Próbn egzmin mturln z mtemtki Numer zdni ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM ROZSZERZONY Etp rozwiązni zdni Liczb punktów Podnie wrtości b: b = Sporządzenie wkresu funkcji g Uwgi dl egzmintorów 4 Krzw będąc wkresem funkcji g dl < 4 nie może przecinć prostej o równniu = - - - 0 4 - - - Zpisnie szuknch wrtości prmetru p: p = 0 lub p Zstosownie definicji wrtości bezwzględnej i zpisnie: 4 < dl (, ), 4 < + dl, ), 4+ < + dl, ) 4 Rozwiąznie nierówności liniowch bez uwzględnini ogrniczeń: 7 7 7 >, >, < Uwzględnienie ogrniczeń, tzn zpisnie zbiorów rozwiązń 7 poszczególnch nierówności: zbiór pust,,, 7, Wznczenie zbioru rozwiązń nierówności z wrtością bezwzględną: 7 7, II sposób rozwiązni: Zpisnie dnej nierówności w postci : 4 + < +
Podniesienie obu stron nierówności do drugiej potęgi: ( ) ( ) 4 + < + Próbn egzmin mturln z mtemtki Doprowdzenie nierówności do postci ilocznowej: ( ) ( ) + 7 + 7 < 0 7 7 lub + + < 0 4 7 7 Zpisnie zbioru rozwiązń nierówności:, Metod grficzn Zpisnie dnej nierówności w postci : 4 + < + Sporządzenie wkresów funkcji f ( ) = 4 + i g( ) = + Wznczenie odciętch punktów wspólnch wkresów funkcji f i g 7, 7 4 Zpisnie zbioru rozwiązń nierówności: ( ) Sporządzenie rsunku = =- Punkt przznjem, gd zdjąc zpisze nierówność w postci ogólnej i oblicz pierwistki trójminu kwdrtowego 0 9 8 7 4 N rsunku muszą bć szkice wkresów obu funkcji podnch w zdniu -9-8 -7 - - -4 - - - 4 7 8 9 0 - - - -4 - - Zpisnie współrzędnch dowolnego punktu prboli w zleżności od P=, jednej zmiennej: np ( ) Wznczenie odległości punktu P od dnej prostej: Zpisnie odległości bez wrtości bezwzględnej: 4 ( ) = + + d lub d = -7 d =
4 Próbn egzmin mturln z mtemtki Oszcownie njmniejszej wrtości: d 4 II sposób rozwiązni: (cznności 4 i ) Wznczenie njmniejszej wrtości funkcji d( ) = : d min = Zpisnie wniosku: d 4 Obliczenie prwdopodobieństw: P( A ) =, P( B ) = 4 4 Zstosownie prw De Morgn: ( ) A B = A B 4 Wkorzstnie wzoru n prwdopodobieństwo sum zdrzeń 44 Obliczenie wrtości P( A B ) : P( A B ) = Zpisnie wzoru funkcji w postci: h( ) = + Obliczenie współcznnik i zpisnie wzoru funkcji: =, h( ) = + Obliczenie wrtości funkcji h dl h = i zpisnie wniosku Zstosownie wzoru skróconego mnożeni i zpisnie wrżeni w postci: = : ( ) + ( ) ( + ) + + lub + ( ) ( + ) + + Obliczenie liczb : = Obliczenie liczb b : b = 9 4 b Zpisnie wniosku wrz z uzsdnieniem: > b Zdjąc może wznczć równnie prostej równoległej do dnej prostej, stcznej do prboli i obliczć odległość międz tmi prostmi równoległmi Zdjąc nie musi wprost zpiswć prw De Morgn Wstrcz obliczenie współcznnik Akceptujem podnie wzoru h( ) =, bez uzsdnieni Przznjem wted punkt z cznności,
7 8 7 Próbn egzmin mturln z mtemtki Zpisnie, że liczb ( ) jest jednm z rozwiązń dnego równni + + + 4 = ( )( ) 0 7 Rozwiąznie równni kwdrtowego + + 4= 0: =, = 4 7 Rozwiąznie wrunku, dl którego drugi cznnik równni nie m rozwiązń: 0 p,, 74 Δ< dl ( ) ( ) Zpisnie ukłdu wrunków, dl którch liczb ( ) jest jednm rozwiązniem równni kwdrtowego ( p ) ( p ) b Δ = 0 i = + + 4 + + = 0: 7 Rozwiąznie ukłdu wrunków z punktu 74: p = 7 Zpisnie odpowiedzi: (, ), ) 74 p II sposób rozwiązni: (cznności 74, 7) jest jednm rozwiązniem Zpisnie wrunku, prz którm liczb ( ) równni + ( p+ 4) + ( p+ ) = 0: ( ) ( p 4) ( p ) + = + + + + 7 Obliczenie p: p = 8 Zpisnie zleżności międz bokmi czworokąt opisnego n okręgu: + b = c, gdzie długość dłuższej podstw, b długość krótszej podstw, c długość rmieni trpezu 8 Wznczenie różnic długości podstw trpezu z pomocą długości rmieni: b = 4c 0 8 Wrżenie wsokości trpezu w zleżności od długości rmieni: h= c + 0c 900 84 Wznczenie pol trpezu jko funkcji długości jego rmieni: P = c c + 0c 900 8 Wznczenie dziedzin funkcji P: c (,0) Wznczenie wszstkich wrtości p, dl którch liczb ( ) jest rozwiązniem równni kwdrtowego ( ) ( ) + + 4 + + = 0: p p p = lub p = Sprwdzenie, że tlko dl p = liczb ( ) jest jednm rozwiązniem równni kwdrtowego pkt z oszcownie c < 0 pkt z oszcownie c > 4
Próbn egzmin mturln z mtemtki 9 9 Oznczenie współrzędnch środk okręgu S = (,0) i zpisnie równni pozwljącego wznczć współrzędne środk okręgu, np: ( ) + 4 = ( + ) + 9 Obliczenie współrzędnch punktu S : S = (, 0) Jeśli zdjąc wzncz równnie smetrlnej odcink AB orz jej punkt przecięci z osią O, to przznjem punkt w cznnościch 9 orz 9 Obliczenie długości promieni okręgu: r = i zpisnie równni okręgu: 9 ( + ) + = 7 Wstrcz, że zdjąc oblicz 94 Wznczenie równni prostej AB : = + 7 7 współcznnik kierunkow prostej AB Zpisnie równni rodzin prostch prostopdłch do prostej AB: 9 = 7 + b 9 97 Wkorzstnie wzoru n odległość punktu ( 0,0) od prostej o równniu b = 7 + b i zpisnie równni: = Wznczenie równń prostch spełnijącch wrunek zdni: = 7 0, = 7 + 0 Wstrcz, że zdjąc oblicz wrtości b, o ile zpisł równnie rodzin prostch = 7 + b
Próbn egzmin mturln z mtemtki 0 0 Zpisnie, że ciąg ( sin α,sin β, ) lub (, sin, sin ) 0 0 04 β α jest geometrczn Wkorzstnie definicji lub włsności ciągu geometrcznego i zpisnie wrunku: sin β = sinα Wkorzstnie zleżności międz funkcjmi trgonometrcznmi w trójkącie prostokątnm: sin β = cosα orz jednki trgonometrcznej i zpisnie równni z niewidomą sinα : sin α = sinα Rozwiąznie równni: sinα =, sinα = Podnie odpowiedzi: sinα = Nie wmgm rozptrzeni obu przpdków, le istotne jest złożenie, że jest pierwszm lub osttnim wrzem ciągu
Próbn egzmin mturln z mtemtki 7 α Zznczenie n rsunku szuknego kąt Obliczenie długości przekątnej podstw i wsokości ścin bocznej: i, gdzie ozncz długość krwędzi ostrosłup Zstosownie twierdzeni kosinusów w trójkącie, w którm wstępuje kąt dwuścienn α : ( ) = + cosα 4 Obliczenie kosinus kąt α : cosα = II metod rozwiązni: (cznności i 4) Zstosownie definicji funkcji sinus dl połow kąt α : α sin = = α Jeśli zdjąc oblicz przbliżoną wrtość kąt α, nstępnie wrtość kąt α i poprwnie ustli n tej podstwie przbliżoną wrtość cos α, to otrzmuje punkt w cznnościch i 4 Z smo obliczenie przbliżonej wrtości kąt α nie przznjem punktów w cznności 4 4 Wznczenie kosinus kąt α : cosα = sin = Z prwidłowe rozwiąznie kżdego z zdń inną metodą niż przedstwion w schemcie przznjem mksmlną liczbę punktów