52 Sławomir Herma Sławomir HERMA atedra Iżyierii Produkcji, ATH w Bielsku-Białej E mail: slawomir.herma@gmail.com Harmoogramowaie liii motażowej jako elemet projektowaia cyfrowej fabryki Streszczeie: W artykule przedstawioo propozycję modelu harmoogramowaia liii motażowej w kotekście problematyki wirtualizacji procesów produkcyjych oraz idei cyfrowej fabryki. Przedstawioo propozycję algorytmu poszukiwaia harmoogramów optymalych w oparciu o metodę programowaia wieloetapowego oraz pokazao przykład implemetacji iformatyczej algorytmu w postaci programu komputerowego. 1. Wprowadzeie i opis deficytu badawczego Rozwój współczesej techiki komputerowej oraz wielu dziedzi auki, zwłaszcza w obszarze iżyierii produkcji, spowodował pojawieie się pojęcia cyfrowej fabryki, rozumiaego jako byt reprezetujący wirtuale odzwierciedleie rzeczywistych procesów produkcyjych. Pojęcie to jest bezpośredim skutkiem ewolucji systemów CAD (Computer Aided Desig), CAM (Computer Aided Maufacturig), zitegrowaych systemów zarządzaia przedsiębiorstwem (ERP/ERP II) oraz potrzeby obiżeia kosztów projektowaia i wdrażaia systemów produkcyjych. Dzięki zastosowaiu kompleksowych rozwiązań iformatyczych w zakresie modelowaia i symulacji procesów wytwórczych osiągaa jest zacza korzyść ekoomicza, zwłaszcza w produkcji masowej. W szczególości przemysł samochodowy korzysta z rozwiązań cyfrowej fabryki praktyczie a każdym etapie przygotowaia produkcji. Stąd coraz częściej pojawiają się rozwiązaia iformatycze zae jako PLM (Product Lifecycle Magemet), wśród których przodują takie firmy jak Dassault Systemes, Autodesk czy Siemes. Z kolei w obszarze śledzeia, moitorowaia i wizualizacji przebiegu procesów produkcyjych w czasie rzeczywistym, wykorzystywae są systemy MES (Maufacturig Executio Systems). Pomiędzy tymi dwoma obszarami istieje przestrzeń plaowaia i harmoogramowaia zadań produkcyjych, korzystająca z iformacji zawartych w systemach PLM, odpowiedziala m.i. za optymaly rozkład i szeregowaie zadań w zamodelowaym układzie produkcyjym. Skuteczość procesów plaowaia i harmoogramowaia produkcji, w szczególości a etapie symulacji wirtualych modeli fabryki cyfrowej uzależioa jest przede wszystkim od zastosowaych modeli matematyczych i algorytmów optymalizacyjych. W złożoych układach wytwarzaia, skuteczość ta przekładaa jest przede wszystkim a osiągięcie iższego poziomu kosztów produkcji, krót-
Harmoogramowaie liii motażowej jako elemet projektowaia 53 szych czasów cyklu produkcyjego przy jedoczesej wysokiej efektywości przetwarzaia daych. Pożąday jest rówież krótki czas reakcji modelu cyfrowego a wprowadzae w im zmiay. Im bardziej złożoy model systemu produkcyjego, tym większa liczba opisujących go parametrów w postaci atrybutów, zależości, ograiczeń i wymagań. Deter- miatami efektywości procesów przetwarzaia tych iformacji są więc użyte struktury daych oraz odpowiedia kostrukcja algorytmów. Artykuł wychodzi aprzeciw potrzebie tworzeia sprawych algorytmów harmoogramowaia zadań w oparciu o model matematyczy przykładowej liii produkcyjej, łącząc precyzję opisu mikroświata rzeczywistości z efektywością przetwarzaia iformacji a użytek szybkiego uzyskiwaia optymalych rezultatów w procesach symulacji wirtualych modeli cyfrowych. 2. Defiicja problemu, dae wejściowe Niech będzie daa pewa liia techologicza (p. liia motażowa), poruszająca się ze stałą prędkością ν.. Day iech będzie rówież zbiór operacji techologiczych, których wykoaie prowadzi do wytworzeia pewego wyrobu. Zakładając, że staowiska a liii produkcyjej rozmieszczoe są w tej samej odległości od siebie oraz zae są czasy trwaia poszczególych operacji techologiczych, ależy przyporządkować każdemu staowisku a liii taki zestaw operacji, by zmiimalizować straty czasowe (luzy czasowe) oraz zadośćuczyić wymagaiom kolejościowym, owym, stawiaym przez proces techologiczy. Rys. 1. Ogóly schemat rozważaej liii produkcyjej Z zakładaej stałości prędkości przesuwu badaej liii oraz tej samej długości poszczególych staowisk produkcyjych wyika rówież stałość czasu cyklu liii c, rozumiaego tu jako budżet czasu będący w dyspozycji każdego pracowika. Zasób te może być wyrażoy w dowolie przyjętej jedostce czasu. Poadto, day jest zbiór operacji techologiczych, reprezetoway w rozumieiu teoriomogościowym jako: Ω= { ω } = 1,..., N Poszczególe elemety zbioru odzwierciedlają rzeczywiste operacje techologicze, których wykoaie w odpowiediej kolejości determiuje kompletość i poprawość motażu (produkcji) wyrobu gotowego. Dla każdej z operacji zay jest czas jej trwaia
54 Sławomir Herma (wyrażay kosekwetie w tych samych jedostkach czasu co cykl liii c), poday w postaci astępującego wektora: Θ = [ ϑ ] = 1,..., N Daa jest poadto macierz zależości kolejościowych pomiędzy poszczególymi operacjami: taka, że: γ ν, γ ν, ν, = 1,..., N Γ= 1 ων ω = 0 w przeciwym wypadku Jest to macierz biara, w której wartość 1 umieszczoa a przecięciu ν-tego wiersza i i-tej kolumy ozacza, że operacja jest poprzedikiem. W przypadku gdy zależość taka ie występuje wpisywaa jest wartość 0. Należy przy tym zazaczyć, że macierz powyższą moża iterpretować a dwa sposoby. Może oa bowiem wyrażać zależości bezpośredie lub pośredie pomiędzy poszczególymi operacjami zależie od potrzeby. ω 1 ω2 ω3 ω4 ω1 ω2 ω3 ω4 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 W przypadku pierwszym zależość bezpośredia ozacza atychmiastowe wzajeme astępstwo operacji jedej po drugiej, w kolejym zaś jedyie iformację, że operacja astępująca może zostać przydzieloa a liię ie wcześiej iż poprzedzająca, przy czym pomiędzy imi dopuszczale jest istieie dowolej wielkości iterwału czasowego (a więc i iych operacji). Wybór jedej z tych możliwości jest uzależioy od liczby operacji oraz złożoości i charakterystyki realizowaego procesu techologiczego. Z defiicji macierzy wyika bezpośredio fakt, że jeśli będzie oa zawierać wyłączie wartości 0 żada para operacji ie podlega związkom współzależości kolejościowej. W skrajym, przeciwym przypadku, poprzez odpowiedie umieszczeie wartości 1 w macierzy poprzedików i astępików, moża określić marszrutę techologiczą w sposób jedozaczy, ie pozostawiając żadych alteratywych dróg przebiegu procesu (ale wówczas zadaie optymalizacyje przestaje istieć). Należy poadto mieć a uwadze zagadieie iesprzeczości macierzy, czyli takiego jej wypełieia iformacjami, by wymuszoe układy kolejości pomiędzy poszczególymi operacjami wzajemie się ie wykluczały. Do dalszych rozważań wygodie jest przyjąć dodatkowe ozaczeia: umer kolejy staowiska a liii: k całkowita liczba staowisk: zbiory operacji techologiczych przyporządkowaych do poszczególych staowisk: Ω1, Ω 2,..., Ω,..., Ω k
Harmoogramowaie liii motażowej jako elemet projektowaia 55 3. Ograiczeia Wyróżia się cztery rodzaje ograiczeń, warukujących uzyskaie rozwiązań dopuszczalych: waruek kompletości motażu: Ω k =Ω, k= 1 staowiący o tym, że suma zbiorów przyporządkowaych operacji dla każdego staowiska a liii jest rówa zbiorowi Ω - wszystkich dostępych operacji. Ozacza to, że wszystkie operacje techologicze muszą zostać rozdzieloe pomiędzy poszczególe staowiska. waruek iepowtarzalości tej samej operacji: Ω Ω = φ, i, j: i j i ozaczający, że dla każdych dowolych dwóch różych staowisk, część wspóla zbiorów przyporządkowaych im operacji jest zbiorem pustym. Wyika stąd, iż żada operacja techologicza ie może być przyporządkowaa więcej iż jede raz. waruek ieprzekroczeia czasu cyklu liii: ϑ c, 1 k ω Ω k ozaczający, że sumaryczy czas trwaia operacji przydzieloych do pewego k - tego staowiska, ie może przekroczyć założoego budżetu czasu c (tz. cyklu liii), waruek zachowaia kolejości operacji techologiczych: k ν j ( ω ) ( γ ) ( ω ) ( m k) Ωk ν, = 1 ν Ωm, ozaczający, że jeżeli a daym staowisku k istieje operacja ω, która posiada choćby jedą operację poprzedzającą ω ν, wówczas ω ν musi być przyporządkowaa do staowiska m co ajmiej ie późiejszego iż k. 4. ryterium optymalizacji Zagadieie optymalizacji w problemie balasowaia liii motażowej polega a takim doborze (przydziale) operacji techologiczych do poszczególych staowisk, by miimalizować różicę pomiędzy dostępym zasobem czasu a staowisku a sumą czasów trwaia operacji doń przydzieloych (co zapisao jako pierwszy czło formuły poiżej). N Q = c ϑ = c ϑ = c ϑ mi. k= 1 ω Ω k k= 1ω Ω k = 1
56 Sławomir Herma Jedakże z racji tego, że cykl liii produkcyjej jest wartością stałą, podobie też suma czasów trwaia wszystkich operacji techologiczych problem optymalizacji harmoogramu pracy liii sprowadza się do miimalizacji całkowitej liczby staowisk, które zostaą obciążoe zadaiami. 5. Idea programowaia wieloetapowego i defiicja stau procesu decyzyjego Rozwiązaie zagadieia optymalego przydziału operacji techologiczych (zadań) do poszczególych staowisk liii produkcyjej, zgodie z przyjętym kryterium, polega a wygeerowaiu zestawu permutacji elemetów zbioru Ω i wyborze przyporządkowaia ajlepszego. Poszukiwaie rozwiązaia jest wieloetapowym procesem decyzyjym, którego ideę przedstawia rysuek 2. Rys. 2. Ogóly schemat geerowaia ścieżek decyzyjych Aby uchwycić bieżący sta procesu decyzyjego, ależy się posłużyć tzw. wektorem stau, zawierającym iformacje o przydzielaych a liię operacjach. Na etapie 0 wektor stau jest rówy zero co ozacza że a liię ie przydzieloo jeszcze żadej operacji. Etap pierwszy zawiera już szereg wektorów staów, z których każdy posiada iformację o przydzieloej tylko jedej za każdym razem iej operacji. Staowi więc zestaw jedowyrazowych wariacji bez powtórzeń -elemetowego zbioru zadań (operacji techologiczych). ażdy wektor stau etapu pierwszego jest jedocześie podstawą do wygeerowaia zestawu staów a etapie kolejym. Tutaj rówież podejlecz zów odmie- ej dla poszczególych wektorów staów operacji. Tym sposobem, a etapie drugim, otrzymyway jest zestaw wektorów staowiących już dwuwyrazowe wariacje bez po- mowaa jest decyzja o wprowadzeiu a liię produkcyją jedej wtórzeń -elemetowego zbioru zadań. Zgodie z tym rozumowaiem a ostatim
Harmoogramowaie liii motażowej jako elemet projektowaia 57 etapie E otrzymuje się zestaw permutacji (jako szczególego przypadku wariacji bez powtórzeń) elemetów zbioru Ω. Ostati etap procesu decyzyjego jest więc zestawem przyporządkowań operacji techologiczych a liii produkcyjej we wszystkich możliwych układach kolejości. Oczywiście z uwzględieiem ograiczeń wyikających choćby z macierzy poprzedików i astępików. Dopiero wówczas spośród wszystkich uzyskaych dopuszczalych rozwiązań wybiera się to, które staowi optimum względem przyjętego kryterium. Zatem wektor bieżącego stau liii produkcyjej, z puktu widzeia realizacji permutacyjego algorytmu przydziału zadań, wygodie jest zdefiiować jako: gdzie: oraz P = p e, l e, l i i= 1,..., N,, elemet jest przydzieloy e, l ti η e ωi pi = 0 w przeciwym wypadku t i jest chwilą zakończeia wykoywaia ω i - tej operacji a liii (rysuek 3), η,e są umerami poszczególych etapów procesu decyzyjego, l jest umerem kolejym stau a daym etapie, N jest liczbą wszystkich operacji techologiczych zawartych w zbiorze Ω. ϑ1 ϑ2 t 1 ϑi...... ϑn c 2c 3c t 2 t i Rys. 3. Parametry czasowe liii produkcyjej Poadto: t 1, t 2 chwile zakończeia wykoywaia operacji odpowiedio ω 1, ω 2, t i t N chwila zakończeia wykoywaia ω i -tej operacji, chwila zakończeia wykoywaia ostatiej przydzieloej operacji, ϑ 1, ϑ 2 czasy trwaia operacji odpowiedio ω 1, ω 2, ϑ i czas trwaia operacji ω i, ϑ N t N czas trwaia ostatiej przydzieloej operacji.
58 Sławomir Herma Wektor stau staowi źródło dalszych szczegółowych iformacji, iezbędych w procedurze geerowaia kolejych staów procesu decyzyjego: kolejość w jakiej przydzieloe zostały dotychczas operacje techologicze a liię produkcyją: t, t,..., t,..., t 1 2 umer staowiska k i, do którego została przydzieloa operacja ω i, ti ki = c gdzie... jest ozaczeiem cechy górej argumetu (iekiedy zwaej fukcją sufitu), zbiór dotychczas przydzieloych operacji a liii: i N e { ωi : pi 0} e 1, 1, Ω = > gdzie jest umerem stau a etapie e-1, z którego geeroway jest sta bieżący; Do zbioru tego zaliczae są te i tylko te operacje ω i, dla których w wektorze stau występuje iezerowa wartość chwili zakończeia t i, chwila zakończeia ostatiej przydzieloej operacji: e 1, e 1, T = max p ω e 1, i Ω umer staowiska, a którym zajduje się ostatia przydzieloa operacja: e 1, e 1, T = c wielkość luzu czasowego (tz. iewykorzystaego jeszcze zasobu czasu), występującego a staowisku, a którym zajduje się ostatia przydzieloa operacja: e 1, e 1, e 1, L = c T 6. Procedura geerowaia kolejego stau w procesie decyzyjym Procedura geerowaia stau pozwala a stworzeie kolejego etapu w całym procesie decyzyjym i związaa jest z przydzieleiem kolejej operacji techologiczej do liii produkcyjej przy zachowaiu opisaych już waruków i ograiczeń. W ujęciu matematyczym procedura przedstawia się astępująco: gdzie: ν e {( ) ( ) ( ) } 1, e 0 1, e (, l e 1, p γν, 1 pν 0 P P p) = = > = + t i= pi = 0 w przeciwym wypadku,
Harmoogramowaie liii motażowej jako elemet projektowaia 59 oraz: T + ϑ, gdy L ϑ e 1, e 1, = e 1, e 1, c+ ϑ, gdy L < t olejy sta procesu decyzyjego moża wygeerować dla każdej operacji ω takiej, która ie została dotąd przyporządkowaa (p e-1, =0) oraz wszystkie operacje ją poprzedzające zostały już a liię przydzieloe [(γ ν, =1) (p e-1, >0)]. Wówczas kolejy sta P e,l wyzaczay jest jako suma wektora stau poprzediego P e-1, i wektora p. Wektor p a każdej pozycji posiada 0 z wyjątkiem -tej odpowiadającej przyporządkowywaej operacji ω. Wpisaa jest tam wartość t - chwili zakończeia wykoywaia tej operacji. Chwila t przyjmuje róże wartości, zależie od wielkości dostępego luzu czasowego L e-1,. Jeżeli luz czasowy jest większy lub rówy ϑ (czasowi wykoaia przyporządkowywaej operacji), wówczas chwila t jest sumą T e-1, i ϑ. W przeciwym przypadku operację ω ależy umieścić a kolejym staowisku liii motażowej e-1, +1 a chwila t przyjmie wówczas wartość e-1, c+ϑ. Obydwa opisae przypadki zostały pokazae a poiższych schematach. e 1,... 1 T e 1, t ω i = T e 1, + e 1, ϑ c L ϑ ω e 1, e 1, ϑ ϑ e 1, L e 1,... 1 e 1, T ω i e 1, c t = e 1, e 1, Rys. 4. Schemat przypisaia kolejej operacji a liię produkcyją Powyższą procedurę wykouje się iteracyjie dla kolejych staów a każdym etapie procesu decyzyjego. Należy przy tym zauważyć, że użyte struktury daych oraz sposoby reprezetacji daych wejściowych w modelu matematyczym (macierze, wektory, zbiory, L ϑ e 1, ω c+ ϑ ϑ ω > e 1, L
60 Sławomir Herma zmiee o wartościach całkowitych lub rzeczywistych itd.) sprzyjają implemetacji iformatyczej, realizowaej w postaci algorytmu, praktyczie iezależie od wybraego języka programowaia. W większości bowiem języków wysokiego poziomu istieją predefiiowae struktury daych odpowiadające użytym tu bytom matematyczym. W celu praktyczego zobrazowaia idei procedury geerowaia stau warto posłużyć się poiższym przykładem. Pe 1, p Pe, l 0 0 0 13 0 13 ω3 0 41 41 33 + 0 = 33 0 0 0 0 0 0 27 0 27 Z pobieżej aalizy wektora stau P e-1, wyika, że dotychczas przydzieloe zostały trzy z siedmiu operacji w astępującej kolejości ω 2 ω 7 ω 4. Wygeerowaie kolejego stau P e,l, związaego z przydzieleiem astępej operacji techologiczej p. ω 3, wymaga więc: sprawdzeia, czy ie została oa już wcześiej przydzieloa tz. czy a pozycji trzeciej w wektorze stau P e-1, występuje wartość 0, odwołaia się do macierzy poprzedików i astępików w poszukiwaiu potecjalego występowaia zależości kolejościowych związaych z operacją ω 3 i sprawdzeia w przypadku ich zaistieia, czy wszystkie operacje poprzedzające zostały już wcześiej przydzieloe, wyzaczeia dostępego luzu czasowego L a bieżącym staowisku liii i porówaia go z wartością ϑ 3 czasu trwaia przydzielaej operacji, celem wyzaczeia chwili t 3 - czyli zakończeia jej wykoywaia, wyzaczeia wektora stau P e,l jako sumy wektorów P e-1, i p. 7. Defiicja wartości stau procesu decyzyjego Po wygeerowaiu wszystkich rozwiązań dopuszczalych czyli możliwych harmoogramów pracy liii produkcyjej, astępuje etap wyboru rozwiązaia optymalego. Realizacja tego zadaia wymaga określeia wartości każdego uzyskaego wektora stau, zgodie z poiższą formułą: V = e, l e, l Wartość stau P e,l defiiowaa jest zatem jako umer staowiska, a którym zalazła się ostatia przyporządkowaa operacja ω. Przy wyborze rozwiązaia optymalego dąży się zatem do zalezieia takiego stau P e,l, dla którego wartość V e,l jest ajmiejsza:
Harmoogramowaie liii motażowej jako elemet projektowaia 61 V = miv = ˆ P N, l N, l N, l opt opt 1 l N 8. Metody ograiczaia liczby geerowaych staów Determiistyczy charakter przedstawioego algorytmu geerowaia staów, powoduje wykładiczy przyrost ich liczby a kolejych etapach procesu decyzyjego. W szcze- gólości, gdy macierz poprzedików i astępików ie zawiera żadych zależości wymuszających ograiczeia kolejościowe przydziału operacji, a ostatim etapie procesu wystąpi! harmoogramów dopuszczalych. Zalezieie w takiej sytuacji rozwiązaia optymalego wydaje się ieosiągale, zwłaszcza gdy trzeba to zrobić w czasie rzeczywistym, lub przyajmiej z praktyczego puktu widzeia akceptowal- ym. Choć złożoość obliczeiową algorytmu klasyfikuje się jako O(!), istieje kilka dróg ograiczeia liczby geerowaych wektorów stau, a zarazem i czasu potrzebego do ich stworzeia i wybraia spośród ich rozwiązaia optymalego. Pierwszy sposób polega a odpowiedim wypełieiu macierzy poprzedików i astępików, staowiącej o kolejości techologiczej wykoywaia poszczególych operacji a harmoogramowaej liii produkcyjej. W im większym stopiu kolejość ta zostaie zdetermiowaa, tym miej powstaie wariatów przebiegu procesu, a tym samym wygeerowaa zostaie miejsza liczba wektorów stau. W szczególym przypadku, stopień wypełieia macierzy kolejości może być tak duży, że marszruta techologicza będzie tylko jeda i zagadieie optymalizacji przestaie istieć. Drugi sposób a skróceie czasu działaia algorytmu polega a zastosowaiu heurystyk, których cechą wspólą jest klasyfikacja wektorów stau a te, które w dalszej perspektywie mogą dać rozwiązaie optymale i te ieperspektywicze. Rys. 5. Idea elimiacji staów ieperspektywiczych
62 Sławomir Herma Sposób przeprowadzeia procedury elimiacji staów ieperspektywiczych według reguły sodowaia przedstawia się astępująco: 1. e, l 1 e, l1 2. P T e, l2 e, l2 P T T1 = ϑ T 2 ω e, l 1 Ω = ϑ e, l ω 2 Ω 3. N, l1 e, l1 T = T + T1 N, l2 e, l2 T = T + T2 N, l 4. 1 N, l T 1 V = c V N, l2 N, l2 T = c 5. ( ) ( ) V < V P N, l1 N, l2 e, l2 V > V P N, l1 N, l2 e, l1 Dla dwóch dowolych staów a tym samym etapie e ależy wyzaczyć chwile zakończeia trwaia ostatiej przyporządkowaej operacji. Wyzaczyć sumaryczy czas dla wszystkich dotąd ie przydzieloych operacji dla obydwu badaych staów. Wyzaczyć chwile zakończeia wykoywaia operacji a etapie końcowym N. N, l 1 Wyzaczyć wartości staów końcowych N, l2 oraz P. Porówać wartości obu staów. Te z ich, który ma większą wartość jest ieperspektywiczy i ależy go odrzucić ze ścieżki geeracyjej staów. Elimiacja staów wg reguły domiacji polega a odrzuceiu ze ścieżki geeracyjej jedego z dwóch staów P e,l 1 lub P e,l2 zajdujących się a tym samym etapie e dla których zbiory przyporządkowaych elemetów są sobie rówe lecz chwile zakończeia obsługi ostatiego elemetu są róże. Wówczas sta dla którego T e,l jest większy jest staem zdomiowaym zatem ieperspektywiczym. e (, l1 e, l2 e 1 2 1 2 ) (, l e, l e ) (, l e, l Ω =Ω T < T P P ) Obydwie powyższe reguły elimiacji są łatwe do implemetacji iformatyczej i moża je stosować a każdym etapie poszukiwaia harmoogramu optymalego. Ich skuteczość okazuje się a tyle duża, że zalezieie rozwiązaia dokoywae jest w akceptowalym czasie. orzyść ta ma bezpośredie zaczeie w sytuacji gdy algorytm byłby uruchomioy w środowisku symulacji cyfrowej fabryki. 9. Implemetacja iformatycza algorytmu Przedstawioy w poprzedich rozdziałach model matematyczy został opracoway w postaci programu komputerowego, którego adrzędym celem była praktycza weryfikacja użyteczości zastosowaych struktur daych oraz skuteczości zaprojektowaego algorytmu. P
Harmoogramowaie liii motażowej jako elemet projektowaia 63 Rys. 6. Fragmet iterfejsu użytkowika dae wejściowe Rys. 7. Fragmet iterfejsu użytkowika wyiki obliczeń
64 Sławomir Herma W kostrukcji algorytmów wyzaczających optymaly rozdział operacji techologiczych wykorzystao programowaie obiektowe, które w połączeiu z dyamiczymi strukturami daych umożliwiło uzyskaie dużej wydajości obliczeń. Zastosowae metody elimiacji staów ieperspektywiczych pozwoliły a zacze skróceie toku obliczeń i czasu potrzebego do zalezieia ajlepszych rozwiązań. Iteresującym efektem przeprowadzeia eksperymetu obliczeiowego było uzyskiwaie kilku lub iekiedy kilkuastu rozwiązań końcowych, kwalifikowaych jako optymale (dla których wartości staów okazywały się takie same). Dzięki temu możliwe stało się uzyskaie wariatowych rozwiązań harmoogramu pracy badaej liii, które mogą staowić podstawę dla dalszych aaliz dotyczących p.: rozmieszczeia arzędzi i środków produkcji potrzebych do realizacji poszczególych operacji techologiczych, przestrzeej orgaizacji badaej liii produkcyjej, możliwości bądź uprawień do wykoywaia określoych czyości przez pracowików przypisaych do poszczególych staowisk a liii; 10. Podsumowaie i propozycje rozszerzeia modelu Przedstawioy model matematyczy zagadieia balasowaia liii motażowej obejmuje jedyie podstawowe wielkości (parametry) opisujące jej sta i sposób fukcjoowaia. orzystając jedak z opracowaej metodyki, problem harmoogramowaia moża zaczie rozbudować uwzględiając p.: rozmieszczeie arzędzi i środków produkcji potrzebych do realizacji poszczególych operacji techologiczych, przestrzeą orgaizację badaej liii produkcyjej, możliwości bądź uprawieia do wykoywaia określoych czyości przez pracowików przypisaych do poszczególych staowisk a liii; czasy przezbrojeń pomiędzy operacjami, gdy wykoywae są oe przy użyciu określoych środków produkcji. Problem alokacji arzędzi (środków produkcji) a poszczególych staowiskach liii produkcyjej wiąże się z koieczością stworzeia kolejego kryterium, dotyczącego miimalizacji tych środków. W tym celu wymagae jest ujęcie iezbędych iformacji o typach arzędzi i możliwych do realizacji za ich pomocą operacji techologiczych w jedą strukturę daych (p. macierz icydecji). Podobie, w przypadku zaistieia dodatkowych ograiczeń w zakresie uprawień pracowików do wykoywaia poszczególych operacji techologiczych, czy koieczości uwzględieia czasów przezbrojeń, dodatkowe macierze icydecji pozwolą a uzupełieie modelu i rozszerzeie kostrukcji algorytmu. Należy jedak pamiętać, że opisae wyżej zmiay, wzbogacające wachlarz fukcjoaly modelu, wymagają każdorazowo odpowiediego przeformułowaia procedury geerowaia staów i weryfikacji zasadości i poprawości stosowaia metod elimiacji staów ieperspektywiczych.
Harmoogramowaie liii motażowej jako elemet projektowaia 65 Literatura 1. Marecki F., Modele matematycze i algorytmy alokacji operacji i zasobów a liii motażowej. Zeszyty Naukowe Politechiki Śląskiej, 1986. 2. Bucki R., Marecki F., Digital Simulatio of Discrete Processes. Network Itegrators Associates, 2006. 3. Jaiak A., Wybrae problemy i algorytmy szeregowaia zadań i rozdziału zasobów. Akademicka Oficya Wydawicza PLJ, 1999. 4. Matuszek J., Gregor M., Medvecky Š., Digital Factory, w: Productivity ad Iovatios 2006 r 1(2). Schedulig of the assembly lie as part of the Digital Factory desig Summary The article proposes a model of assembly lie schedulig problem i the cotext of virtualizatio of productio processes ad the idea of the digital factory. There was preseted a searchig algorithm for optimal schedule, based o the metod of multistage programmig, ad a example of its implemetatio.