Filtry typu IIR, Premyłw Korohod, KE, AGH Intrukj do lbortorium yfrowego pretwrni ygnłów Projektownie filtrów typu IIR (o niekońonej odpowiedi impulowej) Premyłw Korohod, KE, AGH Zwrtość intrukji: Wybrne gdnieni kreu filtrów nlogowyh i yfrowyh. Opóźnienie grupowe. Ogóln hrkterytyk nlogowyh filtrów dolnopreputowyh.3 Anlogowy filtr Butterworth.4 Anlogowy filtr Cebyew.5 Anlogowy filtr eliptyny (Cuer).6 Prejśie do diediny dykretnej howniem wrtośi próbek odpowiedi impulowej.7 rnformj dwuliniow.8 rnformje filtrów w diedinie ętotliwośi.9 Filtr yfrowy elektywnie porowy Projektownie filtrów yfrowyh typu IIR pomoą pkietu MALAB. Wybrne funkje pkietu Mtlb łużąe do projektowni filtrów typu IIR. Funkj FREQZ.3 Prykłdy projektowni filtrów typu IIR.4 Prelinie kkdy filtrów IIR drugiego rędu n filtr IIR w poti pojedynego topni wyżego rędu (i n odwrót) Do prwnego wykonni ćwieni nie jet konien weśniej prktyn njomość nie wprowdonyh w rmh poprednih ćwień funkji pkietu MALAB, jednk niebędn jet dobr orientj w mterile predtwionym w ęśih or tej intrukji or w gdnienih będąyh predmiotem poprednih ćwień. Dltego też wkne jet dokłdne preytnie obu wymienionyh ęśi intrukji or nliownie podnyh prykłdów. UWAGA: njomość i roumienie ęśi i or mteriłu poprednih ćwień mogą otć pre prowdąego kontrolowne w trkie jęć. Zponnie ię mteriłem mieonym dodtkh teoretynyh może ułtwić roumienie ćwień. UWAGA - dobre opnownie mteriłu wrtego w tym ćwieniu jet brdo wżne punktu wideni dlyh ćwień.
Filtry typu IIR, Premyłw Korohod, KE, AGH Wybrne gdnieni kreu filtrów nlogowyh i yfrowyh. Opóźnienie grupowe Opóźnienie grupowe definiowne jet jko pohodn fy lion po pulji or e nkiem ujemnym: G ( ω) ( ) dϕω = () Dl liniowyh min fy filtru wprowdjąego opoźnienie (pryynowego) opóźnienie grupowe jet tłe i dodtnie. dω. Ogóln hrkterytyk nlogowyh filtrów dolnopreputowyh ( Onmy pre H j Ω) hrkterytykę ętotliwośiową filtru nlogowego, pre Ω pulję (w rdinh n ekundę) ogrnijąą pmo preputowe or pre Ω r pulję ogrnijąą pmo porowe. Pondto pryjmijmy, że δ to mkymln wrtość odhyleni w kreie pm preputowego, ntomit δ to mkymln wrtość odhyleni w pmie porowym: ( j ) H Ω δ ; Ω ( j Ω) H δ ; Ω r Ω () Ω (3) Poniżej pokno hrkterytyki mplitudowe tereh podtwowyh rodjów filtrów dolnopreputowyh. Wytkie filtry projektowno pry łożeniu dopulnyh odhyleń 3 db mplitudy w pmie preputowym, - 50dB tłumieni w pmie porowym, ętotliwośi próbkowni 000 H, ętotliwośi grninej pm preputowego 500H, ętotliwośi grninej pm porowego 600H (yli pmo prejśiowe roiąg ię od 500H do 600H). W dlyh rowżnih rąd filtru onono pre N.
.3 Anlogowy filtr Butterworth Filtry typu IIR, Premyłw Korohod, KE, AGH Filtr Butterworth hrkteryuje ię mkymlnie płką mplitudową hrkterytyką ętotliwośiową dl pulji 0 i niekońoność. W pmie prejśiowym wykuje w porównniu innymi filtrmi tego mego rędu njmniejy pdek mplitudy. Wór (4) opiuje leżność definiująą dolnopreputowy filtr Butterworth, indek on filtr nlogowy. Wór ten możn prepić tkże do poti (5), gdie = j Ω : H ( ) Ω = N H ( j Ω) Ω + = + Ω j Ω j Ω N (4) () ( ) H H = + j Ω N (5) Ogóln leżność n N biegunów leżnośi (5) ononyh indekem k jet ntępują: ( ) = N j Ω : k = 0,,,...,( N ) (6) k Filtr górnopreputowy, komplementrny energetynie do definiownego worem (4) (filtr dolnopreputowy onono indekem ) jet ntępująy: ( Ω) ( Ω) H j = H j = N Ω Ω + Ω (7) N N ( ) ( ) ( ) ( ) H H = H H = N ( j Ω ) N N + (8).4 Anlogowy filtr Cebyew Filtr Cebyew nny jet w dwóh werjh: ) typu I, hrkteryuje ię monotoniną hrkterytyką mplitudową w kreie pm porowego i tłą mplitudą oylji tej hrkterytyki w kreie preputowym; b) typu II, poid odwróone ehy filtru typu I. Dolnopreputowy filtr Cebyew typu I: H ( j Ω) = gdie N ( x) on wielomin Cebyew topni N: ( ) ( ) + ε N Ω Ω ( ) ( ( )) x N x N x N = o o = oh oh Wór oinuem hiperbolinym jet w tym prypdku brdiej odpowiedni, poniewż dopu wrtośi x więke niż (ogrnienie diediny funkji o ). Dolnopreputowy filtr Cebyew typu II: (9) (0) 3
Filtry typu IIR, Premyłw Korohod, KE, AGH H = Ωr N Ω + ε r Ω N Ω ( j Ω) () Filtry dolnopreputowe możn prektłć w diedinie ętotliwośi do poti górnopreputowej i innyh. Filtry dolnopreputowy Cebyew typu I i górnopreputowy prektłony dolnopreputowego typu II ą wjemnie komplementrne pod wględem energii (nloginie dolnopreputowy II i górnopreputowy I)..5 Anlogowy filtr eliptyny (Cuer) Filtr ten poid optymlnie (mkymlnie) trome dl dnego rędu filtru boe w pmie prejśiowym. Oprty jet n funkji eliptynej Jobiego U : N H ( j Ω) = + ε U N Ω Ω ().6 Prejśie do diediny dykretnej howniem wrtośi próbek odpowiedi impulowej W opriu o filtr nlogowy możn projektowć filtr yfrowy n kilk poobów. Jednym nih jet hownie wrtośi odpowiedi impulowej w wybrnyh równo oddlonyh punkth u : hn [ ] = h( n ) (3) Relj pomiędy hrkterytyką ętotliwośiową (yli trnmitnją) filtru yfrowego ( H( ω ) - jet to funkj pulji yfrowej ) i nlogowego jet ntępują: H lub w diedinie trnformty : ( ω) H j ( Ω Ωk) ω π k = ( ) = H j k = H ( ) = e k = π = H j k k = Jk widć hrkterytyki ętotliwośiowe filtrów yfrowyh otrymnyh tego mego prototypu nlogowego metodą trnformji dwuliniowej i opiywną metodą będą ię różniły wrtośimi mplitudy (ptr prykłd 3 w dlej ęśi tej intrukji). Chą dokonć porównni obu hrkterytyk nleży w tkim prypdku np. pomnożyć hrkterytykę ętotliwośiową filtru otrymnego metodą howniem odpowiedi impulowej pre okre próbkowni (lub - o n jedno wyhodi - podielić pre ętotliwość próbkowni wyrżoną w H). Pomiędy biegunmi trnmitnji filtru nlogowego,, i yfrowego,, hodi leżność: p k k = Spotyk ię tkże werję tej metody preklowniem mplitudy odpowiedi impulowej howująym w min mplitudę odpowiedi ętotliwośiowej: e k p k (4) (5) (6) hn [ ] = h( n ) (7) ω π k H( ω) = H( j ( k) ) = H j Ω Ω k = k = (8) 4
.7 rnformj dwuliniow Filtry typu IIR, Premyłw Korohod, KE, AGH Drugą podtwową tehniką wynni filtru yfrowego w opriu o filtr nlogowy jet trnformj dwuliniow, prowdją łą epoloną płynę miennej do pojedynego p równoległego do oi reywitej: Zdnie to reliuje ntępująe odworownie: / π π () = tnh Im (9) Ntępnie ntępuje odworownie tego p w płynę prowdjąe funkję miennej do funkji miennej tk, że odinek oi pionowej w płyźnie wrty w tym pie otje odworowny w okrąg o promieniu jednotkowym n płyźnie : (0) e = Odworownie (0) możn tkże pić w werji dl pulji, korytją podtwieni / = j Ω / i worów Euler: Ω / = tn / Ω = j Ω or () () Możn również prejść od ru od pulji nlogowej do pulji yfrowej ( Ω / = ω ), o odpowid łąnemu piowi obu leżnośi (0) i () (pry podtwieniu = ω ): ω = tn e j Ω Zleżność (3) dl niewielkih wrtośi rgumentu jet w prybliżeniu liniow: Podobny łąny pi dl miennyh i dje: ω = + (3) Ω (4) (5) Równnie (5) możn tkże pić jko odworownie trnmitnji nlogowej n trnmitnję yfrową: H () H() = = + (6) = + (7) H( ω) = H ( j Ω) = tn Ω ω (8) Poniży ryunek obruje itotę trnformji dwuliniowej. Chrkterytyk ętotliwośiow określon w diedinie nlogowej dl niekońonego prediły pulji jet odworowywn w końony (pojedyny okre) 5
Filtry typu IIR, Premyłw Korohod, KE, AGH predił pulji yfrowej. Ide t m n elu wyeliminownie efektu liingu, który powtłby pry próbkowniu hrkterytyki o nieerowej mplitudie dl brdo erokiego pm. Efekt miny kreu pulji nywny jet efektem ginni (ng. wrping effet). W prktye nie preprowd ię odworowni łej płyny. W elu otrymni trnmitnji filtru yfrowego wytry wykonć trnformję jedynie er i biegunów odpowiedniej trnmitnji nlogowej, o dje powiąni pomiędy trnmitnjmi filtru nlogowego i yfrowego opine poniżej: H ()= K ( ) M ( σ m) m= N ( k ) n= N M H ()= b + 0 M m= N n= ( m ) ( pk ) (9) (30) m + σ = σ m m (3) p k + = k k (3) 6
Filtry typu IIR, Premyłw Korohod, KE, AGH.8 rnformje filtrów w diedinie ętotliwośi Podtwowe filtry IIR definiowne ą w werji dolnopreputowej. Możn jednk łtwo preliyć trnmitnję filtru tk, by otrymć inny typ. Poniżej pokno wiąki pomiędy trnmitnjmi filtrów nlogowyh, w odpowiedniej kolejnośi - filtr dolnopreputowy, górnopreputowy, pmowopreputowy i pmowoporowy: H Ω, H Ω, H + Ω Ω ( ) ( Ω Ω ), H Ω Ω + Ω Ω Dl fitrów yfrowyh również hodą podobne leżnośi. Doelowy filtr, Hd (), możn otrymć e normliownego filtru dolnopreputowego, H(),pre podtwienie mienną odpowiedniej funkji g(): ( ( )) H H g (33) d ()= (34) Prykłdowo filtr dolnopreputowy o pulji grninej ω wyn ię filtru dolnopreputowego o pulji grniej θ pre podtwienie: α g () = : α α = θ in θ in ω + ω (35) ntomit filtr górnopreputowy o pulji grninej ω wyn ię filtru dolnopreputowego o pulji grniej θ pre podtwienie: θ + ω o α g () = : α = α θ ω o MtLb poid funkje do trnponowni filtru nlogowego w diedinie ętotliwośi poti normliownego dolnopreputowego filtru o górnej pulji grninej równej ( lplp, lphp, lpbp, lpb ). k modyfikowny prototyp filtru nlogowego może w dlej kolejnośi otć prektłony do poti yfrowej w elu otrymni filtru górnopreputowego, pmowopreputowego lub pmowoporowego. W prypdku prektłni filtru nlogowego do poti filtru pmowopreputowego (lub pmowoporowego) jko ętotliwośi hrkterytyne podje ię erokość pm, ononą np. jko Bw, or ętotliwość środkową pm - yli np. Wo. Górn i doln pulj grnin (yli W i W ) wiążą ię powyżymi prmetrmi w poób ntępująy: Bw = W W (37) Wo = W W (38) Wrto wróić uwgę, że środek pm Wo jet średnią geometryną ( nie rytmetyną) pulji grninyh W i W. Odpowiednie opje funkji butter, ellip, heby i heby umożliwiją tkże projektownie filtru yfrowego innego niż dolnopreputowy, jednk funkje te we korytją trnformji dwuliniowej modyfikją howująą jedną hrkterytyną ętotliwość (pulję). (36) 7
Filtry typu IIR, Premyłw Korohod, KE, AGH.9 Filtr yfrowy elektywnie porowy Jet to filtr IIR drugiego rędu, określny ęto terminem noth ( j.ng. = krb, nięie), poniewż jego hrkterytyk mplitudow poid hrkterytyne nięie. Poniewż jko łożenie wtępne pryjmuje ię, że dny filtr powinien eliminowć ygnłu wejśiowego ętotliwość (yli pulję ω 0 ), wię dość oywite jet, że jego trnmitnj Z poid er n okręgu jednotkowym, dokłdnie w punkth odpowidjąyh f 0 : ( ) H = j π f0 j π f0 ( e ) ( e ) j π f0 j f0 ( r e ) ( r e ) f 0 f 0 or π (39) W rmh ćwieni nleży ię tnowić dlego wprowdono wpółynnik r i jką powinien on mieć wrtość. rnmitnję (39) możn również pić jko trnmitnję w diedinie Fourier: j π f ( ) He Jeżeli ętotliwość próbkowni otnie onon jko ntępująe wpółynniki równni różniowego: = j π f j π f0 j π f j π f0 ( e e ) ( e e ) j π f j π f0 j π f j f0 ( e r e ) ( e r e ) π f 0 b = [, o, f π (40), to filtr IIR odpowidjąy trnmitnji (39) poid f ] (4) π f = [, r o, f 0 r ] (4) gdie pre b onono wektor wpółynników po tronie iągu wejśiowego, ntomit pre wektor wpółynników po tronie iągu wyjśiowego. W rmh modielnego ćwieni wrto wyprowdić powyże leżnośi n wpółynniki równni różniowego. 8
Filtry typu IIR, Premyłw Korohod, KE, AGH Projektownie filtrów yfrowyh typu IIR pomoą pkietu MALAB. Wybrne funkje pkietu Mtlb łużąe do projektowni filtrów typu IIR funkje pkietu Mtlb - ęść Nw funkji Opi funkji impinvr wynnie wpółynników filtru yfrowego w opriu o wpółynniki filtru nlogowego i podną ętotliwość próbkowni tk, by howny był ktłt odpowiedi impulowej (w punkth próbkowni) biliner prelienie trnmitnji filtru nlogowego (opinej w poti wpółynników wielominów lub er i biegunów, lub miennyh tnu) n trnmitnję filtru yfrowego pomoą trnformji dwuliniowej butter wynnie trnmitnji filtru Butterworth (nlogowego lub yfrowego) heby wynnie trnmitnji filtru Cebyew, typu I (nlogowego lub yfrowego) heby wynnie trnmitnji filtru Cebyew, typu II (nlogowego lub yfrowego) ellip wynnie trnmitnji filtru eliptynego (nlogowego lub yfrowego) buttp wynnie trnmitnji nlogowego filtru Butterworth hebp wynnie trnmitnji nlogowego filtru Cebyew, typu I hebp wynnie trnmitnji nlogowego filtru Cebyew, typu II ellipp wynnie trnmitnji nlogowego filtru eliptynego buttord wynnie rędu filtru (nlogowego lub yfrowego) Butterworth pełnijąego podne wymgni hebord wynnie rędu filtru (nlogowego lub yfrowego) Cebyew (typu I) pełnijąego podne wymgni hebord wynnie rędu filtru (nlogowego lub yfrowego) Cebyew (typu II) pełnijąego podne wymgni ellipord wynnie rędu filtru (nlogowego lub yfrowego) eliptynego pełnijąego podne wymgni lplp prelienie trnmitnji nlogowego filtru dolnopreputowego o normliownej górnej ętotliwośi grninej n trnmitnję filtru dolnopreputowego lphp prelienie trnmitnji nlogowego filtru dolnopreputowego o normliownej górnej ętotliwośi grninej n trnmitnję filtru górnopreputowego lpbp prelienie trnmitnji nlogowego filtru dolnopreputowego o normliownej górnej ętotliwośi grninej n trnmitnję filtru pmowopreputowego lpb prelienie trnmitnji nlogowego filtru dolnopreputowego o normliownej górnej ętotliwośi grninej n trnmitnję filtru pmowoporowego Wybrne funkje pkietu Mtlb - ęść Nw funkji Opi funkji freq wynenie iągu próbek odpowiedi ętotliwośiowej dl podnej trnmitnji filtru nlogowego invfreq wynenie trnmitnji filtru nlogowego, njlepiej pująej (w enie błędu średniokwdrtowego) do podnego iągu próbek odpowiedi ętotliwośiowej emilogx to mo o plot, le oś poiom jet wyświetln w kli logrytminej (log0) grpdely wyn opóźnienie grupowe dl podnego iągu epolonego Segóły możn odytć pomoą poleeni help. Niektóre egóły otną podne poniżej. 9
Filtry typu IIR, Premyłw Korohod, KE, AGH Spooby wykorytni funkji do projektowni filtrów- ęść Rodj Filtru Funkje do projektowni Butterworth [b,] = butter(n, Wn, opje) [,p,k] = butter(n, Wn, opje) [A,B,C,D] = butter(n, Wn, opje) Cebyew typu I [b,] = heby(n, Rp, Wn, opje) [,p,k] = heby(n, Rp, Wn, opje) [A,B,C,D] = heby(n, Rp, Wn, opje) Cebyew typu II [b,] = heby(n, R, Wn, opje) [,p,k] = heby(n, R, Wn, opje) [A,B,C,D] = heby(n, R, Wn, opje) eliptyny [b,] = ellip(n, Rp, R, Wn, opje) [,p,k] = ellip(n, Rp, R, Wn, opje) [A,B,C,D] = ellip(n, Rp, R, Wn, opje) Jeżeli nie korytmy opji (ptr tbel niżej), to kżd powyżyh funkji wr opi yfrowego filtru dolnopreputowego, o pulji odięi Wn określonej kreu [ 0],. Mkymln wrtość wynik normliji. W prypdku filtru yfrowego nie m neni jk interpretujemy mienną nieleżną - y jko pulję yfrową, y jko ętotliwość yfrową - poniewż obie wielkośi ą normliowne i ih kre wynoi od 0 do. Ntomit w prypdku filtrów nlogowyh funkje łużąe do projektowni pryjmują jko prmetry wejśiowe pulję w rdinh/ekundę. W elu otrymni filtru innego niż dolnopreputowy nleży korytć jednej poniżej opinyh opji. Spooby wykorytni funkji do projektowni filtrów- ęść Rodj Filtru Opje górnopreputowy opje utwić n: 'high' pmowopreputowy podć Wn jko wektor dwuelementowy, wierjąy dwie pulje grnine pm preputowego pmowoporowy podć Wn jko wektor dwuelementowy, wierjąy dwie pulje grnine pm porowego opje utwić n: 'top' nlogowy opje utwić n: '', pulje grnine podwć w rdinh n ekundę prelionyh ętotliwośi w H Spooby wykorytni funkji do projektowni filtrów- ęść 3 yp Filtru Funkj do nleieni rędu filtru Butterworth [n,wn] = buttord( Wp, W, Rp, R, opj) Cebyew I [n,wn] = hebord( Wp, W, Rp, R, opj) Cebyew II [n,wn] = hebord( Wp, W, Rp, R, opj) eliptyny [n,wn] = ellipord( Wp, W, Rp, R, opj) W powyżej tbeli opj może pryjmowć jedynie wrtość (w pojedynyh potrofh) i on filtr nlogowy, brk opji on filtr yfrowy. W tbelh pryjęto ntępująe oneni: b, - wektory wierowe wpółynników wielominów trnmitnji (lub równni różniowego) filtru; A,B,C,D - miere opiu filtru w poti miennyh tnu;,p,k - wektory kolumnowe er i biegunów or klrny wpółynnik wmonieni filtru; Wp - górn pulj grnin pm preputowego lub porowego (ptr też komentr do Wn); W - doln pulj grnin pm preputowego lub porowego (ptr też komentr do Wn); Rp - tętnieni w pmie preputowym (w db); R - tłumienie w pmie porowym (w db); n - rąd filtru; Wn - 3-deybelow górn pulj grnin pm preputowego dl filtrów dolnopreputowyh, doln pulj grnin dl filtru górnopreputowego lub wektor dolnej i górnej pulji grninej dl filtrów pmowyh; dl 0
Filtry typu IIR, Premyłw Korohod, KE, AGH filtrów yfrowyh możn tą wielkość interpretowć jko ętotliwość yfrową (w odróżnieniu od pulji) - wynik to normliji do. (en m komentr dotyy tkże Wp i W) Jk widć powyży etw funkji umożliwi projektownie filtrów yfrowyh typu IIR n kilk poobów (ptr prykłd 3).. Funkj FREQZ Ze wględu n ególną prydtność funkj freq otnie opin dokłdniej. Służy on do wylini trnmitnji filtru w diedinie trnformty D-F, gdy dne ą wpółynniki linik i minownik trnmitnji Z. Dl trnmitnj D-F równ jet trnmitnji Z : j ω ( ) He = B () = H () = = A () e j ω b0 + b + b + L+ bn + + + L+ 0 W dlyh rowżnih pre b or otną onone wektory wierowe wpółynników linik i minownik powyżej trnmitnji. Funkj freq może być toown w ntępująyh wrinth: Wrint >>[H,W]=freq(b,,N); Gdy trei prmetr wejśiowy jet libą nturlną, to on on ilość próbek n oi ętotliwośi - yli N - wów wektor H wier wrtośi trnmitnji wylionyh w wybrnyh punkth pi ętotliwośi, ntomit wektor W to kolejne wrtośi ętotliwośi dieląe predił od 0 do π n N równyh odinków pry ym W()=0. Pominięie treiego prmetru powoduje pryjęie N=5. Wrint >> [H,W]=freq(b,,N, whole ); Słowo kluowe whole powoduje, że oblieni preprowdne ą dl pełnego okreu pulji yfrowej, yli W wier N punktów rołożonyh równomiernie n odinku od 0 do π - poynją od wrtośi 0 i końą n π ( N ). N Wrint 3 >> H=freq(b,,W); Wektor wrtośi pulji yfrowej podwny jet jko dne wejśiowe funkji - trnmitnj H wylin jet w punkth określonyh pre kolejne elementy wektor W. Wrint 4 >> [H,F]=freq(b,,N,F); Dodtkowy prmetr F to ętotliwość próbkowni podn w H. Wektor F wier N wrtośi równomiernie rołożonyh n odinku od 0 do F/. Kolejne wylione wrtośi trnmitnji H odpowidją kolejnym wrtośiom wektor ętotliwośi F (w H). Wrint 5 >> [H,F]=freq(b,,N, whole,f); Podobnie jk w wrinie 4), jednk wrtośi ętotliwośi w H rołożone ą równomiernie n odinku od 0 do F. Wrint 6 >> H=freq(b,,F,F); W tym prypdku wrtośi ętotliwośi w H ą podne jko dne wejśiowe. N N N
Wrint 7 Filtry typu IIR, Premyłw Korohod, KE, AGH >> freq(b,,...); Ztoownie funkji w dowolnym poprednih wrintów, jednk be określeni wektor wynikowego, powoduje, że trnmitnj w poti hrkterytyki mplitudowej (w db) or fowej (w topnih, w werji unwrp ) otnie utomtynie wyświetlon w poti grfinej..3 Prykłdy projektowni filtrów typu IIR Prykłd : Zprojektowć pmowopreputowy yfrowy filtr eliptyny o pmie preputowym w predile ętotliwośi 00 H do 300 H, pry ętotliwośi Nyquit' równej 000 H (ętotliwość próbkowni 000 H). Rąd filtru 5. ętnieni w pmie preputowym nie powinny prekrć 3 db, tłumienie w pmie porowym powinno wynoić o njmniej 70 db. Odp.: >> [b,] = ellip( 5, 3, 70, [00/000, 300/000]); w elu prwdeni wyników: >> F=logpe(,3,5); - wektor 5 wrtośi rołożonyh logrytminie n odinku od 0 do 000 >> H = freq( b,, F, 000 ); - w punkth określonyh pre F, dl ętotliwośi próbkowni 000 H >>[H,W]=freq(b,,5, whole ); - odpowiedź ętotliwośiow określon w 5 punkth okręgu jednotkowego pulji yfrowej or odpowiedni wektor pulji yfrowyh; >> figure(); >> emilogx(f, 0*log0(b(H)) ); grid; >> figure(); >> plot(w,0*log0(b(h))); grid; dl porównni obu powyżyh wyników możn podć poleenie: >> figure(); >> hold on >> emilogx(w(:57)*000/pi,0*log0(b(h(:57))), r ); ntomit po komendh: >> figure(3); >> emilogx( F, unwrp(ngle(h))); grid; dotjemy wykre fy włśnie projektownego filtru - wrto ten wykre premnożyć pre odpowiednio preklowną mplitudę w elu wyeliminowni wykreu fy wrtośi odpowidjąyh niewielkim mplitudom: >> hold on; >> ind=find(floor(b(h)*00)); >> L=length(ind); >> Hprog=ero(,5); >> Hprog(ind)=one(,L); >> FH=ngle(H).*Hprog; >> emilogx(f,unwrp(fh), m ); Anlogowy odpowiednik powyżego filtru możn nleźć i bdć ntępująo: [b,]= ellip( 5, 3, 70, [00**pi, 300**pi], ); - nie uwględnimy już ętotliwośi próbkowni [H,W]=freq(b,); - odpowiedź ętotliwośiow wyrżon w odnieieniu do miennej or wektor odpowiednih pulji w rdinh n ekundę, wytko dl 00 punktów; >> figure(4); >> emilogx(w/(*pi),0*log0(b(h))); grid; >>[H,W]=freq(b,,000); - to mo o powyżej, le dl tyią punktów; >> figure(5); >> emilogx(w/(*pi),0*log0(b(h))); grid; >> F3=logpe(,3,000); - wynenie wektor 000 ętotliwośi w H, rołożonyh logrytminie n odinku od 0H do 000H; >> W3=F3**pi; - prelienie wektor F3 n pulje w rdinh n ekundę; >> H3=freq(b,,W3); - to mo o powyżej, le dl tyią punktów; >> figure(6); >> emilogx(f3,0*log0(b(h3))); grid; i dl porównni możn ter wykorytć trnformję dwuliniową, żeby prektłić filtr nlogowy n yfrowy:
Filtry typu IIR, Premyłw Korohod, KE, AGH >>[b,]=biliner(b,,000); - okuje ię, że npotykmy problemy numeryne; dltego dl weryfikji próbujemy nieo dookoł : >>[,p,k]=tfp(b,); >>[,p,k]=biliner(,p,k,000); >>[b,]=ptf(,p,k); >> H = freq( b,, F, 000 ); >> figure(); - już weśniej powinno być podne hold on ; >> emilogx(f, 0*log0(b(H)), b ); porównują or b i b możn twierdić, że pomimo ygnliji problemów numerynyh wynik pierwy był w prybliżeniu poprwny Prykłd : Znleźć rąd dl filtrów yfrowyh Butterworth i eliptynego or pmo normliowne pry ntępująyh wymgnih: pmo preputowe międy 000H 000H, pmo porowe yn ię o 500 H od wymienionyh ętotliwośi, ętotliwość próbkowni wynoi 0KH, tętnieni w pmie preputowym mx. db, tłumienie w pmie porowym - prynjmniej 70 db. Odp.: >>[n,wn] = buttord( [000,000]/0000, [500, 500]/0000,, 70) >> n = 6 >> Wn = 0.0983 0.034 i dlej już projektujemy filtr typu Butterworth toują otrymne wrtośi prmetrów: >>[b,] = butter(n, Wn); Anloginie dl filtru eliptynego dotniemy: >>[n,wn] = ellipord( [000,000]/0000, [500, 500]/0000,, 70) >> n = 6 >> Wn = 0.000 0.000 >>[b,] = ellip(n,, 70, Wn); Widć, że różni w rędh tyh dwóh typów filtrów dl tej mej peyfikji w diedinie ętotliwośiowej jet brdo duż. Prykłd 3: Prykłd m n elu wyknie różni w toowniu różnyh metod projektowni filtru yfrowego typu IIR w opriu o prototyp nlogowy. Projektownie filtru nlogowego typu Butterworth rędu N o pulji grninej (yli normliownego): >> N=6; >>[,p,k]=buttp(n); >>[b,]=ptf(,p,k); >> Fg=/(*pi); - prelienie normliownej pulji grninej rdinow/ekundę n ętotliwość w H; >> Fmx=*Fg; - kłdmy, że mkymln ętotliwość (ętotliwość Nyquit) wynoi ry Fg; >> F=*Fmx; - pryjmujemy ętotliwość próbkowni (w H) równą podwojonej ętotliwośi Nyquit; ) projektownie filtru yfrowego pomoą intrukji butter : >>[b,]=butter(n,0.5); - ętotliwość grnin wynoi 0.5, poniewż pryjęliśmy, że Fmx=*Fg; b)projektownie filtru yfrowego wykorytniem prototypu nlogowego i trnformji dwuliniowej: 3
Filtry typu IIR, Premyłw Korohod, KE, AGH >>[b,]=biliner(b,,f); ) projektownie filtru yfrowego wykorytniem prototypu nlogowego i howniem wrtośi próbek odpowiedi impulowej: >>[b3,3]=impinvr(b,,f); - wrto uwżyć, że otrymne wpółynniki ą epolone; ntępnie korytmy funkji freq, w elu wyneni próbek hrkterytyki ętotliwośiowej kżdego filtrów; wektor ętotliwośi pobiermy jedynie r (56 wrtośi rołożonyh liniowo w kreie od 0 do Fmx - Fmx w H odpowid wrtośi ętotliwośi yfrowej równej ): >>[H,Fd]=freq(b,,56,F); >> H=freq(b,,56,F); >> H3=freq(b3,3,56,F); dl ćwieni wynmy tkże logrytminie rołożony wektor ętotliwośi: >> Flog=logpe(-,log0(Fmx),56); - wektor 56 wrtośi w H rołożonyh logrytminie n odinku od 0.0 do Fmx; worow hrkterytyk filtru nlogowego (próbkown w punkth Flog) jet ntępują: >> H=freq(b,,Flog**pi); - ętotliwośi w H otły prelione n pulję w rdinh/ekundę, gdyż tk interpretuje wektor miennej nieleżnej funkj freq; Uwg: hrkterytyki filtrów yfrowyh otły wynone w punkth rołożonyh liniowo, ntomit filtru nlogowego w punkth rołożonyh logrytminie (możn to było oywiśie robić inej, np. n odwrót). >> emilogx(flog,0*log0(b(h)));grid; >> hold on >> emilogx(fd,0*log0(b(h)), r ); - wykorytniem funkji butter; >> emilogx(fd,0*log0(b(h)), g ); - dl metody wykorytniem trnformji dwuliniowej; >> emilogx(fd,0*log0(b(h3)/f), b ); - dl metody howniem odpowiedi impulowej (dl uykni tej mej kli mplitudyn koniene było podielenie pre F) ptr punkty 6 i 7 ęśi teoretynej; w elu pryjreni ię hrkterytykom w rejonie ętotliwośi grninej ogrnimy kre obu oi wykreu: >> xi([fg/,fg*(3/),-0,0]); widone ą międy innymi ntępująe efekty: ) efekt ginni ętotliwośi dl filtru po toowniu trnformji dwuliniowej; b) njwięke podobieńtwo do hrkterytyki filtru nlogowego w kreie prejśiowym wykuje filtr otrymny metodą howniem odpowiedi impulowej (brk efektu ginni ); ) hrkterytyk filtru otrymnego pomoą funkji butter prein hrkterytykę filtru nlogowego dokłdnie w punkie ętotliwośi grninej (n poiomie -3dB) i wykuje również efekt ginni. Efekt ) wynik fktu, że funkj butter (podobnie jk nlogine funkje dl innyh typów filtrów) koryt prototypu nlogowego i trnformji dwuliniowej, le tką modyfikją tej trnformji, że howny jet wybrny punkt ętotliwośi (lub pulji) - w tym prypdku jet to górn trydeybelow ętotliwość grnin. Wrto również porównć (tym rem już modielnie) wykrey f otrymnyh filtrów yfrowyh. Prykłd 4: Romieenie er i biegunów filtru nlogowego i yfrowego. Wykorytmy filtry Butterworth popredniego prykłdu. dl filtru nlogowego er i bieguny otły już polione, wynmy wię er i bieguny dl filtrów yfrowyh: >>[,p,k]=tfp(b,); >>[,p,k]=tfp(b,); >>[3,p3,k3]=tfp(b3,3); i porównujemy położenie er w ególnośi biegunów: 4
>> figure(); >> plne(,p); >> figure(3); >> plne(,p); >> figure(4); >> plne(,p); >> figure(5); >> plne(3,p3); Filtry typu IIR, Premyłw Korohod, KE, AGH Jk widć kżd metod powoduje w odnieieniu do trnmitnji filtru nlogowego inne premieenie biegunów or wprowd dodtkowe er, któryh nie m w prypdku poprwnej trnmitnji filtru nlogowego - możn to wyjśnić w opriu o wory (9) i (30) wrte w ęśi teoretynej. Uwg: intrukj butter opją kryje pewną pułpkę wynikjąą e końonej preyji oblień: >>[b,]=butter(n,, ); widomo teorii, że trnmitnj tego filtru nlogowego poid w liniku jedynie wrtość, ntomit wektor b wier opró jedynki n ottnim mieju pewną ilość wrtośi prwie równyh ero - wynik tego, że po wyneniu er i biegunów: >>[,p,k]=tfp(b,); otrymuje ię kilk epolonyh er trnmitnji o brdo dużej mplitudie i w reultie wpółynnik k o brdo młej wrtośi; jet to nturlnie wynik nieprwidłowy, odbiegjąy od teoretynego opiu filtru Butterworth - trnmitnj idelnego nlogowego filtru Butterworth nie poid żdnyh er, jedynie bieguny..4 Prelinie kkdy filtrów IIR drugiego rędu n filtr IIR w poti pojedynego topni wyżego rędu (i n odwrót) W poprednih ćwienih korytno już opiu filtru w poti : ) tf (ng. trnfer funtion = funkj prejśi, yli trnmitnj) - wektory wierowe wierjąe wpółynniki linik i minownik; b) p (ng. ero-pole = er-bieguny) - wektory kolumnowe wierjąe wektory er i biegunów trnmitnji or klrny wpólynik wmonieni; ) (ng. tte pe = pretreń tnów) - tery miere (onne ęto jko A,B,C,D) umożliwijąe utworenie dwóh równń mierowyh wiążyh iąg wejśiowy, iąg wyjśiowy i wektor iągów miennyh tnu. Skrót o (ng. eond order tge) on topień drugiego rędu. Kkd tkih topni opiywn jet w pkieie MALAB pre mier o eśiu kolumnh i tylu wierh, ile jet topni. Kżdy wier wier kolejno njpierw try wpółynniki linik, ntępnie minownik trnmitnji dnego topni. Jeżeli pryjmiemy, że k-ty topień opiny jet pre trnmitnję: H k () = to mier kkdy 4 topni będie wyglądł ntępująo: SOS = b + b + b k0 k k + + k0 k k b b b b b b b b b b b b 0 0 0 0 30 3 3 30 3 3 40 4 4 40 4 4 Do prelini kkdy filtrów drugiego rędu n pojedyny filtr typu IIR or w odwrotnym kierunku łuży ntępująy etw funkji MALAB : 5
Filtry typu IIR, Premyłw Korohod, KE, AGH Nw funkji otf op o po o Opi funkji Prelienie miery SOS n dw wektory wierowe opiująe filtr IIR Prelienie miery SOS n dw wektory kolumnowe i wpółynnik wmonieni opiująe filtr IIR Prelienie miery SOS n tery miere opiująe filtr IIR Prelienie dwóh wektorów kolumnowyh i wpółynnik wmonieni opiująyh filtr IIR n mier SOS Prelienie tereh miery opiująyh filtr IIR n mier SOS 6