I. Pręt wykonuje zatem drgania harmoniczne o okresie: T I Il π π (5) D πgr Mierząc okres T wahadła o momencie bezwładności I można wyznaczyd moduł sztywności G pręta.. Metoda pomiaru Wzór (5) można bezpośrednio stosowad, gdy wibrator ma prosty kształt i możemy moment bezwładności wibratora wyliczyd teoretycznie. Jeżeli momentu bezwładności nie da się obliczyd bezpośrednio, stosujemy metodę różnicową. Do wibratora dołączamy bryłę o znanym momencie bezwładności. Całkowity moment bezwładności układu jest sumą momentów bezwładności wibratora nie obciążonego I 0 i momentu bezwładności czterech ciężarków w kształcie walca względem osi obrotu OO wahadła: I = I 0 + I 1, gdzie I 1 jest momentem bezwładnośd pojedynczego ciężarka względem osi OO. Zgodnie z twierdzeniem Steinera moment bezwładności krążka względem osi równoległej do osi OO i odległej o a wynosi (patrz dw. ): I 1 = mr / + ma (6) gdzie: m, R odpowiednio masa i promieo krążka, a odległośd osi pręta od osi krążków.
Wyznaczanie modułu sztywności G metodą dynamiczną O odległość osi walca od osi OO: a = (d )/ l O r a R O wibrator Rys.. Układ wibratora zawieszonego na pręcie służący do wyznaczania modułu sztywności metodą dynamiczną O d Okres drgao wahadła torsyjnego dla wibratora nie obciążonego ma postad: natomiast dla wibratora obciążonego jest równy: T 0 I0l π (7) πgr l( I0 I1) π (8) πr G T1 Wyznaczona na podstawie wzorów (7) i (8) wartośd modułu sztywności G wynosi: 3πlI1 G r ( T T 1 0 ) (9) 3. Wykonanie ćwiczenia 1. Zmierzyd długośd l badanego pręta. Oszacowad niepewnośd graniczną Δl pomiaru długości pręta.. Zmierzyd 10 razy średnicę pręta r za pomocą śruby mikrometrycznej (pomiar należy wykonad szczególnie starannie, w różnych miejscach drutu, w kierunkach do siebie prostopadłych gdyż r wchodzi do wzoru w czwartej potędze i niepewnośd względna przy pomiarze r pomnaża się czterokrotnie w niepewności względnej G). 3. Wyznaczyd masę m krążków obciążających wibrator. Zanotowad wartośd działki przyrządu Δm.. Zmierzyd 5-10 razy (zanotowad wszystkie wartości działek przyrządów): średnicę R krążków, zewnętrzną odległośd d kołeczków krzyża, na które założone zostaną ciężarki, 5
Ćwiczenie 5 średnicę kołeczków. 5. Zmierzyd czas t 0 30 okresów drgao wibratora nie obciążonego. Pomiar powtórzyd 10 razy. Kąt wychylenia wibratora z położenia równowagi powinien byd mały. 6. Obciążyd wibrator krążkami i wyznaczyd czas t 1 analogicznie jak w punkcie poprzednim. 7. W przypadku wyznaczania modułu G kolejnego pręta należy powtórzyd pomiary opisane w punktach 1,, 5 i 6. 8. Wyniki pomiarów wpisad do tabeli 1. Tabela 1 Rodzaj pręta 1.. 3.. 5. 6. 7. 8. 9. 10. działka przyrządu l r m R d t 0 t 1 [mm] [mm] [kg] [mm] [mm] [mm] [s] [s] Δl= Δr= Δm= ΔR= Δd= Δφ= Δt= Δt=. Opracowanie wyników 1. Obliczyd wartości średnich arytmetycznych poszczególnych pomiarów oraz odpowiednie niepewności u A, u B lub u C.. Obliczyd wartośd a odległości osi krążków od osi obrotu wibratora oraz oszacowad niepewnośd złożoną pomiaru u(a): / a d. 3. Wyznaczyd, zgodnie ze wzorem (6), średnią wartośd momentu bezwładności pojedynczego krążka I 1 oraz oszacowad względną niepewnośd tego pomiaru: u ( I ) r 1 ui ( 1) u( m) u( R) u( a) I 1 m R a 1 ( a / R ) 1 ( R / a ). Obliczyd, zgodnie ze wzorem (9), wartośd modułu sztywności G badanego drutu oraz niepewnośd względną tego pomiaru: 6
Wyznaczanie modułu sztywności G metodą dynamiczną u( G) u( l) u( r) u( Ι1) u( Τ0) u( Τ1) ur ( G) G l r Ι1 1Τ 1 / Τ0 Τ 0 1Τ 0 / Τ1 Τ 1 5. Przeprowadzid dyskusję otrzymanych wyników. 5. Uzupełnienia Rozważmy cylindryczny pręt o długości l i promieniu r, którego jeden koniec jest zamocowany nieruchomo, a do drugiego przyłożony jest moment skręcający M (rys. 3). Moment ten powoduje skręcenie dolnego kooca pręta względem górnego o kąt i każdy element drutu ulega deformacji prostego ścinania. Aby wyprowadzid związek pomiędzy modułem sztywności G a wartością momentu M sił skręcających drut, należy przyjąd, że pręt składa się z wielu cylindrycznych współosiowych warstw, które obracają się dookoła osi pręta. Prostopadłościenny fragment warstwy o promieniu x, grubości dx i długości ds zostaje odkształcony, jak pokazano na rys. 3, a pomiędzy kątem skręcenia i kątem ścinania zachodzi związek: x = l. Zgodnie z prawem Hooke a naprężenie styczne dane jest wzorem: x G G (10) l Naprężenie ścinania jest równe sile stycznej df działającej na brzeg równoległoboku, do pola powierzchni przekroju: df, dxds Wartośd momentu siły względem osi pręta wynosi: dx dm ds xdf xdxds. dx x df l df Rys. 3. Schematyczne przedstawienie warstw cylindrycznego, skręcanego pręta 7
Ćwiczenie 5 Wartośd momentu skręcającego dla cylindrycznej warstwy o grubości dx jest sumą takich momentów sił po pełnym obwodzie koła s = x: dm xdx ds π x dx. Całkowity moment sił działający na pręt otrzymamy sumując przyczynki do momentu od wszystkich współosiowych rurek, od x = 0 do x = r. Uwzględniając wzór (10 ) otrzymujemy: M r 0 r 3 G r d M πg x x l d (11) l 0 6. Literatura [1] H. Szydłowski, Pracownia fizyczna, PWN, Warszawa 199. [] R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands, Feynmana wykłady z fizyki, t. II, cz., PWN, Warszawa 1970. [3] J. Massalski, M. Massalska, Fizyka dla inżynierów, t. 1, WNT, Warszawa 1975. 8