METODY ELECTRE W DETERMINISTYCZNYCH I STOCHASTYCZNYCH PROBLEMACH DECYZYJNYCH

DECYZJE nr rudzień 004 35 METODY ELECTRE W DETERMINISTYCZNYCH I STOCHASTYCZNYCH PROBLEMACH DECYZYJNYCH Mcie Nowk * Akdemi Ekonomiczn w Ktowicch Wstęp Relc preferenci indywidulne pozoste ednym z łównych zdnień podemownych w nukch społecznych od pond pięćdziesięciu lt. Intensywne dni prowdzone są zrówno przez ekonomistów, k i psycholoów zmuących się wyormi społecznymi, oceniniem i wrtościowniem. Prce tkich dczy k Arrow 1951, Simon 198 czy Khnemn i Tversky 1979 wywrły silny wpływ n dczy prcuących nd zdnienimi z zkresu podemowni decyzi i doprowdziły do sformułowni noweo prdymtu, w którym punkt ciężkości rozwżń przesuw się z pró odpowiedzi n pytnie o to, ką decyzę nleży podąć, n zdnieni związne z lepszym rozumieniem prolemu decyzyneo. W tym uęciu nlizę decyzi zstępue wspomnie decyzi, w którym istotną rolę odryw nlityk wspierący decydent w formułowniu wrintów decyzynych, konstruowniu kryteriów oceny wrintów orz wyorze formy reci ocen dokonywnych wzlędem poszczeólnych kryteriów. W nowym podeściu podkreśl się wielokryterilny chrkter prolemu decyzyneo. Zwrc się uwę n fkt, że decyze zwykle mą prowdzić do zspokoeni cłeo zioru potrze decydent, co z tym idzie nie est ni uzsdnionym, ni prktycznym sprowdznie porównni wrintów do porównni ich ocen wzlędem poedynczeo kryterium. * Mcie Nowk, Ktedr Bdń Opercynych, Akdemi Ekonomiczn w Ktowicch ul. 1 M 50, 40-87 Ktowice, e-mil: nomc@e.ktowice.pl

36 METODY ELECTRE Jednym z nciekwszych nurtów, które powiły się w nuce o podemowniu decyzi w ciąu osttnich 30 lt, est tzw. europesk zwn też frncuską szkoł podemowni decyzi, które łównym nimtorem est prof. Bernrd Roy. Metodoloi proponown przez dczy z teo kręu uksztłtowł się nieko w opozyci do klsyczne nlizy decyzi oprte n teorii użyteczności. Jk pisze Roy 1990, czynnikiem skłniącym o do podęci dń, które doprowdziły do sformułowni nowe metodoloii, ył rezerw woec normtywneo chrkteru klsyczne teorii podemowni decyzi orz wątpliwości co do pewnych niewnych e złożeń, określnych przez nieo ko postult rzeczywistości pierwszeo rzędu, postult decydent i postult optimum. Pierwszy z nich mówi, że wspomnie decyzi oprte est n fktch, które są opisne przez dne istnieące poz nlizą i niezleżnych od nie orz n tyle stilnych, że możn mówić o dokłdnym stnie lu dokłdne wrtości ich chrkterystyk, które uwż się z istotne. Postult decydent z kolei ozncz, że kżd decyz podemown est przez dorze zdefiniowneo decydent, któreo preference są zodne ze ziorem pewnych ksomtów. Wreszcie postult optimum stwierdz, że dl kżdeo prolemu decyzyneo istniee co nmnie edn decyz optymln, którą możn ustlić, eżeli dysponue się odpowiednimi środkmi. Bdcze z kręu europeskie szkoły podemowni decyzi podkreślą, że w przypdku relnych sytuci decyzynych powyższe postulty spełnione ywą niezmiernie rzdko. Chrkterystycznymi cechmi prolemów, z którymi mmy do czynieni w rzeczywistości, est towrzysząc im niepewność, nieprecyzyność, niestłość orz nieokreśloność. Dotyczy to zrówno dnych, n których opier się nliz, k i ocen orz preferenci uczestników procesu decyzyneo. Bdni prowdzone przez dczy szkoły europeskie z edne strony doprowdziły do oprcowni nowe metodoloii podemowni decyzi, z druie zś zowocowły skonstruowniem cłeo szereu technik wielokryterilnych znduących szerokie zstosownie w różnorodnych prolemch decyzynych. Wyróżnią się wśród nich metody z rodziny ELECTRE. Dążąc do k nrdzie relistyczneo odwzorowni nlizowneo prolemu decyzyneo, wprowdz się w nich wrtości proowe równowżności i preferenci. Celem tkieo podeści est zudownie n ziorze wrintów decyzynych relci przewyższni, któr est relcą częściową preferenci lolne. Tki sposó postępowni pozostwi miesce sytucom nieporównywlności tłumcząc to np. rkiem wystrczących informci do określeni sytuci preferencyne. Pierwsz z metod ELECTRE zprezentown zostł w roku 1966. Od teo czsu zproponowno cły szere technik dostosownych do specyfiki różneo rodzu prolemów decyzynych, począwszy od zdnieni wyoru nlepszeo wrintu decyzyneo ELECTRE I i ELECTRE IS, przez prolem

Mcie Nowk 37 sortowni ELECTRE TRI, po zdnienie porządkowni wrintów decyzynych ELECTRE II, ELECTRE III, ELECTRE IV. Celem niniesze prcy est przedstwienie możliwości wykorzystni tych metod zrówno w deterministycznych, k i stochstycznych prolemch wielokryterilneo podemowni decyzi. W prcy przedstwiono również proponowny przez utor niniesze prcy lorytm pozwlący n wykorzystnie koncepci pseudokryterium w przypdku, dy oceny wrintów mą postć rozkłdów prwdopodoieństw. Prc skonstruown zostł w sposó nstępuący. W rozdzile druim przedstwiono podstwowe złożeni metodoloiczne europeskie szkoły wielokryterilneo podemowni decyzi. Omówiono relce inrne wykorzystywne w modelowniu preferenci orz przedstwiono koncepcę pseudokryterium. Nstępn część prcy poświęcon est oólne prezentci metod z rodziny ELECTRE. Z kolei w rozdziłch czwrtym i piątym przedstwiono w sposó rdzie szczeółowy metody ELECTRE I i ELECTRE III. W części nstępne zprezentowno sposó wykorzystni tych metod w stochstycznych, dyskretnych prolemch decyzynych. W rozdzile tym omówiono krótko metodę zproponowną przez Zrsi i Mrtel 1994 orz przedstwiono lorytm proponowny przez utor niniesze prcy. Osttnią część prcy stnowi zkończenie, w którym przedstwiono pokrótce oszry zstosowń omwinych procedur. Podstwowe złożeni metodoloiczne europeskie szkoły podemowni decyzi Klsyczn teori podemowni decyzi zkłd, że porównuąc dw wrinty decyzyne i możemy mieć do czynieni z edną i tylko edną z nstępuących sytuci: est uznwne z równowżne, est preferowne w stosunku do, est preferowne w stosunku do. W Roy, złożenie to est nieuzsdnione i sprwi spore trudności we wspomniu decyzi. W zmin proponue on rozszerzenie zioru podstwowych sytuci preferencynych w tki sposó, y oemowł sytuce równowżności, preferenci silne, preferenci słe orz nieporównywlności. Dwie pierwsze sytuce rozumine są podonie k w podeściu klsycznym: istnieą uzsdnione przesłnki pozwlące n przyęcie równowżności ou wrin-

38 METODY ELECTRE tów lu silne preferenci edneo z nich. Z kolei preferenc sł rozumin est ko sytuc, dy istnieą istotne przesłnki, które z edne strony osłią silną preferencę edneo z wrintów, z druie ednk nie są wystrczące do teo, y uzsdnionym yło przyęcie hipotezy o równowżności ou wrintów lu preferenci druieo z nich. Ntomist z nieporównywlnością wrintów mmy do czynieni wówczs, dy rk est wystrczących przesłnek do przyęci, że zchodzi którkolwiek z pozostłych sytuci podstwowych. Z wymienionymi sytucmi podstwowymi związne są relce inrne oznczne odpowiednio przez I równowżność, P preferenc siln, Q preferenc sł orz R nieporównywlność. Powyższe relce moą yć wykorzystywne w modelowniu preferenci n dw sposoy. W pierwszym wypdku dl kżde pry wrintów, nleżących do zioru wrintów decyzynych A określmy edną i tylko edną z czterech sytuci podstwowych. Ozncz to, że z prwdziwe przymuemy dokłdnie edno z nstępuących stwierdzeń: I, P, P, Q, Q, R Drui sposó postępowni pole n przyęciu, że dl kżde pry wrintów określić możn edną, dwie lu trzy sytuce podstwowe, ez możliwości rozróżnieni, któr z nich m miesce. Roy definiue dodtkowo pięć sytuci zrupownych określnych ko rk preferenci równowżność lu nieporównywlność, preferenc w szerokim sensie siln lu sł preferenc, przypuszczenie preferenci sł preferenc lu równowżność, K-preferenc siln preferenc lu nieporównywlność orz przewyższnie. Relce inrne odpowidące tym sytucom oznczne są odpowiednio przez ~, f, J, K orz S. W metodoloii szkoły europeskie szczeólną rolę odryw relc przewyższni odpowidąc istnieniu wżnych przesłnek, które uzsdnią preferencę lo przypuszczenie preferenci edneo z dwóch wrintów, lecz ez możliwości rozróżnieni sytuci silne i słe preferenci orz równowżności. Porządkownie zioru wrintów decyzynych wym określeni funkci kryterium, któr w sposó numeryczny pozwl wyrzić preference decydent. Wedłu Roy, funkc może pełnić rolę kryterium, eżeli odzwierciedl sytucę przewyższni, co ozncz, że spełniony est wrunek: S Rozróżnienie sytuci równowżności, preferenci słe i silne możliwe est dzięki wykorzystniu funkci proowych związnych z kryterium nzywnych promi równowżności i preferenci. Złóżmy, że wrtość kryterium dl wrintu nie est niższ niż wrtość te funkci dl wrintu. Pró równowżności, oznczny przez q, definiowny est w ten sposó, że w przy-

39 pdku, dy różnic między wrtościmi i nie est wyższ niż wrtość prou, to przymuemy równowżność wrintów i, w przeciwnym zś przypdku przymuemy, że zchodzi preferenc w szerokim sensie: Z kolei pró preferenci konstruowny est tk, y w przypdku, dy różnic między wrtościmi i est wyższ niż wrtość prou, możn yło przyąć silną preferencę wrintu w stosunku do, w przeciwnym przypdku przypuszczenie preferenci: W prktyce nczęście przymue się, że proi przyierą wrtości stłe lu są zdefiniowne ko funkc liniow wrtości kryterium edneo z porównywnych wrintów. Rysunek 1. Strefy równowżności, słe i silne preferenci w przypdku, dy Z przytoczonych powyże definici wywnioskowć możn, że: W oprciu o koncepcę proów równowżności i preferenci definiue się pseudokryterium. Jest to tk funkc kryteriln, z którą są związne dwie funkce proowe q i p, niemleące i tkie, że, A: Powyższą zleżność w sposó rficzny przestwiono n rys. 1. q I q A f > i 0,, J p P p A > 0 i,, Q p q A <,, p q 0 Mcie Nowk < < p P p q Q q I eżeli eżeli eżeli

40 METODY ELECTRE Przykłd 1: Złóżmy, że wrtość funkci kryterilne dl wrintu wynosi 75, zś proi równowżności i preferenci przymuą wrtości stłe równe odpowiednio: 5 i 0. Przenlizumy, z ką sytucą ędziemy mieli do czynieni, eżeli funkc kryterium dl wrintu przymue koleno wrtości równe 78, 90, 10: = 78: w tym wypdku nleży przyąć, że mmy do czynieni z równowżnością wrintów i, dyż q 78 75 5 ; = 90: przymuemy, że mmy do czynieni ze słą preferencą wrintu w stosunku do, dyż q < p 5 < 90 75 0 ; c = 10: zchodzi przypdek silne preferenci wrintu w stosunku do, dyż > p 10 75 > 0. W przypdku prolemu wielokryterilneo powste prolem, w ki sposó nleży reowć oceny cząstkowe ze wzlędu n poszczeólne kryteri tk, y możliwym yło modelownie preferenci lolnych decydent. W proponowne przez Roy koncepci reci odpowiednikiem funkci reci stosowne w podeściu klsycznym est ziór wrunków, które chrkteryzuą oecność lu nieoecność przewyższni. Wrunki te przymuą zwykle formę testów. Dzięki temu możliwym est tkie modelownie preferenci, które kceptue możliwość wystąpieni nieporównywlności. W podeściu tym przymue się również złożenie o orniczone kompensci oznczące, że możliw est tk sytuc, w które przew wrintu nd wrintem ze wzlędu n edno z kryteriów powodue, że hipotezę o przewyższniu wrintu przez wrint nleży odrzucić nwet wówczs, dy est on silnie preferowny ze wzlędu n wszystkie pozostłe kryteri. Do nlizy teo typu sytuci wykorzystywny est pró wet, oznczny ko v. Przykłd : Przymimy, że dw wrinty i są porównywne ze wzlędu n cztery kryteri. Odpowiednie dne podne są w teli 1.

Mcie Nowk 41 Tel 1. Dne do przykłdu W prezentownym przykłdzie mmy do czynieni z sytucą, dy wrint ędzie silnie preferowny w stosunku do wrintu ze wzlędu n kryteri o numerch 1, i 3. W przypdku kryterium nr 4 mmy ednk do czynieni z silną preferencą w stosunku do wrintu. Co więce, różnic między ocenmi wrintu i ze wzlędu n to kryterium przekrcz wrtość prou wet. Ozncz to, że niezleżnie od relci, kie zchodzą między wrintmi ze wzlędu n pozostłe kryteri, hipotezę o przewyższniu wrintu przez wrint nleży odrzucić. W tkim wypdku ędziemy mieli do czynieni z nieporównywlnością wrintów i. Rodzin metod ELECTRE Omówione powyże pokrótce podstwowe złożeni metodoloiczne yły podstwą do oprcowni cłeo szereu technik wielokryterilnych. Do nrdzie znnych i szeroko stosownych nleżą metody z rodziny ELECTRE. Wyór konkretne metody zleży z edne strony od rodzu prolemu, z kim mmy do czynieni, z druie zś od rodzu dnych, kimi dysponuemy. Roy 1990 wyróżni cztery prolemtyki wzorcowe: wyoru, sortowni, porządkowni i opisu wielokryterilneo. W przypdku pierwsze z nich prolem formułowny est w kteorich wyoru nlepszeo wrintu. Prolemtyk sortowni nstwion est n zdnienie przydziłu wrintów do pewnych kteorii, z których kżd m smowystrczlną definicę. Z kolei prolemtyk porządkowni pole n ukierunkowniu dń n uporządkownie wrintów wedłu mleące preferenci. Wreszcie w przypdku prolemtyki opisu dni nkierowne są n opis wrintów decyzynych i ich konsekwenci. Listę metod z rodziny ELECTRE wrz z informcą o rodzch prolemtyk, w których moą one yć wykorzystywne, przedstwi tel.

4 METODY ELECTRE Tel. Metody z rodziny ELECTRE Podstwową zsdą wykorzystywną w metodch ELECTRE est porównywnie kżdeo wrintu z wszystkimi pozostłymi. W ten sposó sprwdz się, czy istnieą przesłnki pozwlące n uznnie dneo wrintu z mący przewę nd kżdym z pozostłych. Hipotezę est w relci przewyższni z weryfikue się z pomocą dwóch wrunków: zodności orz rku niezodności. Poniże opisno metody ELECTRE I i ELECTRE III. Opis pozostłych metod znleźć możn w prcy Roy i Bouyssou 1993. Metod ELECTRE I Niech ozncz spóną rodzinę kryteriów 1,,..., m, czyli ziór kryteriów spełniący wrunki wyczerpywlności, spóności orz nieredundnci. Przymuemy, że kryteri zdefiniowne są w ten sposó, że wyższ wrtość kryterium est preferown w stosunku do wrtości niższe. Kżdemu kryterium przypisuemy liczę dodtnią k odzwierciedlącą wżność, ką chcemy mu przypisć. Przymimy nstępuące oznczeni: C S = { : } C, k[ C] = k C

Mcie Nowk 43 W metodzie ELECTRE I wrunki zodności i niezodności sformułowne są nstępuąco. Wrunek zodności: k [ C S ] k[ ] s dzie s ozncz pró zodności s [0,5; 1]. Wrunek rku niezodności, + v dzie v ozncz pró wet dl kryterium. Wrunek rku niezodności ozncz, że hipotezę est w relci przewyższni z nleży odrzucić w sytuci, dy dl przynmnie edneo z kryteriów różnic między wrtością kryteriów dl wrintów i est większ niż wrtość proow v. Postępownie w metodzie ELECTRE I opisć możn nstępuąco: 1. Dl kżde pry wrintów i ' oliczmy wskźnik zodności: [ ] k[ ] k C S c, =. Wyznczmy ziór zodności C s : C s = {, A A: c, s s [0,5; 1]} 3. Wyznczmy ziór niezodności: D v = {, A A: + v < } 4. Wyznczmy relcę przewyższni zdefiniowną nstępuąco: S s, v = C dzie : D v s D v = A A \ D v Zdefiniownie relci przewyższni pozwl n skonstruownie rfu zleżności między wrintmi, tym smym n wyznczenie wrintów, które moą yć zproponowne decydentowi do rozwżeni.

44 METODY ELECTRE Przykłd 3: Rozptruemy prolem osoy zmierzące wynąć mieszknie. Aenc nieruchomości proponue osiem lokli wstępnie zkwlifikownych ko spełniące wymni sformułowne przez klient. Przy wyorze klient kierue się nstępuącymi kryterimi: 1 wysokość miesięczneo czynszu w zł, powierzchni użytkow w m, 3 wyposżenie loklu ocenine n skli od 1 do 5, 4 kondync, n które położony est lokl oceny n skli od 1 do 5: ocen nwyższ dl piętr 1 i, ocen 4 dl piętr 3, ocen 3 dl piętr 4, ocen dl pięter wyższych od 4, ocen nniższ dl prteru, 5 loklizc ocenin n skli od 1 do 5, 6 komunikc ocenin n skli od 1 do 5. Tlicę ocen przedstwi tel 3. W związku z fktem, że klient zinteresowny est k nniższą wrtością kryterium 1, oceny podne są w postci licz uemnych. Przymimy, że po dyskusch z klientem przyęto nstępuące wrtości współczynników wowych: k 1 = 0,35, k = 0,5, k 3 = 0,15, k 4 = 0,05, k 5 = 0,10, k 6 = 0,10. Ozncz to, że z nwżniesze kryterium uznno wysokość miesięczneo czynszu, druim co do wżności est powierzchni użytkow, kolenym wyposżenie loklu, ko równie wżne, uznno loklizcę i komunikcę, zś nmnie istotne kondyncę, n które położony est lokl. Oliczone wrtości współczynników zodności przedstwi tel 4. Z kolei w teli 5 zmieszczono informcę o kryterich, dl których stwierdzono, że nie est spełniony wrunek rku niezodności.

Mcie Nowk 45 Tel 3. Tlic ocen dl przykłdu 3 Tel 4. Wrtości współczynników zodności Tel 5. Numery kryteriów, dl których stwierdzono niespełnienie wrunku rku niezodności

46 METODY ELECTRE Z wrtości współczynników zodności wynik, że dl wrtości s > 0,75 wrunek zodności nie est spełniony dl żdne z pr wrintów decyzynych. Dl wrtości s = 0,75 wrunek ten est spełniony wyłącznie dl pry wrintów 5, 8 orz 7, 3, ednk dl ou pr nie est spełniony wrunek rku niezodności ze wzlędu n kryterium. Woec powyższeo pierwszą wrtością, któr pozwl n pozytywne zweryfikownie testu n przewyższnie, est wrtość s = 0,70. rf zleżności między wrintmi dl te wrtości prou zodności przedstwi rys.. Przy tym poziomie współczynnik zodności klientowi nleżłoy zrekomendowć lokle o numerch 6 i 4. Wrto ednk sprwdzić, k wylądć ędzie relc przewyższni, eżeli wrtość prou zodności nieco oniżymy. Odpowiednie rfy dl s = 0,65 orz s = 0,60 zprezentowno n rys. 3 i 4. Anliz wyników wskzue, że przy przyętych wrtościch współczynników wowych klientowi nleżłoy zrekomendowć lokl o numerze 6. W metodzie ELECTRE I nie est wykorzystywn koncepc pseudokryterium, ko że nie wykorzystuemy proów równowżności i preferenci. Metodą wykorzystywną w prolemtyce wyoru, w które pseudokryterium zndue wykorzystnie est ELECTRE IS. Rysunek. Relc przewyższni dl s = 0,70 5 6 4 7 3 8 1

Mcie Nowk 47 Rysunek 3. Relc przewyższni dl s = 0,65 5 6 4 7 3 8 1 Rysunek 4. Relc przewyższni dl s = 0,60 5 6 4 7 3 8 1

48 Metod ELECTRE III Jedną z nczęście stosownych technik porządkowni zioru wrintów decyzynych est metod ELECTRE III, w które wykorzystywn est koncepc pseudokryterium, współczynniki wet orz współczynniki wowe. Pierwszym etpem rozwiązni prolemu est oliczenie wrtości współczynników zodności i wiryodności dl kżde pry wrintów decyzynych. Współczynnik zodności oliczny est nstępuąco: dzie: Współczynnik wiryodności oliczny est nstępuąco: dzie: [ ] [ ] k Q C S C k c,, = { } : q S C + = { } p q Q C + < + = : [ ] + =, Q C S C k k Q C S C k ϕ q p p + = ϕ =,, 1, 1,, D s c c d c σ { },, :, c d D c > = + + > = w innych przypdkch eżeli 0 eżeli 1, p v p p v d METODY ELECTRE

Mcie Nowk 49 Mcierz wskźników wiryodności może yć wykorzystn do wyznczeni dwóch porządków cłkowitych Z 1 i Z. Porządek cłkowity Z 1 est schrkteryzowny przez podził zioru A n r kls C h uporządkownych od h = 1 kls nwyższ do h = r kls nniższ, zś porządek Z schrkteryzowny est przez podził zioru A n p kls oznczonych przez C h uporządkownych od h = p kls nwyższ do h = 1 kls nniższ. Porządek Z 1 uzyskiwny est z pomocą procedury destylci zstępuące, zś porządek Z z pomocą procedury destylci wstępuące 1. Uzyskne w wyniku procedur destylci porządki Z 1 i Z moą yć wykorzystne do wyznczeni rnkinu końcoweo. W tym celu nleży skorzystć z nstępuących zsd: wrint uznemy z lepszy od wrintu, eżeli przynmnie w ednym z porządków est umieszczony wyże niż, zś w druim est n tym smym poziomie, wrint uznemy z lepszy od wrintu, eżeli przynmnie w ednym z porządków est umieszczony wyże niż, zś w druim est n tym smym poziomie, wrinty i uznemy z równowżne, eżeli w ou porządkch i umieszczone są n tym smym poziomie, wrinty i uznemy z nieporównywlne, eżeli w ednym z porządków umieszczone est wyże, zś w druim niże niż. Buduąc rnkin końcowy rozpoczynmy od nlepszych wrintów, tzn. tych, dl których nie możn znleźć wrintów, które zodnie z przytoczonymi wyże zsdmi możn y uznć z lepsze. Wrinty te umieszczne są n poziomie nwyższym. N kolenych poziomch umieszczmy wrinty, które są orsze edynie od wrintów położonych n poziomch wyższych. Przykłd 4: Przenlizuemy ponownie prolem z przykłdu 3. Przymiemy, że klientem iur nieruchomości est firm zmierząc wynąć kilk mieszkń dl swoich prcowników. W te sytuci prolem możn sformułowć ko prolemtykę porządkowni wrintów decyzynych. Wrtości proów równowżności i preferenci przedstwiono w teli 6. Wrtości współczynników wiryodności przedstwi tel 7, zś wyniki procedur destylci orz rnkin końcowy tel 8.

50 METODY ELECTRE Tel 6. Wrtości proów równowżności i preferenci Tel 7. Wrtości współczynników wiryodności Tel 8. Wyniki procedur destylci i rnkin końcowy Metody ELECTRE w stochstycznych prolemch decyzynych Zdnie, w którym skończon licz wrintów decyzynych ocenin est wzlędem skończone liczy kryteriów, zś oceny wrintów wzlędem kryteriów mą postć rozkłdów prwdopodoieństw, nzywmy stochstycznym, dyskretnym prolemem wielokryterilneo podemowni decyzi.

Mcie Nowk 51 Opisywny prolem możn wyrzić z pomocą modelu Wrinty Kryteri Oceny, w którym mmy: 1. Ziór wrintów decyzynych: A = { 1,,..., m }. Ziór kryteriów oceny wrintów: X = { X 1, X,..., X n } 3. Ziór ocen wrintów decyzynych wzlędem kryteriów: E = [ X ik ] mn, Przymuemy, że odpowiednie funkce rozkłdu prwdopodoieństw są znne, zś kryteri zdefiniowne są w tki sposó, że wyższ wrtość kryterium est preferown w stosunku do wrtości niższe. W tkim przypdku porównnie dwóch wrintów sprowdz się do porównni dwóch wektorów rozkłdów prwdopodoieństw. Powyższy prolem decyzyny może yć rozwiązny przez mksymlizcę wielotryutowe funkci użyteczności. Keeney nd Riff 1976 pokzli, że eżeli spełnione są wrunki niezleżności kryteriów wzlędem użyteczności, to wielotryutowe porównnie dwóch wrintów decyzynych może yć zstąpione przez porównni ednotryutowe. Niestety, proces szcowni funkci użyteczności, nwet eżeli est to funkc ednotryutow, est kłopotliwy i czsochłonny. Ay uniknąć teo prolemu, możn wykorzystć reuły decyzyne oprte n relci dominci stochstyczne. Jeżeli spełnione są określone złożeni do typu funkci użyteczności, to reuły te są zodne z reułą mksymlizci oczekiwne użyteczności. Wyróżnić możn dwie podstwowe rupy relci oprtych n dominci stochstyczne definice poszczeólnych typów dominci stochstyczne podno w dodtku A, zś reuły wyoru oprte n domincch stochstycznych w dodtku B. Pierwsz z nich oemue domincę stochstyczną stopni pierwszeo SD first deree stochstic dominnce, domincę stochstyczną stopni druieo SSD second deree stochstic dominnce orz domincę stochstyczną stopni trzecieo TSD third deree stochstic dominnce. T rup relci może yć stosown dl decydentów cechuących się mleącą solutną wersą do ryzyk funkc użyteczności typu DARA decresin solute risk version. Dru rup relci oemue domincę stochstyczną stopni pierwszeo, odwrotną domincę stochstyczną stopni druieo SISD second deree inverse stochstic dominnce orz dw rodze odwrotne dominci stochstyczne stopni

5 METODY ELECTRE trzecieo TISD1, TISD third deree inverse stochstic dominnce. Te typy relci moą yć stosowne w przypdku decydent wykzuąceo rosnącą solutną wersę do ryzyk funkc użyteczności typu INARA incresin solute risk version. Zrś i Mrtel 1994 proponuą wykorzystywnie reuł oprtych n domincch SD/SSD/TSD, w przypdku dy prolem decyzyny zdefiniowny est w kteorich zysków, zś reuły SD/SISD/ TISD1/TISD, w przypdku dy est on określony w kteorich strt. Złożenie to est zodne z wynikmi prc Khnemn i Tversky eo 1979, którzy wykzli, że o ile w przypdku wyoru między ryzykownymi wrintmi zdefiniownymi pozytywnie decydenci wykzuą zwykle wersę do ryzyk, to w przypdku wyoru proektów wiążących się z kosztmi lu strtmi często cechue ich skłonność do ryzyk. Wykorzystniem relci dominci stochstyczne w wielokryterilnym podemowniu decyzi zmowli się Zrś i Mrtel 1994. Proponown przez nich procedur skłd się z dwóch kroków. Etp pierwszy pole n weryfikci testów zchodzeni relci dominci stochstyczne dl kżde pry wrintów decyzynych ze wzlędu n kżde z kryteriów. Etp drui to rec wielotryutow oprt n metodoloii zczerpnięte z metody ELECTRE I. Npierw wrinty klsyfikowne są z uwzlędnieniem wszystkich kryteriów. Jeżeli otrzymny rnkin uznny zoste przez decydent z wystrcząco szczeółowy, to procedur kończy się. W przeciwnym wypdku udowny est nowy rnkin. Przy eo konstrukci uwzlędnine są relce zchodzące między wrintmi ze wzlędu n wszystkie kryteri z wyątkiem nmnie istotneo. Procedur est kontynuown do momentu uzyskni rnkinu, który zostnie uznny przez decydent z wystrcząco szczeółowy przy uwzlędnieniu wrunku, że sum współczynników wowych przypisnych uwzlędninym kryteriom nie może yć mniesz od 0,5. Zrś i Mrtel przyęli, że wrint i est preferowny w stosunku do wrintu ze wzlędu n kryterium X k, eżeli między rozkłdmi ocen wrintów i i ze wzlędu n X k zidentyfikowno odpowiedni typ dominci stochstyczne. Tym smym modeluąc preference decydent możemy mieć do czynieni z nstępuącymi sytucmi: preferencą dy zweryfikowno pomyślnie test zchodzeni dominci stochstyczne i typ dominci stochstyczne est zodny z złożoną funkcą użyteczności decydent, równowżnością dy rozkłdy ocen wrintów decyzynych są identyczne, rkiem dostteczne informci pozwlących n przyęcie edne z powyższych sytuci w pozostłych przypdkch.

Mcie Nowk 53 W prezentowne poniże procedurze przyęto, że nlizuąc preference decydent n poziomie poedynczeo kryterium możemy mieć do czynieni z silną preferencą, słą preferencą, równowżnością lu rkiem wystrczące informci. Przymimy nstępuące oznczeni: ik dystryunt rozkłdu oceny wrintu i wzlędem kryterium X k, µ ik wrtość oczekiwn rozkłdu oceny wrintu i wzlędem kryterium X k, w k w przypisn kryterium X k, p k µ ik pró preferenci dl kryterium X k, v k µ ik pró wet dl kryterium X k, SD T wn dominc stochstyczn dominc stochstyczn zodn z funkcą użyteczności decydent: SD, SSD lu TSD w przypdku funkci użyteczności typu DARA, SD, SISD, TISD1, TISD w przypdku funkci użyteczności typu INARA. Przymuemy, że funkce proowe p k µ ik i v k µ ik są funkcmi liniowymi: p k µ ik = α k P µ ik + β k P v k µ ik = α k V µ ik + β k V Przymiemy, że wrtość prou rośnie wrz ze wzrostem wrtości oczekiwnych porównywnych rozkłdów prwdopodoieństw. Im wyższe ędą wrtości oczekiwne, tym wyższ ędzie musił yć różnic między nimi, y możn yło uznć, że eden z porównywnych wrintów est silnie preferowny lu że zchodzi wrunek wet. Przyęcie współczynników α k P lu α k V n poziomie 0 ozncz, że wrtości proów preferenci lu wet są stłe i wynoszą odpowiednio β k P lu β k V. Porównuąc wrinty i i ze wzlędu n kryterium X k możemy mieć do czynieni z nstępuącymi sytucmi: 1. Siln preferenc wrintu i w stosunku do wrintu : i P ik SD T k i µ ik µ k + p k µ ik. Siln preferenc wrintu w stosunku do wrintu i : P i k SD T ik i µ k µ ik + p k µ k

54 METODY ELECTRE 3. Sł preferenc wrintu i w stosunku do wrintu : i Q ik SD T k i µ k < µ ik < µ k + p k µ ik 4. Sł preferenc wrintu w stosunku do wrintu i : Q i k SD T ik i µ ik < µ k < µ ik + p k µ k 5. Równowżność dy porównywne rozkłdy ocen są dokłdnie tkie sme. 6. W pozostłych przypdkch mmy do czynieni z rkiem dosttecznych informci pozwlących n rozstrzynięcie, któr z powyższych sytuci m miesce. Koleność postępowni w proponowne procedurze porządkowni wrintów decyzynych est nstępuąc: 1. Identyfikc dominci stochstycznych zchodzących dl kżde pry rozptrywnych wrintów decyzynych wzlędem kżdeo z kryteriów.. Oliczenie wrtości współczynników zodności wedłu nstępuąceo wzoru: dzie: i n c, = w ϕ, k = 1. 1 ezeli ik SD T k µ ik µ k + pk µ ik µ ik µ k. ϕk i, = ezeli ik SD T k µ k < µ ik < µ k + pk µ ik pk µ ik 0 w innych przypdkch k k i zś współczynniki w w k spełnią wrunek: n w k k = 1 = 1

Mcie Nowk 55 3. Oliczenie współczynników wiryodności: dzie: zś d, k i σ, i = c, i 1 µ k µ ik pk µ ik = vk µ ik pk µ ik 0 D i, = {k: d k i, > c i, } 4. Porządkownie zioru wrintów decyzynych metodą destylci wykorzystywną w metodzie ELECTRE III. 1 d, k i k D, 1 c, i i. ezeli µ k > µ ik + vk µ ik. ezeli µ ik + pk µ ik < µ k µ ik + vk µ ik w innych przypdkch Przykłd 5 3 : Rozptruemy prolem oceny proektów inwestycynych. Dziesięć proektów oceninych est przez siedmiu ekspertów ze wzlędu n cztery kryteri: X 1 nkłdy n relizce proektu, X korzyści finnsowe z relizci proektu, X 3 szns powodzeni, X 4 zwnsownie technoloiczne. Rozkłdy ocen wrintów wzlędem kryteriów przedstwi tel 9. Zkłdmy, że z nwżniesze decydent uzne kryterium druie w 0,55, nstępnie kryterium trzecie w 0,7. Kryteri pierwsze i czwrte decydent uzne z równie wżne wi równe 0,09. Pierwszy etp procedury rozwiązni prolemu to określenie relci między rozkłdmi ocen wrintów decyzynych wzlędem kryteriów. Ze wzlędu n fkt, że wyższe wrtości kryteriów są preferowne w stosunku do wrtości niższych, zkłdmy, że decydent wykzue wersę do ryzyk, co z tym idzie dmy, czy między

56 METODY ELECTRE rozkłdmi ocen zchodzi relc dominci stochstyczne typu SD/SSD/ TSD. Odpowiednie dne przedstwiono w teli 10. Tel 9. Rozkłdy ocen wrintów decyzynych wzlędem kryteriów

Mcie Nowk 57 Tel 10. Relce dominci stochstyczne między rozkłdmi ocen

58 METODY ELECTRE Przymimy, że decydent zkceptowł nstępuące wrtości proów preferenci i wet: X 1 : p 1 = 1 v 1 = 3 X : p = 1 v = 3 X 3 : p 3 = 1 v 3 = 3 X 4 : p 4 = 1 v 4 = 3 Przymuemy ztem, że z silną preferencą wrintu i w stosunku do wrintu mmy do czynieni, dy odpowiedni test zchodzeni dominci stochstyczne zostł zweryfikowny pozytywnie, zś różnic między wrtościmi oczekiwnymi rozkłdów ocen wynosi co nmnie 1. Z kolei hipotez o przewyższniu wrintu przez wrint i est odrzucn, eżeli różnic między wrtościmi oczekiwnymi rozkłdów ocen wrintów i i ze wzlędu n co nmnie edno kryterium est nie mniesz niż 3. W teli 11 zmieszczono wrtości współczynników wiryodności, zś tel 1 przedstwi wyniki procedur destylci i rnkin końcowy. Tel 11. Współczynniki wiryodności

Mcie Nowk 59 Tel 1. Wyniki procedur destylci i rnkin końcowy Powyższe wyniki możn porównć z wynikmi uzysknymi z pomocą procedury proponowne przez Zrsi i Mrtel tel 13. Rnkin uzyskny z pomocą procedur destylci est rdzie szczeółowy. Zuwżyć możn również inne różnice: w rnkinu uzysknym z pomocą procedur destylci n nwyższym poziomie umieszczony zostł wrint 3, podczs dy w metodzie Zrsi i Mrtel do nlepszych zliczł się również wrint 4. Tel 13. Wyniki procedury Zrsi i Mrtel pró zodności 0.91 Podsumownie Od momentu, dy zprezentowno metodę ELECTRE I minęło prwie 40 lt. Prce prowdzone w tym okresie przez dczy z różnych krów zowocowły oprcowniem cłeo szereu technik wielokryterilnych zuących n relci przewyższni dostosownych do specyfiki różnorodnych prole-

60 METODY ELECTRE mów decyzynych. Oprócz metod z rodziny ELECTRE wrto w tym miescu wspomnieć chociży o metodch PROMETHEE I i PROMETHEE II Brns i in., 1986, metodzie MACBETH Bn e Cost i Vnsnick, 1994 czy wreszcie metodzie BIPOLAR Konrzewsk-uł, 1991. Metody ELECTRE znduą szerokie zstosownie w wielu różnorodnych dziedzinch, począwszy od finnsów Zopounidis, 1999, przez zdnieni związne z plnowniem strteii rozwou przemysłu eoropoulou i in., 1997, zrządznie proektmi Mvrots i in., 003, iotechnoloię ichefet i in., 1984, po zdnieni związne z ochroną nturlneo środowisk Krinnidis i Moussiopoulos, 1997, Roers i Bruen, 1998, eoropoulou i in., 003. W przypdku wielu prolemów decyzynych oceny wrintów wzlędem kryteriów mą chrkter losowy. W tym wypdku porównnie dwóch wrintów decyzynych sprowdz się do porównni wektorów rozkłdów prwdopodoieństw. Dzięki wykorzystniu relci dominci stochstyczne możliwe est modelownie preferenci decydentów o różnym nstwieniu do ryzyk. Zprezentowne w prcy metody n rozwiąznie pozwlą n ednoczesne wykorzystnie koncepci dominci stochstyczne orz procedur reci wielokryterilne stosownych w metodch ELECTRE I i ELECTRE III. Podeście teo typu może yć z powodzeniem wykorzystywne w tkich zdnienich k nliz finnsow Trzpiot, 000, nliz proektów inwestycynych Domink, 000, uezpieczeni Ciupek, 000, sterownie procesem produkcynym Nowk i in., 00 czy prolemy związne z ornizcą pomocy społeczne Zwisz, 000. Dodtek A Oznczeni:, kumulcyne funkce dystryuci,, dekumulcyne funkce dystryuci Relce dominci stochstyczne definiuemy nstępuąco: Definic 1: SD wtedy i tylko wtedy dy - i H1 = 0 dl R

61 Definic : Definic 3: Definic 4: dzie: Definic 5: Definic 6: dl 0 i tylko wtedy dy wtedy i SSD 1 R dy y H H = R dy y H H = dl 0 i tylko wtedy dy wtedy i TSD 3 dl 0 i tylko wtedy dy wtedy i SISD 1 R dy y H H = dl 0 i tylko wtedy dy wtedy i TISD1 3 R dy y H H = dl 0 ~ i tylko wtedy dy wtedy i TISD 3 R dy y H H = 1 H = Mcie Nowk

6 METODY ELECTRE Dodtek B Oznczeni: u funkc użyteczności Reuł 1 Hdr, Russel, 1969:. Jezeli to E dzie U H 0 dl R [ u ] E [ u ] 1 1 = { u : u > 0} Reuł Hdr, Russel, 1969:. Jezeli to E dzie U Reuł 3 Whitmore, 1970:. Jezeli µ µ i H 0 dl R to E dzie U Reuł 4 ooverts, 1984:. Jezeli to E dzie U Reuł 5 ooverts, 1984:. Jezeli to E dzie U H 0 dl R [ u ] E [ u ] 1 0 dl u U 0 dl u U = { u : u > 0, u 0} [ u ] E [ u ] 1 3 3 = { u : u > 0, u 0, u 0 i u u H 0 dl R [ u ] E [ u ] 1 1 0 dl u U 0 dl u U = { u : u > 0, u 0} H 0 dl R [ u ] E [ u ] 3 3 0 dl u U = { u : u > 0, u 0, u 0 i u u 1 3 3 [ u ] } [ u ] }

Mcie Nowk 63 Reuł 6 Zrś, 1989:. ~ Jezeli H 0 dl R to E dzie U [ u ] E [ u ] 3 3 3 0 dl u U = { u : u > 0, u 0, u 0} 3 3 Przypisy 1 Szczeółowe informce n temt procedur destylci znleźć możn w prcy Roy, Bouyssou 1993 Szczeółowy opis procedury znleźć możn w prcy: Nowk 004 3 Ide przykłdu pochodzi z prcy Zrś, Mrtel 1994 Biliorfi Arrow K., 1951. Socil Choice nd Individul Vlues. Wiley, New York. Bn e Cost C.A., Vnsnick J.C., 1994. MACBETH An interctive pth towrds the construction of crdinl vlue functions. Interntionl Trnsctions in Opertionl Reserch 1, 489-500. Brns J.P., Vincke Ph., Mreschl B., 1986. How to select nd how to rnk proects: The PROMETHEE method. Europen Journl of Opertionl Reserch 4, 8-38. Ciupek B., 000. Optymlny doór skłdek uezpieczeniowych w uezpieczenich mątkowych z wykorzystniem dominci stochstycznych, w: Modelownie preferenci ryzyko 00. Prc ziorow pod red. T. Trzsklik. Akdemi Ekonomiczn, Ktowice, 189-05. Dominik C., 000. Wielokryteriln procedur wspomni wyoru wrintu inwestycyneo w wrunkch ryzyk, w: Modelownie preferenci ryzyko 00. Prc ziorow pod red. T. Trzsklik. Akdemi Ekonomiczn, Ktowice, 07-17. ichefet J., Leclercq J.P., Beyne Ph., Rousselet-Piette.., 1984. Microcomputer-ssisted identifiction of cteri nd multicriteri decision models. Computers & Opertions Reserch 11, 361-37. eoropoulou E., Lls D., Ppinnkis L., 1997. A multicriteri decision id pproch for enery plnnin prolems: The cse of renewle enery options. Europen Journl of Opertionl Reserch 103, 38-54.

64 METODY ELECTRE eoropoulou E., Srfidis Y., Mirsedis S., Zimi S., Lls D.P., 003. A multiple criteri decision-id pproch in definin ntionl priorities for reenhouse ses emissions reduction in the enery sector. Europen Journl of Opertionl Reserch 146, 199-15. ooverts J., 1984. Insurnce Premium. Elsevier Science Pulishers. Hdr J., Russel W.R., 1969. Rules for orderin uncertin prospects. The Americn Economic Review 59, 5-34. Khnemn D., Tversky A., 1979. Prospect theory: n nlysis of decisions under risk. Econometric 47, 63-91. Krinnidis A., Moussiopoulos N., 1997. Appliction of ELECTRE III for the interted mnement of municipl solid wstes in the ret Athens Are. Europen Journl of Opertionl Reserch 97, 439-449. Keeney R.L., Riff H., 1976. Decisions with Multiple Oectives: Preferences nd Vlue Trdeoffs. Wiley, New York. Konrzewsk-uł E., 1991. Wspomnie decyzi wielokryterilnych. System BIPOLAR. Akdemi Ekonomiczn, Wrocłw. Mvrots., Dikoulki D., Cpros P., 003. Comined MCDA-IP pproch for proect selection in the electricity mrket. Annls of Opertions Reserch 10, 159-170. Nowk M., 004. Preference nd veto thresholds in multicriteri nlysis sed on stochstic dominnce. Europen Journl of Opertionl Reserch 158, 339-350. Nowk M., Trzsklik T., Trzpiot., Zrś K., 00. Inverse Stochstic Dominnce nd its Applictions in Production Process Control, w: Multiple Oective nd ol Prormmin; Recent Developments. Prc ziorow pod red. T. Trzsklik i J. Michnik. Spriner, 36-376. Roers M., Bruen M., 1998. Choosin relistic vlues of indifference, preference nd veto thresholds for use with enviromentl criteri within ELECTRE. Europen Journl of Opertionl Reserch 107, 54-551. Roy B., 1990. Wielokryterilne wspomnie decyzi. Wydwnictw Nukowo-Techniczne, Wrszw. Roy B., Bouyssou D., 1993. Aide Multicritère à l Décision: Méthodes et Cs. Economic, Pris. Simon H.A., 198. Podemownie decyzi kierowniczych. Nowe nurty. Pństwowe Wydwnictwo Ekonomiczne, Wrszw. Trzpiot., 000. Ryzyko n rynku kpitłowym, w: Modelownie preferenci ryzyko 00. Prc ziorow pod red. T. Trzsklik. Akdemi Ekonomiczn, Ktowice, 43-66.

Mcie Nowk 65 Whitmore.A., 1970. Third-deree stochstic dominnce. The Americn Economic Review 60, 457-459. Zrś K., 1989. Dominnces stochstiques pour deu clsses de fonctions d'utilite: Concves et convees. RO/OR, Recherche Opertionnelle 3, 57-65. Zrś K., Mrtel J.M., 1994. Multittriute nlysis sed on stochstic dominnce. W: Munier B., Mchin M.J. Eds., Models nd Eperiments in Risk nd Rtionlity. Kluwer Acdemic Pulishers, Dordrecht, 5-48. Zwisz M., 000. Anliz sytuci społeczno-ekonomiczne oprt n procedurch wielokryterilneo wspomni decyzi. W: Metody i zstosowni dń opercynych 000. Prc ziorow pod red. D. Kopńskie Bródk, Akdemi Ekonomiczn, Ktowice, 63-75. Zopounidis C., 1999. Multicriteri decision id in finncil mnement. Europen Journl of Opertionl Reserch 119, 404-415.