Zmienne losowe. Rozkład zmiennej losowej

Transkrypt

1 Zmienne losowe Rozkład zmiennej losowej

2 Zmienna losowa to funkcja, która przyjmuje różne wartości liczbowe wyznaczone przez los (przypadek). Zmienne losowe oznaczamy symbolem: X :! R

3 Zmienna losowa X, której wartości reprezentują liczbę dziewczynek wśród czworaczków (B - chłopiec, G - dziewczynka). Zmienna losowa X BBBB } X 0 GBBB BGBB BBGB BBBG GGBB GBGB GBBG BGGB BGBG BBGG t v X 1 X 2 BGGG GBGG GGBG GGGB t X 3 GGGG} X 4

4 Zmienna losowa może być funkcją, której wartości reprezentują wartość wygranej w ruletkę.

5 Zmienna losowa może reprezentować cenę fantazyjnej koszulki albo jej rozmiar.

6 Dyskretna zmienna losowa Zmienna losowa jest skokowa (dyskretna), gdy może przyjmować wartości ze zbioru co najwyżej przeliczalnego (tzn. skończonego lub nieskończonego ale takiego, który można ustawić w ciąg).

7 Ciągła zmienna losowa Zmienna losowa ciągła może przyjmować wartości z dowolnego przedziału liczbowego. Możliwe wartości takiej zmiennej tworzą zbiór nieskończony i nieprzeliczalny (nie dający ustawić się w ciąg).

8 Discrete Continuous

9 Pewne oznaczenia upraszczające zapis: P (X = x) =P ({! 2 : X(!) =x}) P (a 6 X 6 b) =P ({! 2 : a 6 X(!) 6 b}) P (X 2 E) =P ({! 2 : X(!) 2 E})

10 Zmienna losowa dyskretna

11 Rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej jest tablica, wzór lub wykres, który porządkuje prawdopodobieństwa każdej możliwej wartości zmiennej Zmienna losowa X BBBB } X 0 GBBB BGBB t BBGB BBBG X 1 P(X 0) P(X 1) P(X 2) P(X 3) P(X 4) Ran GGBB GBGB GBBG v BGGB BGBG BBGG BGGG GBGG t GGBG GGGB X 2 X 3 GGGG} X 4 Probability /16 0 4/16 1 6/16 4/ Number of girls, x 1/16 4

12 Niech P będzie prawdopodobieństwem na przestrzeni Ω i niech xi będą wartościami zmiennej losowej skokowej X. p i = P (X = x i ) xi x1 x2 x3 xn-1 xn pi p1 p2 p3 pn-1 pn p i > 0, p 1 + p p n =1, P (a 6 X 6 b) = X a6x i 6b p i

13 Dystrybuanta zmiennej losowej skokowej (skumulowana funkcja rozkładu) F (x) =P (X 6 x) = X x i 6x p i Dystrybuanta liczby ogłoszeń zamieszczanych dziennie w pewnej gazecie x P(X=x) F(x) 0 0,1 0,1 1 0,2 0,3 2 0,3 0,6 3 0,2 0,8 4 0,1 0,9 5 0, F(x) 0 P(3) = x

14 P (X >a)=1 P (x 6 a) =1 F (a) P (a 6 X 6 b) =F (b) F (a)

15 Wartość oczekiwana skokowej zmiennej losowej µ = E(X) = nx i=1 x i P (X = x i )= nx i=1 x i p i 0.3 P(x) E(X) = =0 0, 1+1 0, 2+2 0, 3+3 0, 2+3 0, 2+4 0, 1+5 0, 1= =2, Mean = 2.3 x

16 Dla każdej funkcji h funkcja Y=h(X) jest zmienną losową Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej X xi x1 x2 x3 xn-1 xn pi p1 p2 p3 pn-1 pn Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej Y yi y1=h(x1) y2=h(x2) y3=h(x3) yn-1 =h(xn-1) yn=h(xn) pi p1 p2 p3 pn-1 pn E(h(X)) = nx i=1 h(x i ) p i

17 Wariancja skokowej zmiennej losowej 2 = V (X) =E (X µ) 2 = nx (x i µ) 2 p i i=1 P(x) Mean = 2.3 x E(X) = =0 0, 1+1 0, 2+2 0, 3+3 0, 2+3 0, 2+4 0, 1+5 0, 1= =2, 3 V (X) = =(0 2, 3) 2 0, 1+(1 2, 3) 2 0, 2+(2 2, 3) 2 0, =2, 01

18 Wariancja skokowej zmiennej losowej Wygodny do stosowania wzór obliczania wariancji zmiennej losowej: 2 = V (X) =E(X 2 ) E(X) 2

19 Odchylenie standardowe skokowej zmiennej losowej = SD(X) = p V (X) P(x) E(X) = =0 0, 1+1 0, 2+2 0, 3+3 0, 2+3 0, 2+4 0, 1+5 0, 1= =2, 3 SD(X) =1, Mean = 2.3 x

20 Twierdzenie Czebyszewa P X µ <k > 1 1 k 2 Prawdopodobieństwo, że wartości zmiennej losowej X odchylą się od średniej o k sigm jest niemniejsze niż 1 pomniejszone o kwadrat 1/k. Dla k=2, 1-1/k 2 = 0,75. Dla k=3, 1-1/k 2 = 0,89, czyli z prawdopodobieństwem nie mniejszym niż 0,89 wartość X znajdzie się w odległości od swojej wartości oczekiwanej mniejszej niż 3 sigma (odchylenia standardowe).

21 Pewne ważne rozkłady zmiennej losowej skokowej

22 Rozkład dwumianowy (Bernoullego) Rozkład dwumianowy ma zmienna losowa X, której wartościami są liczby sukcesów w ciągu n doświadczeń Bernoullego (w schemacie Bernoullego), w każdym z których p jest prawdopodobieństwem sukcesu, q=1-p jest prawdopodobieństwem porażki. n P (X = k) = p k q n k k Fakt, że zmienna losowa X ma rozkład Bernoullego z parametrami n i p zapisujemy skrótowo X B(n, p)

23 X B(4; 0, 1) X B(4; 0, 5) X B(10; 0, 1) X B(20; 0, 3)

24 Dla zmiennej losowej X B(n, p) : µ = E(X) =np, 2 = V (X) =npq, = SD(X) = p npq.

25 Rozkład Poissona Rozkład Poissona ma zmienna losowa X, której wartości podają liczbę zajść pewnego zdarzenia w określonym przedziale czasu (np. liczę awarii urządzenia w ciągu tygodnia). P (X = k) = µk e µ k!, k =0, 1, 2,...

26 Rozkład Poissona Rozkład Poissona jest dobrym przybliżeniem rozkładu dwumianowego, gdy liczba doświadczeń n jest duża (większa od 20), a prawdopodobieństwo sukcesu p niewielkie (mniejsze od 0,05). Przyjmujemy wtedy μ = np i korzystamy z poniższego wzoru: P (X = k) = µk e µ k!, k =0, 1, 2,... E(X) =µ, V (x) =µ

27 1000 aparatów 200 pracowników Jakie jest prawdopodobieństwo, że określona odmiana aparatu telefonicznego zostanie zamówiona przez: żadnego pracownika, jednego pracownika, dwóch pracowników, trzech pracowników, przy założeniu niezależności wyborów i tego, że zamówienie któregokolwiek telefonu z 1000 odmian jest równie prawdopodobne?

28 1000 marek aparatów 200 pracowników n=200, p=0,001, μ=np=0,2 P (X =0)= 0, 20 e 0,2 0! P (X =1)= 0, 21 e 0,2 1! P (X =2)= 0, 22 e 0,2 2! P (X =3)= 0, 23 e 0,2 3! =0, 8187 =0, 1637 =0, 0164 =0, 0011

29 Rozkład hypergeometryczny Jeśli pobieramy próbę z populacji N-elementowej, jak w doświadczeniach Bernoullego, ale bez zwracania, to zmienna losowa X będąca liczbą sukcesów w ciągu n takich doświadczeń ma rozkład hypergeometryczny. Niech S oznacza liczbę elementów populacji, której wylosowanie stanowi sukces. Wtedy prawdopodobieństwo uzyskania k sukcesów w opisanym doświadczeniu jest równe: P (X = k) = S k N n N n S k

30 Zmienna losowa ciągła

31 Zmienna losowa ciągła to taka zmienna losowa, która może przyjmować dowolne wartości z pewnego przedziału liczbowego. Prawdopodobieństwa związane z ciągłą zmienną losową X są wyznaczane przez tak zwaną funkcję gęstości f(x), która ma następujące własności: f(x) 0 dla wszystkich x, prawdopodobieństwo, że zmienna X przyjmie wartość między a i b jest równe polu pod wykresem funkcji f między punktami x=a i x=b, całe pole pod wykresem funkcji f ma miarę równą 1.

32

33 P (a 6 X 6 b) =pole pod krzywπ = Z b a f(x)dx

34 Dla zmiennej losowej ciągłej X: P (X = x) =0 P (a 6 X 6 b) =P (a <X<b) P (a 6 X<b)=P (a <X<b) P (a <X6 b) =P (a <X<b)

35 Skumulowana funkcja rozkładu prawdopodobieństwa (dystrybuanta) zmiennej losowej ciągłej jest miarą pola pod wykresem funkcji f(x) między najmniejszą możliwą wartością X (często utożsamianą z - ) a punktem x. Z a F (a) =P (X 6 a) = f(x)dx 1

36 F(x) 1.00 F(b) F(a) 0 f(x) a b x P(a X b) = Area under f(x) between a and b = F(b) F(a) Area = F(a) a b x

37 Pewne ważne rozkłady zmiennej losowej ciągłej

38 Rozkład normalny Funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej o rozkładzie normalnym o wartości oczekiwanej μ i odchyleniu standardowym σ jest: f(x) = 1 p 2 e 1 2( x µ ) 2, x 2 ( 1, +1) zmienna X ma rozk ad normalny ze úredniπ µ i wariancjπ 2 X N(µ, 2 )

39 0.2 X ~ N(50,2 2 ) W ~ N(60,2 2 ) Y ~ N(50,5 2 )

40 Standaryzowaną normalną zmienną losową Z jest normalna zmienna losowa o średniej μ = 0 i odchyleniu standardowym σ = 1. Z N(0, 1) f(z) 1 0 z

41 Wykres gęstości jest symetryczny. Pole pod całym wykresem jest równe 1. Pole pod prawą częścią wykresu od 0 jest równe 0,5. Pole pod lewą częścią wykresu do 0 jest również równe 0,5. f(z) 1 0 z

42 Znajdowanie prawdopodobieństwa w tablicach TABLE 2 standaryzowanego rozkładu normalnego Areas of the Standard Normal Distribution Table area for z 0 z The table areas are probabilities that the standard normal random variable is between 0 and z. Second Decimal Place in z z TA(z) to podawana w tablicy miara pola (pod krzywą standardowej gęstości normalnej) wyznaczonego przez punkt z leżący na prawo od 0 taki, że TA(z) = F(z) - 0,5 gdzie F(z) jest wartością dystrybuanty rozkładu normalnego

43 Table area for z 0 z The table areas are probabilities that the standard normal random variable is between 0 and z. Second Decimal Place in z z P (0 <Z<1, 56) = TA(1, 56) = 0, Table area for 2.47 Area to the left of 2.47 z P (Z < 2, 47) = P (Z >2, 47) = =0, 5 TA(2, 47) = =0, 5 0, 4932 = 0,

44 Rozkład t Studenta Na poniższym rysunku przedstawiono wykresy funkcji gęstości rozkładu t z różnymi stopniami swobody df (degrees of freedom).

45 Degrees of Freedom t.100 t.050 t.025 t.010 t t W dalszym ciągu nie będzie nam potrzebna znajomość wzoru na funkcję gęstości. Dla naszych zastosowań wystarczy wiedzieć jak wygląda w przybliżeniu wykres i jak korzystać z tablic tego rozkładu Source: M. Merrington, Table of Percentage Points of the t-distribution, Biometrika 32 (1941), p. 300.

46 Rozkład chi-kwadrat Na poniższym rysunku przedstawiono wykresy funkcji gęstości rozkładu chi-kwadrat z różnymi stopniami swobody df.

47 Przekształcenia normalnej zmiennej losowej

48 Niech X bídzie zmiennπ losowπ o rozk adzie normalnym o wartoúci oczekiwanej µ i odchyleniu standardowym X N(µ, 2 ) Wtedy zmienna losowa Z dana wzorem Z = X µ ma rozk ad normalny standardowy, tzn. Z N(0, 1)

49 Z = X µ, X = Z + µ P (X <b)=p P (a <X)=P P (a <X<b)=P Z < b µ a µ <Z a µ b <Z< µ

50 Przykład 1. X N(50, 10 2 ), µ =50, =10 P (X <60) =? P (X >55) =? P (X <60) = P X µ < 60 µ = = P Z< = P (Z <1) = = F (1) = 0, P (X >55) = P X µ > 55 µ = = P Z> = P (Z >0, 5) =

51 = P Z> = P (Z >0, 5) = =1 P (Z 6 0, 5) = 1 F (0, 5) = =1 0, = 0, P (X <45) =? P (X <45) = P Z< = P (Z < 0, 5) = = F ( 0, 5)

52 Zauwaømy, øe F ( a) =P (Z 6 a) = = P (Z > a) =1 P (Z <a)= czyli =1 F (a) F ( a) =1 F (a)

53 Zatem wracajπc do przyk adu P (X <45) = P Z< = P (Z < 0, 5) = = F ( 0, 5) = 1 F (0, 5) = =1 0, = 0, 30854

54 Przykład 2. Przebieg silnika: úrednio km z odchyleniem km Jakie jest prawdopodobieòstwo, øe silnik wytrzyma przebieg miídzy a km? X N(160000, ), µ =160000, =30000 P ( <X<180000) = P <Z< = P ( 2 <Z<0, 66) = F (0, 66) F ( 2) = F (0, 66) (1 F (2)) = = F (0, 66) + F (2) 1=0, , =0, =

55 Znajdowanie wartoúci z takiej, øe P (Z 6 z) =

56 Przykład 3. Z N(0, 1) P (Z 6 z) =F (z) P (Z 6 z) =0, 9, z =? Szukamy rozwiπzania równania F (z) =0, 9 x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , ,97670 z =1, 28