Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną do, jeżeli spełniona jest równość: I. Uwaga: Macierz jest odwracalna, czyli posiada macierz odwrotną, wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest różny od zera, czyli jest ona tzw. macierzą nieosobliwą. Zadanie Sprawdź, czy podane macierze są do siebie wzajemnie odwrotne:,, Rozwiązanie: a) Obliczymy iloczyn :, czyli I, a więc podane macierze nie są do siebie wzajemnie odwrotne. OCZYOCZYWIŚCIE NIE musimy JUŻ OLICZĆ DRUGIEGO Z ILOCZYNÓW PODNYCH W DEFINICJI MCIERZY ODWROTNEJ. b) Podobnie jak powyżej, obliczymy iloczyn:
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych,, zatem podane macierze są do siebie wzajemnie odwrotne. Uwaga powyższa nie podaje sposobu, jak obliczyć macierz odwrotną do danej. Sposób ten (jeden z możliwych ) jest opisany poniżej: by wyznaczyć macierz odwrotną do, wykonujemy następujące czynności: ) Obliczamy wyznacznik macierzy ; jeśli det, to macierz odwrotna nie istnieje, ) Jeśli det, to obliczamy dopełnienia algebraiczne wszystkich wyrazów macierzy ( dopełnieniem algebraicznym wyrazu ij a macierzy nazywamy wyznacznik podmacierzy powstałej z przez wykreślenie i tego wiersza i j tej kolumny, pomnożony przez liczbę j i ) dopełnienie algebraiczne wyrazu ij a będziemy oznaczać przez ij. ) Tworzymy macierz n j i ij D,,...,, ) Wyznaczamy macierz transponowaną do D ) Macierzą odwrotną do jest macierz T D det Zadanie Sprawdź, czy dana macierz jest odwracalna i, jeśli tak, wyznacz macierz odwrotną: )
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych ) C) Rozwiązanie: a) Najpierw obliczymy wyznacznik macierzy :, zatem jest odwracalna. Obliczymy teraz dopełnienia algebraiczne wszystkich wyrazów tej macierzy:,,,. Zauważmy, że w tym przypadku dopełnienia algebraiczne wyrazów są wyznacznikami macierzy wymiaru, czyli zawierającej tylko jeden wyraz. Taki wyznacznik jest równy temu wyrazowi. Macierz D ma więc postać : D, zatem T D i otrzymujemy wreszcie macierz. by sprawdzić poprawność wykonanych obliczeń, możemy obliczyć odpowiednie iloczyny:,
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych, zatem otrzymaliśmy poprawny wynik. ) det Zatem istnieje macierz odwrotna do. OLICZYMY DOPEŁNIENI LGERICZNE WSZYSTKICH WYRZÓW MCIERZY :,,,,,,,,.
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Otrzymujemy stąd macierz D, następnie T D, i wreszcie. Wykonamy jeszcze sprawdzenie: I, I ZTEM WYKONLIŚMY POPRWNE OLICZENI. C) det Zatem macierz powyższa jest nieodwracalna. Układ równań liniowych to układ równań postaci:
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych a a... a n n b a a... an n b... ak ak... aknn bk gdzie a, b R dla i,,..., k; j,,..., n. ij i a ij nazywamy macierzą tego układu. Macierz i k j,,,...,,..., n Jeśli w powyższym układzie równań liczba równań jest równa liczbie niewiadomych, czyli n k, i wyznacznik macierzy tego układu jest różny od zera, to układ ten nazywamy układem Cramera. Uwaga Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jest nim ciąg liczb z liczb i można obliczyć korzystając z wzoru:,...,, n, gdzie każdą Wi i ( dla i,,..., n ) W W jest wyznacznikiem macierzy tego układu (tzw. wyznacznikiem głównym), zaś W i jest wyznacznikiem macierzy powstałej przez zastąpienie w macierzy układu i tej kolumny kolumną wyrazów wolnych. Opisana powyżej metoda rozwiązywania układów Cramera, nazywa się metodą wyznaczników. Zadanie Sprawdź, czy podany układ jest układem Cramera. Jeśli tak, rozwiąż go metodą wyznaczników. ) )
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych C) Rozwiązania: a) Obliczymy najpierw wyznacznik główny tego układu, aby sprawdzić, czy jest to układ Cramera: W, zatem jest to układ Cramera i możemy zastosować metodę wyznaczników: W, W. Stosując teraz podane powyżej wzory, otrzymujemy:, Czyli rozwiązaniem układu jest para liczb :, b) Podobnie, jak poprzednio, obliczymy wyznacznik główny układu: W Zatem jest to układ Cramera. Mamy:
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych W W W, Zatem, czyli rozwiązaniem układu jest ciąg trzech liczb:,,. c) Tak, jak w poprzednich przykładach, obliczamy wyznacznik główny: ` W. ponieważ wyznacznik główny jest równy, więc powyższy układ nie jest układem Cramera. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie Zbadaj, czy dana macierz posiada macierz odwrotną i, jeśli tak, wyznacz ją:
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych ) ) C) D) E) F) Zadanie Zbadaj, czy macierz jest odwrotna do macierzy : ), ), C), D), Zadanie Oceń, czy następujący układ równań jest układem Cramera i, jeśli tak, rozwiąż go metodą wyznaczników. )
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych ) C) D) E) F) G) H) I) J) K)
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych L) ODPOWIEDZI: ZDNIE ) TK; ) TK; C) NIE D) TK; E) TK; F) TK; ZDNIE ) NIE ) TK C) TK D) NIE ZDNIE ) TK; ROZWIĄZNIEM JEST PR LICZ:,. ) TK; ROZWIĄZNIEM JEST PR LICZ:,.
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych C) TK; ROZWIĄZNIEM JEST TRÓJK LICZ:,, D) NIE JEST TO UKŁD CRMER. E) TK; ROZWIĄZNIEM JEST TRÓJK LICZ:,,. F) TK; ROZWIĄZNIEM JEST TRÓJK LICZ:,,. G) TK; ROZWIĄZNIEM JEST TRÓJK LICZ:,,. H) TK; ROZWIĄZNIEM JEST TRÓJK LICZ:,,. I) TK; ROZWIĄZNIEM JEST TRÓJK LICZ:,,. J) TK; ROZWIĄZNIEM JEST TRÓJK LICZ:,,. K) TK; ROZWIĄZNIEM JEST TRÓJK LICZ:,,. L) TK; ROZWIĄZNIEM JEST TRÓJK LICZ:,,.