9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 1 9. 9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 9.1. Pierwsze kroki Do tej pory zajmowaliśmy się w analizie ciał i konstrukcji tylko analizą sprężystą. Nie zastanawialiśmy się, co będzie się działo z materiałem po przekroczeniu pewnych odkształceń odwracalnych czyli tzw. sprężystych. W tym wykładzie postaramy się krótko omówić podstawowy teorii plastyczności. Będziemy tu analizować zatem stan, kiedy przekroczone zostaną odkształcenia sprężyste. Pojawią się odkształcenia nieodwracalne nazywane plastycznymi. Do analizy materiału plastycznego wprowadzamy naprężenia ij, prędkości czyli przyrosty przemieszczeń opisywane jako u i oraz prędkości odkształceń plastycznych, które występują podczas plastycznego płynięcia oznaczane przez ij P. W teorii ciał idealnie plastycznych definiujemy plastyczne płynięcie jako proces, w którym naprężenia nie zależą od skali czasu. Oznacza to, że np. podczas przeprowadzenia prób jednoosiowego rozciągania, przeprowadzonych z różnymi prędkościami odkształceń, wartości naprężeń będą niezmienne i będą przyjmowały wartości granicy plastyczności. Wynika z tego, że pojawienie się deformacji plastycznych jest uwarunkowane spełnieniem zależności: F =0 (9.1) Jeżeli ponadto przyjmiemy założenie, że ij = kl P P (9.2) kl ij które z całą pewnością spełnione będzie dla materiałów izotropowych, będziemy mogli wykazać, że prędkości odkształceń plastycznych zostaną wyrażone przez tzw. stowarzyszone prawo płynięcia, które można zapisać następująco ij P = kl ij P (9.3) gdzie jest pewnym mnożnikiem skalarnym
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 2 Równość (9.3) pokazuje nam, że wektor prędkości odkształceń plastycznych jest prostopadły do powierzchni opisanej przez warunek plastyczności. Graficznie możemy to przedstawić następująco II pl I powierzchnia plastyczności Rys. 9.1. Graficzne przedstawienie stowarzyszenia Stowarzyszenie polega na tym, że funkcja F odgrywa rolę potencjału dla prędkości odkształceń plastycznych. Przestawione równanie (9.3) wiąże nam naprężenia z prędkościami odkształceń, ma więc sens równania fizycznego dla ciał plastycznych Jednym z ograniczeń na warunek plastyczności, jest wniosek z tzw. postulatu Druckera. Zgodnie z tym postulatem przyrost pracy wykonanej w cyklu naprężeniowym na nieskończenie małym przyroście odkształcenia jest nieujemny. Sens postulatu przedstawimy na przykładzie materiału sprężysto-plastycznego ze wzmocnieniem liniowym dla jednoosiowego przypadku obciążenia i odciążenia. Przyjmijmy, że naprężenie odpowiada punktowi należącemu do powierzchni plastyczności tzn. wymagane jest spełnienie warunku (9.1). Ponadto załóżmy naprężenie ', które będzie odpowiadać dowolnemu stanowi dopuszczalnemu, a więc takiemu który leży wewnątrz lub na powierzchni plastyczności, czyli spełniającego warunek F 0. Dodajmy jeszcze, że symbolem d oznaczono infinitezymalny przyrost naprężenia, d E - przyrost odkształceń sprężystych, d P - przyrost odkształceń plastycznych, które zostały wywołane przez d.
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 3 D E C d A F B ' d P d E Rys. 9.2. Wykres dla jednoosiowego przypadku obciążenia i odciążenia materiału sprężysto-plastycznego ze wzmocnieniem liniowym Z rysunku (Rys. 9.2.) widać, pole prostokąta BCEF jest nie większe od pola prostokąta ABCD. Możemy to zapisać ' d d E d P ' d d E 0 (9.4) Jeśli zredukujemy wyrazy podobne otrzymamy ' d P d d P 0 (9.5) Jeśli weźmiemy pod uwagę fakt, że wyrażenie d d P przyjmiemy, że możemy je pominąć dostaniemy jest małą wartością wyższego rzędu i ' d P 0 (9.6) lub inaczej d P d P (9.7) Nierówność (9.7) jest prawdziwa zarówno dla materiałów idealnie plastycznych, jak i dla materiałów ze wzmocnieniem plastycznym.
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 4 Jeśli przyjmiemy, że będziemy potrafili znaleźć plastyczną i sprężystą część odkształceń wówczas będziemy mogli określić całkowite odkształcenia ze wzoru: = pl (9.8) gdzie = E to część sprężysta odkształcenia, a pl stanowi część plastyczną odkształcenia Jak możemy wywnioskować z wcześniejszych rozważać dotyczących teorii plastyczności warunek plastyczności jest nieliniową funkcją składowych stanu naprężenia np. warunek H-M-H (przejście cząstki materiału w stan plastyczny następuje z chwilą osiągnięcia przez jednostkową energię odkształcenia postaciowego pewnej wartości krytycznej). Spełnienie warunku plastyczności świadczy o tym, że plastyczne płynięcie może wystąpić. Nie jest jednak ono bliżej określone - jak przebiega ruch plastyczny, czyli jak narastają składowe tensora odkształcenia. Te informacje zawiera prawo plastycznego płynięcia wiążące przyrosty odkształceń plastycznych z naprężeniami lub prędkości odkształcenia plastycznego pl z naprężeniami. Czyli do określonego stanu naprężenia, spełniającego warunki plastyczności, wektor prędkości odkształceń plastycznych ma kierunek normalnej do powierzchni mamy tu na myśli przedstawione wcześniej stowarzyszone prawo płynięcia. Dla przykładu podajmy, że beton należy do materiałów niestowarzyszonych plastycznie, natomiast materiały ciągliwe zaliczamy do stowarzyszonych plastycznie (zależą od drugiego niezmiennika) Algorytm analizy plastycznej MES wymaga: sformułowania standardowej macierzy sztywności stycznej układu sformułowania macierzy konsystentnej do procedur iteracyjnych np. Newtona-Raphsona całkowanie związków konstytutywnych celem zmodyfikowania tensora naprężeń dla odksztalceń nieliniowych Przeanalizujmy następujące zadanie Mamy belkę pokazaną na rysunku poniżej P A B Zauważmy, że jeśli belkę obciążymy siłą skupioną, inaczej będą wyglądały odkształcenia w punkcie A a inaczej w punkcie B. Na początku włókna w punkcie A będą ściskane, ale po osiągnięciu granicy plastyczności zaczną ulegać rozciąganiu. Natomiast włókna w punkcie B będą cały czas rozciągane. Przebieg odkształceń we
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 5 włóknach w punktach A i B pokazano na wykresie poniżej A 0 0 B 0 Moment, w którym zarówno we włóknach górnych jak i dolnych będą takie same co do wartości i znaku wartość naprężeń nastąpi wówczas, gdy wielkość przemieszczeń osiągnie wartość równą 0 =d (9.9) gdzie d jest wysokością przekroju belki 9.2. Nieliniowości fizyczne 9.2.1. Przyczyny nieliniowości leżące w istocie związku konstytutywnego Warunek plastyczności (warunek Hubera): I z k 0 2 =0 (9.10) gdzie k 0 oznacza wartość graniczną plastyczności. Warunek ten jest obrazem używanego przez nas zastępczego naprężenia: x 2 3 xy 2 k=0 (9.11)
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 6 Omawianą tu plastyczność rozważać będziemy na poziomie: 1) punktu, 2) przekroju, 3) konstrukcji. 9.2.2. Plastyczność na poziomie punktu. Znany jest nam stan naprężeń punktu {σ}, jednak istotę stanowi znalezienie stanu naprężeń w każdym punkcie. Rozważmy najpierw zachowanie materiałów nieciągliwych, kruchych. warunek plastyczności dla betonu: σ 2 interpretacja graficzna warunku plastyczności dla betonu σ 1 W stanie plastycznym, po przekroczeniu pewnej granicy, mimo odciążania pozostaną trwałe odkształcenia (oznaczone na rysunku jako ε pl): σ ε pl ε
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 7 w przypadku rozciągania omawianych materiałów pojawiają się geometryczne nieliniowości. Stan plastyczny możemy jednak sprowadzić do jednego punktu. Dla materiałów ciągliwych wyróżniamy dwa typy wzmocnienia: a) wzmocnienie izotropowe w wyniku kolejnej deformacji równowagę stanu naprężenia można uchwycić na rosnącym wzmocnieniu. Warunek plastyczności Hubera dla materiałów ciągliwych: σ 2 izotropowe wzmocnienie σ 1 wg teorii Hubera wg hipotezy Treski Prezentowane na rysunku wzmocnienie izotropowe jest obrazem rzutu przestrzennego walca, mającego przekątną nachyloną do wszystkich osi pod tym samym kątem. Wprowadza ono dla materiałów ciągliwych stan quasistatyczny: = s pl (9.12) gdzie ε s odkształcenie sprężyste, ε pl odkształcenie plastyczne. Wzmocnienie izotropowe pozwala nam na znajdowanie stanu plastycznego tylko w obrębie jego powierzchni.
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 8 b) wzmocnienie kinematyczne w tym przypadku możemy zaobserwować efekt histerezy: σ obciążenie ε odciążenie σ 2 obciążenie dalej jest przenoszone, powierzchnia ewoluuje σ 1 tensor resztkowy Opiszmy ewolucję tensora resztkowego jako {α}. Wówczas dla wzmocnienia kinematycznego możemy zapisać teorię plastyczności I z { } { } (9.13) Zakładając {α}={0}, {k}={0} otrzymamy stan idealnie plastyczny. Obiektywną miarą dla porównania stanów naprężeń (na przykład w dwóch różnych punktach) będzie energia. Przyjmijmy, że znamy stan naprężeń w pierwszym punkcie σ 1. Możemy σ 1 rozłożyć na aksjator i dewiator: 1 = 1 A 1 D (9.14) Identycznie postąpimy z tensorem naprężeń dla drugiego punktu: 2 = 2 A 2 D (9.15)
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 9 Teraz możemy zamienić powyższe tensory na energię: dla punktu 1 E dla punktu 2 E E A E D E A E D tylko ta część (energia postaciowa) odpowiada za stan plastyczny 9.2.3. Plastyczność na poziomie przekroju Plastyczność na poziomie przekroju możemy omówić na przykładzie symetrycznej belki (przekroju płaskiego). Wstępne wykresy naprężeń i odkształceń przybierają postać: M σ x ε Jeśli zdecydujemy się na dalsze odkształcanie belki, to otrzymamy wykres σ 0 σ 0
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 10 σ 0 oznacza tu naprężenie sprężyste graniczne. Odkształcenia na tym etapie również są sprężyste, podobnie jak moment w przekroju, który możemy wyznaczyć ze wzoru: M 0 = 0 bh 2 6 (9.16) Odkształcając dalej: σ 0 część sprężysta σ 0 odkształcenie ma tutaj charakter stały Ostatnim etapem jest sytuacja, gdy cały przekrój zostaje uplastyczniony: σ 0 cały przekrój uplastyczniony σ 0
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 11 Moment w tym przekroju obliczymy ze wzoru M pl = 0 bh 2 4 (9.17) 9.2.4. Plastyczność na poziomie konstrukcji. Plastyczność na poziomie konstrukcji wyrazimy w obciążeniach: V powstanie mechanizmu belkowego H V H l l l Konstrukcja rozpatrywana jako całość Analiza plastyczna MES wymaga: sformułowania standardowej macierzy sztywności stycznej układu, sformułowania macierzy konsystentnej do procedur iteracyjnych N-R, całkowania związków konstytutywnych, aby zmodyfikować stan naprężeń. Dla materiałów nieliniowych: K t = B T D t B dv K NL d (9.18) V
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 12 gdzie D t = (9.19) Dokonamy teraz uaktualnienia naprężeń w punkcie Gaussa: odkształcenia iteracyjne 1) Obliczamy d : d = k t 1 r (9.20) 2) Na podstawie wzoru 9.20 wyznaczamy : = f d (9.21) 3) Obliczamy : =D t (9.22) σ K (d) Δd = Δp ε 4) Dokonujemy modyfikacji naprężeń: u = 0 1 (9.23) gdzie 0 jest naprężeniem przed aktualną iteracją.
9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 13 odkształcenia przyrostowe 1) Obliczamy d : d = k t 1 r (9.24) 2) Modyfikujemy przyrostowe przemieszczenia (od ostatniego stanu równowagi): d N = d 0 d 1 (9.25) gdzie d 0 jest przyrostem przemieszczenia od ostatniej iteracji. λ p d 3) Obliczamy przyrostowe odkształcenia: = f d (9.26) 4) Wyznaczamy przyrostowe naprężenia: =D t (9.27) 5) Modyfikujemy naprężenia: u = 0 1 (9.28) gdzie 0 jest naprężeniem na końcu ostatniego przyrostu.