Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział nieskończony iłub nieograniczona). Tutaj będziemy się zajmować tylko funkcjami ograniczonymi na przedziałach nieskończonych. Niech funkcja będzie określona w przedziale (tzn. dla dowolnego ) i całkowalna na każdym skończonym przedziale (zakładamy, że ). Dla dowolnego jest więc dobrze określona całka. Całka niewłaściwa Całką niewłaściwą z funkcji po przedziale nazywamy granicę oznaczamy ją W przypadku gdy granica (%i 1) jest skończona, mówimy że całka niewłaściwa jest zbieżna, a funkcja jest całkowalna. Jeśli granica (%i 1) jest rozbieżna do lub nie istnieje, mówimy, że całka niewłaściwa jest rozbieżna. Przykł. 1. Funkcja jest całkowalna w dowolnym przedziale skończonym ( ) i mamy: Granica istnieje i jest równa, zatem
2. Zapytajmy, dla jakich wartości wykładnika istnieje całka niewłaściwa Niech. Wówczas Dla, prawa strona ma granicę, gdy, tzn., bąd/x, gdy. W przypadku pośrednim, tzn. gdy, mamy zatem w tym przypadku całka jest rozbieżna. Ostatecznie otrzymujemy, że całka niewłaściwa (%i 2) jest rozbieżna, gdy, i zbieżna, gdy ; w tym przypadku jej wartość wynosi. 3. 2. prędkość kosmiczna Całka z funkcji w przedziale Analogicznie jak w (%i 1) definiujemy także całkę z funkcji w przedziale :
Całka po prostej rzeczywistej oraz całkę po całej prostej rzeczywistej: Związek z podstawowym wzorem rachunku różniczkowego i całkowego Załóżmy teraz, że całkowana funkcja posiada funkcję pierwotną w całym przedziale (pamiętamy, że będzie tak np. wtedy, gdy jest ciągła). Wtedy na podstawie podstawowego tw. rach. różniczkowego i całkowego mamy Porównując to z wz. (%i 1) widzimy, że całka niewłaściwa (%i 1) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończona granica Granicę powyższą oznaczamy często.możemy wtedy zapisać Mamy też analogicznie
Przykł. 1.. Mamy:, skąd, tak więc 2.. Funkcją pierwotną jest tu,ale symbol jest bez sensu, bo nie istnieje granica. 3. Całki niewłaściwe a szeregi Pomiędzy całkami niewłaściwymi a szeregami istnieje szereg podobieństw, które teraz wyliczymy; wiele twierdzeń o całkach niewłaściwych jest prostym przeniesieniem analogonów z teorii szeregów. SZEREGI Wyraz ogólny szeregu CAłKI Funkcja podcałkowa Suma częściowa szeregu Całka właściwa Suma szeregu jako granica sumy częściowej dla Całka niewłaściwa jako granica całki właściwej dla reszta szeregu Całka niewłaściwa Poniższych twierdzeń dowodzi się albo przez niewielką modyfikację twierdzeń dla szeregów, albo przez proste rozszerzenie twierdzeń o całkach właściwych. 1. Jeśli całka jest zbieżna, to zbieżna jest też całka i na odwrót. Ponadto
2. Gdy całka jest zbieżna, to zachodzi 3. Jeśli zbieżna jest całka, to zbieżna jest też całka ( const.) i zachodzi 4. Jeśli zbieżne są całki i, to zbieżna jest też całka i zachodzi Zbieżność całki w przypadku funkcji nieujemnej Jeśli funkcja jest nieujemna, to całka jest funkcją niemalejącą zmiennej. Jeśli ponadto funkcja jest ograniczona, tzn. :, to posiada granicę, gdy, a to znaczy, że całka (%i 5) jest zbieżna. W
oczywisty sposób, warunek ten jest też warunkiem koniecznym zbieżności; gdy nie jest on spełniony, to całka (%i 5) jest rozbieżna. Wykorzystując powyższy fakt, dowodzi się, że ma miejsce następujące Twierdzenie Jeśli dla wszystkich zachodzi nierówność:, to ze zbieżności całki wynika zbieżność całki ; i na odwrót: z rozbieżności całki wynika rozbieżność całki. Dowód jest analogiczny jak w przypadku tw. porównawczego dla szeregów należy tylko wszędzie zamienić "sumę" na "całkę". CBDO Kryterium to jest ógólnikowe: Skuteczność w jego stosowaniu zależy od tego, czy uda się w danym problemie znaleźć dostatecznie dobry, a jednocześnie wyliczalny 'ogranicznik', pozwalający oszacować badaną funkcję całkowaną od góry lub od dołu. Wybierając konkretne funkcje do porównań, możemy otrzymać bardziej szczegółowe kryteria zbieżności/rozbieżności całek. Często do porównań bierze się funkcję (jak pamiętamy, całka z tej funkcji jest zbieżna dla i rozbieżna dla ). Z porównania z funkcją, otrzymuje się następujące kryteria Cauchy'ego: Twierdzenie (kryteria Cauchy'ego) Niech funkcja ma dla dostatecznie dużych postać Wtedy: 1. Jeśli i jest ograniczona, tzn. :, to całka jest zbieżna; 2. jeśli i, to całka jest rozbieżna.
Dowód 1. Tu bierzemy do porównania funkcję ; mamy: i wiemy, że jest całkowalna dla, co dowodzi zbieżności całki. 2. Tu bierzemy do porównania. Zachodzi:, całka z jest rozbieżna, CBDO więc też rozbieżna jest całka. Przykłady 1. Zbadajmy zbieżność całki Zamiast całki zbadajmy całkę ; taka zmiana przedziału nie ma wpływu na zbieżność. Mamy: jeżeli całość a jest rozbieżna, więc rozbieżna jest też całka wyjściowa. 2. Zbadajmy zbieżność całki
Tu oszacujmy w drugą stronę: i ponieważ jest zbieżna, to zbieżna jest też całka wyjściwa. Zbieżność bezwzględna Wróćmy do badania zbieżności całek w przypadku ogólnym (tzn. niekoniecznie dla nieujemnych funkcji podcałkowych). Jak pamiętamy, zagadnienie zbieżności całki niewłaściwej sprowadza się do rozstrzygnięcia, czy istnieje skończona granica funkcji dla, gdzie Przypomnijmy sobie najsampierw warunek Cauchy'ego [1] zbieżności szeregu. Oznaczmy przez ciąg jego sum częściowych. Warunek B-C mówi zbieżności szeregu mówi, iż Warunek ten ma swój bezpośredni odpowiednik w postaci warunku istnienia całek niewłaściwych. Można go sformułować następująco: Twierdzenie Warunkiem koniecznym i dostatecznym zbieżności całi jest, aby gdzie jest dane przez (%i 6). CBDO
Korzystając z powyższego warunku, łatwo udowodnimy twierdzenie (mające analog dla szeregów: Jeśli szereg jest bezwzględnie zbieżny to jest zbieżny): Twierdzenie Jeżeli całka jest zbieżna, to jest zbieżna też całka. Uwaga W takim przypadku mówimy, że całka szeregami!) jest bezwzględnie zbieżna. (Znów analogia z Dowód Stosując powyższe kryterium do całki dowolnego istnieje takie, że dla zachodzi (o której zakładamy, że jest zbieżna) mamy: Dla ale mamy też: co znaczy, że a to oznacza, że zbieżna jest całka. CBDO Twierdzenie Jeśli całka jest zbieżna bezwzględnie, a funkcja jest ograniczona (tzn. dla dowolnego : ), to całka też jest bezwzględnie zbieżna.
Dowód Wystarczy oszacować: i skorzystać z kryterium porównawczego. CBDO Przykł. Rozważmy całkę: Funkcja funkcja jest całkowalna (całka z tej funkcji jest oczywiście bezwzględnie zbieżna), zaś jest ograniczona; zatem powyższa całka jest bezwzględnie zbieżna. 1. Zwany też gdzieniegdzie warunkiem Bolzano-Cauchy'ego