GAL II. zestawy do prac domowych z rozwiązaniami semestr letni 2011/2012. Wydział MIM UW

GAL II zestawy do prac domowych z rozwiązaniami semestr letni 0/0 Wydział MIM UW luty 05

0 Spis treści Wartości i wektory własne Podobieństwo macierzy, postać Jordana 5 3 Postać Jordana II 4 Struktura afiniczna 6 5 Przekształcenia afiniczne 0 6 Rzuty i symetrie afiniczne 4 7 Iloczyn skalarny 7 8 Przestrzenie euklidesowe 33 9 Przekształcenia na przestrzeniach euklidesowych 37 0 Funkcjonały dwuliniowe 43 Hiperpowierzchnie stopnia 50

J. Chaber. Wartości i wektory własne Wartości i wektory własne Pełne rozwinięcie wyznacznika wzór permutacyjny. Niech A = A,..., A n ] = a ij ] M n n (K) i niech I = E,..., E n ] M n n (K) będzie macierzą jednostkową (E j są kolumnami macierzy jednostkowej, A j = n i= a ij E i są kolumnami A). Wtedy z liniowości wyznacznika względem kolejnych kolumn mamy det A = det n i= a i E i, n i= a i E i,..., n i= a in E i ] = ni = a i dete i, n i= a i E i,..., n i= a in E i ] = ni ni = = a i a i dete i, E i,..., n i= a in E i ] =... = ni =... n a in= i a i... a inn dete i, E i,..., E in ]. ni = Występujące we wzorze wyznaczniki dete i, E i,..., E in ] są zerowe jeśli i j = i k dla pewnych j k i równe ± w przeciwnym przypadku. Mamy więc wzór det A = σ S n sgn(σ)a σ() a σ()... a σ(n)n, gdzie S n oznacza zbiór wszystkich permutacji zbioru {,,..., n} (czyli bijekcji tego zbioru w siebie), a wartość wyznacznika sgn(σ) = dete σ(), E σ(),..., E σ(n) ] nazywa się znakiem permutacji σ. Endomorfizmy przestrzeni V. Endomorfizmem przestrzeni liniowej V nad ciałem K nazywamy przekształcenie liniowe ϕ : V V. Badając endomorfizmy będziemy zakładać, że dim V = n i ciało K jest nieskończone (wielomian w Kx] jest wtedy wyznaczony przez funkcję przyporządkowującą skalarowi x K skalar w(x)). Wektory i wartości własne endomorfizmu ϕ : V V. Wektor α 0 nazywamy wektorem własnym ϕ dla λ K jeśli ϕ(α) = λα (czyli α ker (ϕ λid)). Wartościami własnymi ϕ nazywamy skalary λ, dla których istnieją wektory własne (ker (ϕ λid) {0}). Jeśli λ jest wartością własną ϕ, to V (λ) = ker (ϕ λid) nazywamy podprzestrzenią własną ϕ dla λ. Niezerowe wektory z V (λ) są wektorami własnymi dla λ. Wyznacznik, wielomian charakterystyczny i ślad endomorfizmu ϕ : V V. Wyznacznikiem ϕ nazywamy skalar det ϕ, który jest wyznacznikiem macierzy ϕ w bazie A przestrzeni V. Wyznacznik ϕ nie zależy od wyboru bazy A w V (bo jeśli B jest inną bazą V, A = M(ϕ) A A i B = M(ϕ)B B, to B = C AC dla C = det M(id) A B, więc z twierdzenia Cauchyego det B = det A). Skalar λ jest wartością własną ϕ wtedy i tylko wtedy, gdy ker (ϕ λid) {0}, czyli det(ϕ λid) = 0. Dla ustalonej bazy A i macierzy A = M(ϕ) A A, wyznacznik det(ϕ λid) = det M(ϕ λid)a A = det(a λi) ma (z pełnego rozwinięcia) postać ( λ) n +a n ( λ) n +...+a ( λ)+a 0, więc λ jest wartością własną ϕ wtedy i tylko wtedy, gdy λ jest pierwiastkiem wielomianu w ϕ (x) = ( x) n +a n ( x) n +x+a ( x)+a 0. Wielomian w ϕ (x) = det(m(ϕ) A A xid) nazywamy wielomianem charakterystycznym endomorfizmu ϕ. Współczynnik a n jest sumą wyrazów na przekątnej M(ϕ) A A, nazywamy go śladem ϕ i oznaczamy tr ϕ. Sprawdziliśmy wyżej, że wielomian charakterystyczny (a więc i ślad) nie zależą od wyboru bazy A. Liniowa niezależność wektorów własnych dla różnych wartości własnych. Jeśli α, α,..., α k są wektorami własnymi dla parami różnych wartości własnych λ, λ,..., λ k, to układ (α, α,..., α k ) jest liniowo niezależny (dowód, przez indukcję ze względu na k, wynika z równości (ϕ λ k id)(a α + a α +... + a k α k ) = a (λ λ k )α + a (λ λ k )α +... + a k (λ k λ k )a k α k ). W szczególności V (λ ) + V (λ ) +... + V (λk ) = V (λ ) V (λ )... V (λk ) jeśli λ i λ j dla i j. Diagonalizacja endomorfizmu ϕ : V V. Endomorfizm ϕ nazywamy diagonalizowalnym jeśli w V istnieje baza złożona z wektorów własnych ϕ (czyli V jest sumą prostą podprzestrzeni własnych ϕ). Jeśli A = (α, α,..., α n ) jest taką bazą i ϕ(α j ) = λ j α j, to M(ϕ) A A jest macierzą przekątniową mającą na przekątnej wartości własne λ, λ,... λ n, więc w ϕ (x) = det(m(ϕ) A A xi) = (λ x)(λ x)... (λ n x), czyli w ϕ (x) ma rozkład na czynniki stopnia.

J. Chaber. Wartości i wektory własne Jeśli w ϕ (x) = (λ x) n (λ x) n... (λ l x) n l, gdzie λ i λ j dla i j, to ϕ jest diagonalizowalny wtedy i tylko wtedy, gdy dim V (λj ) = n j dla j =,..., l (dalej zobaczymy, że zawsze dim V (λj ) n j ). W szczególności ϕ jest diagonalizowalny jeśli ϕ ma n parami różnych wartości własnych (bo dim V (λj ) ). Macierz kwadratowa endomorfizm K n. Macierz A M n n (K) wyznacza endomorfizm ϕ A : K n K n (ϕ A (X) = AX dla X K n, czyli M(ϕ A ) st st = A). Można więc mówić o wielomianie charakterystycznym macierzy w A (x) = w ϕa (x) (i jego współczynnikach takich jak ślad), wartościach i wektorach własnych oraz o diagonalizacji macierzy. Zestaw. a) Niech A M (K). Sprawdzić, że w A (λ) = ( λ) + tra ( λ) + det A. b) Niech A = A, A, A 3 ] M 3 3 (K) i niech I = E, E, E 3 ] M 3 3 (K) będzie macierzą jednostkową (A j są kolumnami A, a E j kolumnami macierzy jednostkowej). Sprawdzić, że w A (λ) = ( λ) 3 + tra ( λ) + m ( λ) + det A, gdzie m = dete, A, A 3 ] + deta, E, A 3 ] + deta, A, E 3 ] (rozwijając te wyznaczniki względem kolumny E j widzimy, że m jest sumą dwuwymiarowych minorów otrzymanych z A przez skreślenie j-tej kolumny i j-tego wiersza, j =,, 3). Wskazówka. Korzystając z liniowości wyznacznika względem każdej z kolumn przedstawić w A (λ) jako sumę ośmiu wyznaczników: w A (λ) = det(a λi) = deta λe, A λe, A 3 λe 3 ] = deta, A λe, A 3 λe 3 ] λ dete, A λe, A 3 λe 3 ] =..... Niech endomorfizm ϕ : R R będzie zadany wzorem ϕ(x, x ) = ( x + 5x, x 4x ). a) Wyznaczyć wartości własne i odpowiadające im wektory własne endomorfizmu ϕ (przez wyznaczenie wektorów własnych odpowiadających wartości własnej rozumie się podanie bazy odpowiedniej podprzestrzeni własnej). b) Wybrać bazę A przestrzeni R złożoną z z wektorów własnych dla ϕ, wyznaczyć macierz M(ϕ) A A i macierz M(id)A st. 3 6 3. Niech A = M 3 3 (R). 4 6 3 a) Wyznaczyć wartości własne i odpowiadające im wektory własne macierzy A. b) Wyznaczyć macierz odwracalną C taką, że C AC jest macierzą przekątniową i obliczyć macierz C. 4. Niech ϕ : V V będzie endomorfizmem przestrzeni liniowej V nad ciałem K. a) Pokazać, że jeśli każdy niezerowy wektor α V jest wektorem własnym dla ϕ, to istnieje c K takie, że ϕ = c id. Wskazówka. Rozważyć płaszczyznę W = lin(α, β) V, zauważyć, że ϕ(w ) W i zbadać macierz endomorfizmu ϕ W : W W będącego obcięciem ϕ do W w bazie (α, β) tej płaszczyzny. b) Pokazać, że jeśli ϕ ψ = ψ ϕ dla każdego endomorfizmu ψ : V V, to istnieje c K takie, że ϕ = c id. Wskazówka. Pokazać, że dla dowolnego niezerowego wektora α V istnieje endomorfizm ψ α : V V taki, że ψ α (α) = α oraz im ψ α = lin(α) i skorzystać z a). Uwaga. W a) i w b) implikację można zastąpić przez równoważność (implikacje odwrotne są oczywiste).

J. Chaber. Wartości i wektory własne 3 Rozwiązania zadań z zestawu ] a b. a) Dla A = c d a λ w A (λ) = det(a λi) = c b) w A (λ) = det(a λi) = deta λe, A λe, A 3 λe 3 ] = b d λ = (a λ)(d λ) bc = ( λ) +(a+d)( λ)+ad bc. deta, A λe, A 3 λe 3 ] λ dete, A λe, A 3 λe 3 ] = deta, A, A 3 λe 3 ] λ deta, E, A 3 λe 3 ] + λ dete, A, A 3 λe 3 ] + ( λ) dete, E, A 3 λe 3 ] = deta, A, A 3 ] λ deta, A, E 3 ] λ deta, E, A 3 ] + ( λ) deta, E, E 3 ] + λ dete, A, A 3 ] + ( λ) dete, A, E 3 ] + ( λ) dete, E, A 3 ] + ( λ) 3 det I. ] 5. a) Niech M = M(ϕ) st st =. 4 Z a) w ϕ (λ) = ( λ) +5λ 6. Stąd w ϕ (λ) = 0 λ = 5± 5+4, czyli w ϕ (λ) = ( λ)( 6 λ). Wszystkie pierwiastki mają krotność, więc podprzestrzenie własne mają wymiar. Dla λ =, 6 znajdziemy wektory własne jako rozwiązania układu (M λi)x = 0. ] 5 Dla λ = kolumny macierzy M I = K, K ] = są zależne; z 5K 5 + K = 0 widać, że α = 5, ] jest wektorem własnym dla λ =. ] 5 5 Dla λ = 6 kolumny macierzy M + 6I = K, K ] = są zależne; z K K = 0 widać, że α =, ] jest wektorem własnym dla λ = 6. ] 0 b) Niech A = (α, α ). Wtedy M(ϕ) A A = i M(id) 0 6 A st = 5 ] = 7 5 3 6 3. a) det A = = 8 4 + 6 + 8 + 8 =, minory stopnia są równe 4 6 3 0,, 0, a tra =. Z b) w A (λ) = ( λ) 3 +( λ) +(0 +0)( λ) = ( λ)(λ ) = ( λ)( λ)( λ). Wszystkie pierwiastki mają krotność, więc podprzestrzenie własne mają wymiar. Dla λ = układ (A + I)X = 0 ma macierz 6 3 4 6 4. Z równości kolumn pierwszej i trzeciej wynika, że rozwiązaniem jest wektor α =, 0, ] (redukcja nie jest tu potrzebna). Dla λ = układ (A I)X = 0 ma macierz 0 0 0 0 z której odczytujemy rozwiązanie α?,?, ] =?,, ] =,, ]. 4 6 4 6 4 6 4 6 ].

J. Chaber. Wartości i wektory własne 4 Dla λ = układ (A I)X = 0 ma macierz 5 6 0 4 6. Z dwóch ostatnich równań odczytujemy rozwiązanie?,?, 6 ] = 6,?, 6 ] = 6, 3, 6 ] i sprawdzamy, że α 3 =,, ] spełnia pierwsze równanie (sprawdzenie potwierdza tylko, że macierz (A I) ma rząd, czyli λ = jest wartością własną A). b) Niech ϕ A : R 3 R 3 będzie endomorfizmem takim, że M(ϕ A ) st st = A. Wektory własne A znalezione w a) tworzą bazę A = (α, α, α 3 ) przestrzeni R 3 wektorów własnych ϕ A. Iloczyn M(id) A stm(ϕ A ) st stm(id) st A = M(ϕ A) A A ma na przekątnej kolejne wartości własne A i poza przekątną zera. Iloczyn M(id) A stm(ϕ A ) st stm(id) st A = M(ϕ A) A A jest macierzą przekątniową, więc szukaną macierzą C (taką, że C AC jest przekątniowa) jest M(id) st A = 0, a C = 0???? = 0?? = 0 0 (kolumny i wiersze macierzy odwrotnej są rozwiązaniami układów równań; dla macierzy C te rozwiązania można wyznaczyć bez redukcji). 4. a) Ustalmy niezerowy wektor α V i połóżmy L = lin(α). Endomorfizm ϕ przeprowadza prostą L na siebie, więc ϕ jest na L mnożeniem przez pewien skalar c. Weźmy β V \L i rozważmy płaszczyznę W = lin(α, β). Z założenia ϕ(β) = c β dla pewnego c K. Chcemy pokazać, że c = c. ] c 0 W bazie (α, β) płaszczyzny W obcięcie ϕ W endomorfizmu ϕ do W ma macierz 0 c. Gdyby było c c, to ϕ W miałby dwie wartości własne (c i c ), przy czym podprzestrzenie własne byłyby prostymi (W (c) = L i W (c ) = lin(β). W szczególności γ = α + β W nie byłby wektorem własnym dla ϕ. b) Ustalmy niezerowy wektor α V i niech podprzestrzeń U α V będzie taka, że V = lin(α) U α, a ψ niech będzie rzutem V na lin(α) równolegle do U α. Mamy ϕ(α) = ϕ(ψ(α)) = ψ(ϕ(α)) im ψ = lin(α), co pokazuje, że α jest wektorem własnym dla ϕ. Z dowolności α i z a) otrzymujemy tezę.

J. Chaber. Podobieństwo macierzy, postać Jordana 5 Podobieństwo macierzy, postać Jordana Podobieństwo macierzy. Macierze A, B M n n (K) są podobne jeśli B = C AC dla pewnej macierzy odwracalnej C M n n (K). Relacja podobieństwa jest symetryczna (bo B = C AC, to A = (C ) BC ). Macierze A, B są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy obie są macierzami tego samego endomorfizmu w różnych bazach. W szczególności macierze podobne mają taki sam wielomian charakterystyczny (i jego współczynniki takie jak ślad, wyznacznik,...), wartości i wektory własne (oraz rząd = n dim V (0) ). Istotnie, jeśli ϕ : V V jest endomorfizmem i A, B są bazami V, to macierze A = M(ϕ) A A i B = M(ϕ)B B są podobne (B = C AC dla C = M(id) A B ). Jeśli natomiast A i B są podobne, to obie są macierzami ϕ A w pewnych bazach K n (A = M(ϕ A ) st st, a B = M(ϕ A ) B B, gdzie B jest bazą utworzoną przez kolumny macierzy C, takiej, że B = C AC, bo wtedy C = M(id) st B i B = M(id)B stm(ϕ A ) st stm(id) st B = M(ϕ A) B B ). Podobieństwo jest relacją równoważności (jeśli B i B są podobne do A, to obie są macierzami ϕ A ). Klatka Jordana dla 0. Niech D = 0, E, E,..., E m ] M m m (K), gdzie E j (= ε j ]) są kolumnami macierzy jednostkowej. Wtedy w D (x) = (0 x) m i ker ϕ D = lin(ε ) ma wymiar (więc D nie jest diagonalizowalna dla m > ). Endomorfizm ϕ D przeprowadza ε j na ε j dla j >, a ε na 0. Zatem ϕ D ϕ D przeprowadza ε j na ε j dla j >, a ε i ε na 0. Stąd ker (ϕ D ) = lin(ε, ε ) i, analogicznie dla k m, ker (ϕ D ) k = lin(ε,..., ε k ). Klatka Jordana dla λ. Klatką Jordana dla λ nazywamy macierz J M m m (K) postaci J = D+λI (dla m = D = 0], J = λ]). Jeśli J jest klatką Jordana dla λ, to λ jest jedyną wartością własną J, dim V (λ) = i dim ker (ϕ J λid) k = dim ker (ϕ D ) k = k dla k m. Jeśli λ λ, to ϕ J λ id (i każda potęga (ϕ J λ id) k ) jest izomorfizmem. Macierze w postaci Jordana uogólnienie macierzy przekątniowych. Macierz K M n n (K) nazywamy macierzą w postaci Jordana jeśli K ma na przekątnej bloki J, J,..., J d będące klatkami Jordana (J i = D + λ i I M mi m i (K) dla i d; m +... + m d = n) oraz zera na pozostałych miejscach (K jest przekątniowa jeśli m i = dla i d). Wielomian charakterystyczny macierzy K jest iloczynem wielomianów klatek J i (bo K jest macierzą trójkątną). Ustalmy wartość własną λ macierzy K i połóżmy d k = dim ker (ϕ K λid) k (d 0 = 0). Sprawdzimy, że d k d k (d k+ d k ) jest liczbą klatek J i wymiaru k takich, że λ i = λ. Baza standardowa przestrzeni K n dzieli się na bloki st = (ε,... ε m ),..., st d = (ε n md +,..., ε n ) liczące kolejno m, m,..., m d wektorów odpowiadających klatkom Jordana tworzącym K. Blok st i rozpina podprzestrzeń V i K n, na której endomorfizm ϕ K działa tak, jak endomorfizm ϕ Ji. Dla każdej klatki J i, endomorfizmy (ϕ K λid) k działają na V i jak (ϕ Ji λid Vi ) k. Zatem d jest liczbą klatek J i takich, że λ i = λ (każda klatka dla λ daje wektor bazy ker (ϕ K λid)), d d jest liczbą klatek J i wymiaru takich, że λ i = λ (każda klatka dla λ wymiaru daje dwa wektory bazy ker (ϕ K λid), ale jeden już był w ker (ϕ K λid)). Analogicznie, d k d k jest liczbą klatek J i wymiaru k takich, że λ i = λ (każda klatka dla λ wymiaru k daje k wektorów bazy ker (ϕ K λid) k, ale k z nich już było w ker (ϕ K λid) k ). To daje podaną wyżej liczbę klatek wymiaru k dla λ. Twierdzenie Jordana, wyznaczanie postaci Jordana jednoznacznośc. Jeśli wielomian charakterystyczny macierzy A M n n (K) ma rozkład na czynniki stopnia, to A jest podobna do pewnej macierzy K w postaci Jordana (dowód będzie podany na końcu tego zestawu). W szczególności macierze A, A są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy mają taką samą postać Jordana. Jeśli λ jest wartością własną A i r k = r(a λi) k (r 0 = n), to postać Jordana K macierzy A ma r k+ r k (r k r k ) klatek wymiaru k dla λ (bo jeśli A jest macierzą ϕ K w bazie B, to (A λi) k jest macierzą (ϕ K λid) k w B, więc d k = dim ker (ϕ K λid) k = n dim im (ϕ K λid) k = n r k ).

J. Chaber. Podobieństwo macierzy, postać Jordana 6 Potęgowanie macierzy w postaci Jordana. Jeśli K jest macierzą w postaci Jordana, to K k ma na przekątnej k-te potęgi klatek Jordana tworzących K. Dla klatki J = D + λi M m m (K), z wzoru na dwumian Newtona (który można stosować, bo D(λI) = (λi)d), mamy J k = (λi +D) k = λ k I +kλ k D + k(k ) λ k D +... (gdzie D i = 0 dla i m). Zestaw. Niech A = 0, A = 0 0 0 0 a) Zbadać, czy macierz A jest podobna do macierzy A. b) Dla i =, znaleźć postać Jordana K i macierzy A i. będą macierzami z M 3 3 (R).. Niech A = A będzie macierzą z poprzedniego zadania i niech K będzie macierzą w postaci Jordana podobną do A. a) Znaleźć bazę Jordana dla A i macierz odwracalną C taką, że C AC = K. b) Obliczyć k-tą potęgę macierzy A. Wskazówka. Skorzystać z a) i z wzoru na k-tą potęgę macierzy K. 3. Niech A = A będzie macierzą z pierwszego zadania i niech K będzie macierzą w postaci Jordana podobną do A. a) Znaleźć bazę Jordana dla A i macierz odwracalną C taką, że C AC = K. b) Obliczyć k-tą potęgę macierzy A. Wskazówka. Skorzystać z a) i z wzoru na k-tą potęgę macierzy K. 4. Niech A = 0 0 0 0 M 3 3 (C). a) Wyznaczyć wartości własne i bazy podprzestrzeni własnych endomorfizmu ϕ : C 3 C 3 takiego, że M(ϕ) st st = A. b) Obliczyć macierz A 44. Uwaga. Zadanie jest zmodyfikowaną wersją zadania z kolokwium z kwietnia 0. 5. Niech ϕ : V V będzie endomorfizmem przestrzeni liniowej V nad ciałem K takim, że dla każdego izomorfizmu ψ : V V zachodzi ϕ ψ = ψ ϕ. a) Pokazać, że jeśli dim V =, to każdy niezerowy wektor α V jest wektorem własnym dla ϕ (czyli ϕ = c id dla pewnego c K, zob. zadanie 4 a) z poprzedniego zestawu). Wskazówka. Założyć, że istnieje α] V taki, że β = ϕ(α) lin(α) i zbadać izomorfizm ψ : V V taki, że M(ψ) A A = dla bazy A = (α, β) płaszczyzny V. 0 b) Udowodnić a) bez założenia, że dim V =. Wskazówka. Dla α V takiego, że β = ϕ(α) lin(α) rozszerzyć liniowo niezależny układ (α, β) do bazy A przestrzeni V i rozważyć ψ : V V takie, że ψ(α) = α, ψ(β) = α + β oraz ψ(γ) = γ dla pozostałych wektorów γ z bazy A. Uwaga. Zadanie 5 b) jest wzmocnieniem zadania 4 b) z poprzedniego zestawu.

J. Chaber. Podobieństwo macierzy, postać Jordana 7 Rozwiązania zadań z zestawu. a) Jeśli macierze A i są podobne, to mają takie same wielomiany charakterystyczne (więc takie same ślady, wyznaczniki,...) i takie same wymiary odpowiednich podprzestrzeni własnych, w szczególności takie same rzędy (to są warunki konieczne, ale nie dostateczne). Ślady obu macierzy są takie same (można sprawdzić wyznaczniki, ale lepiej od razu zbadać czy łatwy do policzenia wielomian charakterystyczny A jest też wielomianem dla A ). Ponieważ A jest macierzą blokowo trójkątną (ze względu na zera w pierwszym wierszu) w A (λ) = ( λ)w B (λ), gdzie B jest dwuwymiarowym dolnym blokiem A (pod zerami w pierwszym wierszu). Mamy w B (λ) = λ trbλ + det B = λ λ + = ( λ). Stąd w A (λ) = ( λ)( λ). Porównamy rzędy A I i A I oraz rzędy A I i A I (jeśli macierze są podobne, to te rzędy są równe). Rząd A I jest (bo jest jednokrotną wartością własną A ). Macierz A I = 0 0 rogu jest niezerowy). Rząd A I = też ma rząd (bo det(a I) = 0, a dwuwymiarowy minor w dolnym prawym 0 0 0 jest (nie 3, bo jest wartością własną; nie, bo dwuwymiarowy minor w górnym lewym rogu jest niezerowy). Macierz A I = ma rząd, a to oznacza, że A nie jest podobna do A. b) W a) pokazaliśmy, że r(a I) = i r(a I) =. Zatem A jest podobna do macierzy 0 0 K = 0 0 (w szczególności w A (λ) = ( λ)( λ) = w A (λ)). 0 0 Macierz A nie jest diagonalizowalna (bo dla wartości własnej wymiar przestrzeni własnej dim V () = 3 jest mniejszy niż krotność). Zatem A jest podobna do macierzy 0 0 K = 0. 0 0. Niech A i K będą takie jak w poprzednim zadaniu i niech i niech ϕ : R 3 R 3 będzie endomorfizmem zadanym przez macierz A (to znaczy A = M(ϕ ) st st). a) Bazą Jordana dla macierzy A jest baza A = (α, α, α 3 ) taka, że M(ϕ ) A A = K. Zatem α jest wektorem własnym dla, a α, α 3 są wektorami własnymi dla dla ϕ. Wektor własny dla leży na prostej (A I)X = 0. Z dwóch ostatnich wierszy macierzy A I = 0 0 widać, że rozwiązaniem jest wektor α =,, ] (α musi spełniać równanie pierwsze, bo wiemy z a), że macierz A I ma rząd ). Wektory własne dla leżą w płaszczyźnie (A I)X = 0. Z pierwszego wiersza macierzy A I = widać, że α =,, 0] i α 3 =, 0, ] tworzą bazę tej płaszczyzny.

J. Chaber. Podobieństwo macierzy, postać Jordana 8 Macierzą C taką, że C A C = K jest M(id) st A = b) Z a) A = CK C, więc A k = CKk C, gdzie K k = 0 0 Macierz C można wyznaczyć z definicji jako M(id) A st = Mamy więc A k = k k 0 k 0 0 0 0 0 = k 0 0 0 0 0 0. k 0 0 0 0 0 0 0 0 k + k k k + k k k + k k i C = 0 0 =.. 0 0 3. Niech A i K będą takie jak w pierwszym zadaniu i niech ϕ : R 3 R 3 będzie endomorfizmem zadanym przez macierz A (to znaczy A = M(ϕ ) st st). a) Bazą Jordana dla macierzy A jest baza A = (α, α, α 3 ) przestreni R 3 taka, że M(ϕ ) A A = K. Zatem α jest wektorem własnym dla (α ker (ϕ id)), a α wektorem własnym dla (α ker (ϕ id)). Ponadto, α 3 ker (ϕ id) jest taki, że (ϕ id)(α 3 ) = α. Wektor własny dla leży na prostej (A I)X = 0. Z dwóch pierwszych kolumn macierzy A I = 0 0 0 0 0 widać, że rozwiązaniem jest wektor α =,, 0]. Wektory α i α 3 łatwo znaleźć badając ker (ϕ id) będące płaszczyzną opisaną układem równań (A I) X = 0. Mamy 0 0 0 0 0 0 (A I) = 0 0 = 0 0, więc ker (ϕ id) = lin(ε, ε 3 ). 0 0 0 Połóżmy α 3 = ε (z płaszczyzny ker (ϕ id) trzeba wybrać wektor, który nie leży na prostej ker (ϕ id)) i α = (ϕ id)(α 3 ) = 0,, ] (z konstrukcji wynika, że α = (ϕ id)(α 3 ) ker (ϕ id)). Macierzą C taką, że C A C = K jest M(id) st A = b) Z a) A = CK C, więc A k = CKk C, gdzie K k = 0 0 0 0 Macierz C można wyznaczyć z definicji jako M(id) A st = Mamy więc A k = k 0 0 k k + 0 k 0 0 0 0 0 0 0 0 k 0 0 0 k 0 0 =. k 0 0 0 k 0 0 0 0 0 0 i C = 0 0 0 0 = k 0 0 k k k + k k k k.. 0 0 0 0

J. Chaber. Podobieństwo macierzy, postać Jordana 9 4. a) Macierz A jest blokowo trójkątna więc w A (λ) = ( λ)(λ + ) = ( λ)(i λ)( i λ). Ponieważ wartości własne A są jednokrotne, podprzestrzenie własne są jednowymiarowe. Podprzestrzeń własna dla λ = jest prostą zespoloną (A I)X = 0. Z równości pierwszej i ostatniej kolumny macierzy A I = 0 0 0 widzimy, że bazą V () jest α =, 0, ] C 3. Podprzestrzeń własna dla λ = i jest prostą zespoloną (A ii)x = 0. Z dwóch pierwszych wierszy macierzy i 0 0 A ii = i odczytujemy wektor bazowy α C 3 prostej V (i) (i sprawdzamy, że α i rozwiązuje trzecie równanie) α =?,,? ] = 0,,? ] = 0,, i ]. Podprzestrzeń własna dla λ = i jest prostą zespoloną (A + ii)x = 0. Z dwóch pierwszych wierszy macierzy + i 0 0 A + ii = i odczytujemy wektor bazowy α 3 C 3 prostej V ( i) (i sprawdzamy, że α i 3 rozwiązuje trzecie równanie) α 3 =?,,? ] = 0,,? ] = 0,, i ]. b) Potęgi macierzy A można obliczyć przy pomocy macierzy przekątniowej K = M(ϕ) A A, gdzie A = (α, α, α 3 ) jest bazą wektorów własnych z a) (z wzoru A k = M(id) st A Kk M(id) A st). Dla k = 44 mamy K k = I (bo i 44 = ( i) 44 = ), więc ϕ 44 = id i (bez obliczeń) A 44 = I. Uwaga. Jeśli Z = X + iy C n jest wektorem własnym macierzy A M n n (R) dla zespolonej wartości własnej λ = a + ib C, to płaszczyzna lin(x, Y ) R n jest niezmiennicza dla ϕ A : R n R n (bo z A(X + iy ) = (a + ib)(x + iy ) wynika AX = ax by i AY = bx + ay ). W zadaniu λ = ±i, więc ϕ A : R 3 R 3 jest obrotem o kąt ± π w płaszczyźnie lin(ε, ε 3 ) (co bez obliczeń można zobaczyć w dolnym prawym ( )-bloku macierzy A). Osią obrotu jest lin(α ). Z tej interpretacji ϕ A łatwo wynika, że (ϕ A ) 4 = id R 3. 5. Niech ϕ : V V będzie endomorfizmem przestrzeni liniowej V nad ciałem K takim, że dla każdego izomorfizmu ψ : V V zachodzi ϕ ψ = ψ ϕ. a) Jeśli teza nie jest prawdziwa, to istnieje α V taki, że β = ϕ(α) lin(α). Wtedy A = (α, β) ] 0 jest bazą płaszczyzny V. Endomorfizm ϕ ma w tej bazie macierz postaci M(ϕ) A A =. ] Dla izomorfizmu ψ : V V takiego, że M(ψ) A A = mamy ϕ ψ ψ ϕ, bo 0 ] ] ] ] ] ] 0 0 0 M(ϕ ψ) A A = = i M(ψ ϕ) 0 A A = =. 0 b) Jeśli teza nie jest prawdziwa, to istnieje α V taki, że β = ϕ(α) lin(α). Wtedy układ (α, β) jest liniowo niezależny i można go rozszerzyć do bazy A przestrzeni V. Endomorfizm ψ : V V zadany na bazie A warunkami ψ(α) = α, ψ(β) = α + β oraz ψ(γ) = γ dla pozostałych wektorów γ z bazy A jest izomorfizmem (bo przeprowadza A na bazę przestrzeni V ). Mamy ϕ ψ ψ ϕ, bo ϕ ψ(α) = ϕ(α) = β i ψ ϕ(α) = ψ(β) = α + β. Uwaga. Argumenty użyte w b) są takie same jak w a). Różnica leży w języku macierze występujące w a) są w b) zastąpione definiowaniem przekształceń na bazie. Zapis b) jest prostszy i bardziej ogólny.

J. Chaber. Uzupełnienie - dowód twierdzenia Jordana 0 Twierdzenie Jordana w wersji dla endomorfizmu ϕ : V V. Jeśli wielomian charakterystyczny w ϕ (x) ma rozkład na czynniki stopnia, to przestrzeń V ma bazę A taką, że M(ϕ) A A jest macierzą w postaci Jordana (bazę A nazywamy bazą Jordana dla endomorfizmu ϕ). Wyznacznik macierzy ] blokowo trójkątnej. A Jeśli A =, gdzie A 0 A i M ni n i (K), to det A = det A det A (bo A można doprowadzić do postaci górnie trójkątnej operacjami na wierszach nie zmieniającymi żadnego z tych wyznaczników). Podprzestrzenie niezmiennicze endomorfizmu. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą dla endomorfizmu ϕ (ϕ-niezmienniczą) jeśli ϕ(w ) W. Jeśli W V jest ϕ niezmiennicza, to obcięcie ϕ W (ϕ W (α) = ϕ(α) dla α W ) jest endomorfizmem W. Jeśli ponadto W ma bazę A W i układ A jest uzupełnieniem A W do bazy V, to M(ϕ) A A ma postać blokowo trójkątną, więc wielomian charakterystyczny obcięcia ϕ W dzieli wielomian charakterystyczny ϕ. Iteracje endomorfizmu. Definiujemy ϕ 0 = id V, a dla k k-tą iteracją ϕ nazywamy złożenie ϕ k = ϕ ϕ k = ϕ k ϕ. Przykłady podprzestrzeni niezmienniczych endomorfizmu. Jeśli W jest ϕ-niezmiennicza, to ϕ(w ) też jest ϕ-niezmiennicza (bo wtedy ϕ(ϕ(w )) ϕ(w )). Ponadto ϕ (W ) W (bo W ϕ (ϕ(w )) ϕ (W )) i ϕ (W ) też jest ϕ-niezmiennicza (bo ϕ(ϕ (W )) W ). Podprzestrzeń zerowa {0} i cała przestrzeń V są oczywiście ϕ-niezmiennicze, więc ϕ-niezmiennicze są rosnące jądra iteracji {0} ker ϕ = ϕ (0) ker ϕ = ϕ (ker ϕ)... ker ϕ k = ϕ (ker ϕ k )... oraz malejące obrazy iteracji V im ϕ = ϕ(v ) im ϕ = ϕ(im ϕ)... im ϕ k = ϕ(im ϕ k ).... Zauważmy, że malejący ciąg obrazów musi się stabilizować (jeśli im ϕ k = im ϕ k+, to ϕ jest izomorfizmem na im ϕ k, więc obrazy kolejnych iteracji będą równe im ϕ k ). Ponieważ dim im ϕ k + dim ker ϕ k = n, rosnący ciąg jąder stabilizuje się od tego samego miejsca k = m n, co malejący ciąg obrazów. Ponadto V = ker ϕ m im ϕ m (bo ϕ m jest izomorfizmem na im ϕ m, więc ker ϕ m im ϕ m = {0}). Jeśli W jest ϕ-niezmiennicza i ψ-niezmiennicza to W jest (ϕ + ψ)-niezmiennicza (bo (ϕ + ψ)(α) = ϕ(α) + ψ(α) W dla α W ). W szczególności W jest ϕ-niezmiennicza wtedy i tylko wtedy, gdy jest (ϕ λid)-niezmiennicza dla λ K (bo W jest (µ id)-niezmiennicza dla µ = ±λ). Podprzestrzenie pierwiastkowe endomorfizmu. Jeśli λ jest wartością własną endomorfizmu ϕ, to dla ϕ λ = ϕ λid, największe jądro iteracji ker ϕ m λ nazywamy podprzestrzenią pierwiastkową dla λ i oznaczamy przez V λ]. Przestrzeń V rozkłada się więc na sumę prostą podprzestrzeni ϕ niezmienniczych V = V λ] im ϕ m λ, przy czym w ϕ (x) rozkłada się na iloczyn w ϕ (x) = w(x)u(x), gdzie w(x) jest wielomianem charakterystycznym obcięcia ϕ V λ] i (λ x) nie dzieli u(x). W szczególności dim V λ] jest nie mniejszy niż krotność λ. Twierdzenie o rozkładzie V na podprzestrzenie pierwiastkowe endomorfizmu ϕ : V V. Jeśli w ϕ (x) = (λ x) n (λ x) n... (λ l x) n l, λ i λ j dla i j, to V = V λ ] V λ ]... V λl ]. Ponadto w (x) = (λ ϕ Vλj ] j x) n j i w szczególności dim V λj ] = n j oraz V λj ] = ker ϕ n j λ j dla j =,..., l. Wiemy, że (λ j x) n j dzieli w ϕ Vλj ] (x), dim V λ j ] n j i dim V = n + n +... + n l. Wystarczy więc pokazać, że V λ ] + V λ ] +... + V λl ] = V λ ] V λ ]... V λl ], czyli V λj ] i j V λ i ] = {0} dla j.

J. Chaber. Uzupełnienie - dowód twierdzenia Jordana Dla j pokażemy, że i j V λ i ] im ϕ m λ j, gdzie m jest takie, że V λj ] = ker ϕ m λ j, czyli V = V λj ] im ϕ m λ j. Połóżmy λ = λ j i µ = λ i λ. Wystarczy pokazać, że ϕ λ jest izomorfizmem na V µ], czyli V µ] V (λ) = {0}. Dla α V (λ) ϕ µ (α) = ϕ(α) µα = (λ µ)α, więc ϕ µ jest izomorfizmem na V (λ). Zatem iteracja ϕ n µ jest izomorfizmem na ϕ µ niezmienniczej przestrzeni V µ] V (λ) i ϕ n µ(v µ] ) = {0}, a stąd V µ] V (λ) = {0}. Uwaga (dla endomorfizmu mającego dwie wartości własne). Z dowodu wynika, że jeśli w ϕ (x) = (λ x) n λ(µ x) nµ, to V µ] = im ϕ n λ λ (i, analogicznie, V λ] = im ϕ nµ µ ). Działanie endomorfizmu ϕ na podprzestrzeni pierwiastkowej V λ]. Niech λ będzie pierwiastkiem w ϕ (x) krotności n 0. Połóżmy ψ = ϕ λid, W k = ker ψ k i d k = dim W k. Wtedy {0} = W 0 W W... W m = W m+ = V λ] i 0 = d 0 < d < d <... < d m = d m+ = n 0. Dla k = m, m,...,, ψ przeprowadza W k w W k (bo W k = ψ (W k )). Jeśli k i W k+ = W k U, to dim U = d k+ d k, ψ jest izomorfizmem U na ψ(u) (bo ker ψ = W W k ) oraz W k ψ(u) = {0} (bo β = ψ(α) W k ψ(u) dla α U, to α W k U = {0}). Korzystając z powyższego można, dla k = m, m,...,, znaleźć w W m podprzestrzenie U m, U m,..., U takie, że W m = W m U m W m = W m ψ(u m ) U m W m = W m 3 ψ (U m ) ψ(u m ) U m. W = W ψ m (U m ) ψ m 3 (U m ) ψ m 4 (U m )... U W = {0} ψ m (U m ) ψ m (U m ) ψ m 3 (U m )... ψ(u ) U. Ponadto dim U k = dim W k dim W k (dim W k+ dim W k ) = (d k d k ) (d k+ d k ). Podstawiając otrzymujemy rozkład przestrzeni pierwiastkowej na sumę prostą W m = U m ψ(u m ) U m ψ (U m ) ψ(u m ) U m. ψ m (U m ) ψ m 3 (U m ) ψ m 4 (U m )... U ψ m (U m ) ψ m (U m ) ψ m 3 (U m )... ψ(u ) U, przy czym ψ jest izomorfizmem każdego składnika (z wyjątkiem najniższych) na składnik leżący pod nim. Dla α U k ψ k (α) = 0 i układ A α = (α, ψ(α),..., ψ k (α)) jest bazą ψ niezmienniczej przestrzeni W α. Macierz M(ψ W α ) Aα A α jest klatką Jordana dla 0, a M(ϕ W α ) Aα A α jest klatką Jordana dla λ (bo ϕ = ψ+λid). Jeśli A k jest bazą U k i układ B k = (A α ) α Ak powstaje przez kolejne dołączanie baz A α dla α A k, to układ B = (B m, B m,..., B ) jest bazą V λ] (jeśli dim U k = 0, to B k = ) i M(ϕ V λ] ) B B jest macierzą Jordana utworzoną przez d klatek Jordana dla λ ((d k d k ) (d k+ d k ) klatek wymiaru k). Twierdzenie Jordana wynika z powyższego i z twierdzenia o rozkładzie na podprzestrzenie pierwiastkowe.

J. Chaber 3. Postać Jordana II 3 Postać Jordana II Zestaw 3. Niech A = 0 0 0 3 0 3 3 0, A = 5 8 3 0 3 5 0 0 0 0 0 0 a) Zbadać, czy macierz A jest podobna do macierzy A. będą macierzami z M 4 4(R). b) Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne k takie, że macierz A k jest podobna do A. Wskazówka. Dla i =, wyznaczyć postać Jordana K i macierzy A i, a następnie skorzystać z faktu, że macierz A k jest podobna do macierzy Kk.. Niech A = 5 0 0 4 0 0 0 3 3 0 0 3, A = 0 3 4 0 0 0 3 a) Zbadać, czy macierz A jest podobna do macierzy A. będą macierzami z M 4 4(R). b) Wyznaczyć wszystkie s, t R takie, że macierz sa + ti jest podobna do A. Wskazówka. Dla i =, wyznaczyć postać Jordana K i macierzy A i, a następnie skorzystać z faktu, że macierz sa + ti jest podobna do macierzy sk + ti (bo obie są macierzami endomorfizmu sϕ + tid, gdzie ϕ : R 4 R 4 jest endomorfizmem odpowiadającym macierzy A ). 3. Dane są macierze rzeczywiste A = 0 0 0 0 0 0 0, B t = 0 0 t 0 0 0 0 0 a) Dla jakich wartości parametru t R macierze A i B t są podobne., t R. b) Dla endomorfizmu ϕ : R 4 R 4 takiego, że M(ϕ) st st = A znaleźć ϕ-niezmienniczą podprzestrzeń wymiaru 3 (podprzestrzeń W R 4 jest ϕ-niezmiennicza jeśli ϕ(w ) W ). Uwaga. Zadanie jest zmodyfikowaną wersją zadania z kolokwium z kwietnia 0. 4. Niech ϕ : V V będzie endomorfizmem n-wymiarowej przestrzeni liniowej V nad ciałem C i w(λ) = a 0 + a λ +... + a m λ m wielomianem z Cx] takim, że w(ϕ) = a 0 id +a ϕ +... + a m ϕ m = 0. a) Pokazać, że jeśli µ C jest wartością własną ϕ, to µ jest pierwiastkiem wielomianu w. Wskazówka. Obliczyć w(ϕ)(α) dla niezerowego wektora α ker (ϕ µid). b) Pokazać, że jeśli w(λ) = (λ λ )(λ λ ) dla λ λ, to ϕ jest diagonalizowalny. Wskazówka. Korzystając z równości w(ϕ) = (ϕ λ id) (ϕ λ id) = 0, pokazać, że w postaci Jordana macierzy endomorfizmu ϕ nie ma klatek wymiaru większego niż. Uwaga. Dla w(λ) = λ λ z 4 można wywnioskować, że ϕ jest rzutem wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ = ϕ. Dla w(λ) = λ z 4 można wynioskować, że ϕ jest symetrią wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ = id. Obie te charakteryzacje (i 4 b)) można udowodnić bezpośrednio, bez użycia twierdzenia Jordana.

J. Chaber 3. Postać Jordana II 3 Rozwiązania zadań z zestawu 3. a) Macierz A jest blokowo trójkątna więc w A (λ) = (λ 0λ+)(λ λ+) = ( λ)( λ) 3. Sprawdzimy, czy w A (λ) = w A (λ) badając rzędy macierzy A + I i (A I) k, k =,, 3. Mamy r(a + I) = r A I = (A I) = 3 0 0 0 3 0 0 3 3 0 0 0 0 3 0 3 3 (A I) 3 = 0 0 0 0 3 0 3 3 0 0 0 0 3 0 3 3 = 3 0 0 0 0 0 0 3 0 0 3 = bo dwie ostatnie kolumny są zależne, a w dolnym lewym rogu jest (zaznaczony) niezerowy minor wymiaru 3. 0 0 0 0 0 6 6 6 6 0 0 0 0 0 6 6 6 6 = 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 ma rząd ; 0 0 0 0 0 0 0 0 9 9 ma rząd 3; ma rząd. Z powyższych wyliczeń wynika, że ( λ)( λ) 3 dzieli w A (λ), więc w A (λ) = w A (λ). Dla macierzy A sytuacja jest prostsza, bo znając jej wielomian charakterystyczny wiemy, że r(a + I) = 3 i r(a I) 3 =. Musimy tylko sprawdzić, czy rzędy iteracji A I są takie same jak rzędy iteracji A I. r(a I) = r 6 8 3 0 3 4 0 0 0 0 0 = 3 bo dwie pierwsze kolumny są zależne, a w górnym prawym rogu jest (zaznaczony) niezerowy minor wymiaru 3. Macierz A ma tylko jeden wektor własny dla trzykrotnej wartości własnej λ =. W postaci Jordana A jest więc jedna klatka wymiaru 3 dla λ =. Zatem A jest podobna do A Uwaga. Badając rzędy iteracji A I można było poprzestać na wyliczeniu r(a I) =, bo stąd wynika już, że w A (λ) jest podzielne przez ( λ)( λ) (krotność λ = jest 4 r(a I) ) i czwarty czynnik wielomianu można obliczyć z tr(a ) ( + + ) =. Skoro jednak policzyliśmy macierze (A I) 3 i A + I, to warto zauważyć, że z uwagi po dowodzie twierdzenia o rozkładzie na podprzestrzenie pierwiastkowe wynika, że: K((A I) 3 ) = N(A + I) (kolumny macierzy (A I) 3 spełniają jednorodny układ równań (A + I)X = 0) oraz K(A + I) = N((A I) 3 ) (kolumny macierzy A + I spełniają jednorodny układ równań (A I) 3 X = 0). b) Niech K będzie postacią Jordana macierzy A i A. Wtedy 0 0 0 ( ) k 0 0 0 k(k ) 0 0 K = 0 0 i Kk 0 k = 0 0 k 0 0 0 0 0 0 (w k-tej potędze klatki Jordana dla λ występują współczynniki dwumianu Newtona mnożone przez odpowiednie potęgi λ). Zatem dla k parzystych w K k(λ) = ( λ) 4 w K (λ), a dla k nieparzystych w K k(λ) = w K (λ) i r(k k I) = 3. Stąd A k jest podobna do A wtedy i tylko wtedy, gdy k jest nieparzyste.

J. Chaber 3. Postać Jordana II 4. a) Macierz A jest blokowo trójkątna więc w A (λ) = (λ 4λ+3)(3 λ)( λ) = (3 λ) ( λ). Sprawdzimy, czy w A (λ) = w A (λ) badając rzędy macierzy (A I) k i (A 3I) k, k =,. Mamy r(a I) = r r(a 3I) = r 0 3 3 0 0 0 3 3 0 0 0 0 = 3 = bo drugi wiersz jest równy trzeciemu, a po skreśleniu trzeciego wiersza i kolumny dostajemy niezerowy minor wymiaru 3. bo dwie pierwsze kolumny są bazą przestrzeni kolumn K(A 3I) (zależności między kolumnami są ciekawsze, bo dają wektory własne). Wiemy już, że w A (λ) jest podzielne przez ( λ)(3 λ). Czwarty czynnik wielomianu można (bez liczenia (A I) ) obliczyć z tr(a ) ( + 3 + 3) =. Zatem w A (λ) = w A (λ) (a z policzonych już rzędów wiemy, że r(a 3I) = r(a I) = ). Pozostaje zbadać, czy rzędy A I oraz A 3I są takie jak dla macierzy A. r(a I) = r 4 0 0 4 0 0 0 3 0 0 3 0 = bo dwie pierwsze kolumny są bazą przestrzeni kolumn K(A I). Macierz A nie jest podobna do macierzy A, bo dla wartości własnej λ = macierz A ma jedną klatkę wymiaru, a A ma dwie klatki wymiaru. b) Żeby wyznaczyć postać Jordana dla A musimy jeszcze obliczyć 0 0 bo dwie ostatnie kolumny są zależne, 4 4 0 0 r(a 3I) = r 0 3 0 0 = 3 a w dolnym lewym rogu jest (zaznaczony) niezerowy minor wymiaru 3. 0 3 Niech K i będzie postacią Jordana macierzy A i. Wtedy K = 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 3, K = 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 i sk + ti = Jeśli sk + ti jest podobna do K, to s + t = 3 i 3s + t =. ] ] ] s 3 Mamy więc układ równań =. 3 t Redukujemy macierz rozszerzoną do postaci schodkowej ] ] 3 3 i odczytujemy rozwiązanie 3 0 8 s + t 0 0 0 0 s + t 0 0 0 0 3s + t s 0 0 0 3s + t s, t ] =?, 4 ] =, 4]. Znaleźliśmy warunki konieczne. Trzeba teraz zauważyć, że te warunki są dostateczne, bo 3 0 0 0 0 3 0 0 macierz K + 4I = 0 0 jest podobna do K. 0 0 0.

J. Chaber 3. Postać Jordana II 5 3. a) Macierz B t jest trójkątna, a macierz A blokowo trójkątna więc w A (λ) = ( λ) (λ λ+) = ( λ) 4 = w Bt (λ). Musimy wyznaczyć t tak, by rzędy iteracji macierzy A I i B t I były takie same. r(a I) = r r(a I) = r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = ; = ; r(b t I) = r r(b t I) = r 0 0 0 0 t 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 t + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = dla t R. = t. Postać Jordana A ma więc klatki wymiaru i wymiaru 3, a macierz B t ma taką samą postać Jordana (jest podobna do A) wtedy i tylko wtedy, gdy t. b) Niech A = (α, α, α 3, α 4 ) będzie bazą Jordana dla A. 0 0 0 0 0 0 Wtedy M(ϕ) A A = 0 0 0 0 = 0 0, co pokazuje, że jako W można przyjąć 0 0 0 0 0 0 0 0 lin(α, α 3, α 4 ) (pierwszy podział na bloki) lub lin(α, α, α 3 ) (drugi podział na bloki). Uwaga. Z iteracji A I w a) widać, że dla ψ = ϕ id ψ ψ ψ ψ ε 4 0,,, ], 0, 0, 0] 0 i 0,,, ] 0. Zatem bazą Jordana dla ϕ dającą macierz z b) jest układ A = (0,,, ],, 0, 0, 0], 0,,, ], 0, 0, 0, ]). 4. a) Jeśli µ C jest wartością własną ϕ, to istnieje niezerowy wektor α V taki, że ϕ(α) = µα. Wtedy 0 = w(ϕ)(α) = a 0 α + a ϕ(α) +... + a m ϕ m (α) = a 0 α + a µα +... + a m µ m α = w(µ)α. Z α 0 mamy więc w(µ) = 0. b) Z a) w ϕ (λ) = (λ λ) n (λ λ) n. Dla dla i =, różnica rzędów r(ϕ λ i id) r(ϕ λ i id) jest liczbą klatek Jordana wymiaru większego niż dla wartości własnej λ i. Pokażemy, że r(ϕ λ i id) = r(ϕ λ i id). Mamy (ϕ λ id) = (ϕ λ id) (ϕ λ id) = (ϕ λ id) (ϕ λ id) + (λ id λ id)] = (ϕ λ id) (ϕ λ id)+(ϕ λ id) (λ id λ id) = (ϕ λ id) (λ λ )id = (λ λ )(ϕ λ id). Z λ λ otrzymujemy więc r(ϕ λ id) = r(ϕ λ id). Podobnie dla i =, (ϕ λ id) = (λ λ )(ϕ λ id), więc r(ϕ λ id) = r(ϕ λ id). Uwaga. Dowód 4 b) bez użycia twierdzenia Jordana wykorzystuje rozkład = λ λ (λ λ )+ λ λ (λ λ ), który daje rozkład identyczności id = λ λ (ϕ λ id) + λ λ (ϕ λ id) i w konsekwencji rozkład V = im (ϕ λ id)+im (ϕ λ id). Z w(ϕ) = (ϕ λ id) (ϕ λ id) = (ϕ λ id) (ϕ λ id) = 0 mamy im (ϕ λ id) ker (ϕ λ id) i im (ϕ λ id) ker (ϕ λ id), więc V = ker (ϕ λ id)+ker (ϕ λ id), a oczywista równość ker (ϕ λ id) ker (ϕ λ id) = {0} daje V = ker (ϕ λ id) ker (ϕ λ id), co oznacza, że ϕ jest diagonalizowalny.

J. Chaber 4. Struktura afiniczna 6 4 Struktura afiniczna Kombinacje afiniczne w przestrzeni liniowej. Struktura liniowa przestrzeni liniowej V nad ciałem K jest wyznaczona przez operacje dodawania wektorów i mnożenia wektora przez skalar, które można zastąpić operacją kombinacji liniowej wektorów. Kombinacją afiniczną w przestrzeni liniowej V nad ciałem K nazywamy kombinację liniową j a jα j taką, że j a j = (wynik takiej kombinacji nazywa się też środkiem ciężkości, a jej współczynniki wagami). Kombinacje afiniczne wyznaczają na V strukturę afiniczną, bogatszą od struktury liniowej (podzbiory V zamknięte ze względu na kombinacje liniowe są oczywiście zamknięte ze względu na kombinacje afiniczne.) Powłoka afiniczna af(α 0, α,..., α k ) układu (α 0, α,..., α k ) wektorów V. Powłoką afiniczną układu A = (α 0, α,..., α k ) nazywamy zbiór af(a) kombinacji afinicznych układu A. Jeśli k j=0 a j α j jest kombinacją afiniczną i α V, to k j=0 a j α j = α + k j=0 a j (α j α) (bo α + k j=0 a j (α j α) = α + k j=0 a j α j k j=0 a j α = α + k j=0 a j α j α = k j=0 a j α j ). Dla α = α 0 mamy wzór ( 0 ) kj=0 a j α j = α 0 + k j= a j (α j α 0 ). Ponieważ po prawej stronie tego wzoru nie występuje waga a 0, dostajemy stąd wzór ( ) af(α 0, α,..., α k ) = α 0 + lin(α α 0,..., α k α 0 ). W obu wzorach α 0 można zastąpić przez α i (bo kolejność po lewej stronie nie jest istotna). Warstwa α + W podprzestrzeni W V o początku w α V. Warstwą α + W podprzestrzeni W V o początku w α V nazywamy zbiór α + W = {α + γ : γ W }. Jeśli β α+w, to β+w = α+w (bo β = α+γ, γ W, to β+w = (α+γ)+w = α+(γ+w ) = α+w ). Jako początek α + W można więc przyjąć dowolne β α + W. Wymiarem α + W nazywamy dim W. Warstwy (w szczególności powłoki afiniczne, zob. ( ) ) są oczywiście zamknięte ze względu na kombinacje afiniczne. Niżej pokażemy, że podzbiory V zamknięte ze względu na kombinacje afiniczne są warstwami. Terminologia afiniczna. W języku afinicznym elementy przestrzeni V będziemy nazywali punktami i oznaczali literami p, q, r. Punkty K n będziemy oznaczali przez (x,..., x n ) (w nawiasach okrągłych; wektory w kwadratowych). Powłoka afiniczna H = af(p 0,..., p k ) układu punktów jest warstwą podprzestrzeni liniowej W V. Po wybraniu punktu p H (punktu początkowego) punkty q H zapisują się jednoznacznie w postaci q = p + γ, gdzie γ W. Mówimy, że punkt q jest końcem wektora γ zaczepionego w p; piszemy γ = pq. W terminologii afinicznej wzory łączące kombinacje afiniczne z kombinacjami liniowymi mają postać ( 0 ) kj=0 a j p j = p 0 + k j= a j p0 p j, ( ) af(p 0, p,..., p k ) = p 0 + lin( p 0 p,..., p 0 p k ). Przestrzeń W = lin( p 0 p,..., p 0 p k ) = { p 0 q : q H} = { pq : p, q H} nazywamy przestrzenią wektorów swobodnych H i oznaczamy przez H (mówimy też, że W jest przestrzenią styczną, oznaczamy T (H)). Podprzestrzenie afiniczne n-wymiarowej przestrzeni liniowej V. Podprzestrzenią afiniczną V nazywamy podzbiór H zamknięty ze względu na kombinacje afiniczne. Niech H będzie podprzestrzenią afiniczną V i niech p 0 H. Pokażemy, że H jest warstwą w V Jeśli H = af(p 0 ), to H jest zbiorem jednopunktowym. Jeśli nie, to istnieje p H \ af(p 0 ). Jeśli H = af(p 0, p ) = p 0 + lin( p 0 p ), to H jest prostą afiniczną. Jeśli nie, to istnieje p H \ af(p 0, p ). Jeśli H = af(p 0, p, p ) = p 0 + lin( p 0 p, p 0 p ), to H jest płaszczyzną afiniczną.... W ten sposób kolejno wybieramy punkty p 0,..., p j H takie, że układ ( p 0 p,..., p 0 p j ) jest liniowo niezależny (bo p j af(p 0,..., p j ) = p 0 +lin( p 0 p,..., p 0 p j ) oznacza, że p 0 p j lin( p 0 p,..., p 0 p j )). Z warunku dim V = n wynika, że H = af(p 0,..., p k ) = p 0 + lin( p 0 p,..., p 0 p k ) dla pewnego k n i układu punktów (p 0,..., p k ) takiego, że układ wektorów ( p 0 p,..., p 0 p k ) jest bazą H. Układ punktów (p 0,..., p k ) nazywamy afinicznie niezależnym jeśli warstwa af(p 0,..., p k ) ma wymiar k.

J. Chaber 4. Struktura afiniczna 7 Układ bazowy i baza punktowa podprzestrzeni afinicznej H V. Układem bazowym H nazywamy układ (p 0 ; γ,..., γ k ), gdzie p 0 H i (γ,..., γ k ) jest bazą H. Bazą punktową H nazywamy układ punktów (p 0,..., p k ) taki, że (p 0 ; p 0 p,..., p 0 p k ) jest układem bazowym H. Podprzestrzenie afiniczne K n rozwiązania układów równań. Zbiór rozwiązań układu równań AX = B jest warstwą H K n wymiaru p = n r(a) taką, że H jest zbiorem rozwiązań układu jednorodnego AX = 0 (bo rozwiązania układu AX = B są postaci X 0 + t X +... + t p X p, gdzie X 0 jest rozwiązaniem AX = B, (X,..., X p ) jest bazą rozwiązań AX = 0, a t,..., t p K; w szczególności układ (X 0 ; X,..., X p ) jest układem bazowym H). Warstwa X 0 + W K n jest zbiorem rozwiązań układu AX = B, gdzie AX = 0 opisuje W, a B = AX 0. Zestaw 4. Niech H = af((, 3,, 3), (, 0, 6, ), (0,,, ), (3, 3, 4, 4)) będzie podprzestrzenią afiniczną R 4. a) Znaleźć układ bazowy i bazę punktową przestrzeni H. b) Znaleźć układ równań opisujący H.. Warstwa H R 4 jest opisana układem równań x + x + x 3 + x 4 = 3x + x + x 3 + x 4 = 5 x + 7x + x 3 + 3x 4 = Niech M będzie warstwą równoległą do H (w ścisłym sensie: M = H) zawierającą p = (,,, ). a) Znaleźć układ bazowy i bazę punktową M oraz układ równań opisujący M. b) Znaleźć przecięcie warstwy H z prostą L = (,,, 5) + lin(,,, ]). 3. Niech p = (,, ) R 3 i L = (, 3, 5) + lin(,, ]) R 3 a) Znaleźć równanie płaszczyzny w H R 3 zawierającej punkt p i prostą L. b) Niech prosta L będzie opisana układem równań { x x + x 3 = 7 3x x + x 3 = 7 Sprawdzić, że istnieje prosta K R 3 zawierająca p i przecinająca proste L oraz L i znaleźć punkty przecięcia prostej K z prostymi L i L Wskazówka. Jeśli q L H i q af(p, q ) L, to K = af(p, q ) (gdyby jedno z tych przecięć było puste, to nie istniałaby prosta K przecinająca L i L ). 4. Niech p + W oraz q + U będą warstwami w przestrzeni liniowej V nad ciałem K. a) Pokazać, że jeśli r (p + W ) (q + U), to (p + W ) (q + U) = r + (W U). b) Pokazać, że (p + W ) (q + U) wtedy i tylko wtedy, gdy pq W + U.

J. Chaber 4. Struktura afiniczna 8 Rozwiązania zadań z zestawu 4. Niech p 0 = (0,,, ), p = (, 3,, 3), p = (, 0, 6, ) i p 3 = (3, 3, 4, 4). Wtedy przestrzeń H jest rozpięta przez wektory p 0 p =,, 0, ], p 0 p =,, 4, ] i p 0 p 3 = 3,,, 3]. Zredukujemy macierz mającą w kolumnach wektory p 0 p, p 0 p, p 0 p 3, ε, ε, ε, ε. 3 0 0 0 7 3 0 0 0 = 0 0 0 4 0 0 0 3 0 4 0 0 0 7 0 4 0 0 0 7 3 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = = 0. a) Układem bazowym H jest (p 0 ; p 0 p, p 0 p ) (bo macierz zredukowana ma schodki w pierwszych dwóch kolumnach), a bazą punktową (p 0, p, p ). b) Układ równań AX = B opisujący H ma macierz (z dolnego prawego bloku macierzy zredukowanej). ] ] 0 ] 0 0 4 A =, a B = 0 0 0 0 =.. a) Znamy punkt p M. Podanie układu bazowego wymaga znalezienia bazy M, czyli bazy rozwiązań jednorodnego układu równań, którego macierz jest macierzą układu równań opisującego H (bo M = H). Redukujemy tę macierz do postaci schodkowej. 3 7 3 5 7 3 0 5 0 5 = 8 8 0 5 0 0 0 0 Za zmienne niezależne warto przyjąć x, x 4. Dostajemy wtedy rozwiązania 0 5 0 0 0 0 α =?,,?, 0] =?,, 5, 0] = 3,, 5, 0], α =?, 0,?, ] =?, 0,, ] =, 0,, ]. Układem bazowym M jest układ ((,,, ); 3,, 5, 0],, 0,, ]), a bazą punktową układ punktów ((,,, ), (4,, 6, ), (,, 3, 0])). Układ równań opisujący M ma postać AX = B, gdzie A jest macierzą wierszowo równoważną z macierzą układu opisującego H, a B = AX 0, gdzie X 0 jest kolumną współrzędnych p M. Bezpiecznie dać odpowiedź niezależną od wcześniejszych wyliczeń x x 3 x 7 3 3 = (inny układ opisujący M: 0 5 3 x 4 b) Wstawiając współrzędne punktu z przedstawienia parametrycznego L do układu opisującego H dostajemy układ równań na parametr (z a) wiemy, że trzecie równanie można pominąć). 3 + t 0 3 = 8 + t = 5. 7 3 3 5 Stąd t = 3 i jedynym punktem H L jest (,,, ).. ] x x x 3 x 4 = ] ).

J. Chaber 4. Struktura afiniczna 9 3. a) Przestrzeń wektorów swobodnych H płaszczyzny H zawiera wektor kierunkowy α L =,, ] prostej L i wektor pr, gdzie p = (,, ) i r = (, 3, 5) L. Zatem pr = 3, 4, 4], a współczynniki a, a, a 3 równania jednorodnego opisującego H spełniają warunki ] a a a 3 3 4 4 = 0 0 0 0 ]. Transponując obie strony dostajemy jednorodny układ ] 3 4 4 ] a równań a 3 4 4 =. Redukujemy a 3 i z postaci schodkowej odczytujemy rozwiązanie?,?, ] =?,, ] = 4,, ]. ] 4 0 Wyraz wolny b dobieramy tak, by p = (,, ) spełniał równanie 4 Zatem b = 4 ] ] ] x x x 3 = 5 i H jest opisana równaniem 4x + x + x 3 = 5. = = b. b) Przecięcie L z H jest opisane układem trzech równań (do dwóch równań opisujących L dopisujemy równanie opisujące H). Redukujemy macierz rozszerzoną tego układu 7 8 7 = 7 = 3 7 0 0 4 4 0 4 = 4 5 4 0 3 6 33 36 0 0 3 4 i z postaci schodkowej odczytujemy rozwiązanie q = (?,?, 7) = (?, 3, 7) = (3, 3, 7). Prosta af(p, q ) = p + lin( pq ) = (,, ) + lin(4, 4, 6]) nie jest równoległa do L i leży w płaszczyźnie H, więc K = af(p, q ) jest prostą zawierającą p i przecinającą proste L oraz L. Punkt q K L znajdziemy porównując przedstawienia parametryczne p + t pq = r + sα L, czyli t pq = sα L + pr. W tym równaniu t traktujemy jako niewiadomą, a s jako parametr. 4 3 t 4 = s + 4. 6 4 Redukując (jednokolumnową) macierz współczynników do postaci schodkowej 4 3 8 4 3 8 = 4 4 0 5 0 6 4 6 4 0 4 ] ] ] 0 dostajemy (w prawym dolnym bloku) warunki s + = na parametr s 0 równoważne istnienie rozwiązania t. Mamy s =, więc q = (, 3, 5),, ] = (,, 4). 4. a) Jeśli r (p + W ) (q + U), to p + W = r + W i q + U = r + U, więc (p + W ) (q + U) = (r + W ) (r + U) = r + (W U). b) Jeśli r (p + W ) (q + U), to r = p + α = q + β dla α W i β U. Wtedy pq = α + ( β) W + U. Jeśli pq = α + γ W + U, to r = p + α = q + ( γ) (p + W ) (q + U).

J. Chaber 5. Przekształcenia afiniczne 0 5 Przekształcenia afiniczne Przekształcenia afiniczne. Niech H V i M W będą warstwami w przestrzeniach liniowych V, W nad ciałem K. Funkcję f : H M nazywamy przekształceniem afinicznym jeśli dla pewnego p H istnieje przekształcenie liniowe f : H M zwane częścią liniową f takie, że dla każdego q H ( ) f(q) = f(p) + f( pq). Równoważnie (podstawiając q = p + α), dla każdego α H ( ) f(p + α) = f(p) + f(α). Część liniowa jest jednoznacznie wyznaczona przez f i nie zależy od wyboru p (bo dla r H mamy pq = pr + rq, więc f(q) = f(p) + f( pq) = f(p) + f( pr + rq) = f(p) + f( pr) + f( rq) = f(r) + f( rq)). Jeśli f : H M i g : M N są przekształceniami afinicznymi, to ich złożenie g f : H N też jest przekształceniem afinicznym i g f = g f (bo g(f(p + α)) = g(f(p) + f(α)) = g(f(p)) + g( f(α))). Przekształcenia afiniczne f : K n K m. Wybierając w ( ) p = 0 dostajemy f(x) = AX + B, gdzie X i B = f(0) są kolumnami i A = M( f) st st. Przekształcenia afiniczne zachowują kombinacje afiniczne. Niech f : H M będzie przekształceniem afinicznym, a k j=0 a j p j kombinacją afiniczną w H. Wtedy f( k j=0 a j p j ) = k j=0 a j f(p j ) (bo, z ( 0 ) z zestawu 4, f( k j=0 a j p j ) ( 0) = f(p 0 + k j= a j p0 p j ) ( ) = f(p 0 ) + f( k j= a j p0 p j ) = f(p 0 ) + k j= a jf( p0 p j ) ( ) = f(p 0 ) + k j= a j f(p 0 )f(p j ) ( 0) = k j=0 a j f(p j )). Zadawanie przekształceń afinicznych. Przekształcenie afiniczne f : H M jest jednoznacznie wyznaczone przez zadanie obrazu f(p) punktu p i części liniowej f. Zatem f jest wyznaczone przez wartości f(p 0 ) i f(γ ),..., f(γ n ) na układzie bazowym (p 0 ; γ,... γ n ) w H, lub przez wartości f(p 0 ),..., f(p n ) na bazie punktowej (p 0,..., p n ) w H (bo z ( ) f( p 0 p j ) = f(p 0 )f(p j ) dla j =,..., n). Izomorfizmy afiniczne f : H M. Przekształcenie afiniczne f jest izomorfizmem afinicznym jeśli część linowa f jest izomorfizmem liniowym. Wtedy g : M H zadane przez g(f(p)) = p i g = f jest odwrotne do f (bo g f = id H i f g = id M ). Współrzędne punktu w układzie bazowym. Niech (p 0 ; A) = (p 0 ; γ,... γ n ) będzie układem bazowym w H. Jeśli q = p 0 + n j=0 x j γ j H, to x,..., x n (współrzędne wektora p 0 q w bazie A) nazywamy współrzędnymi punktu q w układzie bazowym (p 0 ; A). Przekształcenie f : H K n zadane warunkami f(p 0 ) = 0; f(γ ) = ε,..., f(γ n ) = ε n jest izomorfizmem afinicznym przeprowadzającym punkt q H na jego współrzędne w układzie bazowym (p 0 ; A) (bo f(q) = f(p 0 + n j=0 x j γ j ) = 0 + n j=0 x j ε j = (x,..., x n )). Badanie własności H często redukuje się do obliczeń we współrzędnych odpowiednio dobranego układu bazowego. Czasem wygodnie jest liczyć na współrzędnych z dopisaną na końcu jedynką (dopisanie do X K n jedynki jest izomorfizmem afinicznym K n na warstwę H n K n+ opisaną równaniem x n+ = ). Afiniczna niezależność w K n. Dla punktu X K n przez X będziemy oznaczać X, ] H n. Układ punktów (X 0,..., X k ) jest afinicznie niezależny w K n wtedy i tylko wtedy, gdy układ wektorów ( X 0,..., Xk ) jest liniowo niezależny w K n+ (bo lin( X 0, X,..., Xk ) = lin( X 0, X X 0,..., Xk X 0 ) i X0 lin( X X 0,..., Xk X 0 ) H n, więc dim(lin( X 0, X,..., Xk ) = + dim(lin( X X 0,..., Xk X 0 )) = + dim(lin( X 0, X,..., X 0, X k ))).

J. Chaber 5. Przekształcenia afiniczne Zestaw 5. Niech p 0 = (,, ), p = (,, ), p = (, 0, ), p 3 = (,, ) oraz q 0 = (,, ), q = (3, 3, ), q = (,, 0), q 3 = (3,, 0). a) Znaleźć wzór na przekształcenie afiniczne f : R 3 R 3 takie, że f(p j ) = q j dla i = 0,,, 3. b) Znaleźć układ bazowy obrazu f(r 3 ) i układ bazowy przeciwobrazu f (L) prostej L, gdzie L = af(q 0, q ).. Przekształcenie afiniczne f : R 3 R 3 jest zadane wzorem f(x, x, x 3 ) = ( + x + x + x 3, + x + x + x 3, + x + x + 5x 3 ). a) Znaleźć układ równań opisujący warstwę będącą obrazem f(h a ) płaszczyzny H a opisanej równaniem 5x + x + x 3 = 3. b) Znaleźć układ równań opisujący warstwę będącą przeciwobrazem f (H b ) płaszczyzny H b opisanej równaniem y + y y 3 =. 3. w przestrzeni V nad K dane są afinicznie niezależne punkty p 0, p, p. a) Niech q = ( a)p 0 + ap i q = ( b)p 0 + bp. Pokazać, że wektory p p, q, q są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy a = b. Wskazówka. Policzyć współrzędne punktów p, p, q, q w układzie bazowym (p 0 ; p 0, p, p 0, p ) płaszczyzny af(p 0, p, p ) i skorzystać z faktu, że wektory Y, Z K są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy dety T, Z T ] = 0. b) Niech r 0 = ( a)p + ap, r = ( b)p + bp 0, r = ( c)p 0 + cp. Pokazać, że r 0, r, r są afinicznie zależne wtedy i tylko wtedy, gdy abc+( a)( b)( c) = 0. Wskazówka. Policzyć współrzędne punktów r 0, r, r w układzie bazowym (p 0 ; p 0, p, p 0, p ) płaszczyzny af(p 0, p, p ) i skorzystać z faktu, że punkty X 0, X, X K są afinicznie zależne wtedy i tylko wtedy, gdy detx 0, ] T, X, ] T, X, ] T ] = 0. Uwaga. Punkt a) można interpretować jako twierdzenie Talesa, a b) jako twierdzenie Menelaosa.