Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW

Transkrypt

1 Było: Testowanie hipotez (ogólnie): stawiamy hipotezę, wybieramy funkcję testową f (test statystyczny), przyjmujemy poziom istotności α; tym samym wyznaczamy obszar krytyczny testu (wartość krytyczną funkcji testowej f kryt ), losujemy próbę, wyliczamy wartość empiryczną funkcji testowej f emp, hipotezę odrzucamy, gdy wartość empiryczna f emp znajduje się w obszarze krytycznym; w przeciwnym przypadku hipotezy nie odrzucamy. Przykład na tablicy...

2 Przykład. Porównano pięć odmian pszenicy ozimej pod względem plonowania. W tabeli zapisano uzyskane wysokości plonów (w kg z poletka): Odmiana Plony poletko poletko 2 poletko 3 poletko 4 O,47,4,40,43 O2,0,5,30,7 O3,4,32,28,33 O4,9,25,26,2 O5,20,35,25,28

3 Cecha X i plon z poletka dla odminy Oi, i =, 2,..., 5, ZałoŜenia: X i ~ N (µ i, σ 2 ), i =, 2,..., 5; X, X 2,..., X 5 niezaleŝne zmienne losowe X X 2 X 3 X 5 X 4 µ µ 2 µ 3 µ 5 µ 4 wartości cechy X = X 2 = X 5 X 3 = X 4 µ = µ 2 = µ 5 µ 3 = µ 4 wartości cechy

4 Pytanie: Czy badane odmiany plonują na podobnym poziomie? µ = µ 2 = µ 3 = µ 4 = µ 5? Hipoteza: H 0 : µ = µ 2 = µ 3 = µ 4 = µ 5 (mówi o braku zróŝnicowania między pięcioma badanymi odmianami pod względem plonowania) Dygresja o czynnikach kształtujących plon...

5 WYKŁAD 0 DOŚWIADCZENIE JEDNOCZYNNIKOWE W UKŁADZIE CAŁKOWICIE LOSOWYM - ANALIZA WARIANCJI

6 Terminologia stosowana w doświadczeniach czynnikowych: Problem badany w doświadczeniu: porównanie plonowania odmian O, O2,..., O5 pszenicy ozimej (badanie wpływu odmian O, O2,..., O5 na wysokość plonu) Cecha mierzona w doświadczeniu: X wielkość plonu z poletka. Badany czynnik: A - odmiana.

7 Dygresja:. Czy na wysokość plonowania wpływa odmiana? czynnik A 2. Czy na wysokość plonowania wpływa odmiana oraz nawoŝenie? czynnik A czynnik B 3. Czy na wysokość plonowania wpływa odmiana, nawoŝenie oraz termin siewu? czynnik A czynnik B czynnik C I ogólniej: moŝna badać wpływ jednego (A), dwóch (A, B), trzech (A, B, C) lub większej liczby czynników na wartość mierzonej cechy.

8 Terminologia cd.: Poziomy czynnika A (obiekty): poszczególne odmiany: O, O2,..., O5; w tym doświadczeniu porównujemy 5 odmian, czyli 5 poziomów czynnika A, lub inaczej 5 obiektów, ozn.: a liczba poziomów czynnika A, a = 5. Powtórzenia: kaŝda z odmian występuje na czterech poletkach, czyli w czterech powtórzeniach; liczba powtórzeń n = 4. Jednostki doświadczalne: poletka; liczba jednostek doświadczalnych N = 20 (ogólniej: N = a n, gdy liczba powtórzeń jest jednakowa dla kaŝdego poziomu czynnika A; N = n + n n a, gdy liczby powtórzeń nie są jednakowe dla wszystkich poziomów czynnika A). Układ doświadczalny (plan doświadczenia) opisuje sposób rozmieszczenia jednostek doświadczalnych na powierzchni doświadczalnej. Losowe przyporządkowanie obiektów do jednostek doświadczalnych nazywa się układem całkowicie losowym.

9 Przykład. W doświadczeniu polowym załoŝonym w układzie całkowicie losowym w czterech powtórzeniach porównano pięć odmian pszenicy ozimej pod względem plonowania. W tabeli zapisano wysokości plonów (w kg z poletka): Pytania: Odmiana Plony poletko poletko 2 poletko 3 poletko 4 O,47,4,40,43 O2,0,5,30,7 O3,4,32,28,33 O4,9,25,26,2 O5,20,35,25,28. Czy wszystkie badane odmiany plonują na podobnym poziomie? 2. Jeśli nie wszystkie, to które odmiany plonują podobnie?

10 Terminologia cd. Wyniki pomiaru cechy uzyskane w doświadczeniu przedstawia się w tabeli; takie zestawienie wyników nazywa się jednokierunkową klasyfikacją danych (jednokierunkowa bo doświadczenie jest jednoczynnikowe).

11 ij Jednokierunkowa klasyfikacja danych Poziomy czynnika A Nr powtórzenia (nr poletka) (odmiany) 2... n A A 2 M A a a a n 2 n 2 a n a - wartość cechy X mierzonej w doświadczeniu dla i tego obiektu w j - tym powtórzeniu (plon dla i-tej odmiany na j-tym poletku); i=, 2,..., a; j=, 2,..., n.

12 Cecha X badana w a populacjach: X, X 2,..., X a załoŝenia: X i ~ N (µ i, σ 2 ), i =, 2,..., a X, X 2,..., X a cechy (zmienne losowe) niezaleŝne hipoteza: H 0 : µ = µ 2 =... = µ a, a > 2 poziom istotności α (w przykładzie α = 0,05); metoda weryfikacji: analiza wariancji (jednoczynnikowa analizy wariancji); test statystyczny: F Fishera;

13 Tabela analizy wariancji (ANOVA Table) Źródła zmienności cechy X Source Czynnik A (odmiana) Between groups Błąd losowy Within groups Całkowita Total Sumy Stopnie kwadratów swobody Sum of Squares Df (degrees of freedom) SS A Df A = a - SS E Df E = N - a SS T N - Średni kwadrat F emp wartość p Mean Square F-Ratio p-value SS MS A = Df SS MS E = Df A A E E MS MS A E Wzory na sumy kwadratów...

14 Poziomy czynnika A Nr powtórzenia (nr poletka) (odmiany) 2... n średnie obiektowe A 2... = n n n j = j A = n 2 2 n 2 n j = 2 j M... A a a a2... a = n a a n a n a j = a j i-ta średnia obiektowa SS A =..., SS T =..., SS E =..., i = n i n i j= ij, średnia ogólna = N a n i i= j= ij

15 Tabela ANOVA dla omawianego przykładu Źródła Sumy Stopnie Średni zmienności kwadratów swobody kwadrat F emp wartość p cechy X SS Df MS Czynnik A (odmiana) 0,49 4 0, , 0, 0373 = =, 27 0, , , Błąd losowy 0,049 5 = 0, 0033 Całkowita 0,98 9 F kryt = F α, a-, N-a Wnioskowanie : jeśli F emp > F kryt, to hipotezę zerową H 0 odrzucamy, w przeciwnym przypadku hipotezy zerowej nie moŝna odrzucić. Wnioskowanie 2: jeśli wartość p < α, to hipotezę zerową H 0 odrzucamy, w przeciwnym przypadku hipotezy zerowej nie moŝna odrzucić. W przykładzie F kryt = F 0,05, 4, 5 = 3,056, zatem H 0 odrzucamy.

16 Terminologia: Gdy odrzucimy hipotezę H 0, to mówimy, Ŝe stwierdzono statystycznie istotny wpływ czynnika A na badaną cechę albo, Ŝe czynnik A wpływa istotnie róŝnicująco na badaną cechę. Gdy nie odrzucimy hipotezy H 0, to mówimy, Ŝe nie stwierdzono statystycznie istotnego wpływu czynnika A na badaną cechę albo, Ŝe czynnik A nie wpływa istotnie róŝnicująco na badaną cechę. W przykładzie: stwierdzono statystycznie istotne zróŝnicowanie odmian pszenicy ze względu na wysokość plonu. Po odrzuceniu hipotezy zerowej stosuje się porównania szczegółowe.

17 ANOVA Table Analysis of Variance Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value Between groups 0, ,037375,5 0,0002 Within groups 0, , Total (Corr.) 0,9792 9,5 Means and 95,0 Percent Tukey HSD Intervals,4 Plony,3,2, odmiany

18 Dokończenie poprzedniego wykładu: ZałoŜenia:. cecha X ma rozkład dwupunktowy z nieznanym parametrem p, 2. cecha X 2 ma rozkład dwupunktowy z nieznanym parametrem p 2, 3. pobrano n elementową próbę losową z pierwszej populacji oraz n 2 elementową próbę losową z drugiej populacji, k i liczba elementów k i k + k 2 wyróŝnionych w i-tej próbie; p i =, p = n + n. n i 2 H 0 : p = p 2 (porównanie frakcji w dwóch populacjach), test przybliŝony u (dla duŝych prób), poziom istotności α. p p2 uemp = Funkcja testowa: ( ) p p + n n 2 Wnioskowanie: jeŝeli u emp u w przeciwnym przypadku H 0 nie moŝna odrzucić. α 2, to hipotezę H 0 odrzucamy,

19 Przykład. W dwóch dzielnicach miasta przeprowadzono ankietę na temat sortowania odpadków w gospodarstwach domowych. Otrzymano następujące wyniki: w pierwszej na 20 ankietowanych gospodarstw w 55 sortowano odpadki, natomiast w drugiej na 30 gospodarstw w 5 sortowano odpadki. Na poziomie istotności 0,0 zweryfikuj hipotezę o jednakowej frakcji gospodarstw sortujących odpadki w obu miastach. Dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego X zmienna losowa, f() funkcja gęstości, F() dystrybuanta X~N (0, ), f () 2 = e, F()= 2π 2 0,00 0,0 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0, , , ,597 0,5595 0,5994 0, , ,5388 0,53586 : 2,0 0, , ,9783 0, , , , , ,9824 0,9869 2, 0,9824 0, , ,9834 0, , ,9846 0, , , ,2 0,9860 0, , ,9873 0, , , , , , ,3 0, , , ,9900 0, ,9906 0, ,99 0,9934 0,9958 2,4 0,9980 0, , , , , , , , ,9936 2,5 0, , ,9943 0, , ,9946 0, , , , ,6 0, , , , , , , ,9962 0, , ,7 0, , , , , , ,997 0, , , ,8 0, , , , , ,9978 0, , ,9980 0,99807 f (t) dt