Algebra 2, zadania na wiczenia, seria II Króti wst p do ategorii i funtorów. W tej serii jest du»o zada«ale s (z reguªy) ªatwe lub bardzo ªatwe. Najpierw denicje, tóre zapewne Pa«stwo znaj lub pozna ªatwo mog. ródeª jest bardzo du»o, na przyªad: Adame, Herrlich, Stecer, Abstract and concrete categories. Freyd, Abelian Categories Kategoria. Kategoria C to lasa obietów Obj C oraz lasa mor- zmów: dla a»dej pary obietów A, B z Obj C mamy dany zbiór morzmów Mor C (A, B), tóre zapisujemy jao strzaªi Mor C (A, B) f : A B. Mor- zmy mo»na sªada czyli istnieje operacja C : Mor C (A, B) Mor C (B, C) (f, g) g C f Mor C (A, C) Sªadanie morzmów jest ª czne oraz w zbiorze Mor C (A, A) mamy wyró»niony morzm identyczno±ci id A, tóry jest neutralny dla operacji sªadania. Funtor. To homomorzm ategorii Φ : C D, a doªadniej odwzorowanie objetów Φ Obj : Obj C Obj D oraz morzmów: zachowuj ce ierune strzaªe Φ Mor : Mor C (A, B) Mor D (Φ Obj (A), Φ Obj (B)) (czyli funtor owariantny) lub je odwracaj ce Φ Mor : Mor C (A, B) Mor D (Φ Obj (B), Φ Obj (A)) (czyli funtor ontrawariantny). Zaªadamy,»e funtory przeprowadzaj identyczno±ci na identyczno±ci oraz s zgodne ze sªadaniem morzmów. Naturalna transformata funtorów. Zaªó»my,»e mamy dwa owariatne funtory Φ, Ψ : C D. Naturalna transformata funtorów µ : Φ Ψ jest zadana przez las morzmów µ A : Φ Obj (A) Ψ Obj (A), gdzie A C, tóre dla a»dej pary A, B Obj C i f Mor C (A, B) speªniaj warune przemienno±ci Φ Obj (A) µ A Ψ Obj (A) Φ Mor (f) Ψ Mor (f) Φ Obj (B) µ B Ψ Obj (B) Je±li dodatowo a»de µ A jest izomorzmem to mówimy,»e µ jest naturaln równowa»no±ci (lub izomorzmem) funtorów. Taie same denicje stosujemy dla funtorów ontrawariantnych.
Izomorzm i równowa»no± ategorii. Kategorie C i D s izomor- czne o ile istniej funtory Φ : C D i Ψ : D C taie,»e Φ Ψ oraz Ψ Φ s funtorami identyczno±ci na, odpowiednio, D i C. Kategorie C i D s równowa»ne o ile istniej funtory Φ i Ψ taie,»e Φ Ψ oraz Ψ Φ s naturalnie równowa»ne z funtorami identyczno±ci. 1. Poa»,»e zbiory oraz strutury algebraiczne (grupy, grupy abelowe, pier±cienie przemienne, przestrzenie wetorowe nad ustalonym ciaªem itd) i przestrzenie topologiczne wraz z ich odwzorowaniami, odpowiednimi homomorzmami, tworz ategorie. Oznaczamy je Set, Gr, Ab, Ring, Vect, Top itd. Poa»,»e zapominanie o operacjach algebraicznych daje funtor pomi dzy odpowiednimi ategoriami (funtor zapominania). 2. Poa»,»e ategoria z jednym obietem jest monoidem (póªgrup z jedno±ci ) a funtory taich ategorii to ich homomorzmy. 3. Funtor Φ : C D nazywamy wiernym (odpowiednio, peªnym) je±li odwzorowanie na strzaªach Mor C (A, B)) Mor D (Φ Obj (A), Φ Obj (B)) jest injecj (surjecj ). Poa»,»e abelianizacja grupy zadaje funtor owariantny z Gr do Ab. Czy jest to funtor wierny? peªny? 4. Zdeniuj izomorzm obietów oraz odwrotno± morzmu w sposób ategoryjny. 5. Niech (S, ) bedzie zbiorem z cz ±ciowym porz diem. Poa»,»e (S, ) deniuje ategori, tórej obietami s elementy z S a morzmami nierówno±ci pomi dzy nimi. 6. Obiet A nazywamy obietem pocz towym ategorii C je±li ma doªadnie jedno odwzorowanie w a»dy obiet ategorii. Podobnie deniujemy obiet o«cowy ategorii. Poa»,»e obiet pocz towy (o«cowy) w ategorii jest jeden z doªadno±ci do izomorzmu. Zbadaj czy ategorie rozpatrywane w pozostaªych zadaniach maj obiet pocz towy. Czy maj obiet o«cowy? 7. Niech C bedzie ategori z wyró»nionym obietem A. Poa»,»e odwzorowanie B Mor C (A, B) oraz Mor C (B, C) f ( Mor C (A, B) g f g Mor C (A, C) )
deniuje owariantny funtor z C w ategori zbiorów Set. Oznaczmy go h A : B Mor C (A, B). Zdeniuj podobnie funtor ontrawariantny h A : B Mor C (B, A). Poa»,»e morzm A A daje naturaln transformat funtorów h A h A i h A h A. 8. Lemat Yonedy. Dla danej ategorii C deniujemy jej ategori funtorów Ĉ, w tórej obietami s funtory ontrawariantne C Set a morzmami naturalne transformaty taich funtorów. Rozpatrzmy funtor Φ : C Ĉ tai,»e Φ Obj (A) = h A a na morzmach Φ dziaªa ta ja opisano w poprzednim zadaniu. Poa»,»e Φ jest wierny i peªny. 9. Kontrawariantny funtor C Set nazywamy reprezentowalnym (reprezentowanym przez obiet A w C) je±li jest naturalnie izomorczny funtorowi h A. Poa»,»e owariantny funtor zapominania Ab Set jest naturalnie izomorczny funtorowi h Z. 10. Niech Vect < oznacza ategori przestrzeni wetorowych nad ciaªem wymiaru so«czonego. Rozpatrzmy funtor owariantny podwójnej dualizacji : Vect < Vect <. Znale¹ naturaln transformat funtora identyczno±ci do podwójnej dualizacji i poaza,»e na Vect < jest to równowa»no± funtorów. 11. Niech vect < oznacza ategori, tórej obietami s przestrzenie liniowe n (jeden obiet dla a»dego n 0) za± Mor vect ( n, m ) to macierze n m. Poa»,»e naturalne wªo»enie vect < w Vect < oraz, z drugiej strony, wybór (pewnej) bazy dla a»dej przestrzeni w Vect <, daje równowa»no± tych ategorii. 12. Produt ategoryjny A, B Obj C to obiet D z dwoma morzmami A D B taimi,»e dla dowolnego obietu D, tóry ma morzmy A D B istnieje doªadnie jeden morzm z D do D, tóry daje nast puj cy przemienny diagram D! D A B
Produt D oznaczamy, o ile nie spowoduje to onfuzji, przez A B. Koprodut deniujemy przez odwrócenie strzaªe. Poa»,»e ta zdeniowany produt jest jeden z doªadno±ci do izomorzmu. Poa»,»e produty s przemienne, to jest A B jest izomorczne z B A. Opisz produty i oproduty w ategoriach Set, Top, Ab, Gr, Ring (zauwa»,»e nieoniecznie musz istnie ). 13. Zaªó»my,»e w ategorii C mamy trzy obiety z nast puj cymi dwoma strzaªami A C B. Produtem wªónistym A i B nad C nazywamy obiet D z morzmami A D B, tóre daj nast puj cy diagram przemienny D B A C Ponadto zaªadamy,»e o ile obiet D speªnia powy»szy warune dla D to mamy doladnie jeden morzm D D, tóry mo»na wstawi w nast puj cy diagram przemienny D! D B Ta zdeniowany produt wªónisty (o ile wiemy, gdzie jest zdeniowany) zwyle oznaczamy przez A C B. Ko-produt wªótnisty deniujemy przez odwrócenie strzaªe. Poa»,»e ta zdeniowany produt (i o-produt) jest jeden z doªadno±ci do izomorzmu. Opisz produty i oproduty wªóniste w ategoriach Set, Top, Ab. Poa»,»e je±li ategoria C ma obiet o«cowy Z i istnieje w niej produt A B to produt wªónisty A Z B jest izomorczny z A B. 14. Zªo»enie produtów wªónistych jest produtem wªónistym. Zaªó»my,»e nast puj ce obiety i strzaªi s zdeniwane E A (A C B) A C A C B B E A C
Poa»,»e E A (A C B) jest izomorczne z E C B, gdzie E C to zªo»enie E A C. 15. Zmiana bazy produtu wªónistego. Zaªó»my,»e istnieje produt wªónisty dla A C B. Poa»,»e dowolny morzm C E induuje naturalne odwzorowanie A C B A E B i mamy diagram A C B C A E B C E C gdzie odwzorowanie C C E C jest diagonal czyli odwzorowaniem w produt wªónisty pochodz cym z dwóch opii identyczno±ci C C. Poa»,»e powy»szy diagram te» jest produtem wªónistym.