Całka z funkcji / Barański Przemysław października ver.
Całka z funkcji / Wstęp Tekst przeznaczony jest raczej dla inżynierów niż matematyków a w szczególności matematyków purystów. W tekście tym starałem się wytłumaczyć jak obliczyć całkę wyrożoną wzorem. Funkcja podcałkowa tj. / występuje w wielu dziedzinach, m.in. w przetwarzaniu sygnałów, elektrotechnice i oznaczana jest przez sinc(). Analiza ww. całki jest istotna przy zrozumieniu wyprowadzenia prostej i odwrotnej transformaty Fouriera. Jak wiadomo, całki tej nie można wyrazić za pomocą funkcji elementarnej. Jakiekolwiek metody całkowania, tj. przez części, podstawienie zawodzą. + Czytając wiele matematycznych tekstów można mieć problemy z utrzymaniem ciągłości wywodu, szczególnie gdy autor stosuje wiele skrótów myślowych i matematycznych trików. Z tych powodów, w tekście starałem się umieścić przykłady obliczeń oraz wykresy ilustrujące istotę rzeczy. Wiedza matematyczna na poziomie szkoły średniej, uzupełniona znajomością podstawowych metod całkowania, powinna wystarczyć do zrozumienia tego tekstu. Niniejsze opracowanie bazuje głównie na źródłach [] oraz []. Bardziej wszechstronne podejście do tematu można znaleźć w [3]. () Funkcja / Dla przypomnienia funkcja / przedstawiona jest na rysunku. Funkcja jest ciągła dla każdych wartości. Jedyna wątpliwość może się nasuwać dla =, którą można rozwiać licząc granicę w punkcie = przy użyciu reguły d l Hospitala wzór. = cos() = () Dla ± funkcja podcałkowa dąży do zera, a sama całka jest zbieżna. Z wykresu widać, że funkcja jest parzysta, a zatem wspomnianą całkę można obliczyć stosując wzór 3. + + = (3) 3 Podstawowe wzory Podczas wykonywania przekształceń będziemy korzystać z kilku elementarnych wzorów. Wzór 4, to tzw. wzór na sinus sumy kątów. sin(a + b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a) (4)
Całka z funkcji / 3 Rysunek : Funkcja / Stąd, łatwo wyprowadzić wzór na sinus kąta podwojonego. Analogicznie, dla różnicy kątów otrzymujemy wzór 5. sin(a b) = sin(a) cos(b) sin(b) cos(a) (5) Idąc dalej, wzory na cosinus sumy oraz różnicy kątów wyrażone są za pomocą 6 oraz 7. cos(a + b) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b) (6) cos(a b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) (7) 9. Odejmując stronami 4 oraz 5 otrzymujemy 8, a po odpowiednim podstawieniu sin(a + b) sin(a b) = sin(a) cos(b) (8) sin(α) sin(β) = sin( α β ) cos( α + β ) (9) Powyższy wzór stanowi podstawę do obliczenia całki /.
4 Całka z funkcji / 4 Lemat Riemanna-Lebesgue Lemat Riemanna-Lebesguea (czyt. rimana-lebeka) jest drugim, obok 9, narzędziem przy obliczaniu całki. Lemat ten mówi, że jeśli funkcja f(t) jest ciągła w przedziale t (a, b) a jej pochodna f (t) jest ograniczona, wówczas całka wyrażona wzorem dąży do. n a f(t) sin(nt)dt = () n jest liczbą wymierną. Weźmy dla przykładu funkcję f(t) = t. Po zastosowaniu metody całkowania przez części otrzymujemy. a t sin(nt)dt = n t cos(nt) b a + n sin(nt) b a () Ponieważ cos(nt) jest funkcją ograniczoną, która oscyluje od do +, wobec tego składnik t cos(nt) maleje w miarę wzrostu parametru n. Podobnie jest dla drugiego składnika, sin(nt), który maleje jeszcze szybciej. Pamiętajmy, że przedział n n całkowania jest ograniczony do skończonego przedziału (a, b). Rysunek przedstawia funkcje t sin(t) oraz t sin(t). Gdy wartość parametru n rośnie, wówczas rośnie liczba oscylacji. Całkę można interpretować jako pole powierzchni pod wykresem, przy czym pole nad osią X liczy się ze znakiem + natomiast pod osią X ze znakiem. Gdy rośnie liczba oscylacji, wówczas pole obejmowane przez pojedynczy grzbiet lub dolinę maleje, ponieważ krzywa staje się węższa. Ponadto pole obejmowane przez grzbiet jest praktycznie kompensowane przez pole następnej doliny. Rozumując bardziej ogólnie, można wyprowadzić wzór na podstawie całkowania przez części. Przy wzroście wartości parametru n odpowiednie składniki dążą do zera. Ze wzoru widać również dlaczego f (t) musi mieć wartość ograniczoną w przedziale (a, b). a f(t) sin(nt)dt = n f(t) cos(nt) b a + n a f (t) cos(nt)dt () Można poczuć chęć stosowania lematu Riemanna-Lebesguea do wielu problemów. Należy jednak pamiętać o założeniach. Wartym zastonowienia się jest przykład 3. Czy wartość tej całki może wynosić? Ilustracja tego problemu znajduje się na rysunku 3, gdzie przedstawiono funkcję sin(nt)/t dla n =. Należy zwrócić uwagę, że dla t = funkcja przyjmuje wartość. sin nt (3) n t Podobnie ma się rzecz dla przykładu 4. Wykres tej funkcji w przedziale od ( π/; π/) przedstawiono na rysunku 4. Obydwie funkcje są łudząco podobne ten sam kształt oraz granice w punkcie = mają identyczne wartości. Wynika to z faktu, że dla małych wartości argumentu, wartości funkcji sinus można aproksymować jej argumentami. Funkcja sin(n)/ w pewien sposób powtarza się,
Całka z funkcji / 5 Rysunek : Funkcja t sin(nt) dla dwóch wartości parametru n, n = oraz n = Rysunek 3: Funkcja sin(nt)/t dla n =. Należy zwrócić uwagę, że w miarę wzrostu n funkcja zawęża się a jej maksymalna wartość rośnie.
6 Całka z funkcji / Rysunek 4: Funkcja sin(n)/ dla n =. ponieważ sama funkcja sin jest okresowa. Ponadto pojawia się problematyczna granica dla t = kπ gdy n nie jest liczbą całkowitą. sin nt (4) n 5 Ciąg dalszy lematu Riemanna-Lebesgue. Funkcje równoważne Idąc dalej, rozważmy całkę przedstawioną wzorem 5. Aby oszczędzić sobie problemów z rozważaniem nieciągłości, górną granicę całkowania przyjmijmy np. π/. Oczywiście możemy przyjąć π ale wtedy dołożymy sobie niepotrzebnie pracy. Od razu widać, że dla t = pojawia się problem. Funkcje /t oraz / są nieokreślone dla t =. Skoro, na pierwszy rzut oka, nie są spełnione warunki dla lematu Riemanna-Lebesguea, jesteśmy skłonni odpowiedzieć, że ta całka nie jest równa. Obliczmy odpowiednią granicę dla t = stosując podwójnie regułę de l Hospitala wzór 6. ( n t ) sin(nt)dt (5)
Całka z funkcji / 7 ( t t { t = = ) t t } { } cos(t) t + t cos(t) = t = (6) = (7) cos(t) + cos(t) t = = (8) Obliczyliśmy granicę funkcji /t / w punkcie t =, która wynosi. Oznacza to, że funkcja jest w tym punkcie określona i jej wartość wynosi. Oznacza to, że wbrew naszym pierwszym przypuszczeniom, możemy stosować lemat Riemanna- Lebesguea, a zatem spełnione jest równanie 9. ( n t ) sin(nt)dt = (9) Przekształcając 9 otrzymujemy. n n t sin(nt)dt n sin(nt)dt = t n sin(nt)dt = () sin(nt)dt () Z drugiej jednak strony, należało się tego spodziewać ponieważ, jak wcześniej widzieliśmy na rysunkach 3 i 4, kształty funkcji sin(nt)/t oraz sin(nt)/ są bardzo podobne w przedziale ( π/, π/). Rozważmy teraz funkcję. n sin(nt) dt () t Stosując podstawienie nt =, n dt = d oraz zmieniając odpowiednio granice całkowania na (, nπ/), otrzymujemy 3. nπ n d = d (3) Porównując 3 do równania 9 otrzymujemy równość 4. d = n sin(nt) dt (4) Równanie 4 posłuży nam do rozwiązania pozostałej części problemu.
8 Całka z funkcji / 6 Suma teleskopowa Suma teleskopowa to szczególny szereg w którym pewne wyrazy ulegają uproszczeniu. Weźmy klasyczny przykład 5. N n(n + ) = + 3 + 3 4 +... + N(N + ) (5) Nie jest to ani szereg arytmetyczny ani geometryczny. Jak obliczyć taką sumę? W wyniku prostego rozłożenia na ułamki otrzymujemy 6. N N n(n + ) = ( n n + ) = + 3 +... + N N + = N + (6) Weźmy kolejny przykład, 7. N sin((n + )t) sin((n )t) = + sin((n + )t) (7) Stosując wzór 9 na różnicę dwóch funkcji sinus, otrzymujemy 8 sin((n + )t) sin((n )t) = cos(nt) (8) W wyniku tego otrzymujemy dosyć ciekawy i przydatny wzór 9. N cos(nt) = + sin((n + )t) (9) Jesteśmy już blisko celu. Czy wzór 9 coś nam przypomina? Podzielmy stronami obydwie strony równania przez oraz uporządkujmy to równanie. Otrzymujemy 3. sin((n + )t) N = cos(nt) + (3) Całki występującej po lewej strony równania 3 nie mogliśmy wcześniej rozwiązać. Zobaczmy co otrzymaliśmy teraz. Po prawej stronie mamy sumę funkcji cosinus którą jesteśmy w stanie, z mniejszym lub większym trudem, policzyć. Spójrzmy jeszcze raz na równanie 4. Obliczmy całkę 3. a sin((n + )t) = ( N sin(nt) + t) b a (3) n
Całka z funkcji / 9 Rysunek 5: Wykres funkcji Si() = Podstawmy za a i b granice z całki 4. dt t π sin((n + )t) = ( N sin(nt) + t) π n = π Czy zamiast b = π/ możemy podstawić b = π? Czy w wyniku całkowania otrzymamy π? Wykorzystując równanie 4 otrzymujemy 33. (3) d = k sin((k + )t) dt = π Ze względu na symetrię funkcji / otrzymujemy już końcowy wynik 34 (33) + + d = d = π (34) Wykres funkcji Si() = dt przedstawiono na rysunku 5. Zauważmy, że t Si() = π/. Dla + funkcja dąży asymptotycznie do π. Literatura [] Lawrence Baggett, Fourier Analysis, http://spot.colorado.edu/ baggett/ [] Chen Guo, A Treatment Of The Dirichlet Integral Via The Methods Of Real Analysis [3] Fischer Hans, Die Geschichte des Integrals /d, eine Geschichte der Analysis in der Nussschale