Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLIII Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 100 miut 1
Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. 1. Zakład ubezpieczeń majątkowych rozpoczya działalość 1 styczia 2008 roku. Początkowy margies wypłacalości wyosi a tę datę 180 ml PLN. Margies wypłacalości a koiec każdego astępego roku, utożsamiay z kwotą kapitału potrzebego a bezpiecze prowadzeie działalości, wyliczay jest jako 18% składki przypisaej brutto za day rok. Środki włase a pokrycie margiesu iwestowae są przy roczej efektywej stopie zwrotu 4%, zakładamy że zakład posiada środki a pokrycie 100% margiesu. Wyzacz wartość obecą (a 1 styczia 2008 roku) łączego kosztu zablokowaia środków własych w margiesie wypłacalości w ciągu 6 lat działalości (k = 1,,6, od 1 styczia 2008 do 31 grudia 2013), jeżeli składka w 2008 roku wyiosła 1050 ml PLN i rośie o 5% roczie, a właściciel oczekuje 10% stopy zwrotu. A) 48 B) 53 C) 58 D) 63 E) 68 Uwaga. Koszt zablokowaia kapitału w margiesie wypłacalości to suma dopłat do środków a pokrycie margiesu w ciągu 6 lat (włączając w to początkową kwotę margiesu), pomiejszoa o przychody z iwestycji osiągięte przez 6 lat a środkach a pokrycie margiesu. Na koiec 2013 roku margies wypłacalości jest rozwiązyway i zablokowae środki są odzyskiwae. Jest to rówież wliczae do rachuku kosztu margiesu. 2
Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. 2. Duratio rety ( Da ) wyosi α, zaś rety ( Ia ) wyosi β. Niech r > 0 ozacza stopę dyskotową. Spośród stwierdzeń: (i) dur( a ) α + β = +1 Da + Ia = + 1 a (ii) ( ) ( ) ( ) (iii) dur( a ) (iv) 1 lim α = 1+ r prawdziwych jest: ( + 1) α = + 1+ α β A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 3
Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. 3. Kwota s > 0 jest wypłacaa w formie rety wieczystej o płatościach b a początek roku = 0,1,. Wartość obeca rety o płatościach mometach co b, dokoywaych w tych samych! 2 b, wyosi v, gdzie v > 0 jest czyikiem dyskotującym (ie musimy zakładać v < 1). Oblicz s przy założeiu, że płatości b ie są fukcją v. Odpowiedź (podaj ajbliższą wartość). A) 1 B) 2 C) exp( 1) D) exp( 2) E) b + 0 2 4
Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. 4. Rozważmy retę pewą 10-letią, której pierwsza płatość b N, 1 przypada a początku roku N (N = 1, 2, ). Płatość o umerze k, w kwocie b N, k tej rety przypada a początek roku N + k 1, k = 2,,10. Płatości wyoszą: b b N,1 N, k = 10 N, = N( k 1), k = 2, K,10. Przyjmujemy, że N 1 jest zmieą losową o rozkładzie Poissoa ze średią λ = 5 (tz., że P λ! λ ( N 1 = ) = e, = 0,1, K. ). Iwestor abył portfel 10-ciu takich ret (i-ta reta rozpoczya się w a początku losowego roku N i, zakładamy że N i są iezależe, i = 1,,10). Oblicz średią i wariację wewętrzej stopy zwrotu tego portfela (IRR). Odpowiedź (podaj ajbliższą wartość). A) (30%,150%) B) (30%,0%) C) (45%,225%) D) (150%,225%) E) (45%,0%) 5
Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. 5. W diu 31 grudia 2007 Pa Ja kupuje a ryku pierwotym 4-letią obligację po ceie 1000 PLN. Nomiał obligacji wyosi 1000 PLN, zaś stałe kupoy płate są a koiec każdego roku. Strukturę czasową stóp procetowych a dzień 31 grudia 2007 opisuje krzywa stóp spot (krzywa zerokupoowa): s 1 12 8 =, = 1,2, K. 100 2 1 gdzie s ozacza -letią stopę spot. Wyzacz stopę kupou tej obligacji. Odpowiedź (podaj ajbliższą wartość). A) 4.0% B) 4.4% C) 5.0% D) 5.3% E) 5.7% 6
Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. 6. Ile wyosi w diu emisji cea ieskończoego pakietu obligacji zerokupoowych, takiego że w każdą roczicę zakupu wygasa dokładie jeda obligacja z tego pakietu, a - letia obligacja ma omiał 2 PLN? Wiadomo, że stopa procetowa jest stała, a czyik dyskotujący wyosi 0.95. Podaj ajbliższą wartość. A) 14 790 PLN B) 14 800 PLN C) 14 810 PLN D) 14 820 PLN E) 14 830 PLN 7
Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. 7. Bak propouje klietom lokatę zawieraą a 1 rok kaledarzowy. Lokata gwaratuje klietowi, że a koiec roku otrzyma o astępującą wypłatę: I(1) K ( 1) = L max, 1+ r, I(0) gdzie L ozacza zaiwestowaą sumę, I(0) - wartość pewego ideksu w momecie rozpoczęcia lokaty, I(1) - wartość ideksu w momecie wygaśięcia lokaty, zaś r = 21,6% roczą stopę procetową wolą od ryzyka. Wiadomo, że ideks I (t) wzrasta w ciągu każdych trzech kolejych miesięcy o 20% z prawdopodobieństwem 0,5 lub maleje o 20% rówież z prawdopodobieństwem 0,5. Ile wyosi, w momecie zawarcia lokaty, wartość oczekiwaa kosztu udzieloej przez Bak gwaracji (gwaracji wypłaty kwoty K(1) w momecie wygaśięcia lokaty), wyrażoa jako procet zaiwestowaej sumy L? Odpowiedź (podaj ajbliższą wartość) A) 0% B) 8% C) 10% D) 16% E) 20% 8
Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. 8. Obligacja dwuletia o wartości wykupu 10 000 PLN, rówej wartości omialej, płaci rocze kupoy rówe 3% wartości omialej. Cea emisyja wyzaczaa jest w oparciu o astępującą strukturę stóp procetowych: r 1 = 5% jest stopą procetową (forward) w pierwszym roku po emisji, zaś r 2 = 4% w drugim roku po emisji. Wiadomo, że pierwszy kupo będzie reiwestoway w momecie jego płatości a okres pozostały do wygaśięcia obligacji, przy stopie procetowej r 2. Za zakumulowaą wartość wypłat (uwzględiając opisaą reiwestycję kupou) kupujemy w momecie wygaśięcia obligacji 10-letią retę o stałych, roczych płatościach, płatą a początku kolejych lat, skalkulowaą przy stałej stopie techiczej rówej wewętrzej stopie zwrotu (YTM) z obligacji. Jaka jest rocza wypłata z tej rety? Podać ajbliższą odpowiedź. A) 1280 PLN B) 1282 PLN C) 1284 PLN D) 1286 PLN E) 1288 PLN 9
Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. 9. Kredyt hipoteczy w wysokości 500 000 PLN spłacay jest w 40 rówych, roczych ratach, płatych z dołu przy stopie i = 5%. Bezpośredio po spłacie 8 raty ulega zmiaie stopa procetowa. Jedocześie kredytobiorca decyduje się a skróceie pozostałego okresu kredytowaia. Pozostała część kredytu będzie teraz spłacaa przez koleje 20 lat, w rówych, płatych z dołu, roczych ratach, ze zmiejszoą stopą r = 4%. Niech S r ozacza sumę odsetek zapłacoych w pierwszych 10 latach owego kredytu (tj. w latach 9, 10,, 18 licząc od mometu zaciągięcia pożyczki), atomiast S i sumę odsetek które byłyby zapłacoe w tym samym okresie w orygialej formie. Ile wyosi A) 35% B) 40% C) 140% D) 155% E) 180% S i? Podaj ajbliższą odpowiedź. S r 10
Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. 10. 30-leti kredyt hipoteczy X jest spłacay w rówych ratach a koiec kolejych lat z efektywą stopą oprocetowaia i 1 = 6% w skali roku. Na koiec 15 roku (po zapłaceiu 15- tej raty) kredytobiorca ma możliwość zaciągięcia dodatkowego kredytu Y w wysokości rówej wielkości aktualego zadłużeia z tytułu kredytu dotychczasowego. Przyjmujemy założeie, że kredytobiorca zawsze skorzysta z tej opcji, o ile będzie wówczas wypłacaly (ie dojdzie wcześiej do jego bakructwa). Dodatkowy kredyt spłacay jest w 15 rówych ratach płatych a koiec kolejych lat przy tej samej stopie i 1 = 6%. Warukiem uruchomieia całości kredytu 30-letiego było opłaceie jedorazowej składki (etto) P = 18 000 za ubezpieczeie iewypłacalości kredytobiorcy, skalkulowaej przy roczej stopie techiczej i 2 = 4%. Prawdopodobieństwo bakructwa kredytobiorcy w każdym z lat 1,2,...,30 wyosi 0.5% o ile ie doszło do iego wcześiej (bakructwo jest ieodwracale i może wystąpić tylko raz). W przypadku bakructwa kredytobiorcy, ubezpieczyciel przejmuje a siebie spłacaie kredytu i musi spłacić wszystkie pozostałe do zapłaty raty w termiach ich płatości (rówież wyikające z zaciągiętego kredytu dodatkowego, o ile miał miejsce). Jaka jest kwota zaciągiętego kredytu X? Podaj ajbliższą wartość. A) 195 200 B) 196 200 C) 197 200 D) 198 200 E) 199 200 11
Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Matematyka fiasowa Arkusz odpowiedzi * Imię i azwisko:... Pesel:... OZNACZENIE WERSJI TESTU... Zadaie r Odpowiedź Puktacja 1 B 2 D 3 B 4 B 5 E 6 D 7 B 8 C 9 C 10 D * Oceiae są wyłączie odpowiedzi umieszczoe w Arkuszu odpowiedzi. Wypełia Komisja Egzamiacyja. 12