7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba rzeczywista a jest liczbą zespoloą postaci a + 0 i. Zatem zbiór liczb rzeczywistych jest zawarty w zbiorze liczb zespoloych: R C. Postać z a + bi, a, b R, azywamy postacią algebraiczą liczby zespoloej. Liczbę a azywamy częścią rzeczywistą liczby z i ozaczamy ją a Re z. Liczbę b azywamy częścią urojoą liczby z i ozaczamy: b Im z. Przykład 1. Dla z 7 5i mamy: Re z 7, Im z 5. Na płaszczyźie Gaussa liczbie zespoloej z a + bi odpowiada pukt o współrzędych (a, b). 7.1 Działaia a liczbach zespoloych Działaia a liczbach zespoloych wykoujemy jak a wyrażeiach algebraiczych, pamiętając o tym, że i 2 1. Podstawowymi działaiami w C są dodawaie i możeie. Dodawaie liczb zespoloych określamy astępująco: a, b R. Możeie liczb zespoloych: (a + bi) + (c + di) (a + c) + (b + d)i, (a + bi) (c + di) ac + adi + bci + bdi 2 (ac bd) + (ad + bc)i. Podstawowe własości dodawaia i możeia liczb zespoloych przedstawia poiższe twierdzeie. Twierdzeie 1. Dla dowolych liczb zespoloych z, z 1,, z 3 zachodzą astępujące rówości: (a) (z 1 + ) + z 3 z 1 + ( + z 3 ) dodawaie jest łącze, (b) z 1 + + z 1 dodawaie jest przemiee, (c) z + 0 z, zero 0 0 + 0 i jest elemetem eutralym dodawaia, 1
7 LICZBY ZESPOLONE 2 (d) z + ( z) 0, liczba z ( a) + ( b)i jest elemetem przeciwym (względem dodawaia) do z a + bi, a, b R, (e) (z 1 ) z 3 z 1 ( z 3 ) możeie jest łącze, (f) z 1 z 1 możeie jest przemiee, (g) z 1 z, jedyka 1 1 + 0 i jest elemetem eutralym możeia, (h) z z 1 1, liczba z 1 a a 2 + b + b i jest elemetem odwrotym 2 a 2 + b2 (względem możeia) do z a + bi, a, b R, z 0, (i) (z 1 + ) z 3 z 1 z 3 + z 3 możeie jest rozdziele względem dodawaia. Odejmowaie i dzieleie liczb zespoloych określamy astępująco. Odejmowaie: z 1 z 1 + ( ), czyli Dzieleie: z 1 z 1 z 1 2, czyli Mamy: 1 z z 1. Przykład 2. (a + bi) (c + di) (a c) + (b d)i. a + bi c + di (a + bi)(c di) (c + di)(c di) (a + bi)(c di) c 2 + d 2. 1 + 2i 2 3i (1 + 2i)(2 + 3i) (2 3i)(2 + 3i) 2 + 3i + i + 6i2 2 2 + 3 2 + 7i 13 13 + 7 13 i. Potęgowaie liczb zespoloych defiiujemy tak jak dla liczb rzeczywistych. Dla liczby zespoloej z i liczby aturalej > 0 przyjmujemy: z z } z {{... z}. Poadto, jeśli z 0, to przyjmujemy z 0 1 oraz Zauważmy, że (z 1 ) (z ) 1. z (z 1 ) z} 1 z 1 {{... z 1 }. Twierdzeie 2. Dla liczb całkowitych m, zachodzą wzory: (a) z m+ z m z, (b) z m zm z,
7 LICZBY ZESPOLONE 3 (c) z m (z m ). Rozważmy liczbę zespoloą z a+bi, a, b R. Liczbą sprzężoą do z azywamy liczbę z a bi. Przykład 3. Dla z 2 + 3i mamy: z 2 3i. Własości sprzężeia liczby zespoloej przedstawia astępujące twierdzeie. Twierdzeie 3. Dla dowolych liczb zespoloych z, z 1, zachodzą rówości: (a) z 1 + z 1 +, (b) z 1 z 1, (c) z 1 z 1, (d) ( ) z1 (e) (z) z, z 1, (f) z z z R. 7.2 Moduł i argumet liczby zespoloej Defiicja. Modułem liczby zespoloej z a + bi (gdzie a, b R) azywamy liczbę rzeczywistą z a 2 + b 2. Przykład. 3 + i 3 2 + 2 25 5 Na płaszczyźie Gaussa moduł liczby z jest rówy jej odległości od liczby 0. Odległość liczb z 1 i jest rówa z 1. Podstawowe własości modułu liczby zespoloej są astępujące. Twierdzeie. Dla dowolych liczb zespoloych z, z 1, zachodzą rówości: (a) z z, (b) z z, (c) z z z 2, (d) z 1 z 1, (e) z 1 z 1,
7 LICZBY ZESPOLONE (f) z 1 + z 1 +. Defiicja. Argumetem liczby zespoloej z a + bi 0 (gdzie a, b R) azywamy liczbę rzeczywistą ϕ spełiającą waruki cos ϕ a r, si ϕ b r, gdzie r z a 2 + b 2. Argumet liczby zespoloej jest określoy z dokładością do wielokrotości 2π, tz. jeśli ϕ jest argumetem liczby z, to ϕ + 2kπ (dla k Z) też jest argumetem liczby z. Jako argumet liczby 0 możemy przyjąć dowolą liczbę rzeczywistą ϕ. Na płaszczyźie Gaussa argumet liczby z to miara kąta zorietowaego, jaki tworzy dodatia półoś rzeczywista z półprostą o początku 0, przechodzącą przez z. Liczba z ma jedozaczie określoy argumet z przedziału [0, 2π). Argumet te azywamy argumetem główym. Ozaczeie argumetu (główego): ϕ arg z. Uwaga. Czasami wygodiej jest wybrać argumet z przedziału ( π, π]. 7.3 Postać trygoometrycza liczby zespoloej Dla r z mamy a r cos ϕ, b r si ϕ, więc gdzie r, ϕ R, r 0. z r(cos ϕ + i si ϕ), Możeie i dzieleie liczb zespoloych w postaci trygoometryczej: r(cos ϕ + i si ϕ) s(cos ψ + i si ψ) rs(cos(ϕ + ψ) + i si(ϕ + ψ)) r(cos ϕ + i si ϕ) s(cos ψ + i si ψ) r (cos(ϕ ψ) + i si(ϕ ψ)) s Potęgowaie liczb zespoloych w postaci trygoometryczej jest bardzo łatwe wzór de Moivre a: (cos ϕ + i si ϕ) (cos ϕ + i si ϕ). Przykład 5. (1 + i) 100 ( 2(cos π + i si π )) 100 2 50 (cos 25π + i si 25π) 2 50
7 LICZBY ZESPOLONE 5 7. Pierwiastek liczby zespoloej Pierwiastkiem stopia liczby z C azywamy liczbę w C taką, że w z. Przykład 6. Przykłady pierwiastków liczb zespoloych. (a) Liczba i jest pierwiastkiem kwadratowym (tz. stopia 2) liczby 1, liczba i też! (b) Liczby 2, 2, 2i i 2i są pierwiastkami stopia liczby 16. (c) Liczba 1 + i jest pierwiastkiem stopia 100 liczby 2 50. Twierdzeie 5. Liczba zespoloa z 0 ma dokładie pierwiastków stopia. Jeśli z r(cos ϕ + i si ϕ), gdzie r, ϕ R, r > 0, to wszystkie pierwiastki stopia liczby z są postaci gdzie k 0, 1,..., 1. w k r ( cos ϕ + 2kπ + i si ϕ + 2kπ ), Na płaszczyźie Gaussa pierwiastki stopia daej liczby zespoloej są wierzchołkami -kąta foremego o środku 0. Przykład 7. Pierwiastkami stopia liczby 3 + 3i 2 3(cos 2π 3 + i si 2π 3 ) są liczby 2 3 ( 2π 3 cos + 2kπ 2π + i si + 2kπ ) 3 2 8 3 ( cos( π 6 + kπ 2 ) + i si(π 6 + kπ 2 )) dla k 0, 1, 2, 3. Twierdzeie 6 (Zasadicze twierdzeie algebry). Wielomia stopia > 0 o współczyikach zespoloych posiada (z uwzględieiem krotości) dokładie pierwiastków. Zatem dla dowolego wielomiau o współczyikach zespoloych W (T ) a z + a 1 z 1 +... + a 1 z + a 0 istieją liczby zespoloe z 1,,..., z (iekoieczie róże) takie, że W (T ) a (z z 1 )(z )... (z z ). Wiosek 1. Wielomia stopia > 0 o współczyikach rzeczywistych moża rozłożyć a czyiki stopia 1 i 2.