Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13
Terminologia Macierze A M n n (R) nazywamy kwadratowymi. Oznaczenie: Niech A M n n (R). Wówczas A ij oznacza macierz powstała z A przez usunięcie i-tego wiersza i j-tej kolumny. Zatem A ij M (n 1) (n 1) (R). Przykład Niech A = 1 2 3 0 7 4 5 3 1 wówczas A 23 = [ 1 2 5 3 ] Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 2 / 13
Definicja Wyznacznikiem nazywamy funkcję przyporzadkowuj ac a każdej macierzy kwadratowej A o wyrazach z R pewna liczbę rzeczywista oznaczana det A i spełniajac a: (i) Jeśli A = [a] to det A = a (ii) Jeśli a 11... a 1n A =.... n. gdzie n > 1, to det A = ( 1) 1+j a 1j det A 1j a n1... a j=1 nn. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 3 / 13
Przykład n = 2, [ a11 a det 12 a 21 a 22 np. ] = ( 1) 1+1 a 11 a 22 + ( 1) 1+2 a 12 a 21 = a 11 a 22 a 12 a 21 [ 1 2 det 4 3 ] = 3 8 = 5 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 4 / 13
Przykład podobnie dla n = 3 a 11 a 12 a 13 [ det a 21 a 22 a 23 = ( 1) 1+1 a22 a a 11 det 23 a a 31 a 32 a 32 a 33 33 [ ( 1) 1+2 a21 a a 12 det 23 a 31 a 33 ] + ] [ + ( 1) 1+3 a21 a a 13 det 22 a 31 a 32 ] = a 11 a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31. Np.: 1 0 2 det 3 1 0 = 5 + 24 = 29 0 4 5 (Schemat Sarrusa na tablicy) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 5 / 13
Własności wyznaczników Twierdzenie (1) Niech A, B, C M n n (R). (a) Niech k n, k 1. Jeśli macierze A, B, C maja wszystkie wiersze (kolumny), za wyjatkiem wiersza (kolumny) z numerem k równe, natomiast wiersz (kolumna) z numerem k macierzy C jest suma odpowiednich wierszy (kolumn) z numerem k macierzy A i B to det C = det A + det B. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 6 / 13
Własności wyznaczników Twierdzenie (1) Niech A, B, C M n n (R). (a) Niech k n, k 1. Jeśli macierze A, B, C maja wszystkie wiersze (kolumny), za wyjatkiem wiersza (kolumny) z numerem k równe, natomiast wiersz (kolumna) z numerem k macierzy C jest suma odpowiednich wierszy (kolumn) z numerem k macierzy A i B to det C = det A + det B. (b) Jeśli B powstała z A poprzez zamianę dwóch wierszy (kolumn) to det B = det A. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 6 / 13
Własności wyznaczników Twierdzenie (1) Niech A, B, C M n n (R). (a) Niech k n, k 1. Jeśli macierze A, B, C maja wszystkie wiersze (kolumny), za wyjatkiem wiersza (kolumny) z numerem k równe, natomiast wiersz (kolumna) z numerem k macierzy C jest suma odpowiednich wierszy (kolumn) z numerem k macierzy A i B to det C = det A + det B. (b) Jeśli B powstała z A poprzez zamianę dwóch wierszy (kolumn) to det B = det A. (c) Jeśli B powstała z A poprzez pomnożenie jednego z wierszy (jednej z kolumn) A przez liczbę c to det B = c det A Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 6 / 13
Przykład (a): det 3 1 5 2 0 4 det = det 1 1 4 2 0 4 (1 + 2) (1 + 0) (4 + 1) 2 0 4 + det 2 0 1 2 0 4 = Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 7 / 13
Przykład (a): (b) det 3 1 5 2 0 4 det det = det 1 1 4 2 0 4 3 1 5 2 0 4 (1 + 2) (1 + 0) (4 + 1) 2 0 4 + det = det 2 0 1 2 0 4 3 1 5 2 0 4 = Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 7 / 13
Przykład (a): (b) (c) det 3 1 5 2 0 4 det det det = det 1 1 4 2 0 4 3 1 5 2 0 4 3 1 5 2 0 4 (1 + 2) (1 + 0) (4 + 1) 2 0 4 + det = det = 2 det 2 0 1 2 0 4 3 1 5 2 0 4 3 1 5 1 0 2 = Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 7 / 13
Definicja Niech A = [a ij ] = M m n (R). Macierz B = [b ij ] M n m (R), spełniajac a dla każdej pary indeksów i, j równość b ij = a ji nazywamy macierza transponowana do A i oznaczamy przez A Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 8 / 13
Definicja Niech A = [a ij ] = M m n (R). Macierz B = [b ij ] M n m (R), spełniajac a dla każdej pary indeksów i, j równość b ij = a ji nazywamy macierza transponowana do A i oznaczamy przez A Przykład Niech A = [ 1 0 2 3 1 6 ] wtedy A = 1 3 0 1 2 6 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 8 / 13
Definicja Niech A = [a ij ] = M m n (R). Macierz B = [b ij ] M n m (R), spełniajac a dla każdej pary indeksów i, j równość b ij = a ji nazywamy macierza transponowana do A i oznaczamy przez A Przykład Niech A = [ 1 0 2 3 1 6 ] wtedy A = 1 3 0 1 2 6 Twierdzenie Dla każdej macierzy A M n n (R) zachodzi det A = det A Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 8 / 13
Definicja Niech A = [a ij ] = M m n (R). Macierz B = [b ij ] M n m (R), spełniajac a dla każdej pary indeksów i, j równość b ij = a ji nazywamy macierza transponowana do A i oznaczamy przez A Przykład Niech A = [ 1 0 2 3 1 6 ] wtedy A = 1 3 0 1 2 6 Twierdzenie Dla każdej macierzy A M n n (R) zachodzi det A = det A Przykład [ 1 2 det 3 4 ] [ 1 3 = det 2 4 ] [ 1 2 = det 3 4 ] Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 8 / 13
Twierdzenie (Rozwinięcie Laplace a względem wiersza lub kolumny) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 9 / 13
Twierdzenie (Rozwinięcie Laplace a względem wiersza lub kolumny) Dla każdej macierzy A M n n (R) mamy :Jeśli a 11... a 1n A =..... gdzie n > 1, to a n1... a nn det A = n j=1 ( 1)i+j a ij det A ij = n j=1 ( 1)i+j a ji det A ji, dla 1 i n. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 9 / 13
Twierdzenie (Rozwinięcie Laplace a względem wiersza lub kolumny) Dla każdej macierzy A M n n (R) mamy :Jeśli a 11... a 1n A =..... gdzie n > 1, to a n1... a nn det A = n j=1 ( 1)i+j a ij det A ij = n j=1 ( 1)i+j a ji det A ji, dla 1 i n. Przykład det 0 2 0 0 1 2 5 0 4 7 9 3 3 2 5 0 3 ( 1) 1+2 2 det = ( 1)3+4 3 det [ 1 5 3 5 0 2 0 1 2 5 3 2 5 ] = 6 ( 10) = 60 = Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 9 / 13
Twierdzenie (Cauchy ego o mnożeniu wyznaczników) Dla dowolnych macierzy A, B M n n (R) mamy det(ab) = det A det B Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 10 / 13
Twierdzenie (Cauchy ego o mnożeniu wyznaczników) Dla dowolnych macierzy A, B M n n (R) mamy det(ab) = det A det B Wnioski 1. Jeśli macierz A ma wiersz (lub kolumnę) zerowy to det A = 0. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 10 / 13
Twierdzenie (Cauchy ego o mnożeniu wyznaczników) Dla dowolnych macierzy A, B M n n (R) mamy det(ab) = det A det B Wnioski 1. Jeśli macierz A ma wiersz (lub kolumnę) zerowy to det A = 0. 2. Jeśli w macierzy A dwa wiersze (dwie kolumny) sa identyczne to det A = 0 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 10 / 13
Twierdzenie (Cauchy ego o mnożeniu wyznaczników) Dla dowolnych macierzy A, B M n n (R) mamy det(ab) = det A det B Wnioski 1. Jeśli macierz A ma wiersz (lub kolumnę) zerowy to det A = 0. 2. Jeśli w macierzy A dwa wiersze (dwie kolumny) sa identyczne to det A = 0 3. a) Operacje elementarne typu 1 (dodanie do wiersza innego wiersza pomnożonego przez liczbę, analogicznie dla kolumn) nie zmieniaja wyznacznika macierzy. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 10 / 13
Twierdzenie (Cauchy ego o mnożeniu wyznaczników) Dla dowolnych macierzy A, B M n n (R) mamy det(ab) = det A det B Wnioski 1. Jeśli macierz A ma wiersz (lub kolumnę) zerowy to det A = 0. 2. Jeśli w macierzy A dwa wiersze (dwie kolumny) sa identyczne to det A = 0 3. a) Operacje elementarne typu 1 (dodanie do wiersza innego wiersza pomnożonego przez liczbę, analogicznie dla kolumn) nie zmieniaja wyznacznika macierzy. b) Operacje elementarne typu 2 (zamiana dwu wierszy badź kolumn) zmieniaja wyznacznik na przeciwny. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 10 / 13
Twierdzenie (Cauchy ego o mnożeniu wyznaczników) Dla dowolnych macierzy A, B M n n (R) mamy det(ab) = det A det B Wnioski 1. Jeśli macierz A ma wiersz (lub kolumnę) zerowy to det A = 0. 2. Jeśli w macierzy A dwa wiersze (dwie kolumny) sa identyczne to det A = 0 3. a) Operacje elementarne typu 1 (dodanie do wiersza innego wiersza pomnożonego przez liczbę, analogicznie dla kolumn) nie zmieniaja wyznacznika macierzy. b) Operacje elementarne typu 2 (zamiana dwu wierszy badź kolumn) zmieniaja wyznacznik na przeciwny. c) Operacje elementarne typu 3, tzn. pomnożenie wiersza badź kolumny przez liczbę c skutkuja pomnożeniem wyznacznika przez c. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 10 / 13
Jak obliczać wyznaczniki? Definicja Macierz A = [a ij ] M n n (R) nazywamy macierza trójkatn a (dokładniej: górnie trójkatn a), jeśli a ij = 0 dla każdej pary indeksów i, j, takich, że i > j (i, j {1,..., n}) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 11 / 13
Jak obliczać wyznaczniki? Definicja Macierz A = [a ij ] M n n (R) nazywamy macierza trójkatn a (dokładniej: górnie trójkatn a), jeśli a ij = 0 dla każdej pary indeksów i, j, takich, że i > j (i, j {1,..., n}) Przykład Macierz jest (górnie) trójkatna. 4 3 1 1 0 2 0 3 0 0 0 4 0 0 0 7 Uwaga: macierz kwadratowa w postaci schodkowej jest trójkatna. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 11 / 13
Twierdzenie (i) Jeśli A = [a ij ] M n n (R) jest trójkatna to det A = a 11 a 22... a nn. (ii) Jeśli macierz kwadratowa B powstała z macierzy kwadratowej A przez zastosowanie operacji elementarnych 1 i 2 typu (wierszowych badź kolumnowych) to det A = ( 1) s det B, gdzie s oznacza liczbę przeprowadzonych operacji 2 typu (tzn. zamiany wierszy badź kolumn) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 12 / 13
Twierdzenie (i) Jeśli A = [a ij ] M n n (R) jest trójkatna to det A = a 11 a 22... a nn. (ii) Jeśli macierz kwadratowa B powstała z macierzy kwadratowej A przez zastosowanie operacji elementarnych 1 i 2 typu (wierszowych badź kolumnowych) to det A = ( 1) s det B, gdzie s oznacza liczbę przeprowadzonych operacji 2 typu (tzn. zamiany wierszy badź kolumn) Metoda obliczania wyznacznika. Sprowadzamy macierz operacjami 1 i 2 rodzaju do postaci trójkatnej po czym korzystamy z powyższego twierdzenia. (Przykłady na tablicy) Wniosek Układ wektorów w 1,..., w n R n jest liniowo zależny macierz A M n n (R), której wierszami sa wektory w 1,..., w n spełnia det A = 0 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 12 / 13
Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 13 / 13
Twierdzenie [ ] A B Niech macierz M ma postać blokowa, gdzie A i C oznaczaja 0 C podmacierze kwadratowe M, zaś 0 prostokatny blok złożony z samych 0. Wtedy det M = det A det C Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 13 / 13
Twierdzenie [ ] A B Niech macierz M ma postać blokowa, gdzie A i C oznaczaja 0 C podmacierze kwadratowe M, zaś 0 prostokatny blok złożony z samych 0. Wtedy det M = det A det C Przykład Niech M = 2 3 1 25 73 5 0 1 11 97 3 4 0 17 13 0 0 0 2 0 0 0 0 1 3. Macierz M ma strukturę blokowa jak w powyższym twierdzeniu. Mamy 3 3 blok A = 2 3 1 5 0 1 3 4 0 [ ] 2 0 2 2 blok C =. Zatem 1 3 det M = det A det C = (5 4 1 + 3 1 3 4 1 2) (2 3) = 126 oraz Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 13 / 13
Uwaga. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 14 / 13
Uwaga. Na płaszczyźnie wyznacznik ma następujac a interpretację geometryczna: pole równoległoboku rozpiętego na wektorach (a, b), (c, d) jest równe wartości bezwzględnej [ a b det c d ]. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 14 / 13
Uwaga. Na płaszczyźnie wyznacznik ma następujac a interpretację geometryczna: pole równoległoboku rozpiętego na wektorach (a, b), (c, d) jest równe wartości bezwzględnej [ a b det c d Podobnie objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach (a, b, c), (d, e, f ), (g, h, i) R 3 jest równa det A, gdzie A = ]. a b c d e f g h i Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 14 / 13