DSP - MATLAB, Ćwiczenie 8. Ćwiczenie 8. Przemysław Korohoda, KE, AGH

Transkrypt

1 Instrukj do lbortorium z yfrowego przetwrzni sygnłów Ćwizenie 8 Projektownie filtrów typu IIR (o nieskońzonej odpowiedzi impulsowej) Przemysłw Korohod, KE, AGH Zwrtość instrukji: Wybrne zgdnieni z zkresu filtrów nlogowyh i yfrowyh. Opóźnienie grupowe. Ogóln hrkterystyk nlogowyh filtrów dolnoprzepustowyh.3 Anlogowy filtr Butterworth.4 Anlogowy filtr Czebyszew.5 Anlogowy filtr eliptyzny (Cuer).6 Przejśie do dziedziny dyskretnej z zhowniem wrtośi próbek odpowiedzi impulsowej.7 Trnsformj dwuliniow.8 Trnsformje filtrów w dziedzinie zęstotliwośi.9 Filtr yfrowy selektywnie zporowy Projektownie filtrów yfrowyh typu IIR z pomoą pkietu MATLAB. Wybrne funkje pkietu Mtlb służąe do projektowni filtrów typu IIR. Funkj FREQZ.3 Przykłdy projektowni filtrów typu IIR.4 Przeliznie kskdy filtrów IIR drugiego rzędu n filtr IIR w posti pojedynzego stopni wyższego rzędu (i n odwrót) 3 Zdni do wykonni

2 N instrukję skłdją się nstępująe zęśi: Wybrne zgdnieni z zkresu filtrów nlogowyh i yfrowyh Projektownie filtrów yfrowyh typu IIR z pomoą pkietu MATLAB 3 Zdni do wykonni Do sprwnego wykonni ćwizeni nie jest koniezn wześniejsz prktyzn znjomość nie wprowdzonyh w rmh poprzednih ćwizeń funkji pkietu MATLAB, jednk niezbędn jest dobr orientj w mterile przedstwionym w tej instrukji orz w mterile poprzednih ćwizeń. W rzie niejsnośi nleży skonsultowć się przed zjęimi ( tzn. n przykłd w terminie konsultji ) z prowdząym, bezpośrednio lub poprzez e-mil: korohod@ui.gh.edu.pl

3 Wybrne zgdnieni z zkresu filtrów nlogowyh i yfrowyh. Opóźnienie grupowe Opóźnienie grupowe definiowne jest jko pohodn z fzy lizon po pulsji orz ze znkiem ujemnym: G ( ω) ( ) dϕ ω () dω Dl liniowyh zmin fzy filtru wprowdzjąego opoźnienie (przyzynowego) opóźnienie grupowe jest stłe i dodtnie.. Ogóln hrkterystyk nlogowyh filtrów dolnoprzepustowyh Oznzmy przez H ( j ) Ω hrkterystykę zęstotliwośiową filtru nlogowego, przez Ω pulsję (w rdinh n sekundę) ogrnizjąą psmo przepustowe orz przez Ω r pulsję ogrnizjąą psmo zporowe. Pondto przyjmijmy, że δ to mksymln wrtość odhyleni w zkresie psm przepustowego, ntomist δ to mksymln wrtość odhyleni w psmie zporowym: ( j ) H Ω δ ; Ω Ω () H ( j ) Ω δ ; Ω Ω (3) Poniżej pokzno hrkterystyki mplitudowe ztereh podstwowyh rodzjów filtrów dolnoprzepustowyh. Wszystkie filtry zprojektowno przy złożeniu dopuszzlnyh odhyleń 3 db mplitudy w psmie przepustowym, -50dB tłumieni w psmie zporowym, zęstotliwośi próbkowni 000 Hz, zęstotliwośi grniznej psm przepustowego 500Hz, zęstotliwośi grniznej psm zporowego 600Hz (zyli psmo przejśiowe roziąg się od 500Hz do 600Hz). r 3

4 W dlszyh rozwżnih rząd filtru oznzono przez N..3 Anlogowy filtr Butterworth Filtr Butterworth hrkteryzuje się mksymlnie płską mplitudową hrkterystyką zęstotliwośiową dl pulsji 0 i nieskońzoność. W psmie przejśiowym wykzuje w porównniu z innymi filtrmi tego smego rzędu njmniejszy spdek mplitudy. Wzór (4) opisuje zleżność definiująą dolnoprzepustowy filtr Butterworth, indeks oznz filtr nlogowy. Wzór ten możn przepisć tkże do posti (5), gdzie s j Ω : H ( ) Ω N H ( j Ω) Ω + + Ω j Ω j Ω N (4) ( ) ( ) H s H s + s j Ω N (5) Ogóln zleżność n N biegunów zleżnośi (5) oznzonyh indeksem k jest nstępują: s ( ) k N j k 0 N Ω :,,,...,( ) (6) Filtr górnoprzepustowy, komplementrny energetyznie do zdefiniownego wzorem (4) (filtr dolnoprzepustowy oznzono indeksem ) jest nstępująy: N Ω H ( j Ω) H( j Ω) N N (7) Ω + Ω ( ) ( ) ( ) ( ) H s H s H s H s s s N ( j Ω ) N N + (8) 4

5 .4 Anlogowy filtr Czebyszew Filtr Czebyszew znny jest w dwóh wersjh: ) typu I, hrkteryzuje się monotonizną hrkterystyką mplitudową w zkresie psm zporowego i stłą mplitudą osylji tej hrkterystyki w zkresie przepustowym; b) typu II, posid odwróone ehy filtru typu I. Dolnoprzepustowy filtr Czebyszew typu I: gdzie T H ( j Ω) Ω + ε TN Ω N ( x) oznz wielomin Czebyszew stopni N: TN ( x) os N os ( x) osh N osh x ( ) ( ( )) Wzór z osinusem hiperboliznym jest w tym przypdku brdziej odpowiedni, poniewż dopuszz wrtośi x większe niż (ogrnizenie dziedziny funkji os ). Dolnoprzepustowy filtr Czebyszew typu II: H ( j Ω) Ω r TN Ω + ε Ωr TN Ω Filtry dolnoprzepustowe możn przeksztłć w dziedzinie zęstotliwośi do posti górnoprzepustowej i innyh. Filtry dolnoprzepustowy Czebyszew typu I i górnoprzepustowy przeksztłony z dolnoprzepustowego typu II są wzjemnie komplementrne pod względem energii (nlogiznie dolnoprzepustowy II i górnoprzepustowy I)..5 Anlogowy filtr eliptyzny (Cuer) Filtr ten posid optymlnie (mksymlnie) strome dl dnego rzędu filtru zboze w psmie przejśiowym. Oprty jest n funkji eliptyznej Jobiego U N : H + ε U ( j Ω) N Ω Ω.6 Przejśie do dziedziny dyskretnej z zhowniem wrtośi próbek odpowiedzi impulsowej W opriu o filtr nlogowy możn zprojektowć filtr yfrowy n kilk sposobów. Jednym z nih jest zhownie wrtośi odpowiedzi impulsowej w wybrnyh równo oddlonyh punkth zsu : (9) (0) () () h[ n] h ( n T) (3) Relj pomiędzy hrkterystyką zęstotliwośiową (zyli trnsmitnją) filtru yfrowego ( H( ) ω - jest to funkj pulsji yfrowej ) i nlogowego jest nstępują: 5

6 H ω π k ( ) H j Ω Ω (4) T T T T ( ω) H j ( k ) k k lub w dziedzinie trnsformty z : H( z) z e π H s j k T T s T k (5) Jk widć hrkterystyki zęstotliwośiowe filtrów yfrowyh otrzymnyh z tego smego prototypu nlogowego metodą trnsformji dwuliniowej i opisywną metodą będą się różniły wrtośimi mplitudy (ptrz przykłd 3 w dlszej zęśi tej instrukji). Chą dokonć porównni obu hrkterystyk nleży w tkim przypdku np. pomnożyć hrkterystykę zęstotliwośiową filtru otrzymnego metodą z zhowniem odpowiedzi impulsowej przez okres próbkowni (lub - o n jedno wyhodzi - podzielić przez zęstotliwość próbkowni wyrżoną w Hz). Pomiędzy biegunmi trnsmitnji filtru nlogowego, s k, i yfrowego, p k, zhodzi zleżność: p k e s T k (6) Spotyk się tkże wersję tej metody z przesklowniem mplitudy odpowiedzi impulsowej zhowująym w zmin mplitudę odpowiedzi zęstotliwośiowej: h[ n] T h ( n T) (7) ω π k H( ω) H ( j ( k )) H j Ω Ω T T k k (8).7 Trnsformj dwuliniow Drugą podstwową tehniką wyznzni filtru yfrowego w opriu o filtr nlogowy jest trnsformj dwuliniow, sprowdzją łą zespoloną płszzyznę zmiennej s do pojedynzego ps równoległego do osi rzezywistej: π π ( s) T T Zdnie to relizuje nstępująe odwzorownie: s / Im (9) tnh T s T Nstępnie nstępuje odwzorownie tego ps w płszzyznę z sprowdzjąe funkję zmiennej s do funkji zmiennej z tk, że odinek osi pionowej w płszzyźnie s zwrty w tym psie zostje odwzorowny w okrąg o promieniu jednostkowym n płszzyźnie z : z / e s T Odwzorownie (0) możn tkże zpisć w wersji dl pulsji, korzystją z podstwieni s / / orz s j Ω i wzorów Euler: j Ω (0) () 6

7 Ω / tn T Ω T () Możn również przejść od rzu od pulsji nlogowej do pulsji yfrowej ( Ω / T ω ), o odpowid łąznemu zpisowi obu zleżnośi (0) i () (przy podstwieniu z e j ω ): ω tn Ω T (3) Zleżność (3) dl niewielkih wrtośi rgumentu jest w przybliżeniu liniow: Podobny łązny zpis dl zmiennyh s i z dje: ω Ω T (4) z s T + z (5) Równnie (5) możn tkże zpisć jko odwzorownie trnsmitnji nlogowej n trnsmitnję yfrową: H( z) H ( s) z s T + z (6) z T + s T s (7) H( ω) H ( j Ω) tn Ω T ω (8) Poniższy rysunek obrzuje istotę trnsformji dwuliniowej. Chrkterystyk zęstotliwośiow określon w dziedzinie nlogowej dl nieskońzonego przedziły pulsji jest odwzorowywn w skońzony (pojedynzy okres) przedził pulsji yfrowej. Ide t m n elu wyeliminownie efektu lisingu, który powstłby przy próbkowniu hrkterystyki o niezerowej mplitudzie dl brdzo szerokiego psm. Efekt zminy zkresu pulsji nzywny jest efektem zginni (ng. wrping effet). 7

8 W prktye nie przeprowdz się odwzorowni łej płszzyzny s. W elu otrzymni trnsmitnji filtru yfrowego wystrzy wykonć trnsformję jedynie zer i biegunów odpowiedniej trnsmitnji nlogowej, o dje powiązni pomiędzy trnsmitnjmi filtru nlogowego i yfrowego opisne poniżej: H ( s) K ( ) M ( s σ m ) m N ( s sk ) n N M H( z) b + z 0 M m N n ( z zm z ) ( z pk z ) (9) (30) z m T + σ T σ m m (3) p k T + s T s k k (3) 8

9 .8 Trnsformje filtrów w dziedzinie zęstotliwośi Podstwowe filtry IIR zdefiniowne są w wersji dolnoprzepustowej. Możn jednk łtwo przelizyć trnsmitnję filtru tk, by otrzymć inny typ. Poniżej pokzno związki pomiędzy trnsmitnjmi filtrów nlogowyh, w odpowiedniej kolejnośi - filtr dolnoprzepustowy, górnoprzepustowy, psmowoprzepustowy i psmowozporowy: + Ω Ω ( ) ( Ω Ω ), H s Ω Ω s + Ω Ω s Ω H, H, H s (33) Ω s s Dl fitrów yfrowyh również zhodzą podobne zleżnośi. Doelowy filtr, Hd ( z), możn otrzymć ze znormlizownego filtru dolnoprzepustowego, H( z),przez podstwienie z zmienną z odpowiedniej funkji g( z) : ( ( )) H ( z ) d H g z (34) Przykłdowo filtr dolnoprzepustowy o pulsji grniznej ω wyznz się z filtru dolnoprzepustowego o pulsji grnizej θ przez podstwienie: z α g( z) : α z θ ω sin α θ + ω sin ntomist filtr górnoprzepustowy o pulsji grniznej ω wyznz się z filtru dolnoprzepustowego o pulsji grnizej θ przez podstwienie: θ + ω os z α g( z) : α α z θ ω os (35) (36) MtLb posid funkje do trnsponowni filtru nlogowego w dziedzinie zęstotliwośi z posti znormlizownego dolnoprzepustowego filtru o górnej pulsji grniznej równej ( lplp, lphp, lpbp, lpbs ). Tk zmodyfikowny prototyp filtru nlogowego może w dlszej kolejnośi zostć przeksztłony do posti yfrowej w elu otrzymni filtru górnoprzepustowego, psmowoprzepustowego lub psmowozporowego. W przypdku przeksztłni filtru nlogowego do posti filtru psmowoprzepustowego (lub psmowozporowego) jko zęstotliwośi hrkterystyzne podje się szerokość psm, oznzoną np. jko Bw, orz zęstotliwość środkową psm - zyli np. Wo. Górn i doln pulsj grnizn (zyli W i W ) wiążą się z powyższymi prmetrmi w sposób nstępująy: Bw W W (37) Wo W W (38) Wrto zwróić uwgę, że środek psm Wo jest średnią geometryzną ( nie rytmetyzną) pulsji grniznyh W i W. Odpowiednie opje funkji butter, ellip, heby i heby umożliwiją tkże zprojektownie filtru yfrowego innego niż dolnoprzepustowy, jednk funkje te zwsze korzystją z trnsformji dwuliniowej z modyfikją zhowująą jedną hrkterystyzną zęstotliwość (pulsję). 9

10 .9 Filtr yfrowy selektywnie zporowy Jest to filtr IIR drugiego rzędu, określny zęsto terminem noth (z j.ng. krb, nięie), poniewż jego hrkterystyk mplitudow posid hrkterystyzne nięie. Poniewż jko złożenie wstępne przyjmuje się, że dny filtr powinien eliminowć z sygnłu wejśiowego zęstotliwość f 0 (zyli pulsję ω 0 ), wię dość ozywiste jest, że jego trnsmitnj Z posid zer n okręgu jednostkowym, dokłdnie w punkth odpowidjąyh f 0 orz f 0 : ( ) H z j π f0 j π f0 ( z e ) ( z e ) j f0 j f0 ( z r e ) ( z r e ) π π (39) W rmh ćwizeni nleży się zstnowić dlzego wprowdzono współzynnik r i jką powinien on mieć wrtość. Trnsmitnję (39) możn również zpisć jko trnsmitnję w dziedzinie Fourier: j π f ( ) H e j π f j π f0 j π f j π f0 ( e e ) ( e e ) j f j f0 j f j f0 ( e r e ) ( e r e ) π π π π (40) Jeżeli zęstotliwość próbkowni zostnie oznzon jko f s, to filtr IIR odpowidjąy trnsmitnji (39) posid nstępująe współzynniki równni różniowego: π f 0 b [, os, ] π f 0 [, r os, r ] f f s s (4) (4) gdzie przez b oznzono wektor współzynników po stronie iągu wejśiowego, ntomist przez wektor współzynników po stronie iągu wyjśiowego. W rmh smodzielnego ćwizeni wrto wyprowdzić powyższe zleżnośi n współzynniki równni różniowego. 0

11 Projektownie filtrów yfrowyh typu IIR z pomoą pkietu MATLAB. Wybrne funkje pkietu Mtlb służąe do projektowni filtrów typu IIR funkje pkietu Mtlb - zęść Nzw funkji impinvr biliner butter heby heby ellip buttp hebp hebp ellipp buttord hebord hebord ellipord lplp lphp lpbp lpbs Opis funkji wyznznie współzynników filtru yfrowego w opriu o współzynniki filtru nlogowego i podną zęstotliwość próbkowni tk, by zhowny był ksztłt odpowiedzi impulsowej (w punkth próbkowni) przelizenie trnsmitnji filtru nlogowego (opisnej w posti współzynników wielominów lub zer i biegunów, lub zmiennyh stnu) n trnsmitnję filtru yfrowego z pomoą trnsformji dwuliniowej wyznznie trnsmitnji filtru Butterworth (nlogowego lub yfrowego) wyznznie trnsmitnji filtru Czebyszew, typu I (nlogowego lub yfrowego) wyznznie trnsmitnji filtru Czebyszew, typu II (nlogowego lub yfrowego) wyznznie trnsmitnji filtru eliptyznego (nlogowego lub yfrowego) wyznznie trnsmitnji nlogowego filtru Butterworth wyznznie trnsmitnji nlogowego filtru Czebyszew, typu I wyznznie trnsmitnji nlogowego filtru Czebyszew, typu II wyznznie trnsmitnji nlogowego filtru eliptyznego wyznznie rzędu filtru (nlogowego lub yfrowego) Butterworth spełnijąego podne wymgni wyznznie rzędu filtru (nlogowego lub yfrowego) Czebyszew (typu I) spełnijąego podne wymgni wyznznie rzędu filtru (nlogowego lub yfrowego) Czebyszew (typu II) spełnijąego podne wymgni wyznznie rzędu filtru (nlogowego lub yfrowego) eliptyznego spełnijąego podne wymgni przelizenie trnsmitnji nlogowego filtru dolnoprzepustowego o znormlizownej górnej zęstotliwośi grniznej n trnsmitnję filtru dolnoprzepustowego przelizenie trnsmitnji nlogowego filtru dolnoprzepustowego o znormlizownej górnej zęstotliwośi grniznej n trnsmitnję filtru górnoprzepustowego przelizenie trnsmitnji nlogowego filtru dolnoprzepustowego o znormlizownej górnej zęstotliwośi grniznej n trnsmitnję filtru psmowoprzepustowego przelizenie trnsmitnji nlogowego filtru dolnoprzepustowego o znormlizownej górnej zęstotliwośi grniznej n trnsmitnję filtru psmowozporowego Wybrne funkje pkietu Mtlb - zęść Nzw funkji Opis funkji freqs wyznzenie iągu próbek odpowiedzi zęstotliwośiowej dl podnej trnsmitnji filtru nlogowego invfreqs wyznzenie trnsmitnji filtru nlogowego, njlepiej psująej (w sensie błędu średniokwdrtowego) do podnego iągu próbek odpowiedzi zęstotliwośiowej semilogx to smo o plot, le oś poziom jest wyświetln w skli logrytmiznej (log0) grpdely wyznz opóźnienie grupowe dl podnego iągu zespolonego Szzegóły możn odzytć z pomoą poleeni help. Niektóre szzegóły zostną podne poniżej.

12 Sposoby wykorzystni funkji do projektowni filtrów- zęść Rodzj Filtru Butterworth Czebyszew typu I Czebyszew typu II eliptyzny Funkje do projektowni [b,] butter(n, Wn, opje) [z,p,k] butter(n, Wn, opje) [A,B,C,D] butter(n, Wn, opje) [b,] heby(n, Rp, Wn, opje) [z,p,k] heby(n, Rp, Wn, opje) [A,B,C,D] heby(n, Rp, Wn, opje) [b,] heby(n, Rs, Wn, opje) [z,p,k] heby(n, Rs, Wn, opje) [A,B,C,D] heby(n, Rs, Wn, opje) [b,] ellip(n, Rp, Rs, Wn, opje) [z,p,k] ellip(n, Rp, Rs, Wn, opje) [A,B,C,D] ellip(n, Rp, Rs, Wn, opje) Jeżeli nie skorzystmy z opji s (ptrz tbel niżej), to kżd z powyższyh funkji zwr opis yfrowego filtru dolnoprzepustowego, o pulsji odięi Wn określonej z zkresu [ 0, ]. Mksymln wrtość wynik z normlizji. W przypdku filtru yfrowego nie m znzeni jk zinterpretujemy zmienną niezleżną - zy jko pulsję yfrową, zy jko zęstotliwość yfrową - poniewż obie wielkośi są znormlizowne i ih zkres wynosi od 0 do. Ntomist w przypdku filtrów nlogowyh funkje służąe do projektowni przyjmują jko prmetry wejśiowe pulsję w rdinh/sekundę. W elu otrzymni filtru innego niż dolnoprzepustowy nleży skorzystć z jednej z poniżej opisnyh opji. Sposoby wykorzystni funkji do projektowni filtrów- zęść Rodzj Filtru górnoprzepustowy psmowoprzepustowy psmowozporowy nlogowy Opje opje ustwić n: 'high' podć Wn jko wektor dwuelementowy, zwierjąy dwie pulsje grnizne psm przepustowego podć Wn jko wektor dwuelementowy, zwierjąy dwie pulsje grnizne psm zporowego opje ustwić n: 'stop' opje ustwić n: 's', pulsje grnizne podwć w rdinh n sekundę przelizonyh z zęstotliwośi w Hz Sposoby wykorzystni funkji do projektowni filtrów- zęść 3 Typ Filtru Funkj do znlezieni rzędu filtru Butterworth [n,wn] buttord( Wp, Ws, Rp, Rs, opj) Czebyszew I [n,wn] hebord( Wp, Ws, Rp, Rs, opj) Czebyszew II [n,wn] hebord( Wp, Ws, Rp, Rs, opj) eliptyzny [n,wn] ellipord( Wp, Ws, Rp, Rs, opj) W powyższej tbeli opj może przyjmowć jedynie wrtość s (w pojedynzyh postrofh) i oznz filtr nlogowy, brk opji oznz filtr yfrowy. W tbelh przyjęto nstępująe oznzeni: b, - wektory wierszowe współzynników wielominów trnsmitnji (lub równni różniowego) filtru; A,B,C,D - mierze opisu filtru w posti zmiennyh stnu; z,p,k - wektory kolumnowe zer i biegunów orz sklrny współzynnik wzmonieni filtru; Wp - górn pulsj grnizn psm przepustowego lub zporowego (ptrz też komentrz do Wn); Ws - doln pulsj grnizn psm przepustowego lub zporowego (ptrz też komentrz do Wn);

13 Rp - tętnieni w psmie przepustowym (w db); Rs - tłumienie w psmie zporowym (w db); n - rząd filtru; Wn - 3-deybelow górn pulsj grnizn psm przepustowego dl filtrów dolnoprzepustowyh, doln pulsj grnizn dl filtru górnoprzepustowego lub wektor dolnej i górnej pulsji grniznej dl filtrów psmowyh; dl filtrów yfrowyh możn tą wielkość zinterpretowć jko zęstotliwość yfrową (w odróżnieniu od pulsji) - wynik to z normlizji do. (Ten sm komentrz dotyzy tkże Wp i Ws) Jk widć powyższy zestw funkji umożliwi projektownie filtrów yfrowyh typu IIR n kilk sposobów (ptrz przykłd 3).. Funkj FREQZ Ze względu n szzególną przydtność funkj freqz zostnie opisn dokłdniej. Służy on do wylizni trnsmitnji filtru w dziedzinie trnsformty D-TFT, gdy zdne są współzynniki liznik i minownik trnsmitnji Z. Dl trnsmitnj D-TFT równ jest trnsmitnji Z : z e j ω j ω ( ) H e B( z) H( z) A( z) b0 + b z + b z + + bn z + z + z + + z 0 N N N W dlszyh rozwżnih przez b orz zostną oznzone wektory wierszowe współzynników liznik i minownik powyższej trnsmitnji. Funkj freqz może być stosown w nstępująyh wrinth: Wrint ) >>[H,W]freqz(b,,N); Gdy trzei prmetr wejśiowy jest lizbą nturlną, to oznz on ilość próbek n osi zęstotliwośi - zyli N - wówzs wektor H zwier wrtośi trnsmitnji wylizonyh w wybrnyh punkth psi zęstotliwośi, ntomist wektor W to kolejne wrtośi zęstotliwośi dzieląe przedził od 0 do π n N równyh odinków przy zym W()0. Pominięie trzeiego prmetru powoduje przyjęie N5. Wrint ) >> [H,W]freqz(b,,N, whole ); Słowo kluzowe whole powoduje, że oblizeni przeprowdzne są dl pełnego okresu pulsji yfrowej, zyli W zwier N punktów rozłożonyh równomiernie n odinku od 0 do π - π pozynją od wrtośi 0 i końzą n ( N ). N Wrint 3) >> Hfreqz(b,,W); 3

14 Wektor wrtośi pulsji yfrowej podwny jest jko dne wejśiowe funkji - trnsmitnj H wylizn jest w punkth określonyh przez kolejne elementy wektor W. Wrint 4) >> [H,F]freqz(b,,N,Fs); Dodtkowy prmetr Fs to zęstotliwość próbkowni podn w Hz. Wektor F zwier N wrtośi równomiernie rozłożonyh n odinku od 0 do Fs/. Kolejne wylizone wrtośi trnsmitnji H odpowidją kolejnym wrtośiom wektor zęstotliwośi F (w Hz). Wrint 5) >> [H,F]freqz(b,,N, whole,fs); Podobnie jk w wrinie 4), jednk wrtośi zęstotliwośi w Hz rozłożone są równomiernie n odinku od 0 do Fs. Wrint 6) >> Hfreqz(b,,F,Fs); W tym przypdku wrtośi zęstotliwośi w Hz są podne jko dne wejśiowe. Wrint 7) >> freqz(b,,...); Zstosownie funkji w dowolnym z poprzednih wrintów, jednk bez określeni wektor wynikowego, powoduje, że trnsmitnj w posti hrkterystyki mplitudowej (w db) orz fzowej (w stopnih, w wersji unwrp ) zostnie utomtyznie wyświetlon w posti grfiznej..3 Przykłdy projektowni filtrów typu IIR Przykłd : Zprojektowć psmowoprzepustowy yfrowy filtr eliptyzny o psmie przepustowym w przedzile zęstotliwośi 00 Hz do 300 Hz, przy zęstotliwośi Nyquist' równej 000 Hz (zęstotliwość próbkowni 000 Hz). Rząd filtru 5. Tętnieni w psmie przepustowym nie powinny przekrzć 3 db, tłumienie w psmie zporowym powinno wynosić o njmniej 70 db. Odp.: >> [b,] ellip( 5, 3, 70, [00/000, 300/000]); w elu sprwdzeni wyników: >> Flogspe(,3,5); - wektor 5 wrtośi rozłożonyh logrytmiznie n odinku od 0 do 000 >> H freqz( b,, F, 000 ); - w punkth określonyh przez F, dl zęstotliwośi próbkowni 000 Hz >>[H,W]freqz(b,,5, whole ); - odpowiedź zęstotliwośiow określon w 5 punkth okręgu jednostkowego pulsji yfrowej orz odpowiedni wektor pulsji yfrowyh; >> figure(); >> semilogx(f, 0*log0(bs(H)) ); grid; >> figure(); >> plot(w,0*log0(bs(h))); grid; dl porównni obu powyższyh wyników możn podć poleenie: >> figure(); >> hold on 4

15 >> semilogx(w(:57)*000/pi,0*log0(bs(h(:57))), r ); ntomist po komendh: >> figure(3); >> semilogx( F, unwrp(ngle(h))); grid; dostjemy wykres fzy włśnie zprojektownego filtru - wrto ten wykres przemnożyć przez odpowiednio przesklowną mplitudę w elu wyeliminowni z wykresu fzy wrtośi odpowidjąyh niewielkim mplitudom: >> hold on; >> indfind(floor(bs(h)*00)); >> Llength(ind); >> Hprogzeros(,5); >> Hprog(ind)ones(,L); >> FzHngle(H).*Hprog; >> semilogx(f,unwrp(fzh), m ); Anlogowy odpowiednik powyższego filtru możn znleźć i zbdć nstępująo: [b,] ellip( 5, 3, 70, [00**pi, 300**pi], s ); - nie uwzględnimy już zęstotliwośi próbkowni [H,W]freqs(b,); - odpowiedź zęstotliwośiow wyrżon w odniesieniu do zmiennej s orz wektor odpowiednih pulsji w rdinh n sekundę, wszystko dl 00 punktów; >> figure(4); >> semilogx(w/(*pi),0*log0(bs(h))); grid; >>[H,W]freqs(b,,000); - to smo o powyżej, le dl tysią punktów; >> figure(5); >> semilogx(w/(*pi),0*log0(bs(h))); grid; >> F3logspe(,3,000); - wyznzenie wektor 000 zęstotliwośi w Hz, rozłożonyh logrytmiznie n odinku od 0Hz do 000Hz; >> W3F3**pi; - przelizenie wektor F3 n pulsje w rdinh n sekundę; >> H3freqs(b,,W3); - to smo o powyżej, le dl tysią punktów; >> figure(6); >> semilogx(f3,0*log0(bs(h3))); grid; i dl porównni możn terz wykorzystć trnsformję dwuliniową, żeby przeksztłić filtr nlogowy n yfrowy: >>[b,]biliner(b,,000); - okzuje się, że npotykmy problemy numeryzne; dltego dl weryfikji próbujemy nieo dookoł : >>[z,p,k]tfzp(b,); >>[z,p,k]biliner(z,p,k,000); >>[b,]zptf(z,p,k); >> H freqz( b,, F, 000 ); >> figure(); - już wześniej powinno być podne hold on ; >> semilogx(f, 0*log0(bs(H)), b ); porównują orz b z i b możn stwierdzić, że pomimo sygnlizji problemów numeryznyh wynik pierwszy był w przybliżeniu poprwny Przykłd : Znleźć rząd dl filtrów yfrowyh Butterworth i eliptyznego orz psmo znormlizowne przy nstępująyh wymgnih: psmo przepustowe między 000Hz 000Hz, psmo zporowe zzyn się o 500 Hz od wymienionyh zęstotliwośi, zęstotliwość próbkowni wynosi 0KHz, tętnieni w psmie przepustowym mx. db, tłumienie w psmie zporowym - przynjmniej 70 db. Odp.: >>[n,wn] buttord( [000,000]/0000, [500, 500]/0000,, 70) >> n 6 5

16 >> Wn i dlej już projektujemy filtr typu Butterworth stosują otrzymne wrtośi prmetrów: >>[b,] butter(n, Wn); Anlogiznie dl filtru eliptyznego dostniemy: >>[n,wn] ellipord( [000,000]/0000, [500, 500]/0000,, 70) >> n 6 >> Wn >>[b,] ellip(n,, 70, Wn); Widć, że różni w rzędh tyh dwóh typów filtrów dl tej smej speyfikji w dziedzinie zęstotliwośiowej jest brdzo duż. Przykłd 3: Przykłd m n elu wykznie różni w zstosowniu różnyh metod projektowni filtru yfrowego typu IIR w opriu o prototyp nlogowy. Projektownie filtru nlogowego typu Butterworth rzędu N o pulsji grniznej (zyli znormlizownego): >> N6; >>[z,p,k]buttp(n); >>[b,]zptf(z,p,k); >> Fg/(*pi); - przelizenie znormlizownej pulsji grniznej z rdinow/sekundę n zęstotliwość w Hz; >> Fmx*Fg; - zkłdmy, że mksymln zęstotliwość (zęstotliwość Nyquist) wynosi rzy Fg; >> Fs*Fmx; - przyjmujemy zęstotliwość próbkowni (w Hz) równą podwojonej zęstotliwośi Nyquist; ) projektownie filtru yfrowego z pomoą instrukji butter : >>[b,]butter(n,0.5); - zęstotliwość grnizn wynosi 0.5, poniewż przyjęliśmy, że Fmx*Fg; b)projektownie filtru yfrowego z wykorzystniem prototypu nlogowego i trnsformji dwuliniowej: >>[b,]biliner(b,,fs); ) projektownie filtru yfrowego z wykorzystniem prototypu nlogowego i zhowniem wrtośi próbek odpowiedzi impulsowej: >>[b3,3]impinvr(b,,fs); - wrto zuwżyć, że otrzymne współzynniki są zespolone; nstępnie korzystmy z funkji freqz, w elu wyznzeni próbek hrkterystyki zęstotliwośiowej kżdego z filtrów; wektor zęstotliwośi pobiermy jedynie rz (56 wrtośi rozłożonyh liniowo w zkresie od 0 do Fmx - Fmx w Hz odpowid wrtośi zęstotliwośi yfrowej równej ): >>[H,Fd]freqz(b,,56,Fs); >> Hfreqz(b,,56,Fs); >> H3freqz(b3,3,56,Fs); 6

17 dl ćwizeni wyznzmy tkże logrytmiznie rozłożony wektor zęstotliwośi: >> Floglogspe(-,log0(Fmx),56); - wektor 56 wrtośi w Hz rozłożonyh logrytmiznie n odinku od 0.0 do Fmx; wzorow hrkterystyk filtru nlogowego (spróbkown w punkth Flog) jest nstępują: >> Hfreqs(b,,Flog**pi); - zęstotliwośi w Hz zostły przelizone n pulsję w rdinh/sekundę, gdyż tk interpretuje wektor zmiennej niezleżnej funkj freqs; Uwg: hrkterystyki filtrów yfrowyh zostły wyznzone w punkth rozłożonyh liniowo, ntomist filtru nlogowego w punkth rozłożonyh logrytmiznie (możn to było ozywiśie zrobić inzej, np. n odwrót). >> semilogx(flog,0*log0(bs(h)));grid; >> hold on >> semilogx(fd,0*log0(bs(h)), r ); - z wykorzystniem funkji butter; >> semilogx(fd,0*log0(bs(h)), g ); - dl metody z wykorzystniem trnsformji dwuliniowej; >> semilogx(fd,0*log0(bs(h3)/fs), b ); - dl metody z zhowniem odpowiedzi impulsowej (dl uzyskni tej smej skli mplitudyn koniezne było podzielenie przez Fs) ptrz punkty 6 i 7 zęśi teoretyznej; w elu przyjrzeni się hrkterystykom w rejonie zęstotliwośi grniznej ogrnizmy zkres obu osi wykresu: >> xis([fg/,fg*(3/),-0,0]); widozne są między innymi nstępująe efekty: ) efekt zginni zęstotliwośi dl filtru po zstosowniu trnsformji dwuliniowej; b) njwiększe podobieństwo do hrkterystyki filtru nlogowego w zkresie przejśiowym wykzuje filtr otrzymny metodą z zhowniem odpowiedzi impulsowej (brk efektu zginni ); ) hrkterystyk filtru otrzymnego z pomoą funkji butter przein hrkterystykę filtru nlogowego dokłdnie w punkie zęstotliwośi grniznej (n poziomie -3dB) i wykzuje również efekt zginni. Efekt ) wynik z fktu, że funkj butter (podobnie jk nlogizne funkje dl innyh typów filtrów) korzyst z prototypu nlogowego i trnsformji dwuliniowej, le z tką modyfikją tej trnsformji, że zhowny jest wybrny punkt zęstotliwośi (lub pulsji) - w tym przypdku jest to górn trzydeybelow zęstotliwość grnizn. Wrto również porównć (tym rzem już smodzielnie) wykresy fz otrzymnyh filtrów yfrowyh. Przykłd 4: Rozmieszzenie zer i biegunów filtru nlogowego i yfrowego. Wykorzystmy filtry Butterworth z poprzedniego przykłdu. dl filtru nlogowego zer i bieguny zostły już polizone, wyznzmy wię zer i bieguny dl filtrów yfrowyh: >>[z,p,k]tfzp(b,); >>[z,p,k]tfzp(b,); >>[z3,p3,k3]tfzp(b3,3); i porównujemy położenie zer w szzególnośi biegunów: >> figure(); >> zplne(z,p); >> figure(3); >> zplne(z,p); 7

18 >> figure(4); >> zplne(z,p); >> figure(5); >> zplne(z3,p3); Jk widć kżd z metod powoduje w odniesieniu do trnsmitnji filtru nlogowego inne przemieszzenie biegunów orz wprowdz dodtkowe zer, któryh nie m w przypdku poprwnej trnsmitnji filtru nlogowego - możn to wyjśnić w opriu o wzory (9) i (30) zwrte w zęśi teoretyznej. Uwg: instrukj butter z opją s kryje pewną pułpkę wynikjąą ze skońzonej preyzji oblizeń: >>[b,]butter(n,, s ); widomo z teorii, że trnsmitnj tego filtru nlogowego posid w lizniku jedynie wrtość, ntomist wektor b zwier opróz jedynki n osttnim miejsu pewną ilość wrtośi prwie równyh zero - wynik z tego, że po wyznzeniu zer i biegunów: >>[z,p,k]tfzp(b,); otrzymuje się kilk zespolonyh zer trnsmitnji o brdzo dużej mplitudzie i w rezultie współzynnik k o brdzo młej wrtośi; jest to nturlnie wynik nieprwidłowy, odbiegjąy od teoretyznego opisu filtru Butterworth - trnsmitnj idelnego nlogowego filtru Butterworth nie posid żdnyh zer, jedynie bieguny..4 Przeliznie kskdy filtrów IIR drugiego rzędu n filtr IIR w posti pojedynzego stopni wyższego rzędu (i n odwrót) W poprzednih ćwizenih korzystno już z opisu filtru w posti : ) tf (ng. trnsfer funtion funkj przejśi, zyli trnsmitnj) - wektory wierszowe zwierjąe współzynniki liznik i minownik; b) zp (ng. zeros-poles zer-bieguny) - wektory kolumnowe zwierjąe wektory zer i biegunów trnsmitnji orz sklrny wspólzynik wzmonieni; ) ss (ng. stte spe przestrzeń stnów) - ztery mierze (oznzne zęsto jko A,B,C,D) umożliwijąe utworzenie dwóh równń mierzowyh wiążyh iąg wejśiowy, iąg wyjśiowy i wektor iągów zmiennyh stnu. Skrót sos (ng. seond order stge) oznz stopień drugiego rzędu. Kskd tkih stopni opisywn jest w pkieie MATLAB przez mierz o sześiu kolumnh i tylu wierszh, ile jest stopni. Kżdy wiersz zwier kolejno njpierw trzy współzynniki liznik, nstępnie minownik trnsmitnji dnego stopni. Jeżeli przyjmiemy, że k-ty stopień opisny jest przez trnsmitnję: H k ( z) b + b z + b z k 0 k k + z + z k 0 k k to mierz kskdy 4 stopni będzie wyglądł nstępująo: 8

19 SOS b b b b b b b b b b b b Do przelizni kskdy filtrów drugiego rzędu n pojedynzy filtr typu IIR orz w odwrotnym kierunku służy nstępująy zestw funkji MATLAB : Nzw funkji sostf soszp sosss zpsos sssos Opis funkji Przelizenie mierzy SOS n dw wektory wierszowe opisująe filtr IIR Przelizenie mierzy SOS n dw wektory kolumnowe i współzynnik wzmonieni opisująe filtr IIR Przelizenie mierzy SOS n ztery mierze opisująe filtr IIR Przelizenie dwóh wektorów kolumnowyh i współzynnik wzmonieni opisująyh filtr IIR n mierz SOS Przelizenie ztereh mierzy opisująyh filtr IIR n mierz SOS 3 Zdni do wykonni. Zprojektowć yfrowy filtr typu IIR (dolno-, górno- lub psmowoprzepustowy, lub zporowy), w opriu o iągły filtr Butterworth, Czebyszew lub Cuer, o zdnyh prmetrh zhowują wrtośi próbek odpowiedzi impulsowej.. Zdemonstrowć n zym poleg trnsformj dwuliniow. 3. Zprojektowć yfrowy filtr typu IIR (dolno-, górno- lub psmowoprzepustowy, lub zporowy), w opriu o iągły filtr Butterworth, Czebyszew lub Cuer, o zdnyh prmetrh z wykorzystniem trnsformji dwuliniowej. 4. Zprojektowć bezpośrednio (bez pośredniego etpu projektowni filtru nlogoewego) yfrowy filtr typu IIR o zdnyh prmetrh (Butterworth, Czebyszew lub Cuer; dolno-, górno- lub psmowoprzepustowy, lub zporowy) w opriu o odpowiednie funkje Mtlb. 5. Zbdć włśiwośi fitru selektywnie zporowego drugiego rzędu w zleżnośi od współzynnik r (stbilność, hrkterystyk mplitudow i fzow). 6. Zbdć włśiwośi trójstopniowej kskdy filtrów drugiego rzędu selektywnie zporowyh. 9

20 0