VI.5 Zderzenia i rozpraszanie. Przekrój czynny. Wzór Rutherforda i odkrycie jądra atomowego Jan Królikowski Fizyka IBC 1
Przekrój czynny Jan Królikowski Fizyka IBC
Zderzenia Oddziaływania dwóch (lub więcej) ciał siłami krótkozasiegowymi, w wyniku których te ciała zmieniają swoje czteropędy i/lub pojawiają się inne ciała w stanie końcowym nazywamy zderzeniami. Krótkozasięgowe siły zderzeniowe Jan Królikowski Fizyka IBC 3
Zderzenia cd. Zderzenia cząstek przyspieszanych w akceleratorach są podstawowymi sposobami zdobywania informacji o materii na małych odległościach w fizyce jądrowej i fizyce cząstek elementarnych Jan Królikowski Fizyka IBC 4
Zderzenia cd. Jeżeli czas zderzenia jest mały, cząstki w nim uczestniczące możemy traktować jako układ odosobniony. Do opisu procesu możemy użyć układu ŚM, w którym spełnione są (relatywistyczne) prawa zachowania pędu, energii i momentu pędu: N p + p = p 1 i= 1 E + E = Eʹ ; E=E + E + mc 1 i k i= 1 N L + L = Lʹ 1 N i= 1 i i p Jan Królikowski Fizyka IBC 5
Zderzenia cd. masa niezmiennicza W wyniku zderzenia zachowany jest wprowadzony wcześniej niezmiennik s (c=1): µ µ s= p + p = E + E p + p ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) N µ i i i= 1 = sʹ = p = E p Masą niezmienniczą nazywamy: s 1 ( ) M = = E ( ) 1+ E p1+ p = c c s 1 = = Ei pi c c Jan Królikowski Fizyka IBC 6
Zderzenia cd. Ciepło reakcji Q Innym użytecznym niezmiennikiem jest ciepło reakcji Q. Zasada zachowania energii przed i po zderzeniu, gdy cząstki wyszły już z obszaru krótkozasięgowych oddziaływań: E= E E + E + m + m = E + m k1 k 1 ki E E + E = Q = E E = ki k1 k k k i = ( ) m + m m = inv 1 i Jan Królikowski Fizyka IBC 7
Zderzenia cd. Klasyfikacja zderzeń Zderzenia klasyfikujemy ze względu na ciepło reakcji Q na: Elastyczne Q=0, zachowuje się osobno E k i E p Nieelastyczne I rodzaju (endoenergetyczne) Q<0, energia kinetyczna produktów jest mniejsza od energii kinetycznej cząstek początkowych, zwiększa się zaś energia potencjalna (w tym energia spoczynkowa). Zderzenia te mogą zachodzić tylko powyżej pewnej energii energii progowej (masy cząstek są skwantowane). Nieeleastyczne II rodzaju (egzoenergetyczne) Q>0, energia kinetyczna produktów jest większa od energii kinetycznej cząstek początkowych kosztem ich energii potencjalnej (w tym energii spoczynkowej). Mogą zachodzić dla wszystkich energii. Jan Królikowski Fizyka IBC 8
Jak często zachodzą zderzenia? Pojęcie przekroju czynnego r. akad. 005/ 006 Idea: rozpraszamy małe pociski na dużych centrach. Czy możemy wyznaczyć rozmiary (promienie) centrów? Jan Królikowski Fizyka IBC 9
cd. Całkowity Przekrój Czynny σ =πr Musimy uwzględnić strumień padających pocisków Φ 0 i liczbę centrów rozpraszających na jedn. powierzchni. Jan Królikowski Fizyka IBC 10
cd... Rozważmy warstwę tarczy o grubości dx i powierzchni A. W objętości tarczy dv=adx znajduje się ndv=nadx centrów rozpraszających. Niech gęstość centrów wynosi n. Niech strumień cząstek padających na warstwę dx wynosi cząstek na jednostkę powierzchni na jednostkę czasu. Liczba rozproszonych cząstek, jeżeli centra mają powierzchnie wynosi: Φ n σadx dφ dφ= ; = nσ dx A Φ nσ x x 1 Φ λ ( x) = Φ 0e =Φ0e ; λ = n σ λ średnia droga swobodna Φ σ Jan Królikowski Fizyka IBC 11
Przekrój czynny- wymiary i jednostki [ σ ] = m ; 1 barn=10 m = 10 cm = 100fm 8 4 R σ = 1barn R = 5.64fm Jan Królikowski Fizyka IBC 1
Pomiar przekroju czynnego przez pomiar strumienia przechodzącego dla cienkich tarcz Zachodzi oczywisty wzór dla cienkich tarcz: σ= Φ Φ 0 Φ 0 nx x ( ) Φ Φ( x) 0 Jan Królikowski Fizyka IBC 13
Rozkład kątowy i różniczkowy przekrój czynny Całkowity przekrój czynny opisuje prawdopodobieństwo zderzenia pocisku z centrum. Można zadać bardziej szczegółowe pytania np. : Jakie jest prawdopodobieństwo rozproszenia pocisku pod określonym kątem? Jakie jest prawdopodobieństwo określonej straty energii pocisku w zderzeniu nieelastycznym? Itp. Wielkościami, które wykorzystujemy w odpowiedziach na te i podobne pytania są różniczkowe przekroje czynne. r. akad. 005/ 006 dσ dω dσ ; de Eʹ ( ) Jan Królikowski Fizyka IBC 14
Różniczkowy przekrój czynny cd. Zwykle mamy symetrię osiową: σ( φθ, ) =σ( θ) ; d Ω=πd( cos θ) Jan Królikowski Fizyka IBC 15
Różniczkowy przekrój czynny cd. Całkowity przekrój czynny otrzymujemy całkując różniczkowy przekrój czynny po całym kącie bryłowym: dσ dσ σ = = π dcosθ dω dcosθ 4π Jan Królikowski Fizyka IBC 16
Różniczkowy przekrój czynny cd. Przykład: rozpraszanie małej kulki (punktu materialnego) na sprężystej kuli o promieniu R b db dθ Wszystkie cząstki padające przechodzące przez pierścień o parametrach zderzenia pomiędzy b a b+db rozpraszają się do kąta <θ, θ+d θ>. Związek między Kątem a parametrem zderzenia: π θ θ b= Rsin α= Rsin = Rcos Jan Królikowski Fizyka IBC 17
cd... Rozpraszanie na kuli Niech strumień padających punktów materialnych wynosi N. Wtedy: dn = πbndb dn θ R θ dσ = = π b db = πrcos sin dθ= N πr R dσ R = sin θdθ= dω ; = = const 4 dω 4 dσ πr d cos σ= π θ= =πr dω Całkowity przekrój czynny jest, zgodnie z intuicją, przekrojem poprzecznym kuli Rozkład kątowy jest izotropowy Jan Królikowski Fizyka IBC 18
Rozpraszanie w polu siły centralnej +k/r Doświadczenie Rutherforda, Geigera i Marsdena 1911, rozpraszanie czastek alfa na cienkiej folii złotej. Oddziaływania kulombowskie, odpychająca siła centralna +k/r Odkrycie jądra atomowego Jan Królikowski Fizyka IBC 19
Rozpraszanie w polu siły centralnej +k/r Podobnie jak dla kuli, znajdziemy związek między db i dcosθ. Z całki momentu pędu: L=µ r α=µ bv b r α bv = ; r = v α Jan Królikowski Fizyka IBC 0
cd... Związek kąta rozproszenia z parametrem zderzenia znajdujemy całkując pionową składową siły F y w granicach od 0 do v sinα: dv ksinα kα sinα µ = F = = y y dt r v b sin θ 0 ( ) θ=π α v v dv y π θ k = αsinα µ d vb 0 k π θ k sinθ= cos 1 cos µ v b 0 µ v b µ v 1+ cosθ θ b= = ctg k sinθ [ α ] = ( + θ) Jan Królikowski Fizyka IBC 1
F=k/r cd... Niech gęstość jąder atomowych w folii wynosi n. W tarczy o grubości x znajduje się nx jąder na jednostkę powierzchni. Strumień cząstek padających na folię: N. Mamy: dn nx πb db 1 k 1 = ; db = dθ N v 1 µ sin θ k θ 1 k 1 dn = Nnx π ctg dθ= µ v µ v sin θ k π = cos Nnx d θ 4 µ v 4sin θ dn k Nnx = dω µ v θ ; dσ k 1 = dω µ v 4sin θ 4 4 4sin Jan Królikowski Fizyka IBC
Ile wynosi stała? k qq α Au 79 α c = = = µ v 4πε0 Ek, α Ek, α ~7.6MeV fm 15 = 0.3 10 m 11. MeV k ~4.13 = b = µ v Dostajemy rząd wielkości rozmiarów jądra atomowego ~ 1fm. Jan Królikowski Fizyka IBC 3
Model atomu Thomsona i jądrowy model atomu Rutherforda Na pocz. XX w. uważano, że atomy zbudowane są z dodatnio naładowanej cieczy, w której jak rodzynki tkwią elektrony (model atomu Thomsona). Rozmiary atomu oceniano na 10 10 m. Prawdopodobieństwo zaobserwowania rozproszenia do tyłu cząstki alfa w tym modelu jest 10 16 za małe, żeby wytłumaczyć wyniki GMR, dlatego w 1911 Rutherford postulował istnienie jądra atomowego o rozmiarach 10 15 m. Policzymy pole elektryczne w obu modelach: r. akad. 005/ 006 Jan Królikowski Fizyka IBC 4
cd. W modelu Thomsona maksymalne pole: 19 1 ZAue 9 79 1.6 10 C 13 ETh = = 9 10 Nm / C 10 = 1.1 10 N/ C 4πε 0 r 110 m 10 ( 110 m) 15 ( 110 m) Pole elektryczne na pow. jądra jest.10 8 razy silniejsze niż pole na pow. atomu Thomsona! ( ) ( ) 1 ERu = Eth =.3 10 N/ c E th /10 13 1.1 1 R/10-10 m Jan Królikowski Fizyka IBC 5