METOY KOMPUTEROWE METOA WAŻONYCH REZIUÓW Mchł PŁOTKOWIAK Adm ŁOYGOWSKI Konsultcje nukowe dr nż. Wtold Kąkol Poznń / METOY KOMPUTEROWE METOA WAŻONYCH REZIUÓW Metod wżonych rezduów jest slnym nrzędzem znjdown przylżonych rozwązń równń różnczkowych często spotyknych w prolemch nżynerskch. Wprowdzene Równn różnczkowe w ogólny sposó możn zpsć jko: A B d () φ dzedzn ( Κ ) () φ d wrunek rzegowy gdze φ - rozwązne dokłdne. N przykłd równne postc: φ λ φ φ φ y ( ) A ( ) B (.) (.) z wrunkem rzegowym: φ ( y) φ (.) Oznczmy rozwązne przylżone jko φ : A( φ ) φ A R (.) Poltechnk Poznńsk Mchł Płotkowk Adm Łodygowsk
METOY KOMPUTEROWE METOA WAŻONYCH REZIUÓW stąd R nzywmy resduum (reszt łąd). Ponewż rozwązne dokłdne pomnożone przez mcerz dje : ( φ ) A (.5) to smo rozwązne pomnożone przez pewną lczę (funkcję): ( φ ) Opertor mnożymy przez v (lczę funkcję). Cłkujemy po oszrze (dzedzne ): v A (.6) A ( φ ) v A d ( φ ) d (.7) Z rcj że rozwązne przylżone jest różne od zer to cłk z tego rozwązn równeż spełn zleżność: d v A φ (.8) CEL METOY WAŻONYCH REZIUÓW Celem metody jest dorne funkcj v którą zstępuje tu funkcj wgow w y spełnony ył wrunek: d n w A φ... (.9) Wyór funkcj wgowych różncuje wersje metody wżonych rezduów np.: w metodze RITZA przyjmujemy funkcję w φ spełn dodtkowe wrunk rzegowe. Poltechnk Poznńsk Mchł Płotkowk Adm Łodygowsk
METOY KOMPUTEROWE METOA WAŻONYCH REZIUÓW Wrunk rzegowe dl cłk (.9): B ( φ ) R w R d (.) w R d w Rd Zkłdmy że φ spełn wrunk rzegowe. Rozwązne dokłdne: A ( φ ) w Rd (.) Metod wżonych rezduów: w Rd w Rd (.) Funkcje wgowe doermy w ten sposó y sum możlwych łędów po wycłkownu po cłej dzedzne wynosł. Przykłd: ( ( ) ) Rozwązne dokłdne: y Acos ( λ) Bcos( λ) Poltechnk Poznńsk Mchł Płotkowk Adm Łodygowsk
METOY KOMPUTEROWE METOA WAŻONYCH REZIUÓW Poltechnk Poznńsk Mchł Płotkowk Adm Łodygowsk Rozwązne przylżone przyjmujemy w postc: () () () () - m spełnć wrunk rzegowe yć możlwe njmnejszego rzędu: () [ ] T Fgure : Ect Soluton.5.5 φ φ λ
METOY KOMPUTEROWE METOA WAŻONYCH REZIUÓW Poltechnk Poznńsk Mchł Płotkowk Adm Łodygowsk 5 o równn różnczkowego podstwmy przylżone funkcje: () λ σ d d R d d Postulujemy y: Rd w - lcz funkcj prónych λ d d R Rd w METOA PUNKTU KOLOKACJI W tej wersj metody wżonych rezyduów z funkcję wg przyjmuje sę wyrżene: w δ (.) gdze δ pełn funkcję delty Kronecker. c.d. przykłdu 58 99 d R d R
METOY KOMPUTEROWE METOA WAŻONYCH REZIUÓW 6 Fgure : Soluton Usng the Pont Collocton Method.5 5 7.5.5.5.5.5 Ect Soluton Pont Collocton METOA POOBSZARÓW KOLOKACJI: Funkcje wg w tej metodze doer sę w tk sposó że ch wrtośc są równe w dnej częśc oszru ntomst w pozostłej częśc oszru są równe. Podoszrów kolokcj defnuje sę tyle le jest przyjętych funkcj prónych. w (.) Poltechnk Poznńsk Mchł Płotkowk Adm Łodygowsk
METOY KOMPUTEROWE METOA WAŻONYCH REZIUÓW 7 splt λ d φ d λ φ.5.5 Ect Soluton Sudomn Collocton METOA GALERKINA W metodze Glerkn rolę funkcj wgowej pełn funkcj prón. Zkłdmy węc że w ()Q (). () () () () m () m... (.5) () - funkcj prón określjąc rozwązne przylżone. w ()Q () Poltechnk Poznńsk Mchł Płotkowk Adm Łodygowsk
METOY KOMPUTEROWE METOA WAŻONYCH REZIUÓW 8 Fgure : Soluton Usng Glerkn's Method λ d φ d λ φ.5.5 Ect Soluton Sudomn Collocton PORÓWNANIE WSZYSTKICH METO: Fgure : Plot of the Appromte Soluton d φ d λ φ λ.5.5 Poltechnk Poznńsk Mchł Płotkowk Adm Łodygowsk
METOY KOMPUTEROWE METOA WAŻONYCH REZIUÓW 9 c.d. kolejny wykłd W przypdku wątplwośc zprszm n stronę nstytutową www.k.poznn.pl gdze możn znleźć skrypt PP Tomsz Łodygowsk Wtold Kąkol Metod elementów skończonych w wyrnych zgdnench mechnk konstrukcj nżynerskch W rozdz. możn znleźć węcej n ten temt. Poltechnk Poznńsk Mchł Płotkowk Adm Łodygowsk