Politchnika Warszawska Wydział izyki Laboratoriu izyki I P Jrzy ilipowicz WYZNACZANI PRACY WYJŚCIA LKTRONÓW Z MTALU MTODĄ PROSTJ RICHARDSONA * *. Podstawy fizyczn Cl ćwicznia jst zapoznani się z zjawiski troisji lktronów i wyznaczni ich pracy wyjścia z talu (katoda lapy lktronowj). Troisją nazyway zjawisko wychodznia lktronów z rozgrzanj powirzchni dango ciała do otaczającj przstrzni. Zjawisko to jst jdny z kilku zjawisk isji lktronów pod wpływ dostarczonj nrgii. W zalŝności od sposobu doprowadznia tj nrgii rozróŝnia się następując rodzaj isji: trolktronową, fotolktronową, wtórną i polową. isja trolktronowa zachodzi (jak to juŝ wsponiano) w wyniku nagrzania dango ciała do odpowidnio wysokij tpratury. isja fotolktronowa występuj wskutk pochłaniania przz substancję nrgii proiniowania lktroagntyczngo. isja wtórna jst to isja zachodząca wskutk bobardowania ciała lktronai lub jonai. isja polowa natoiast, jst to isja lktronów z atriału zachodząca pod działani bardzo silngo pola lktryczngo... Własności gazu lktronowgo Dokładna analiza zjawiska troisji wyaga znajoości chaniki kwantowj. Jdną z fundantalnych zasad tj torii fizycznj jst przyjęci falowj natury cząstk atrii. Słuszność tj zasady potwirdziły liczn doświadcznia fizyczn. Jdnak tzw. fala atrii ni jst Ŝadną ralną falą, jak choćby fala akustyczna czy lktroagntyczna, al jst to abstrakcyjna fala prawdopodobiństwa związango z losai danj cząstki. Zgodni z chaniką kwantowa, cząstczki w cil stały (np. lktrony) oŝna traktować jak fal stojąc, zaknięt w wyiarach dango ciała. Przy taki podjściu do problu okazuj się, Ŝ taka cząstka-fala ni oŝ ić dowolnj nrgii, lcz tylko jdną z ciągu wartości dyskrtnych. Mówiy, Ŝ nrgia rozpatrywango układu cząstka ciało stał jst skwantowana. W fizyc klasycznj lktrony traktuj się jak cząstki podlgając statystyc (rozkładowi) Mawlla Boltzana, natoiast zgodni z torią kwantową do lktronów nalŝy stosować kwantową statykę rigo-diraca, gdyŝ lktrony jako cząstki ając spin połówkowy (spin własny ont pędu lktronu równy ħ/) podlgają zakazowi Pauligo. Zakaz tn ówi, z dwa friony, czyli cząstki o spini połówkowy ni ogą zajować tgo sago stanu kwantowgo. W wyniku zakazu Pauligo zachodzi np. taka sytuacja, Ŝ jdn pozio nrgtyczny oŝ być zajęty przz co najwyŝj dwa lktrony o przciwni skirowanych spinach. Jak wynika z powyŝszgo, kwantowy gaz lktronowy zachowuj się inaczj niŝ gaz klasyczny. Uproszczon wyprowadzni statystyki rigo Diraca znajduj się w uzupłniniu ninijszj instrukcji. W yśl tj statystyki liczba n lktronów o nrgii z przdziału (, +d) wynisi: gdzi: N( ) d n( ) d = = f ( ) N( ) d + p[( ) / ] () f ( ) = + p[( ) / ] () * Sir Own Willias Richardson (879 959) fizyk angilski, otrzyał w 98r. nagrodę Nobla za odkryci zalŝności gęstości prądu troisji od tpratury itującgo talu.
jst funkcją rozkładu rigo-diraca okrślającą prawdopodobiństwo obsadznia przz lktron poziou o nrgii. oznacza nrgię (pozio) rigo. N()d jst liczbą oŝliwych stanów nrgtycznych lktronu lŝących w przdzial nrgii, +d; k stała Boltzana, T tpratura ciała. Kształt funkcji rozkładu f() i funkcji n() przdstawia rysunk. Dla poziou obsadzongo przz dwa lktrony f() =, przz jdn f() = ½ a dla pustgo f() = 0. W tpraturz 0 K lktrony obsadzają oŝliw najniŝsz dozwolon pozioy nrgtyczn, a więc od najniŝszych do coraz wyŝszych. W tj tpraturz (0 K) najwyŝszy obsadzony pozio jst pozio nrgii rigo. Pozioy wyŝsz od poziou rigo są niobsadzon, czyli f() = 0. f() T=0K a) f() T>0K / / 0 0 n() b) T=0K n() T>0K 0 0 Rys.. a) unkcja rozkładu rigo Diraca f() dla 0 K i dla T > 0 K; b) unkcja n() równa iloczynowi funkcji f()n() dla 0 K i dla T > 0 K. W tpraturz T > 0 K większość lktronów swobodnych talu a nadal nrgię poniŝj poziou rigo, a tylko niwilki procnt lktronów a nrgię przwyŝszającą pozio rigo. Jak widać z rysunku a, dla T = 0 K, gdy =, to f() = ½ czyli dla nrgii rigo śrdni prawdopodobiństwo obsadznia poziou wynosi ½ (jdn lktron na dany pozio). Część lktronów oŝ ić nrgię wystarczającą do pokonania naturalnj bariry potncjału przy powirzchni talu. NalŜy się spodziwać, Ŝ liczba takich lktronów będzi wzrastała wraz z tpraturą... Troisja Zakładay, Ŝ lktrony swobodn stanowią pwngo rodzaju gaz wypłniający objętość talu i ich nrgia jst suą nrgii kintycznj i potncjalnj, gdzi nrgia kintyczna jst dodatnia a potncjalna ujna. Powirzchnia talu, jak wsponiano uprzdnio, stanowi barirę potncjału dla lktronów, którą uszą pokonać, jśli chcą wyrwać się z talu. Zakładay tŝ, Ŝ powirzchnia talu jst gładka i Ŝ poza nią rozciąga się próŝnia. Stany nrgtyczn poniŝj poziou rigo są w zdcydowanj większości obsadzon; obsadzni bardzo szybko alj przy przjściu do nrgii powyŝj poziou rigo.
C W próŝnia Powirzchnia talu Rys.. Pozioy nrgtyczn w pobliŝu powirzchni talu. W = C zdfiniowan jst jako tzw. praca wyjścia, czyli nrgia potrzbna do prznisinia lktronu z poziou rigo na pozio C, gdzi C nrgia lktronu w próŝni czyli na zwnątrz talu. MoŜna przyjąć, Ŝ C = 0. W praktyc przyjuj się zwykl W = φ ( ładunk lktronu; φ - potncjał wyjścia irzony w woltach). Istnini potncjału wyjścia, a ty say i pracy wyjścia, wynika z lktryczngo oddziaływania przyciągającgo poiędzy lktronai swobodnyi a sicią krystaliczną złoŝoną z zjonizowanych dodatnio atoów talu. Jst więc zrozuiał, Ŝ lktrony uszą dostać dodatkową nrgię aby pokonać wynikający z tych oddziaływań próg potncjału φ i wyrwać się z talu. Na rysunkach i widać, Ŝ w iarę wzrostu tpratury lktrony w pobliŝu poziou rigo ogą zwiększyć swoją nrgię o wilkość rzędu i przjść na wyŝsz pozioy nrgtyczn. Jśli praca wyjścia jst porównywalna z wtdy ogą nawt opuścić tal, pokonując potncjał wyjścia. Warto paiętać, Ŝ typowa nrgia rigo jst rzędu kilku lktronowoltów, natoiast nrgia w tpraturz pokojowj (00 K) wynosi ok. 0,05V, a więc jst niwilki ułaki nrgii rigo. Wynika stąd, Ŝ dopiro w wysokich tpraturach, rzędu tysięcy klwinów, znacząca ilość swobodnych lktronów oŝ zwiększyć swoją nrgię i wntualni wylcić z talu na zwnątrz. Kirunk ruchu wylatujących lktronów pokazuj strzałka na rysunku.. Opis ćwicznia W ninijszy ćwiczniu będziy wyznaczać pracę wyjścia lktronów z talu, z którgo wykonana jst katoda próŝniowj lapy lktronowj, tzw. diody. Dioda lktronowa składa się z bańki szklanj, w którj osadzon są dwi lktrody: katoda i anoda. W clu zapwninia troisji lktronów z atriału katody, jst ona podgrzwana przy poocy odizolowango od nij grzjnika. Na rys. pokazano widok oraz schat lktryczny badanj lapy lktronowj. Wykrs obrazuj charaktrystykę prądu lapy od napięcia przyłoŝongo poiędzy katodę i anodę... Mtoda wyznaczania tpratury katody Opirając się na powyŝszych rozwaŝaniach oraz równaniu () oŝna obliczyć gęstość prądu troisji dla talu. Rachunki taki przdstawion są w uzupłniniu ninijszj instrukcji. Wzór na gęstość prądu isji oŝna napisać w postaci znanj pod nazwą wzoru Richarda - Dushana: = φ J AT p, () gdzi A nosi nazwę stałj Richardsona i dla niktórych atriałów równa się 0 A/c K.
4 a) b) c) I anoda bańka szklana katoda grzjnik U Rys.. a) Widok, b) schat, c) charaktrystyka prądowo - napięciowa diody próŝniowj. Wilkość A oŝna wyliczyć na grunci chaniki kwantowj przyjując, Ŝ niktór lktrony, nawt posiadając nrgię przwyŝszającą pracę wyjścia, ogą odbijać się od bariry potncjału i powracać w głąb talu. Zat wilkość A lpij opisuj wzór A = A 0 ( r), gdzi A 0 = 0A/c K zaś r współczynnik wwnętrzngo odbicia lktronów od powirzchni katody, który oŝ się ziniać od 0 do. Poza ty r jst funkcją tpratury i zalŝy od stanu powirzchni. Dla powirzchni nijdnorodnych (np. powirzchni tzw. aktywowanych) stała A znaczni odbiga od wilkości obliczonj i zawira się w granicach od 0,0 do ok.5a/c K. Dotychczasow rozwaŝania dotyczyły sytuacji, kidy w pobliŝu powirzchni itującj ni było pola lktryczngo. Istnini takigo pola usi niwątpliwi wpłynąć na wysokość bariry potncjału na granicy tal-otoczni, a więc i na gęstość prądu troisji. Obcność pola haującgo oŝna potraktować jako czynnik zwiększający wysokość bariry potncjału, którą uszą pokonać lktrony, aby znalźć się poza objętością talu. MoŜna to przdstawić w postaci zalŝności: = φ + φ U (4) gdzi φ - wysokość bariry potncjału w odlgłości od powirzchni itującj (katody), φ - potncjał wyjścia, a U haująca róŝnica potncjałów. Podstawiając do wzoru () φ otrzyay gęstość prądu w odlgłości od powirzchni itującj z uwzględnini haującgo pola lktryczngo: J = φ = φ U U AT p AT p p = J p. (5) Wilkość U T = nosi nazwę potncjału lktrokintyczngo. Z doświadcznia wynika, Ŝ zalŝność (5) jst słuszna dla U U T. Korzystając z zalŝności (5) oŝna pośrdnio wyznaczyć tpraturę powirzchni itującj. W ty clu nalŝy zirzyć zalŝność prądu od haującj róŝnicy potncjałów iędzy powirzchnią itującą (katodą) a okrślony punkt oddalony o = a od tj powirzchni, w który w naszy przypadku znajduj się anoda. Podstawiając w wzorz (5) zaiast J wartość natęŝnia prądu anodowgo I a oraz J = I, U = U a otrzyay: U = a Ia I p (6a) a po zlogarytowaniu, równani prostj typu y = a + b:
5 U a ln( Ia ) = ln( I ) (6b) gdzi y = ln(i a ), = U a, b = ln(i ) i z którj nachylnia a = oŝna wyznaczyć tpraturę T: T = (7) ka.. Mtoda wyznaczania pracy wyjścia Wyznaczając natęŝni prądu troisji I z paratru b prostj dla róŝnych wartości tpratury T (róŝnych napięć Ŝarznia) oŝna, korzystając z wzoru (), wyznaczyć pracę wyjścia W = φ : = W I AT p = W I AT p Dziląc stronai oba równania a pot logarytując obi strony otrzyay wyraŝni na pracę wyjścia : T T I T W = k ln (8) T T I T gdzi I, I wartości prądu I a dla U a = 0, dla róŝnych napięć Ŝarznia. Musiy oczywiści zdawać sobi sprawę z ałj dokładności przdstawionj w ty ćwiczniu tody wyznaczania pracy wyjścia lktronów, gdyŝ choćby ziana tpratury katody pociąga za sobą zianę wilkości A, czyli A ni jst stał jak ilcząco zakładaliśy przy wyprowadzniu wzoru na pracę wyjścia W. Dlatgo tŝ główny zadani ninijszgo ćwicznia jst zapoznani się z zjawiski troisji oraz pokazani jak todą bzkontaktową oŝna oszacować tpraturę gorącj powirzchni atriału (katody). µa (-) V ZASILACZ ANODOWY (+) płytka (+) (-) ZASILACZ śarznia V Rys.4 Schat układu poiarowgo.
6 4. Wykonani ćwicznia. Zstawić układ poiarowy wdług schatu przdstawiongo na rysunku 4. Obwód Ŝarznia zasilić napięci odpowidni dla dango typu lapy, podany przy zstawi ćwiczniowy.. Uwaga! Dioda powinna być spolaryzowana w kirunku zaporowy, a więc do anody nalŝy przyłoŝyć napięci ujn względ katody.. Zirzyć charaktrystykę I a = f(u a ), poczynając od I a = 0 aŝ do napięcia przy który jszcz ni trzba ziniać najczulszgo (najniŝszgo) zakrsu prądu I a na ikroaproirzu. 4. ObniŜyć napięci Ŝarznia i powtórzyć pkt., rjstrując otrzyan wyniki. 5. Opracowani wyników. Korzystając z otrzyanych wyników wykonać wykrsy zalŝności ln(i a ) = f(u a ) (przy poocy prograu koputrowgo) dla kaŝdgo napięcia Ŝarznia, a następni wybrać do dalszych wyliczń tylko t punkty poiarow (idąc od ałych wartości I a ), któr układają się dość dobrz na prostj. Czy wyniki tstu χ pozwalają potwirdzić hipotzę o prawidłowości równania Richarda Dushana?. Korzystając z tody najnijszych kwadratów wyznaczyć z powyŝszych rzultatów wartość współczynników a i b w równaniu prostj (6b) i obliczyć z nich tpratury katody a następni wartość pracy wyjścia (wzór 8) i okrślić nipwności wyznacznia tych wilkości, a takŝ ustosunkować się do otrzyanych wyników. Wartości prądów I oraz I obliczyć z wzoru I = p(b). Wyznaczyć nipwność rozszrzoną pracy wyjścia i porównać ją z wartościai tablicowyi dla róŝnych atriałów z czgo została wykonana katoda? Uwaga! Ni wprowadzać do obliczń punktów poiarowych, dla których I a = 0. 6. Pytania kontroln. Jaki znasz sposoby wywoływania isji lktronów z talu?. Co to jst troisja?. Co rozuiy pod pojęci gaz lktronowy? 4, O czy ówi zakaz Pauligo? 5. Co to jst statystyka rigo-diraca i kidy oŝna ją stosować? 6. Jaka jst postać wzoru Richardsona-Dushana i co tn wzór opisuj? 7. Litratura. H. Szydłowski, Pracownia fizyczna PWN W wa 980r. str. 455 458. I.W. Sawiliw, Kurs fizyki to PWN W wa 989r. str. 07 7, 47 50. C. Kittl, Wstęp do fizyki ciała stałgo PWN W wa 974r. str.55 57 4. Sz. Szczniowski, izyka doświadczalna to PWN W wa 970r. str. 67 7
7 DODATK Wyprowadzni wzoru na rozkład rigo-diraca PoniŜj przdstawiony zostani uproszczony sposób wyprowadznia wzoru na funkcję rozkładu rigo-diraca f(). Rozkład tn, jak to juŝ było wsponian, dotyczy frionów czyli cząstk podlgających zakazowi Pauligo. Przyjiy na początku pwn upraszczając załoŝnia ni ziniając jdnak istoty problu, a ianowici: Rys. 5. Odizolowany układ zawirający dwa friony zdoln do obsadznia cztrch pozioów nrgtycznych. a) załoŝyy dla prostoty, Ŝ ay dwa lktrony o nrgii i, któr w wyniku jakigoś oddziaływania ziniają zajowan stany na stany o nrgiach i (patrz rys. 5.), b) układ jst odosobniony, a więc obowiązuj zasada zachowania nrgii, czyli + = +, c) liczba przjść w jdnostc czasu od stanów do równa n(, ) jst proporcjonalna do prawdopodobiństwa przjścia iędzy tyi stanai P(, ), czyli n(, ) ~ P(, ), d) układ jst w stani równowagi trodynaicznj tzn. ilość przjść z stanów do jst równa ilości przjść w drugą stronę z do, czyli n(, ) = n(,), ) usiy przyjąć tŝ (zgodni z zasadą Pauligo), Ŝ liczba przjść lktronów z stanów do (lub odwrotni) jst proporcjonalna ni tylko do liczby obsadzonych stanów wyjściowych a więc ty say i do f(), al równiŝ do ilości wolnych ijsc w stanach końcowych, czyli do wilkości [ f( )], gdzi f() jst poszukiwaną funkcją rozkładu rigo-diraca i a sns prawdopodobiństwa obsadznia stanu o nrgii. Czyli: n(, ) ~ f()[ f( )], f) ponadto przyjuj się na podstawi tzw. zasady równowagi szczgółowj, Ŝ prawdopodobiństwo przjść iędzy dwoa stanai jst nizalŝn od ich koljności, czyli P(, ) = P(,). Podsuowując, na podstawi powyŝszych załoŝń otrzyay następującą równość: P(, )f( )[ f( )]f( )[ f( )] = P(,)f( )[ f( )]f( )[ f( )] Równość tą oŝna przkształcić do postaci: f ( ) f ( ) f ( ') f ( ') = [ f ( )] [ f ( )] [ f ( ')] [ f ( ')] (Da) Wprowadźy traz nową funkcję: f ( ) φ ( ) = (Db) [ f ( )] wtdy, φ ) φ( ) = φ( ') φ( ') oraz + = +. ( Jdyną funkcją lntarną spłniającą oba t warunki jst funkcja typu φ ( ) = Ap( β).
8 Z praw trodynaiki wynika, Ŝ β = /, a stałą A oŝna przdstawić w postaci A = p ( µ / ), gdzi µ nosi nazwę potncjału chiczngo. W naszy przypadku µ = i jst to tzw. nrgia rigo. Zat: φ ( ) = p ( ). (D) Po wstawiniu tgo wyraŝnia do wzoru dfiniującgo funkcję φ () (Db) i przkształcniu otrzyay ostatczną postać funkcji rozkładu rigo-diraca: f ( ) =. (D) p + MoŜna sprawdzić, Ŝ 0 f(), a więc funkcja ta oŝ być traktowana jako prawdopodobiństwo obsadznia stanu kwantowgo o nrgii.. Wyprowadzni wzoru Richardsona Nich powirzchnia talu będzi prostopadła do osi. W pirwszy przybliŝniu oŝy załoŝyć, Ŝ tylko t lktrony będą ogły ucic z talu, dla których prędkość V wzdłuŝ osi będzi spłniać warunk V W +. WyraŜni na składową prądu (katodowgo) wywołango przz lktrony o prędkościach zawartych iędzy V, a V + dv ( W + ) (gdzi V = ), jst następując: dj = Vdn = pdn, (D4) gdzi dn oznacza liczbę lktronów o prędkościach zawartych iędzy V, V + dv lub, jŝli oprujy pojęci pędu, o pędach zawartych iędzy p, a p + dp ( p > ( W + )). JŜli załoŝyy, Ŝ układ znajduj się w stani równowagi, to na podstawi wzoru () oŝy napisać: dn f p N p dp ydpz dp ( ) ( ) (D5) gdzi f(p) oznacza funkcję rozkładu rigo-diraca wyraŝoną przz pędy. f(p) oŝna łatwo otrzyać z wzoru (), korzystając z związku: p = (D6) May więc wyraŝni na f(p) w postaci: p + p y + pz ( ) p f p = +. (D7) f(p) równ jst prawdopodobiństwu obsadznia stanu o dany kwadraci pędu lktronu. Wilkość N(p) oznacza gęstość stanów odpowiadających pędo iędzy p a p + dp. W clu otrzyania wyraŝnia na prąd (katodowy) nalŝy scałkować () od wartości p = ( W + ) do niskończoności: c J = f ( p) N( p) pdpdp ydpz (D8) p c Aby obliczyć gęstość stanów w przstrzni pędów N(p) skorzystay z przybliŝonych rachunków opartych na zasadzi nioznaczoności Hisnbrga. Zasada ta jst jdną z fundantalnych zasad chaniki kwantowj. Mówi ona, Ŝ ni oŝna z dowolną dokładnością okrślić pwnych, związanych
9 z sobą, wilkości fizycznych. Jdną z takich par jst pęd i połoŝni cząstki. Zgodni z w/w zasadą oŝna przyjąć Ŝ: p h p y y h (D9) p z z h W naszy przypadku niokrśloności będą równ wyiaro dango ciała, = y = z = a, (nich ciało to a kształt szścianu), gdzi a długość krawędzi kostki ciała stałgo (talu). Niokrśloności składowych pędu p = p y = p z będą w tj sytuacji najnijszyi oŝliwyi zianai pędu lktronu w ty cil. Z warunków (D9) oŝna obliczyć objętość jdngo stanu kwantowgo lktronu (bz uwzględninia spinu) w przstrzni pędowj. Objętość tgo stanu będzi równa iloczynowi p p y p z : h h p p y pz = = (D0) a V gdzi V oznacza objętość ciała. Aby obliczyć gęstość stanów w przstrzni pędów z uwzględnini dwu róŝnych spinów lktronu, nalŝy podzilić jdnostkową objętość z tj przstrzni (ponoŝoną przz z względu na spiny) przz objętość jdngo stanu. Jśli wilkość ta a być wyznaczona dla ciała o jdnostkowj objętości, to V usi być równ. A więc: N ( p) = (D) h Wzór (D8) na gęstość prądu oŝna więc zapisać w postaci: J = f ( p) pdpdp ydpz (D) h p c Obliczani tj całki oŝna uprościć korzystając z tgo, Ŝ p[( )/]>>, a więc : J = p( / ) p[ ( p + p y + pz ) / ] pdpdp ydpz. (D) h p c PoniwaŜ p( π p au ) c du = oraz c = = W +, więc: lub J J 4 k T = π h a p [( c ) / ] 4 k T = π p( W / ). (D4) h Wzór tn oŝna zapisać w bardzij znanj fori: J = AT p( W / ) (D5) gdzi 4πk A =. h