MAIERZE. ZWIĄZEK Z ODWZOROWANIAMI LINIOWYMI. k { 1,,..., k} Definicja 1. Macierzą nazyway każde odwzorowanie określone na iloczynie kartezjański.wartość tego odwzorowania na parze (i,j) k j oznaczay aij i nazyway eleente tej acierzy. Zbiór wartości zapisujey w forie: a a a a a a a a a 11 1 1n 1 n k1 k kn Ten zbiór utożsaiay z acierzą. Eleentai acierzy ogą być różne obiekty ateatyczne np. liczby, wieloiany, inne funkcje. Definicja. a a a a a a a a a a a a a a a a 11 1 1 j 1 1 j i1 i ij i k1 k kj k O eleentach a i1, a i, a i ówiy, że tworzą i-ty wiersz acierzy. O eleentach a 1j, a j, a nj ówiy, że tworzą j-tą kolunę acierzy. Jeżeli acierz a k wierszy i kolun, to ówiy, że jest to acierz o wyiarach k. PRZYKŁAD 1. A 1 1 3 5 4 5 4 Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 1 z 11 zęść 6 - Macierze
Macierze oznaczay najczęściej dużyi literai Definicja 3. A [a ij ] [a ij ] k A k a) Macierzą transponowaną do acierzy A nazyway acierz A T, powstała z acierzy A przez zaianę jej wierszy na koluny bez ziany ich kolejności. PRZYKŁAD. A T [b ij ] k A 1 1 3 5 4 5 4 A T 1 5 1 4 3 5 b) Macierz nazyway acierzą zerową jeżeli wszystkie jej eleenty równe są zero. Oznaczenie: 0 k c) Jeżeli ilość wierszy acierzy równa jest ilości jej kolun, to acierz taką nazyway acierzą kwadratową. A n Definicja 4. A n[a ij ] a) O eleentach a ii i1,,..., n ówiy, że tworzą przekątną główną acierzy. Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona z 11 zęść 6 - Macierze
a11.... a........ ann b) Macierz kwadratową nazyway acierzą diagonalną, jeżeli wszystkie jej eleenty poza przekątną główną są równe zero. PRZYKŁAD 3. 1 0 0 0 0 0 0 4 c) Macierz jednostkowa to acierz diagonalna, w której wszystkie eleenty na głównej przekątnej są równe jeden. PRZYKŁAD 4. I 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 d) Macierz nazyway trójkątną górną jeżeli wszystkie jej eleenty poniżej głównej przekątnej są równe zero. PRZYKŁAD 5. 1 7 0 3 0 0 5 Macierz nazyway trójkątną dolną jeżeli wszystkie jej eleenty powyżej głównej przekątnej są równe zero. PRZYKŁAD 6. 1 0 0 7 0 4 5 Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 3 z 11 zęść 6 - Macierze
e) Macierz nazyway syetryczną jeżeli: A T A PRZYKŁAD 7. 1 3 4 5 7 6 3 7 4 4 6 0 DZIAŁANIA NA MAIERZAH. 1) Równość dwóch acierzy zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy acierze ają takie sae wyiary i odpowiednie ich eleenty są sobie równe. A [a ij ] k B [b ij ] l p a ij b ij kl p ) Sua dwóch acierzy dodając do siebie dwie acierze dodajey do siebie odpowiednie eleenty. A k [a ij ] B l p [b ij ] AB[c ij ]: c ij a ij b ij 3) Mnożenie acierzy przez liczbę nożąc acierz przez liczbę nożyy każdy eleent acierzy przez tę liczbę. A [a ij ], αa α[a ij ] 4) Mnożenie dwóch acierzy A p [a ij ] B p n [b ij ] Jest ono wykonalne tylko wtedy, gdy ilość wierszy acierzy B równa jest ilości kolun acierzy A. A p [a ij ] B p n [b ij ] AB i c : c a i b ij ij ik kj k 1 p Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 4 z 11 zęść 6 - Macierze
a a a a b b b b a a a a b b b b i a a a a b b b b a a a a b b b b 11 1 1 j 1p 11 1 1 j 1 1 j p 1 j i1 i ij ip i1 i ij i n1 n nj np p1 p pj p c a b a b a 11 11 11 1 1 13... a b 31 1p p1 c a b a b a b... a b 1 11 1 1 13 3 1p p c a b a b a b... a b 1 1 3 3 p p c a b a b a b... a b 34 31 14 3 4 33 34 3p p4 c a b a b a b... a b ij i1 1j i j i3 3j ip pj b WNIOSEK Eleent c ij acierzy A B to iloczyn skalarny i-tego wiersza acierzy A przez j-tą kolunę acierzy B. PRZYKŁAD 8. 1 1 1 0 1-1 3 7 3 3 1 1 5 i 0 1 8 8 1 0 1 1 1 1 4 1 3 5 3 5 UWAGA Mnożenie acierzy nie jest przeienne, B A oże być niewykonalne. 1-1 3 1 1 0 1 7 3 0 1 3 1 1 5 i 8 8 1 1 0 1 1 1 4 1 5 Jeśli jest wykonalne to na ogół AB BA. 3 5 3 Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 5 z 11 zęść 6 - Macierze
MAIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO (X,K,, ) dix (Y,K,, ) diyn ( 1,,..., ) ( 1,,..., n) B e e e l l l yf x f:x Y - odwzorowanie liniowe X x x e x e... x e 1 1 Y yy l y l... y l 11 nn ( xe 1 1 xe xe) xf 1 ( e1) xf ( e) xf( e) ( 1) 11 1 1 n1 n 1 1 n n 1 1 n n ( xe 1 1 xe xe) xf( e) xf( e ) x f( e ) f...... f e a l a l a l f e a l a l a l f e a l a l a l f... 1 1... ( n n) ( n n) x ( a1l1 al anln) x a1l1 al a l ( a11x1 a1x a1 x) l1 ( a1x1 ax a x) l ( ) n1 1 n n n x1 a11l1 a1l a 1l y1 a11x1 a1x a1 x y a x a x a x y a 1x1 a x a x a x a x a x l 1 1 n n n n a11 a1 a1 a1 a a Mf ( B, ) an1 an an Jest to acierz odwzorowania liniowego f względe baz B, przestrzeni X,Y. Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 6 z 11 zęść 6 - Macierze
WNIOSEK 1) Pierwszą kolunę acierzy stanowią współrzędne wektora f e w bazie przestrzeni X, Y. Drugą kolunę acierzy stanowią współrzędne wektora f e w bazie przestrzeni X, Y.. n-tą kolu nę acierzy stanowią współrzędne wektora f e n w bazie przestrzeni X, Y. 1 ) Przy ustalonych bazach w przestrzeni X i Y daneu odwzorowaniu linioweu odpowiada dokładnie jedna acierz i na odwrót: acierz odpowiednich wyiarów definiuje na poprzez powyższy związek dokladnie jedno odwzorowanie. zyli przy ustalonych bazach w przestrzeni X, Y każdeu odwzorowaniu odpowiada dokładnie jedna acierz. Istnieje wzajenie jednoznaczna odpowiedniosć poiędzy odwzorowanie okreslony w tych ptrzestrzeniach i acierzai. 3) dix diy n f:x Y B AM f B, n UMOWA Macierz odwzorowania liniowego będzie synonie acierzy. Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 7 z 11 zęść 6 - Macierze
REPREZENTAJA MAIERZOWA ODWZOROWANIA LINIOWEGO Oznaczenia jak wyżej f:x Y yf x x x 1, x,..., x y y 1,y,...,yn n y1 x1 y x y x B ( B) y x AM f, n n yax y1 a11 a1 a1 x1 y a1 a a x i y a a a x n n1 n n n Jest to postać acierzowa odwzorowania. PRZYKŁAD 1. 3 ( R, R,, ) ( R, R,, ) ( ) B e (1,0,0), e (0,1,0), e (0,0,1) 1 3 ( l1 l ) (1,0), (0,1) R R 3 f: : f( x1, x, x3) ( x1 x x3, x1 x x3) Łatwo sprawdzić, że jest to odwzorowanie liniowe. f(e 1) f (1,0,0) (1,1) 1(1,0) 1(0,1) 1,1 f(e ) f (0,1,0) (1, ) 1(1,0) (0,1) 1, f(e 3) f (0, 0,1) ( 1,1) 1(1, 0) 1(0,1) 1,1 1 1 1 Mf ( B, ) 1 1 Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 8 z 11 zęść 6 - Macierze
PRZYKŁAD. ( R, R,, ) f: R R -endoorfiz f(-1,1)(,3) f(1,-)(3,-1) R R A) Znaleźć acierz tego odwzorowania w bazach kanonicznych ( ) : B e (1,0),e (0,1) 1 1 ( l l ) : (1,0), (0,1) 1 (-1,1)-1e1 1e 1,1 B f(-1,1)f(-1e 1e ) (,3) e 3e 1 1 f(1,-)f(1e -e ) (3,-1)3e 1e f(e ) f(e ) 3e 1e -f(e 1) f(e ) e 13e 1 1 1 1 f(e ) 7e 5e f(e ) 5e e Mf 1 1 1 7 5 ( B, ) 5 y y, y f(x, x ) 1 1 y1 7 5 x1 y 5 i x Znaleźć f(,4), 4, 4 f(,4) 34 7 5 18 5 i 4 B f(,4) 34, 18-34,-18 B Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 9 z 11 zęść 6 - Macierze
Znaleźć acierz tego saego odwzorowania w bazach: R R { b b } { l l } : B ( 1,1), (1, ) 1 1 : (,3), (3, 1) 1 f(b 1) f( 1,1) (,3) 1(,3) 0(3, 1) 1l1 0l 1,0 f(b ) f(1, ) (3, 1) 0(,3) 1(3, 1) 0l1 1l 0, 1 Mf 1 0 ( B, ) 0 1 Twierdzenie 1. ( i ) ( ) Z : X, K,, -przestrzeń wektorowa z bazą D e,e,,e 1 ( Y, K,, i )-przestrzeń wektorowa z bazą ( l1, l,, ln) di X diy n f:x Y g:x Y f i g LXY (, ) A Mf( D, ) a ij B Mg( D, ) b ij T : a) M M M f g f g b) α K M αm α f f Twierdzenie. Z: f:x U g:u Y f L(X,U), g L(U,Y) D-baza przestrzeni X -baza przestrzeni Y G-baza przestrzeni U A M ( D, G) B M ( G, ) f g f : X Y T : M M M gf g f g Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 10 z 11 zęść 6 - Macierze
WŁASNOŚI DZIAŁAŃ NA MAIERZAH. M ( K) zbiór acierzy o wyiarach n o eleentach z ciala K AB,, M ( K) ( A B) A ( B ) 1 : : A B B A AB,, M ( K) 3 : : A 0 0 M ( K) A M ( K) A A M ( K) A M ( K) ( A) 4 : : A 0 5 αβ, K A M ( K ) :( α β) A αa βa ( αβ ) A α ( β A) α, K AB, M ( K) 6 : α AB αa αb 7 :1A A A M ( K) WNIOSEK: ( Mn, ( K), K,, ) - jest przestrzenią wektorową. Ponadto, o ile dane działania są wykonalne zachodzą następujące własności dodatkowe: 8 ( A B) A ( B ) 9 : I A A I A n n : A I A I A n n 10 A ( B ) AB A ( A B) A B 11 ( A B) A B ( αa) T ( AB) T T T αa T B A T T T Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 11 z 11 zęść 6 - Macierze