Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1
Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład zmiennej losowej 3. Rozkłady skokowe: dwupunktowy, dwumianowy 4. Rozkłady ciągłe: normalny 5. Parametry rozkładu
Doświadczenie losowe Przykłady: rzut kostką do gry rzut monetą losowanie kuli z urny losowanie karty z talii kart strzał do celu Mogą być powtarzane wielokrotnie. Doświadczenie losowe to takie doświadczenie, w którym wiadomo z góry, jakie wyniki mogą się pojawić, ale wynik konkretnego doświadczenia poznajemy dopiero po jego przeprowadzeniu. Pojedynczy wynik doświadczenia losowego nazywa się zdarzeniem elementarnym. 3
Opis matematyczny dośw. los. Przykład 1. Doświadczenie losowe D - rzut monetą Wszystkie moŝliwe wyniki (zdarzenia elementarne): orzeł, reszka Zbiór wszystkich moŝliwych wyników: { O, R } Zbiór wszystkich moŝliwych wyników doświadczenia losowego (zdarzeń elementarnych) nazywamy przestrzenią zdarzeń elementarnych, ozn. Ω. 4
Zdarzenie losowe Przykład. Doświadczenie losowe D - rzut kostką do gry Ω = { 1,, 3, 4, 5, 6 } Przyjmujemy, Ŝe kostka jest rzetelna, symetryczna (wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne). A zdarzenie losowe polegające na tym, Ŝe wypadły dokładnie dwa oczka A = { } W nawiasach podajemy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu losowemu A. 5
Przykład cd. B zdarzenie losowe polegające na tym, Ŝe wypadły co najmniej cztery oczka B = { 4, 5, 6 } 6
Moc zbioru Oznaczenie Y moc zbioru Y Moc zbioru Y to liczba elementów tego zbioru. W przykładzie : { 1,, 3, 4, 5, 6 } Ω = Ω = 6 { } A = A = 1 { 4, 5, 6 } B = B = 3 7
Oznaczenie Prawdopodobieństwo Wzór Laplace'a (181) klasyczna definicja p-stwa P(A) - p-stwo zdarzenia losowego A ( A) P = A Ω Komentarz o definicji i warunkach stosowania wzoru. 8
P P 1 6 Przykład cd. ( A) = 0,167 = 16,7 % = A Ω 3 ( B) = = 0,5 = 50 % = B Ω 6 Inne przykłady. 9
Definicja aksjomatyczna p-stwa Kołmogorowa (1933) P-stwo zdarzenia losowego A, dla A Ω, ma spełniać następujące warunki (aksjomaty): 1.. 3. P P P ( A) 0, ( Ω) = 1, ( A A K ) = P( A ) + P( A ) + L 1 gdzie A 1, A,... - zdarzenia losowe wykluczające się (zbiory rozłączne). 1 10
Pojęcie zmiennej losowej 11
Przykład Przykład. W pewnej grze gracz rzuca kostką. JeŜeli wypadnie więcej niŝ 4 oczka, to gracz dostaje 10 zł, w przeciwnym razie płaci 1 zł. Jak najpełniej opisać wygraną gracza? 1
Przykład cd. D wyniki dośw. D: 1 3 4 5 6 wygrana gracza: -1-1 -1-1 10 10 wygrana x i : -1 10 p-stwo p i : 4/6 = /3 /6 = 1/3 13
Przykład cd. Dośw. los. D - rzut kostką do gry Ω = { 1,, 3, 4, 5, 6 } A 1 - zdarzenie losowe polegające na tym, Ŝe gracz dostaje 10 zł: A 1 = { 5, 6 } A - zdarzenie losowe polegające na tym, Ŝe gracz płaci 1 zł: 6 1 3 A = { 1,, 3, 4 } P ( A ) = P( A ) 1 = 4 6 = = 3 14
Przykład cd. D Zmienna losowa wyniki dośw. D: 1 3 4 5 6 wygrana gracza: -1-1 -1-1 10 10 wygrana x i : -1 10 p-stwo p i : 4/6 = /3 /6 = 1/3 15
Zmienna losowa - definicja Zmienna losowa to funkcja, która wynikom doświadczenia losowego przyporządkowuje wartości liczbowe. Ozn.: X, Y, Z,..., X 1, X, X 3,... X : wynik liczba 16
Rozkład zmiennej losowej Przykład cd. Zmienna losowa X wygrana gracza Tabelka: wartości x i : -1 10 p-stwo p i : /3 1/3 przedstawia rozkład zmiennej losowej X. 17
Rozkład zmiennej losowej Przykład cd. Funkcja rozkładu p-stwa*: f (x i )=p i *w skrócie frp 18
Rozkład zmiennej losowej Przykład cd. Funkcja rozkładu p-stwa*: f (x i )=p i p-stwo p i /3 Frp (takŝe jej wykres) przedstawia rozkład zmiennej losowej X. 1/3-1 10 wartości x i 19
Dystrybuanta - definicja Dystrybuanta zmiennej losowej X: F X def ( t) = P( X t), t R 0
Wykres dystrybuanty przykład F X (t) 1 /3-1 10 t 1
Komentarz RóŜnie określone zmienne losowe X, Y, nawet z róŝnych doświadczeń losowych D X, D Y i przestrzeni Ω X, Ω Y, mogą mieć jednakowe rozkłady (przykład na tablicy). Dlatego moŝna badać własności samych rozkładów, pomijając słowny opis zmiennej losowej.
Typy rozkładów Rozkład skokowy (dyskretny) ciągły 3
Przykłady rozkładów skokowych dwupunktowy (0-1) równomierny dwumianowy Poissona (czyt.: płasona) 4
Rozkład dwupunktowy Inne nazwy: zero-jedynkowy, 0-1. wartości x i 0 1 p-stwo p i 1 - p p p i = 1 Wykres funkcji rozkładu p-stwa pstwo 0,8 0,6 0,4 0, 0 0 0,5 1 1,5 wartości zm. los.x 5
Przykłady rozkładów dwupunktowych Rozkład 0-1 p=0,5 Rozkład 0-1 p=0,8 pstwo 1 pstwo 1 0,5 0,5 0 0 0,5 1 1,5 wartości zm. los. X 0 0 0,5 1 1,5 wartości zm. los. X Zadanie* Narysuj wykres dystrybuanty dla przedstawionych przykładów. 6
* Rozkład równomierny wartości x i x 1 x... x n p-stwo p i p p... p p = 1 zatem p = 1/n Wykres funkcji rozkładu p-stwa pstwo 0, 0,1 0,1 0 1 3 4 5 6 7 wartości zm. los. X 7
* Rozkład dwumianowy B(n, p) Wartości k: 0, 1,,..., n P-stwo: P n ( X n! = k) = p k 1! k! ( n k) ( ) n k p n, p parametry rozkładu * Interpretacja parametrów W schemacie n doświadczeń niezaleŝnych Bernoulliego: n liczba prób p p-stwo sukcesu w pojedynczej próbie 8
* Wykres funkcji rozkładu B(n, p) Wykres funkcji rozkładu p-stwa dla n = 10 pstwo p = 0,5 p = 0,8 0,35 0,3 0,5 0, 0,15 0,1 0,05 0 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 wartości zm. los. 9
* Rozkład Poissona P(λ) Wartości k: 0, 1,,... P ( X = k) e λ P-stwo: k! λ parametr rozkładu, λ > 0 = λ k 30
Wykres funkcji rozkładu P(λ) Wykres funkcji rozkładu p-stwa 0,30 0,5 λ= λ=10 0,0 0,15 0,10 0,05 0,00 0 5 10 15 0 5 30 31
Charakterystyki rozkładu Nazwy i oznaczenia: nazwa: średnia wariancja odchylenie standardowe ozn.: EX, µ D X, σ D X, σ 3
Wzory dla rozkładu skokowego X - zmienna losowa skokowa wartość x i x 1 x... x n pstwo p i p 1 p... p n def EX = x p + x p +... 1 1 + x n p n = i x i p i D = X = ( ) ( ) x EX p + x EX p +... + ( x EX ) ( x EX ) i i def 1 p i 1 n p n = Obliczenia na tablicy. 33
* Wzory Charakterystyki rozkładu dwumianowego EX = np D X = np(1-p) Charakterystyki rozkładu Poissona EX = λ D X = λ 34
Typy rozkładów Rozkład skokowy ciągły Przykłady: dwupunktowy (0-1) równomierny dwumianowy Poissona Komentarz do idei przedstawienia rozkładu ciągłego. 35
Rozkład ciągły 36
Rozkład zmiennej losowej ciągłej Rozkład zmiennej losowej X ciągłej moŝna przedstawić za pomocą: funkcji gęstości p-stwa (fgp) y = f(x) funkcji dystrybuanty: F X def ( t ) = P( X t ) 37
* Funkcja gęstości p-stwa def. Funkcja gęstości p-stwa zmiennej losowej X, ozn.: y = f (x), to funkcja spełniająca warunki: 1. wykres leŝy nad lub na osi OX f( x) 0, gdy. pole obszaru ograniczonego z góry wykresem funkcji, a z dołu osią OX jest równe 1 + f ( x) dx x = 1 D f 38
Rozkład normalny 39
Rozkład normalny Wzór funkcji gęstości: f ( x) = 1 π σ e ( x µ ) σ, x R Parametry w rozkładzie normalnym: µ (czyt.: mi) σ (czyt.: sigma) µ R σ > 0 40
Rozkład normalny wykres fgp f(x) µ=, σ=1-3 - -1 0 1 3 4 5 6 x Własności matematyczne. krzywa Gaussa 41
Parametr µ f(x) µ = -4 σ = µ = σ = -10-8 -6-4 - 0 4 6 8 10 x 4
Parametr σ µ = σ = 1 µ = σ = 3-10 -8-6 -4-0 4 6 8 10 43
WyraŜenie: Oznaczenia zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami µ oraz σ zapisujemy: X ~ N ( µ, σ ) Definicja. Mówimy, Ŝe zmienna losowa Z ma rozkład normalny standardowy, jeśli µ = 0, σ = 1. Zapisujemy: Z ~ N ( 0, 1) 44
Wykres fgp y = f (x) Zdarzenie losowe Zdarzenie losowe f(x) µ=, σ=1 X a ; b -3 - -1 0 1 3 4 5 6 a b x 45
Zdarzenia losowe - przykłady Przykłady (przy a < b): ( a b ) X, X a, b ) X a, b X ( a, b X (, a X (, a ) ( a + ) X, X a, + ) X a, a = { a } 46
P-stwo zdarzenia losowego Wykres fgp y = f (x) P-stwo zdarzenia losowego - zakreskowane µ=, pole σ=1 pod f(x) krzywą -3 - -1 0 1 3 4 5 6 a b x 47
P-stwo zdarzenia losowego P-stwo zdarzenia losowego: { X a b } b = f ( x) a P, dx Przypomnienie. Dystrybuanta zmiennej losowej X, ozn.: F X (t) F ( t) X def { } = L = P X t 48
P-stwo zdarzenia losowego P-stwo zdarzenia losowego: { X a b } b = f ( x) a P, dx Przypomnienie. Dystrybuanta zmiennej losowej X, ozn.: F X (t) F ( t) X def = P { X t } = f ( x) t dx 49
Dystrybuanta na wykresie fgp Wykres fgp y = f (x) zakreskowane pole = t f(x) µ=, σ=1 = f ( x) dx -3 - -1 0 1 3 4 5 6 x t 50
Tablice statystyczne 51
Tablica dystrybuanty F Z (x ) x 0,00 0,01 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,539 0,5790 0,53188 0,53586 0,53983 0,54380 0,54776 0,5517 0,55567 0,5596 0,56356 0,56749 0,5714 0,57535 0,5796 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,6057 0,6064 0,6106 0,61409 0,61791 0,617 0,655 0,6930 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,65173 0,6554 0,65910 0,6676 0,66640 0,67003 0,67364 0,6774 0,6808 0,68439 0,68793 0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,70540 0,70884 0,716 0,71566 0,71904 0,740 0,6 0,7575 0,7907 0,7337 0,73565 0,73891 0,7415 0,74537 0,74857 0,75175 0,75490 : 3,8 3,9 0,99993 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99995 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997 Zadania. 5
Wzory Wyznaczanie wartości dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego przy uŝyciu tablic: Jeśli Z ~ N (0, 1), a > 0, to: F Z ( a) = 1 F Z (a) (1) Wzór na standaryzację zmiennej losowej: Jeśli Z~N (0, 1), X~N (µ, σ ), to: F ) 0 X ( ) x - µ ( x = F 0 Z σ () 53
* Prawo trzech sigm Jeśli X ~ N( µ, σ ), to: P P P { } X µ σ ;µ + σ 0, 68 { } X µ σ ;µ + σ 0, 95 { } X µ 3σ ;µ + 3σ 0, 9973 Rysunek na tablicy. 54
Charakterystyki rozkładu Nazwy i oznaczenia: nazwa : średnia wariancja odchylenie standardowe ozn.: EX, µ D X, σ D X, σ 55
Wzory dla rozkładu ciągłego X - zmienna losowa ciągła, y = f (x) funkcja gęstości + EX = x f x) dx + ( X ( x EX) D = f( x) dx Wzory dla rozkładu normalnego EX = µ D X = σ 56
* Rozkład chi kwadrat Jeśli zmienne losowe X 1, X,..., X n są: niezaleŝne X i ~N (0, 1), i = 1,,..., n to X 1 + X +...+ X n jest zmienną losową o rozkładzie χ z liczbą stopni swobody n. Ozn. χ czytamy: chi-kwadrat 57
* Rozkład chi kwadrat cd. Funkcja gęstości dla rozkładu χ : f ( x) 0, dla x 0, = n ( ) n 1 Γ 1 n x e x, dla x > 0 gdzie: Γ + ( t) = 0 u t 1 e u du, t R + 58
* Rozkład chi kwadrat cd. Wykres funkcji gęstości dla rozkładu χ : Chi-Square Distribution density 0,5 0, 0,15 0,1 0,05 Deg. of freedom 3 10 50 0 0 0 40 60 80 100 x 59
* Rozkład t-studenta Jeśli zmienne losowe X 0, X 1,..., X n są: niezaleŝne X i ~N (0, 1), i = 1,,..., n to X 0 1 n ( X 1 + X + K + X n ) jest zmienną losową o rozkładzie t-studenta z liczbą stopni swobody n. 60
* Rozkład t-studenta cd. Wykres funkcji gęstości dla rozkładu t-studenta: Student's t Distribution 0,4 0,3 Deg. of freedom 10 50 density 0, 0,1 0-6 -4-0 4 6 x 61
* Rozkład F Fishera Snedecora Jeśli zmienne losowe X 1, X,..., X n oraz Y 1, Y,..., Y m są: niezaleŝne X i, Y j ~N(0, 1) to 1 n ( 1 m X ( Y 1 1 + + X Y + + K K + + Y n m X ) ) jest zmienną losową o rozkładzie F Fishera Snedecora z liczbami stopni swobody n i m. 6
* Rozkład F Fishera Snedecora Wykres funkcji gęstości dla rozkładu F F (variance ratio) Distribution 1,5 1, Numerator d.f,d 10,10 50,40 density 0,9 0,6 0,3 0 0 1 3 4 5 x 63