Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas

Spis treści 1 Literatura 3 2 Elektrostatyka 4 2.1 Pole elektryczne.................... 4 2.2 Dywergencja i rotacja pola elektrostatycznego.... 11 2.3 Potencjał elektryczny................. 28 2.4 Praca i energia w elektrostatyce........... 40 2.5 Przewodniki...................... 47

1 Literatura Wykład oparty jest na podręczniku: D. J. Griffiths, Podstawy elektrodynamiki, PWN, Warszawa, 2001 W prezentacjach używam notacji zgodnej (prawie) z polską wersją tego podręcznika. Należy pamiętać, że tłusta czcionka oznacza wektor, np. E oznacza E w pisowni ręcznej. Prezentacje mogą być wykorzystywane wyłącznie w celach dydaktycznych.

2 Elektrostatyka 2.1 Pole elektryczne 2.1.1 Zasada superpozycji Q q 1 q 2 q i ładunki źródła ładunek próbny

2 Elektrostatyka 2.1 Pole elektryczne 2.1.1 Zasada superpozycji Q q 1 q 2 q i ładunki źródła ładunek próbny F = F 1 + F 2 + F 3 +...

z R Q r q r x y

z R Q r q r x y R = r r

z R Q r q r x y R = r r Jaką siłą q działa na Q?

2.1.2 Prawo Coulomba F = 1 qq R 2 ˆR

2.1.2 Prawo Coulomba F = 1 qq R 2 ˆR ɛ 0 = 8, 85 10 12 [ C 2 Nm 2 ] przenikalność elektryczna próżni

2.1.2 Prawo Coulomba F = 1 qq R 2 ˆR ɛ 0 = 8, 85 10 12 [ C 2 Nm 2 ] przenikalność elektryczna próżni ˆR = R R = r r r r wersor wskazujący kierunek i zwrot wektora R

2.1.3 Pole elektryczne Całkowita siła działająca na Q pochodząca od ładunków q 1, q 2,..., q n odległych od Q o R 1, R 2,..., R n F = F 1 + F 2 +...

2.1.3 Pole elektryczne Całkowita siła działająca na Q pochodząca od ładunków q 1, q 2,..., q n odległych od Q o R 1, R 2,..., R n F = F 1 + F 2 +... = 1 ( q1 Q R 2 1 ˆR 1 + q 2Q R 2 2 ˆR 2 +... )

2.1.3 Pole elektryczne Całkowita siła działająca na Q pochodząca od ładunków q 1, q 2,..., q n odległych od Q o R 1, R 2,..., R n F = F 1 + F 2 +... = 1 = Q 1 ( q1 R 2 1 ˆR 1 + q 2 R 2 2 ( q1 Q R 2 1 ˆR 2 + q 3 R 2 3 ˆR 1 + q 2Q R 2 2 ˆR 3 +... ˆR 2 +... ) )

2.1.3 Pole elektryczne Całkowita siła działająca na Q pochodząca od ładunków q 1, q 2,..., q n odległych od Q o R 1, R 2,..., R n F = F 1 + F 2 +... = 1 = Q 1 ( q1 R 2 1 ˆR 1 + q 2 R 2 2 ( q1 Q R 2 1 ˆR 2 + q 3 R 2 3 ˆR 1 + q 2Q R 2 2 ˆR 3 +... ˆR 2 +... ) ) F = QE

2.1.3 Pole elektryczne Całkowita siła działająca na Q pochodząca od ładunków q 1, q 2,..., q n odległych od Q o R 1, R 2,..., R n F = F 1 + F 2 +... = 1 = Q 1 ( q1 R 2 1 ˆR 1 + q 2 R 2 2 ( q1 Q R 2 1 ˆR 2 + q 3 R 2 3 ˆR 1 + q 2Q R 2 2 ˆR 3 +... ˆR 2 +... ) ) F = QE E natężenie pola elektrycznego

z P q 1 R i q 2 r q i r q 3 x y E(r) 1 n i=1 q i R 2 i ˆR i

2.1.4 Ciągłe rozkłady ładunku E(r) = 1 1 R 2 ˆR dq dq = λ dl σ da ładunek liniowy ładunek powierzchniowy ρ dτ ładunek objętościowy

2.1.4 Ciągłe rozkłady ładunku E(r) = 1 1 R 2 ˆR dq dq = λ dl σ da ładunek liniowy ładunek powierzchniowy ρ dτ ładunek objętościowy E(r) = 1 P λ(r ) R 2 ˆR dl pole od ładunku liniowego:

E(r) = 1 S σ(r ) R 2 ˆR da pole od ładunku powierzchniowego

E(r) = 1 S σ(r ) R 2 ˆR da pole od ładunku powierzchniowego E(r) = 1 V ρ(r ) R 2 ˆR dτ pole od ładunku objętościowego

2.2 Dywergencja i rotacja pola elektrostatycznego 2.2.1 Linie pola, strumień i prawo Gaussa Weźmy pojedynczy ładunek q umieszczony w początku układu współrzędnych, wtedy E(r) = 1 q r 2 ˆr

2.2 Dywergencja i rotacja pola elektrostatycznego 2.2.1 Linie pola, strumień i prawo Gaussa Weźmy pojedynczy ładunek q umieszczony w początku układu współrzędnych, wtedy E(r) = 1 q r 2 ˆr Pole jest silne w pobliżu ładunku i w miarę oddalania się od ładunku maleje jak 1/r 2.

2.2 Dywergencja i rotacja pola elektrostatycznego 2.2.1 Linie pola, strumień i prawo Gaussa Weźmy pojedynczy ładunek q umieszczony w początku układu współrzędnych, wtedy E(r) = 1 q r 2 ˆr Pole jest silne w pobliżu ładunku i w miarę oddalania się od ładunku maleje jak 1/r 2. Dla ładunku dodatniego pole skierowane jest od ładunku.

E da Strumień pola E przez powierzchnię S Φ E S E da jest miarą liczby linii pola przechodzących przez S.

Dla ładunku punktowego q umieszczonego w początku układu współrzędnych, strumień pola E przez sferę o promieniu r wynosi E da = 1 ( q r 2 ˆr ) ( ) r 2 sin θ dθ dφ ˆr = 1 ɛ 0 q

Dla ładunku punktowego q umieszczonego w początku układu współrzędnych, strumień pola E przez sferę o promieniu r wynosi E da = 1 ( q r 2 ˆr ) ( ) r 2 sin θ dθ dφ ˆr = 1 ɛ 0 q Wynik nie zależy od promienia sfery. Wynik jest taki sam dla dowolnej powierzchni zamkniętej.

Prawo Gaussa Strumień pola przez dowolną powierzchnię obejmującą ładunek q wynosi q/ɛ 0

Prawo Gaussa Strumień pola przez dowolną powierzchnię obejmującą ładunek q wynosi q/ɛ 0 E da

Prawo Gaussa Strumień pola przez dowolną powierzchnię obejmującą ładunek q wynosi q/ɛ 0 E da = n ( ) E i da i=1

Prawo Gaussa Strumień pola przez dowolną powierzchnię obejmującą ładunek q wynosi q/ɛ 0 E da = n i=1 ( ) E i da = n i=1 ( 1 ɛ 0 q i )

Prawo Gaussa Strumień pola przez dowolną powierzchnię obejmującą ładunek q wynosi q/ɛ 0 E da = n i=1 ( ) E i da = n i=1 ( 1 ɛ 0 q i ) E da = 1 ɛ 0 Q wew Strumień pola przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równy Q wew /ɛ 0

S E da = V ( E) dτ twierdzenie o dywergencji (twierdzenie Gaussa)

S E da = V ( E) dτ twierdzenie o dywergencji (twierdzenie Gaussa) Q wew = V ρ dτ

S E da = V ( E) dτ twierdzenie o dywergencji (twierdzenie Gaussa) Q wew = ρ dτ V ( E) dτ = ( ρ ɛ0 ) dτ V V

S E da = V ( E) dτ twierdzenie o dywergencji (twierdzenie Gaussa) Q wew = ρ dτ V ( E) dτ = ( ρ ɛ0 ) dτ V V E = 1 ɛ 0 ρ Prawo Gaussa w postaci różniczkowej

2.2.2 Dywergencja E E(r) = 1 cała przestrzeń ˆR R 2 ρ(r ) dτ

2.2.2 Dywergencja E E(r) = 1 E = 1 cała przestrzeń ( ˆR R 2 ˆR R 2 ρ(r ) dτ ) ρ(r ) dτ

2.2.2 Dywergencja E E(r) = 1 E = 1 cała przestrzeń ( ˆR R 2 ˆR R 2 ρ(r ) dτ ) ρ(r ) dτ ( ) ˆR R 2 = 4πδ 3 (R) delta Diraca

2.2.2 Dywergencja E E(r) = 1 E = 1 cała przestrzeń ( ˆR R 2 ˆR R 2 ρ(r ) dτ ) ρ(r ) dτ ( ) ˆR R 2 = 4πδ 3 (R) delta Diraca E = 1 4πδ 3 (r r )ρ(r )dτ = 1 ɛ 0 ρ(r)

2.2.2 Dywergencja E E(r) = 1 E = 1 cała przestrzeń ( ˆR R 2 ˆR R 2 ρ(r ) dτ ) ρ(r ) dτ ( ) ˆR R 2 = 4πδ 3 (R) delta Diraca E = 1 V E dτ = S 4πδ 3 (r r )ρ(r )dτ = 1 ρ(r) ɛ 0 E da = 1 ρ dτ = 1 Q wew ɛ 0 ɛ 0 V

2.2.3 Zastosowania prawa Gaussa Przykład: Znaleźć pole na zewnątrz jednorodnie naładowanej kuli o promieniu R i całkowitym ładunku q R r

2.2.3 Zastosowania prawa Gaussa Przykład: Znaleźć pole na zewnątrz jednorodnie naładowanej kuli o promieniu R i całkowitym ładunku q R r S E da = 1 ɛ 0 Q wew,

2.2.3 Zastosowania prawa Gaussa Przykład: Znaleźć pole na zewnątrz jednorodnie naładowanej kuli o promieniu R i całkowitym ładunku q R r S E da = 1 ɛ 0 Q wew, Q wew = q

S E da

E da = E da S S

E da = E da = E da S S S

E da = E da = E da = E 4πr 2 S S S

E da = E da = E da = E 4πr 2 S S S E 4πr 2 = 1 ɛ 0 q

E da = E da = E da = E 4πr 2 S S S E 4πr 2 = 1 ɛ 0 q E = 1 q r 2 ˆr

E da = E da = E da = E 4πr 2 S S S E 4πr 2 = 1 ɛ 0 q E = 1 q r 2 ˆr Pole na zewnątrz sfery jest takie jak od ładunku punktowego umieszczonego w środku kuli.

Prawo Gaussa jest przydatne do obliczania pola w przypadku kiedy układ wykazuje wysoką symetrię. Symetria sferyczna Symetria osiowa Symetria względem płaszczyzny

Przykład: Dana jest nieskończona płaszczyzna naładowana ze stałą gęstością powierzchniową σ. Znaleźć natężenie pola elektrycznego wytwarzanego przez tę płaszczyznę. E A E

Przykład: Dana jest nieskończona płaszczyzna naładowana ze stałą gęstością powierzchniową σ. Znaleźć natężenie pola elektrycznego wytwarzanego przez tę płaszczyznę. E A E E da = 1 ɛ 0 Q wew

od górnej i dolnej powierzchni pudełka mamy E da = 2A E

od górnej i dolnej powierzchni pudełka mamy E da = 2A E boki pudełka nic nie wnoszą, więc 2A E = 1 ɛ 0 σa

od górnej i dolnej powierzchni pudełka mamy E da = 2A E boki pudełka nic nie wnoszą, więc 2A E = 1 ɛ 0 σa stąd E = σ 2ɛ 0 ˆn ˆn jest wektorem jednostkowym prostopadłym do powierzchni

2.2.4 Rotacja E E = 1 q r 2 ˆr dla ładunku punktowego umieszczonego w początku układu współrzędnych

2.2.4 Rotacja E E = 1 q r 2 ˆr dla ładunku punktowego umieszczonego w początku układu współrzędnych z x q r a r b b y obliczmy całkę krzywoliniową b a E dl a

2.2.4 Rotacja E E = 1 q r 2 ˆr dla ładunku punktowego umieszczonego w początku układu współrzędnych z x q r a r b b y obliczmy całkę krzywoliniową b a E dl a dl = dr ˆr + r dθ ˆθ + r sin θ dφ ˆφ we współrzędnych sferycznych

E dl = 1 q r 2 dr

E dl = 1 q r 2 dr b a E dl

E dl = 1 q r 2 dr b a E dl = 1 b a q r 2 dr

E dl = 1 q r 2 dr b a E dl = 1 b a q r 2 dr = 1 q r r b r a

E dl = 1 q r 2 dr b a E dl = 1 b a q r 2 dr = 1 q r r b = 1 r a ( q r a q r b )

E dl = 1 q r 2 dr b a E dl = 1 b a q r 2 dr = 1 q r r b = 1 r a ( q r a q r b ) E dl = 0 całka po krzywej zamkniętej jest równa zeru (r a = r b )

E dl = 1 q r 2 dr b a E dl = 1 b a q r 2 dr = 1 q r r b = 1 r a ( q r a q r b ) E dl = 0 całka po krzywej zamkniętej jest równa zeru (r a = r b ) ( A) da = A dl twierdzenie Stokesa S

E dl = 1 q r 2 dr b a E dl = 1 b a q r 2 dr = 1 q r r b = 1 r a ( q r a q r b ) E dl = 0 całka po krzywej zamkniętej jest równa zeru (r a = r b ) ( A) da = A dl twierdzenie Stokesa S E = 0 z twierdzenia Stokesa

Dla wielu ładunków E = E 1 + E 2 +...

Dla wielu ładunków E = E 1 + E 2 +... E = (E 1 + E 2 +...) = ( E 1 ) + ( E 2 ) +... = 0 Słuszne dla dowolnego statycznego układu ładunków

2.3 Potencjał elektryczny 2.3.1 Wstępne uwagi o potencjale (i) b (ii) E = 0 E dl = 0; całka od punktu a do punktu b nie zależy od drogi całkowania. a

2.3 Potencjał elektryczny 2.3.1 Wstępne uwagi o potencjale (i) b (ii) E = 0 E dl = 0; całka od punktu a do punktu b nie zależy od drogi całkowania. a V (r) = r O E dl definiujemy funkcję V (r); O jest punktem odniesienia. Funkcję tę nazywamy potencjałem elektrycznym.

Różnica potencjałów

Różnica potencjałów V (b) V (a)

Różnica potencjałów V (b) V (a) = b O E dl + a O E dl

Różnica potencjałów V (b) V (a) = = b O b O E dl + E dl a O O a E dl E dl

Różnica potencjałów V (b) V (a) = b E dl + a E dl O O = b E dl O E dl = b E dl O a a

Różnica potencjałów V (b) V (a) = b E dl + a E dl O O = b E dl O E dl = b E dl O a a V (b) V (a) = b a ( V ) dl twierdzenie dla gradientów

Różnica potencjałów V (b) V (a) = b E dl + a E dl O O = b E dl O E dl = b E dl O a a V (b) V (a) = b a ( V ) dl twierdzenie dla gradientów b a ( V ) dl = b a E dl E = V

Przykład: Znaleźć potencjał wewnątrz i na zewnątrz cienkiej kulistej powłoki o promieniu R, naładowanej ze stałą gęstością powierzchniową. Za punkt odniesienia przyjąć punkt w nieskończoności. R P r Z prawa Gaussa, pole na zewnątrz kuli (r > R) wynosi E = 1 q r 2 ˆr Wewnątrz kuli (r < R) pole E = 0

Dla (r > R)

Dla (r > R) V (r) = r O E dl

Dla (r > R) V (r) = r O E dl = 1 r q dr r 2

Dla (r > R) V (r) = r O E dl = 1 r q r 2 dr = 1 q r r

Dla (r > R) V (r) = r O E dl = 1 r q r 2 dr = 1 q r r = 1 q r

Dla (r > R) V (r) = r O E dl = 1 r q r 2 dr = 1 q r r = 1 q r Dla (r < R)

Dla (r > R) V (r) = r O E dl = 1 r q r 2 dr = 1 q r r = 1 q r Dla (r < R) V (r) = 1 R q r 2 dr r R (0)dr

Dla (r > R) V (r) = r O E dl = 1 r q r 2 dr = 1 q r r = 1 q r Dla (r < R) V (r) = 1 R q r 2 dr r R (0)dr = 1 q r R + 0

Dla (r > R) V (r) = r O E dl = 1 r q r 2 dr = 1 q r r = 1 q r Dla (r < R) V (r) = 1 R q r 2 dr r R (0)dr = 1 q r R + 0 = 1 q R

2.3.2 Równanie Poissona i równanie Laplace a E = V

2.3.2 Równanie Poissona i równanie Laplace a E = V E = ρ ɛ 0, E = 0

2.3.2 Równanie Poissona i równanie Laplace a E = V E = ρ ɛ 0, E = 0 E = ( V ) = V

2.3.2 Równanie Poissona i równanie Laplace a E = V E = ρ ɛ 0, E = 0 E = ( V ) = V V = ρ ɛ 0 równanie Poissona

2.3.2 Równanie Poissona i równanie Laplace a E = V E = ρ ɛ 0, E = 0 E = ( V ) = V V = ρ ɛ 0 równanie Poissona V = 0 równanie Laplace a

2.3.2 Równanie Poissona i równanie Laplace a E = V E = ρ ɛ 0, E = 0 E = ( V ) = V V = ρ ɛ 0 równanie Poissona V = 0 E = ( V ) = 0 równanie Laplace a tożsamość wektorowa

2.3.3 Potencjał zlokalizowanego rozkładu ładunku V (r) = 1 q r potencjał ładunku znajdującego się w początku układu współrzędnych

2.3.3 Potencjał zlokalizowanego rozkładu ładunku V (r) = 1 q r potencjał ładunku znajdującego się w początku układu współrzędnych V (r) = 1 q R ogólnie, ładunek w punkcie r

2.3.3 Potencjał zlokalizowanego rozkładu ładunku V (r) = 1 q r potencjał ładunku znajdującego się w początku układu współrzędnych V (r) = 1 q R ogólnie, ładunek w punkcie r V (r) = 1 n i=1 q i R i dla wielu ładunków

2.3.3 Potencjał zlokalizowanego rozkładu ładunku V (r) = 1 q r potencjał ładunku znajdującego się w początku układu współrzędnych V (r) = 1 q R ogólnie, ładunek w punkcie r V (r) = 1 n i=1 q i R i dla wielu ładunków V (r) = 1 1 R dq dla rozkładu ciągłego

2.3.3 Potencjał zlokalizowanego rozkładu ładunku V (r) = 1 q r potencjał ładunku znajdującego się w początku układu współrzędnych V (r) = 1 q R ogólnie, ładunek w punkcie r V (r) = 1 n i=1 q i R i dla wielu ładunków V (r) = 1 1 R dq dla rozkładu ciągłego V (r) = 1 ρ(r ) R dτ

2.3.4 Warunki brzegowe w elektrostatyce Rozważmy cienkie pudełko Gaussa: E nad σ ε A E pod

2.3.4 Warunki brzegowe w elektrostatyce Rozważmy cienkie pudełko Gaussa: E nad σ ε A E pod S E da = 1 ɛ 0 σa prawo Gaussa

Z prawa Gaussa, dla ε 0, mamy (E nad E pod)a = 1 ɛ 0 σa

Z prawa Gaussa, dla ε 0, mamy (E nad E pod)a = 1 ɛ 0 σa E nad E pod = 1 ɛ 0 σ Składowa normalna wektora natężenia pola elektrycznego E ma na powierzchni granicznej nieciągłość o wartości σ/ɛ 0

Rozważmy ramkę: σ ε l E nad E dl = 0, albo E = 0 E pod pole statyczne

Rozważmy ramkę: σ ε l E nad E dl = 0, albo E = 0 E pod pole statyczne (E nad E pod )l = 0 przy ε 0

Rozważmy ramkę: σ ε l E nad E dl = 0, albo E = 0 E pod pole statyczne (E nad E pod )l = 0 przy ε 0 E nad = E pod Składowa styczna pola E jest zawsze ciągła.

Obydwa warunki można zapisać jednym wzorem E nad E pod = σ ɛ 0 ˆn ˆn jest wektorem jednostkowym prostopadłym do powierzchni skierowanym od dołu do góry.

Jak zachowuje się potencjał? σ b a

Jak zachowuje się potencjał? σ b a V nad V pod = b a E dl = 0, dla b a 0 Potencjał jest ciągły na powierzchni.

Jak zachowuje się potencjał? σ b a V nad V pod = b a E dl = 0, dla b a 0 Potencjał jest ciągły na powierzchni. Ponieważ E = V, to gradient potencjału jest nieciągły. V nad V pod = σ ɛ 0 ˆn

V nad n V pod n = σ ɛ 0

V nad n V pod n = σ ɛ 0 V n = V ˆn pochodna normalna

2.4 Praca i energia w elektrostatyce 2.4.1 Praca wykonana przy przesunięciu ładunku b Q q 1 q 2 q i a

2.4 Praca i energia w elektrostatyce 2.4.1 Praca wykonana przy przesunięciu ładunku b Q q 1 q 2 q i a W = b a F dl

2.4 Praca i energia w elektrostatyce 2.4.1 Praca wykonana przy przesunięciu ładunku b Q q 1 q 2 q i a W = b F dl = Q b E dl a a

2.4 Praca i energia w elektrostatyce 2.4.1 Praca wykonana przy przesunięciu ładunku b Q q 1 q 2 q i a W = b F dl = Q b E dl = Q [ V (b) V (a) ] a a

Wynik nie zależy od drogi. V (b) V (a) = W Q

Wynik nie zależy od drogi. V (b) V (a) = W Q Różnica potencjałów między punktami a i b jest równa pracy przypadającej na jednostkę ładunku, koniecznej do przesunięcia ładunku od a do b.

Wynik nie zależy od drogi. V (b) V (a) = W Q Różnica potencjałów między punktami a i b jest równa pracy przypadającej na jednostkę ładunku, koniecznej do przesunięcia ładunku od a do b. W = Q [ V (r) V ( ) ] = QV (r)

2.4.2 Energia układu ładunków punktowych Przenosimy kolejne ładunki q 1, q 2,... z nieskończoności do punktów r 1, r 2,... q 3 r 3 R 13 R 23 r 1 R 12 r 2 q 1 q 2

Praca wykonana przy przenoszeniu kolejnych ładunków

Praca wykonana przy przenoszeniu kolejnych ładunków W 1 = 0

Praca wykonana przy przenoszeniu kolejnych ładunków W 1 = 0 W 2 = 1 q 2 ( q1 R 12 )

Praca wykonana przy przenoszeniu kolejnych ładunków W 1 = 0 W 2 = 1 q 2 W 3 = 1 q 3 ( q1 R 12 ) ( q1 R 13 + q 2 R 23 )

Praca wykonana przy przenoszeniu kolejnych ładunków W 1 = 0 W 2 = 1 q 2 W 3 = 1 q 3 W 4 = 1 q 4 ( q1 R 12 ( q1 ) ) + q 2 R 13 R 23 ( q1 + q 2 + q 3 R 14 R 24 R 34 )

Praca wykonana przy przenoszeniu kolejnych ładunków W 1 = 0 W 2 = 1 q 2 W 3 = 1 q 3 W 4 = 1 q 4 Całkowita praca ( q1 R 12 ( q1 ) ) + q 2 R 13 R 23 ( q1 + q 2 + q 3 R 14 R 24 R 34 W = W 1 + W 2 + W 3 + W 4 )

Praca wykonana przy przenoszeniu kolejnych ładunków W 1 = 0 W 2 = 1 q 2 W 3 = 1 q 3 W 4 = 1 q 4 Całkowita praca ( q1 R 12 ( q1 ) ) + q 2 R 13 R 23 ( q1 + q 2 + q 3 R 14 R 24 R 34 W = W 1 + W 2 + W 3 + W 4 = 1 ( q1 q 2 R 12 + q 1q 3 R 13 + q 2q 3 R 23 + q 1q 4 R 14 + q 2q 4 R 24 + q 3q 4 R 34 ) )

W = 1 n i=1 n j=1 j>i q i q j R ij, n ładunków

W = 1 n i=1 n j=1 j>i q i q j R ij, n ładunków W = 1 1 2 n i=1 n j=1 j i q i q j R ij sumujemy podwójnie i dzielimy przez dwa

W = 1 n i=1 n j=1 j>i q i q j R ij, n ładunków W = 1 1 2 n i=1 n j=1 j i q i q j R ij sumujemy podwójnie i dzielimy przez dwa W = 1 2 n i=1 q i ( n j=1 j i 1 q j R ij ) potencjał

W = 1 n i=1 n j=1 j>i q i q j R ij, n ładunków W = 1 1 2 n i=1 n j=1 j i q i q j R ij sumujemy podwójnie i dzielimy przez dwa W = 1 2 n i=1 q i ( n j=1 j i 1 q j R ij ) potencjał W = 1 2 n i=1 q i V (r i )

2.4.3 Energia ciągłego rozkładu ładunków W = 1 2 ρv dτ

2.4.3 Energia ciągłego rozkładu ładunków W = 1 2 ρv dτ ρ = ɛ 0 E, z prawa Gaussa

2.4.3 Energia ciągłego rozkładu ładunków W = 1 2 ρv dτ ρ = ɛ 0 E, z prawa Gaussa W = ɛ 0 2 ( E)V dτ

2.4.3 Energia ciągłego rozkładu ładunków W = 1 2 ρv dτ ρ = ɛ 0 E, z prawa Gaussa W = ɛ 0 2 ( E)V dτ W = ɛ 0 2 [ E ( V ) dτ + ] V E da całkujemy przez części

2.4.3 Energia ciągłego rozkładu ładunków W = 1 2 ρv dτ ρ = ɛ 0 E, z prawa Gaussa W = ɛ 0 2 ( E)V dτ W = ɛ 0 2 = ɛ 0 2 [ ( V E ( V ) dτ + E 2 dτ + S V E da ] V E da ) całkujemy przez części

W = ɛ 0 2 cała przestrzeń E 2 dτ Energia pola

W = ɛ 0 2 cała przestrzeń E 2 dτ Energia pola Przykład: Znaleźć energię jednorodnie naładowanej powierzchniowo powłoki kulistej o promieniu R i całkowitym ładunku q. W = 1 2 σv da,

W = ɛ 0 2 cała przestrzeń E 2 dτ Energia pola Przykład: Znaleźć energię jednorodnie naładowanej powierzchniowo powłoki kulistej o promieniu R i całkowitym ładunku q. W = 1 2 σv da, V = 1 q R

W = ɛ 0 2 cała przestrzeń E 2 dτ Energia pola Przykład: Znaleźć energię jednorodnie naładowanej powierzchniowo powłoki kulistej o promieniu R i całkowitym ładunku q. W = 1 2 σv da, V = 1 q R W = 1 2 1 q R σ da

W = ɛ 0 2 cała przestrzeń E 2 dτ Energia pola Przykład: Znaleźć energię jednorodnie naładowanej powierzchniowo powłoki kulistej o promieniu R i całkowitym ładunku q. W = 1 2 σv da, V = 1 q R W = 1 2 1 q R σ da = 1 1 2 q 2 R

2.5 Przewodniki 2.5.1 Podstawowe własności Wewnątrz przewodnika E = 0 Wewnątrz przewodnika ρ = 0 Nieskompensowany ładunek może występować jedynie na powierzchni przewodnika Potencjał w przewodniku jest stały W pobliżu powierzchni przewodnika pole E jest prostopadłe do powierzchni

2.5.2 Ładunki indukowane +q + ++ przewodnik + ++ + + + ++

+ + + + + + przewodnik + + + + E= 0 E 0 + +q + + + + + + + + + + + + powierzchnia Gaussa

2.5.3 Ładunki powierzchniowe i siła działająca na przewodnik E inne 1 2 σ/ǫ 0 ˆn σ 1 2 σ/ǫ 0

2.5.3 Ładunki powierzchniowe i siła działająca na przewodnik E inne 1 2 σ/ǫ 0 ˆn σ 1 2 σ/ǫ 0 E nad E pod = σ ɛ 0 ˆn

2.5.3 Ładunki powierzchniowe i siła działająca na przewodnik E inne 1 2 σ/ǫ 0 ˆn σ 1 2 σ/ǫ 0 E nad E pod = σ ɛ 0 ˆn E = σ ɛ 0 ˆn, tuż przy powierzchni przewodnika (E pod = 0)

2.5.3 Ładunki powierzchniowe i siła działająca na przewodnik E inne 1 2 σ/ǫ 0 ˆn σ 1 2 σ/ǫ 0 E nad E pod = σ ɛ 0 ˆn E = σ ɛ 0 ˆn, tuż przy powierzchni przewodnika (E pod = 0) σ = ɛ 0 V n

f = σe siła na jednostkę powierzchni

f = σe siła na jednostkę powierzchni E =?, jakie pole? E nad, E pod,...

f = σe siła na jednostkę powierzchni E =?, jakie pole? E nad, E pod,... f = σe średnie = 1 2 (E nad + E pod )

f = σe siła na jednostkę powierzchni E =?, jakie pole? E nad, E pod,... f = σe średnie = 1 2 (E nad + E pod ) E = E element + E inne

f = σe siła na jednostkę powierzchni E =?, jakie pole? E nad, E pod,... f = σe średnie = 1 2 (E nad + E pod ) E nad = E inne + σ 2ɛ 0 ˆn E pod = E inne σ 2ɛ 0 ˆn E = E element + E inne

f = σe siła na jednostkę powierzchni E =?, jakie pole? E nad, E pod,... f = σe średnie = 1 2 (E nad + E pod ) E nad = E inne + σ 2ɛ 0 ˆn E pod = E inne σ 2ɛ 0 ˆn E = E element + E inne E inne = 1 2 (E nad + E pod ) = E średnie

Poprzednia argumentacja (E = E średnie ) obowiązuje także dla ładunków powierzchniowych w przewodniku E = 0, wewnątrz przewodnika E = σ ɛ 0 ˆn, na zewnątrz przewodnika

Poprzednia argumentacja (E = E średnie ) obowiązuje także dla ładunków powierzchniowych w przewodniku E = 0, wewnątrz przewodnika E = σ ɛ 0 ˆn, na zewnątrz przewodnika E średnie = 1 2 ( σ ɛ0 ) ˆn + 0 = σ 2ɛ 0 ˆn

Poprzednia argumentacja (E = E średnie ) obowiązuje także dla ładunków powierzchniowych w przewodniku E = 0, wewnątrz przewodnika E = σ ɛ 0 ˆn, na zewnątrz przewodnika E średnie = 1 2 ( σ ɛ0 ) ˆn + 0 = σ 2ɛ 0 ˆn f = σ σ 2ɛ 0 ˆn = 1 2ɛ 0 σ 2 ˆn, siła na jednostkę powierzchni

Poprzednia argumentacja (E = E średnie ) obowiązuje także dla ładunków powierzchniowych w przewodniku E = 0, wewnątrz przewodnika E = σ ɛ 0 ˆn, na zewnątrz przewodnika E średnie = 1 2 ( σ ɛ0 ) ˆn + 0 = σ 2ɛ 0 ˆn f = σ σ 2ɛ 0 ˆn = 1 2ɛ 0 σ 2 ˆn, siła na jednostkę powierzchni P = ɛ 0 2 ( σ ɛ0 ) 2 = ɛ 0 2 E2 ciśnienie elektrostatyczne

Poprzednia argumentacja (E = E średnie ) obowiązuje także dla ładunków powierzchniowych w przewodniku E = 0, wewnątrz przewodnika E = σ ɛ 0 ˆn, na zewnątrz przewodnika E średnie = 1 2 ( σ ɛ0 ) ˆn + 0 = σ 2ɛ 0 ˆn f = σ σ 2ɛ 0 ˆn = 1 2ɛ 0 σ 2 ˆn, siła na jednostkę powierzchni P = ɛ 0 2 ( σ ɛ0 ) 2 = ɛ 0 2 E2 ciśnienie elektrostatyczne Przewodnik jest wciągany w pole elektryczne.