1 Własności miary probabilistycznej, prawdopodobieństwo

1 Własności miary probabilistycznej, prawdopodobieństwo kombinatoryczne I Zadania z wykładu. Zadania obowiązkowe. Przypomnienie. k-elementową kombinacją zbioru n-elementowego nazywamy każdy podzbiór k-elementowy tego zbioru; liczba kombinacji wynosi ( ) n Cn k = k k-wyrazową wariacją bez powtórzeń zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg różnowartościowy, którego wyrazami są elementy tego zbioru; liczba wariacji bez powtórzeń wynosi V k n = n! (n k)! k-wyrazową wariacją z powtórzeniami zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg, którego wyrazami są elementy tego zbioru; liczba wariacji z powtórzeniami wynosi W k n = n k permutacją zbioru n-elementowego nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg, którego wyrazami są wszystkie elementy tego zbioru; liczba permutacji wynosi P n = n! Klasyczna definicja prawdopodobieństwa: Jeżeli Ω jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych ω jednakowo prawdopodobnych i A Ω, to P (A) = #A #Ω. Zadanie 1.1. Oblicz prawdopodobieństwo trafienia trójki, czwórki, piątki i szóstki w dużym lotku (skreślamy 6 spośród 49 liczb). Zadanie 1.2. Dany jest zbiór funkcji f : {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5}. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana funkcja jest różnowartościowa. Rozwiazanie. 12 25 Zadanie 1.3. W pierwszej urnie znajdują się kule ponumerowane liczbami 1, 2,..., 10, zaś w drugiej urnie - kule ponumerowane liczbami 6, 7,..., 25. Wyciągamy losowo po jednej kuli z każdej urny. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie kule mają ten sam numer. Zadanie 1.4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w dobrze potasowanej talii (52 karty) wszystkie 4 asy sąsiadują ze sobą (nie są rozdzielone innymi kartami)? 1

Zadanie 1.5. Rzucamy trzema kości do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: (a) otrzymamy dwie różne liczby oczek (jedna wystąpi na jednej kości, a druga na dwóch pozostałych) (b) najmniejsza wyrzucona wartość wynosi 4 Zadanie 1.6. Wykonujemy cztery rzuty kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że liczby oczek otrzymane w kolejnych rzutach tworzą ciąg ściśle rosnący. Zadanie 1.7. Na okręgu wybrano losowo 4 punkty P 1.P 2, P 3, P 4. Oblicz prawdopodobieństwo, że cięciwy P 1 P 2 i P 3 P 4 przecinają się. Zadanie 1.8. Udowodnić nierówność Zadania dodatkowe. P (A) + P (B) 1 P (A B) min{p (A), P (B)}. Zadanie 1.9. Co jest bardziej prawdopodobne: otrzymanie co najmniej jednej jedynki przy rzucie czterema kostkami, czy co najmniej raz dwóch jedynek na obu kostkach przy 24 rzutach dwiema kostkami? uzyskanie co najmniej jednej szóstki w 6 rzutach, co najmniej dwóch szóstek w 12 rzutach, czy co najmniej trzech szóstek w 18 rzutach? Zadanie 1.10. Na prostej danych jest pięć różnych punktów. Wybieramy losowo dwa punkty. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że nie są to punkty sąsiednie. Rozwiazanie. 3 5 2

2 Własności miary probabilistycznej, prawdopodobieństwo kombinatoryczne II Zadania z wykładu 1. Zadanie 2.1. Niech Ω będzie dowolnym zbiorem oraz Udowodnić, że: (a) F jest σ-ciałem F = {A Ω : A przeliczalny lub Ω \ A przeliczalny} (b) jeżeli Ω jest nieprzeliczalny to F jest istotnie mniejszy niż 2 Ω Zadanie 2.2. Dla dowolnego zbioru indeksów T rozważmy rodzinę σ-ciał {F} t T. Udowodnić, że t T F. Czy t T F będzie σ-ciałem? Zadanie 2.3. Udowodnić następujące własności miary probabilistycznej: (a) A F P (A ) = 1 P (A) (b) A,B F P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Zadanie 2.4. Pokazać, że nieskończone σ-ciało jest nieprzeliczalne. Zadanie 2.5. Dane są Zadania obowiązkowe. P (A ) = 1 3, P (A B) = 1 4, P (A B) = 2 3. Obliczyć P (B ), P (A B ), P (B \ A). Zadanie 2.6. Windą jedzie 7 osób, a pięter w budynku jest 10. Jaka jest szansa, że wszyscy wysiądą na różnych piętrach? Zadanie 2.7. Z 52 kart wybrano 6. Jaka jest szansa, że wśród wylosowanych kart będą karty czerwone i czarne? Zadanie 2.8. Do pociągu składającego się z n wagonów wsiada r pasażerów na chybił trafił. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że do każdego wagonu wsiądzie przynajmniej jeden pasażer. Zadanie 2.9. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wielokrotnym rzucaniu parą symetrycznych kostek suma oczek 8 wypadnie przed sumą oczek 7. 3

Wskazówka. posłużyć sie drzewem Zadanie 2.10. n nierozróżnialnych kul umieszczamy w n urnach. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że (a) dokładnie jedna urna będzie pusta (b) dokładnie dwie urny będą puste Zadanie 2.11. Dane są Zadania dodatkowe. P (A B ) = 1 2, P (A ) = 2 3, P (A B) = 1 4. Obliczyć P (B), P (A B). Zadanie 2.12. Klasa liczy 15 uczniów, na każdej lekcji do odpowiedzi losowany jest jeden uczeń. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w ciagu 16 lekcji każdy uczeń zostanie przepytany. Zadanie 2.13. Ustawiamy w ciąg 6 elementów typu a i 9 elementów typu b. Wszystkie ciągi są jednakowo prawdopodobne. Serią nazywamy ciąg elementów jednego typu, przed i za którym występuje element drugiego typu, na przykład w ciagu aaabbbbaabbbbba jest 5 serii (3 serie elementów typu a i 2 serie elementów typu b). Oblicz prawdopodobieństwo, że w ciągu będzie 6 serii. 4

3 Niezależność zdarzeń, prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite Zadania z wykładu 2. Zadanie 3.1. Udowodnić wzór włączeń i wyłączeń. Zadanie 3.2. Za pomocą indukcji matematycznej udowodnić nierówność ( n ) n P A i P (A i ) P (A i A j ). i=1 i=1 1 i<j n Zadania obowiązkowe. Zadanie 3.3. Wiadomo, że A, B, C są trzema zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) = 2 5, P (B A) = 1 4, P (C A B) = 1 6, P (A B) = 2 10, P (C B) = 1 3. Oblicz P (A B C). Zadanie 3.4. Wsród n monet k jest asymetrycznych, orzeł wypada na nich z prawdopodobieństwem 1/3. W wyniku rzutu wybraną losowo monetą wypadł orzeł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta moneta jest asymetryczna? Zadanie 3.5. W mieście działaja dwa przedsiebiorstwa taksówkowe: Zielone Taxi (85% samochodów) i Niebieskie Taxi (15%). Swiadek nocnego wypadku zakończonego ucieczką kierowcy taksówki twierdzi, ze samochód był niebieski. Eksperymenty wykazały, ze świadek rozpoznaje kolor poprawnie w 80% przypadków, a myli sie w 20% przypadków. Jaka jest szansa, że w wypadku uczestniczyła niebieska taksówka? Zadanie 3.6. Z badan genealogicznych wynika, że kobieta jest nośnikiem hemofilii z prawdopodobieństwem p. Jeżeli kobieta jest nośnikiem hemofilii, to każdy jej syn dziedziczy tę chorobę z prawdopodobieństwem 0.5. Kobieta, która nie jest nośnikiem hemofilii rodzi zdrowych synów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że: (a) pierwszy syn będzie zdrowy, (b) drugi syn będzie zdrowy, jeśli pierwszy będzie zdrowy, (c) kobieta nie jest nośnikiem hemofilii, jeśli dwaj pierwsi synowie są zdrowi. Zadanie 3.7. Informację przekazuje się za pomocą telegrafu nadając sygnał lub -. Średnio 1/3 sygnałów - i 2/5 sygnałów zostaje zniekształconych. Wiadomo, że wśród przekazywanych sygnałów, i - występują w stosunku 5 : 3. Oblicz prawdopodobieństwa, że odebrane sygnały i - były w rzeczywistości nadane jako i -. 5

Zadanie 3.8. Wykonujemy 10 kolejnych niezależnych rzutów symetryczną monetą. Niech S n oznacza liczbę orłów otrzymaną w początkowych n rzutach. Oblicz P (S 5 = 3 S 10 = 7). (odp. 5 12 ) Zadania dodatkowe. Zadanie 3.9. Mamy dwóch strzelców. Prawdopodobieństwo trafienia w cel pojedynczym strzałem wynosi dla lepszego z nich 0.8, a dla gorszego 0.4. Nie wiemy, ktory z nich jest gorszy, a który lepszy. Testujemy strzelców poddając ich ciągowi prób, z których każda polega na oddaniu jednego strzału przez każdego z nich. Test przerywamy po pierwszej takiej próbie, w wyniku której jeden ze strzlców trafił, a drugi spudłował. Następnie ten strzelec, który w ostatniej próbie trafił, oddaje jeszcze jeden strzał. Jakie jest prawdopodobieństwo, iż tym razem także trafi w cel? (odp. 26 35 ) Zadanie 3.10. W teleturnieju gracz ma do wyboru trzy koperty, dwie puste, jedna z nagrodą pieniężną. Gdy dokona wyboru, prowadzący otwiera jedną z odrzuconych kopert i pokazuje, że jest pusta. Gracz może w tym momencie zatrzymać wybraną wcześniej kopertę lub zmienić wybór i wziąć pozostałą z odrzuconych wcześniej kopert. Która strategia jest lepsza? Zadanie 3.11. Test na rzadka chorobe, którą dotknięta jest średnio jedna osoba na tysiac, daje fałszywą odpowiedź pozytywną w 5% przypadków (u osoby chorej zawsze daje odpowiedz pozytywną). Jaka jest szansa, ze osoba u której test dał wynik pozytywny, jest naprawdę chora? Zadanie 3.12. Do poszukiwania zaginionego rozbitka przydzielono 20 helikopterów. Każdy z nich można skierować do jednego z dwóch rejonów, w których może, odpowiednio z prawdopodobieństwem 1/3 i 1/6, znajdować się rozbitek (z prawdopodobieństwem 1/2 nie ma go w żadnym rejonie). Każdy helikopter wykrywa znajdującego się w danym rejonie rozbitka z tym samym prawdopodobieństwem p = 1 10 1/2 i niezależnie od innych helikopterów. Jak nalezy rozdzielić helikoptery, by prawdopodobieństwo odnalezienia rozbitka było maksymalne? Zadanie 3.13. W pierwszej skrzynce jest 15 jabłek zdrowych i 5 zepsutych. W drugiej skrzynce jest 14 jabłek zdrowych i 6 zepsutych. Wybieramy losowo jedną ze skrzynek i wyciągamy z niej 3 różne jabłka. Obliczyć (a) prawdopodobieństwo, że wszystkie wybrane jabłka są zdrowe (b) prawdopodobieństwo, że wybraliśmy drugą skrzynkę, skoro wszystkie jabłka okazały się zdrowe 6

4 Prawdopodobieństwo geometryczne Zadania z wykładu 3. Zadanie 4.1. Pokazać, że jeśli zdarzenia A, B są niezależne, to niezależne są zdarzenia A, B i A, B. Zadanie 4.2. Pokazać niezależność wyników kolejnych rzutów w modelu nieskończonego ciągu rzutów monetą. Zadania obowiązkowe. Zadanie 4.3. Dwie osoby umówiły się na spotkanie między godz. 17 a 18 i czekają na siebie co najwyżej 15 minut. Jakie jest prawdopodobieństwo spotkania tych osób? Zadanie 4.4. Na odcinku [0,1] umieszczono losowo punkty L i M. (a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że środek odcinka LM należy do przedziału [0, 1 3 ]? (b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że z L jest bliżej do M niż do zera? Zadanie 4.5. Z przedziału [0,1] wybrano losowo dwa punkty, które podzieliły go na trzy odcinki. Jaka jest szansa, że z tych odcinków można zbudować trójkąt? Zadanie 4.6. Na duży stół pomalowany szerokimi liniami o grubości c w kratę (odległość między środkami linii wynosi a) rzucamy monetę. Jaka jest szansa, że moneta o średnicy d nie przetnie linii? Zadanie 4.7. Na nieskończonej szachownicy o boku a (kratki) rzucamy monetę o średnicy 2r < a. Jaka jest szansa, że (a) moneta znajdzie się we wnętrzu jednego z pól? (b) moneta przetnie się z co najwyżej jednym bokiem szachownicy? Zadania dodatkowe. Zadanie 4.8. W chwili początkowej pewien człowiek ma dwa pełne pudełka zapałek po jednym w każdej kieszeni. Ilekroć chce zapalić papierosa, sięga do losowo wybranej kieszeni. Jakie jest prawdopodobieństwo, że gdy po raz pierwszy sięgnie po puste pudełko, w drugiej kieszeni będzie dokładnie k zapałek? 7

5 Niezależność i zadania nieskończone Zadania z wykładu 4. Zadanie 5.1. Pokazać, że jeśli zdarzenia A, B są niezależne, to niezależne są zdarzenia A, B i A, B. Zadanie 5.2. Pokazać niezależność wyników kolejnych rzutów w modelu nieskończonego ciągu rzutów monetą (model oparty na rozwinięciu dwójkowym). Zadanie 5.3. Pokazać, że P (lim inf n A n) lim inf n P (A n) Zadania obowiązkowe. Zadanie 5.4. Pokazać, że wylosowanie z talii 52 kart asa i wylosowanie karty czerwonej są zdarzeniami niezależnymi. Zadanie 5.5. Zdarzenia A 1,..., A n są niezależne i mają jednakowe prawdopodobieństwo. Jaka jest szansa, że (a) zajdą wszystkie naraz (b) nie zajdzie żadne z nich (c) zajdzie dokładnie jedno Zadanie 5.6. Rzucamy monetą n-krotnie. Prawdopodobieństwo wypadnięcia orła wynosi p. Niech A oznacza zdarzenie w pierwszym rzucie wypadł orzeł, zaś A k - w n pierwszych rzutach wypadło dokładnie k orłów. Dla jakich k, p, n zdarzenia A i A k są niezależne? (0 p 1, 0 k n, k, n N) Zadanie 5.7. Niech ( 1 A n = 1, 1 + 1 ( 3 n+1 1, 2 ) 1 n+1 3 n+1 Obliczyć lim sup A n i lim inf A n. n+1 ) dla n = 1, 3, 5,... dla n = 2, 4, 6,... Zadanie 5.8. Rzucamy nieskończenie wiele razy monetą. Prawdopodobieństwo wyrzucenia ora w pojedynczej próbie wynosi p. Niech A n oznacza zdarzenie, że w pierwszych n rzutach było tyle samo orłów co reszek. Wykazać, że P (lim sup A n ) = 0 dla p 1 2. (nie można stosować wzoru Stirlinga) Zadanie 5.9. Zdarzenia A 1, A 2,... są niezależne i mają równe prawdopodobieństwa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zajdzie skończenie wiele spośród zdarzeń A 1, A 2,...? 8

Zadanie 5.10. Urna zawiera n kul, które są białe lub czarne. Załóżmy, że każda możliwa liczba kul białych jest tak samo prawdopodobna. Po wrzuceniu do urny dodatkowej białej kuli losujemy z niej jedną kulę. Oblicz lim n p n, gdzie p n to prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej. Zadanie 5.11. Oblicz prawdopodobieństwo q a ruiny gracza A, który zaczyna grę z kapitałem a zł, a kończy, gdy wszystko straci (ruina) lub gdy będzie miał c zł (a c). W każdej rundzie gracz A wygrywa 1 zł z prawdopodobieństwem p i przegrywa 1 zł z prawdopodobieństwem q = 1 p. Zadanie 5.12. Gracz A ma nieograniczony kapitał i gra aż do momentu, w którym wygra b zł. Znaleźć prawdopodobieństwo wygranej gracza A. Zadanie 5.13. Pijak znajduje się trzy kroki od przepaści. Szansa wykonania kroku w kierunku przepaści wynosi 1, a w przeciwnym 2. Poszczególne kroki są niezależne. Jakie 3 3 jest prawdopodobieństwo, że pijak nie spadnie? (nie znajdzie się na skraju przepaści) Zadanie 5.14. Dwaj gracze rzucają symetryczną monetą, aż (a) pojawi się ciąg OO (wygrywa A) albo RRR (wygrywa B), (b) pojawi się ciąg OOR (wygrywa A) albo ROR (wygrywa B). Uzasadnić, że gra się zakończy z prawdopodobieństwem 1 i obliczyć prawdopodobieństwo wygrania gracza A. Zadania dodatkowe. Zadanie 5.15. Łódź podwodna atakuje okręt wypuszczając niezależnie m torped, z których każda trafia w okręt z prawdopodobieństwem p. Okręt jest podzielony na n komór, a tonie po zatopieniu co najmniej dwóch z nich. Burta i-tej komory ma powierzchnię s. Oblicz prawdopodobieństwo zatonięcia okrętu. Zadanie 5.16. W nieskończonym ciągu prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie równym p (0, 1) zdarzenie A n polega na pojawieniu się serii n sukcesów w próbach o numerach zawartych pomiędzy 2 n a 2 n+1 1. Zbadać w zależności od p szansę pojawienia się nieskończenie wielu zdarzeń A n. Wskazówka. Jakubowski, rozdział o lematach Borela-Cantelliego 9

6 Gęstość Radona-Nikodyma Zadania z wykładu 5. Zadanie 6.1. Niech (Ω, F, µ) będzie przestrzenią z miarą i niech f : Ω R będzie funkcją nieujemną, F-mierzalną i taką, że Ω f dµ = 1. Udowodnić, że funkcja zbioru ν(a) = f dµ jest miarą probabilistyczną na F (wtedy funkcję f nazywamy gęstością miary ν względem µ). Zadanie 6.2. Udowodnić: A (a) jeśli ν µ i µ m, to ν m (b) jeśli ν µ i µ m, to (c) (d) jeśli µ ν, to dν dm = dν dµ dµ dm dν dµ = dµ dµ = 1 ( ) 1 dµ dν Zadania obowiązkowe. Zadanie 6.3. Definiujemy dwa sigma ciała G = σ{[0, 1), [1, 3]}, F = σ{[0, 1), [1, 2), [2, 3]} oraz miary µ, ν określone na F µ([0, 1)) = 1, µ([1, 2)) = 4, µ([2, 3]) = 5; ν([0, 1)) = 2, ν([1, 2)) = 1, ν([2, 3]) = 3. Niech µ G = µ G, ν G = ν G. (a) wypisać wszystkie elementy sigma ciał F, G (b) uzasadnić, że ν µ oraz ν G µ G (c) znaleźć gęstości dν/dµ oraz dν G /dµ G 10

Zadanie 6.4. Niech X = [0, 1] i λ oznacza miarę Lebesgue a. Dana jest funkcja f : X X taka, że f C 1 (X) oraz f (x) 0 dla x X. Definiujemy miarę probabilistyczną ν określoną na B(X) w następujący sposób Znaleźć dν/dλ. ν(a) = λ(f 1 (A)). Zadanie 6.5. Dobrać stałą c tak, aby funkcja f(x) = { c sin(x) 0 x π 0 w p.p. była gęstością prawdopodobieństwa na prostej. Obliczyć prawdopodobieństwa: P (( π 2, π 2 )), P ({1}), P ([1, 5)). Zadania dodatkowe. 11

7 Dystrybuanta Zadania z wykładu 6. Zadanie 7.1. Własności dystrybuanty: Jeżele F jest dystrybuantą rozkładu prawdopodobieństwa na (R, B), to: (W1) F jest niemalejąca, (W2) F jest prawostronnie ciągła, (W3) lim F (x) = 0, lim F (x) = 1. x x Zadania obowiązkowe. Zadanie 7.2. Pokazać, że dystrybuanta jest funkcją ciągłą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego a R, P ({a}) = 0. Zadanie 7.3. Niech F będzie dystrybuantą rozkładu prawdopodobieństwa P na prostej. Udowodnić, że P ((, x)) = F (x ), P ({x}) = F (x) F (x ). Zadanie 7.4. Wyznacz stałą a taką, aby funkcja 0, x 1 F (x) = 2(1 1 ), x (1, a) x 1, x a była dystrybuantą rozkładu prawdopodobieństwa. Dla jakiego a istnieje gęstość i ile wynosi? Obliczyć P (( 1, 1.5]), P ({ 3 2 }). Zadanie 7.5. Pokazać, że dystrybuanta ma co najwyżej przeliczalną liczbę punktów nieciągłości. Zadanie 7.6. Wyznaczyć dystrybuanty dla: a) rozkładu prawdopodobieństwa w rzucie kostką; b) prawdopodobieństwie geometrycznym na przedziale [0, 1] (P (A) = λ(a) dla każdego A B([0,1])). Zadanie 7.7. Znaleźć dystrybuantę rozkładu ν abs. ciągł. wzgl. miary Lebesque a λ, ν(a) = fdλ, jeśli: a) f(x) = 1 π 1 1+x 2, b) f(x) = 1 b a 1 (a,b)(x), c) f(x) = λe λx 1 [0, ) (x). 12 A

Zadania dodatkowe. Zadanie 7.8. Dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa µ dana jest wzorem F µ (x) = Wyznaczyć µ({ 1}), µ([0, 1 )) oraz µ((0.55)). 2 2 0, dla x < 0; 0.1 + x, dla 0 x < 0.5; 0.4 + x, dla 0.5 x 0.55; 1, dla x 0.55. 13

8 Zmienne losowe i wektory losowe Zadania obowiązkowe. Zadanie 8.1. Niech Ω = {1, 2, 3, 4} i F = {, Ω, {1}, {2, 3, 4}}. Czy odwzorowanie X(ω) = 1 + ω jest zmienną losową względem σ-ciała F? Jeśli nie, podać przykład zmiennej losowej określonej na tej przestrzeni i takiej, która nie jest funkcją stałą. i gęstość f x. Znajdź dystry- Zadanie 8.2. Zmienna losowa X ma dystrybuantę F X buantę i gęstość zmiennej Y = ax + b. Zadanie 8.3. Pokazać, że rozkład wykładniczy ma własność braku pamięci, tzn. dla dowolnych x, y > 0 P (X > x + y X > x) = P (X > x). Zadanie 8.4. Czas T rozmowy telefonicznej ma rozkład wykładniczy z parametrem µ. Jaki rozkład ma część całkowita T, a jaki część ułamkowa? Zadanie 8.5. Znaleźć gęstość zmiennej losowej X 2 wiedząc, że X U([ 1, 1]). Zadanie 8.6. Udowodnić następujący lemat: Lemat 8.1. Jeśli zmienna losowa X ma rozkład ciągły o gęstości f i X(Ω) (a, b), funkcja ϕ : (a, b) R jest klasy C 1 oraz ϕ (x) 0 dla x (a, b), to zmienna losowa Y = ϕ(x) ma rozkład ciągły o gęstości gdzie h(s) = ϕ 1 (s). g(y) = f(h(y)) h (y) 1 ϕ((a,b)) (y), Zadanie 8.7. Zmienna losowa X ma rozkład U([0, 2]). Znaleźć rozkład zmiennych Y = min{x, X 2 }, Z = max{1, X}. Zadanie 8.8. X ma rozkład N (0, 1). Wyznaczyć dystrybuanty i gęstości dla zmiennych: (a) Y = e X (b) Z = X 2 (c) U = g(x), gdzie 1 dla x < 1, g(x) = 2 dla x 1, 3 dla x > 1. Zadanie 8.9. Wektor (X, Y ) ma gęstość f(x, y) = α 2 e α(x+y) 1 (0, ) (x)1 (0, ) (y). Wyznaczyć: (a) gęstości brzegowe f X i f Y 14

(b) dystrybuantę wektora (X, Y ) (c) prawdopodobieństwo zbiorów A = (, 1) ( 2, 5], B = [1, 2) [ 1, 3). Zadanie 8.10. Gęstość wektora (X, Y ) wynosi f(x, y) = { C(x 2 + y 2 ) dla (x, y) K, 0 dla (x, y) / K, gdzie K = {(x, y) R 2 : 0 x 1, x 1 y 1 x}. (a) wyznaczyć stałą C (b) obliczyć P (X 2 + Y 2 < 0.5) Zadanie 8.11. Gęstość wektora losowego (X, Y ) wynosi: (a) znaleźć C f(x, y) = (b) znaleźć rozkład zmiennej X oraz Y (c) znaleźć rozkąad zmiennej Z = max{x, Y } { Cxy(2 x y) dla (x, y) [0, 1] 2, 0 dla (x, y) / [0, 1] 2. Zadania dodatkowe. Zadanie 8.12. Znaleźć gęstość zmiennej losowej Y = ln X wiedząc, że X U([ 1, 1]). Zadanie 8.13. Gęstość prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ) wyraża się wzorem f(x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. (a) obliczyć P (X > 1) (b) obliczyć prawdopodobieństwo, że zmienna (X, Y ) przyjmie wartość z wnętrza okręgu x 2 + y 2 = 1. 15

9 Niezależność zmiennych losowych Zadania obowiązkowe. Zadanie 9.1. Dystrybuanta wektora losowego (X, Y ) wynosi F (x, y) = Obliczyć P (X < Y ). { 1 e x e y + e x y dla x > 0, y > 0, 0 dla pozostałych. Zadanie 9.2. Łączny rozkład zmiennych losowych dany jest w postaci tabeli: Y, X 0 1 2 3 0 0 1 1 1 1 1 30 1 2 15 Czy zmienne losowe X i Y są niezależne? Znaleźć P (X 2, Y 1), P (X 1). Zadanie 9.3. Rozkład wektora losowego (X, Y ) dany jest gęstością f(x, y) = Czy zmienne losowe X, Y są niezależne? 30 1 15 1 10 15 1 10 2 15 10 2 15 1 6 { 8xy, 0 < x < y < 1 0, dla pozostałych Zadanie 9.4. Dane są zmienne losowe ξ i η niezależne i przyjmujące każdą wartość ze zbioru {1,..., n} z prawdopodobieństwem 1. Wyznaczyć rozkład zmiennych X = n max{ξ, η}, Y = min{ξ, η}. Czy zmienne X, Y są niezależne? Zadanie 9.5. Wektor losowy (X, Y ) ma rozkład jednostajny na figurze zakreskowanej (patrz Rysunek 1). (a) znaleźć gęstości brzegowe (b) czy zmienne losowe X i Y są niezależne? Zadanie 9.6. Zmienne losowe Z 1 i Z 2 są niezależne i mają taki sam rozkład dla i = 1, 2, tzn. P (Z i = k) = 1/3 dla k { 1, 0, 1}. Określmy zmienne losowe X = Z 1 + Z 2, Y = Z 1 Z 2. (a) znaleźć rozkład łączny wektora (X, Y ) (b) czy zmienne X, Y są niezależne? (c) czy zmienne X, Y mają ten sam rozkład? Zadania dodatkowe. 16

Zadanie 9.7. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Niech ξ 1, ξ 2 będą zmiennymi losowymi oznaczającymi liczbę oczek odpowiednio na pierwszej i drugiej kostce. Czy zmienne losowe η 1 = sin ( π (ξ 3 1 + ξ 2 ) ) η 2 = cos ( π (ξ 3 1 ξ 2 ) ) są niezależne? Zadanie 9.8. Zmienna losowa X ma rozkład U([ 1, 3]). Podać dystrybuantę i gęstość zmiennej Y = X. Zadanie 9.9. Gęstość wektora losowego (X, Y ) wyraża się wzorem f(x, y) = gdzie a (0, 1). { ((1 + ax)(1 + ay) a) e x y axy, dla x > 0, y > 0; 0, w pozostałych przypadkach, (a) wyznacz gęstości brzegowe f X (x), f Y (y) zmiennych losowych X i Y (b) dla jakiego a zmienne X i Y są niezależne (c) znaleźć dystrybuantę F (X,Y ) 17

10 Funkcje wektorów losowych, wartość oczekiwana i wariancja Zadanie 10.1. Wykazać, że (a) V arx = EX 2 (EX) 2 (b) V ar(ax + b) = a 2 V arx Zadania z wykładu. Zadanie 10.2. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję: (a) dla rozkładu Poissona (b) dla rozkładu normalnego Zadania obowiązkowe. Zadanie 10.3. Zmienne losowe X, Y są niezależne i mają odpowiednio gęstości { 0, x > 1 f(x) = 1, x 1 2 { 0, x > 2 g(x) = 1, x 2 4 Znaleźć gęstość zmiennej Z = X + Y. Zadanie 10.4. Zmienne losowe X, Y są niezależne i mają ten sam rozkład wykładniczy z parametrem λ. Wyznaczyć rozkład X Y. Zadanie 10.5. Wektor losowy (X, Y ) ma rozkład jednostajny na figurze zakreskowanej (patrz Rysunek 1). Znaleźć rozkład zmiennej X + Y. Zadanie 10.6. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [ π ω, π ω ]. Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej gdzie a i ω są stałymi dodatnimi. Y = a sin(ωx), Zadanie 10.7. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają rozkład U[0, 1]. Definiujemy zmienną Y jako Y = X 1 X 2. Obliczyć EY i V ary. Wskazówka. 1/3, 1/18 18

Zadanie 10.8. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [ 1, 1]. Znaleźć EY oraz P (Y < 1), gdzie ( ) X Y = arc tan. X 2 + 1 Zadanie 10.9. Niech X 1,..., X n będą zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej Y = X i X 1 +... + X n. Zadania dodatkowe. Zadanie 10.10. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję: (a) w rozkładzie geometrycznym (b) w rozkładzie Bernoulliego P (X = k) = (1 p) k 1 p, k = 1, 2,.... Zadanie 10.11. Niezależne zmienne losowe X i Y mają standardowy rozkład normalny N (0, 1). Znajdź gęstość zmiennych X Y. Zadanie 10.12. Obliczyć rozkład sumy trzech niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie jednostajnym na [0, 1]. Zadanie 10.13. X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie U[0, 1]. Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej Z = e X Y. Zadanie 10.14. Niech X Exp(1) oraz Y [0, 2]. Znaleźć rozkład zmiennej 2X/Y. Zadanie 10.15. Gęstość wektora losowego f(x, y) = { 2 x y, x, y [0, 1] 2, 0, x, y / [0, 1] 2 Niech U = min{x, Y }, V = max{x, Y }. Obliczyć gęstość wektora (U, V ). Wskazówka. g(u, v) = 4 2u 2v dla 0 < u < v < 1 19

11 Kowariancja Zadania z wykładu. Zadanie 11.1. Udowodnić następujące własności kowariancji: (a) Cov(X, Y ) = E(XY ) EXEY (b) X, Y - niezależne = Cov(X, Y ) = 0 (c) V ar(x + Y ) = V arx + V ary + Cov(X, Y ) Zadanie 11.2. Udowodnić, ze dla nielosowej macierzy B i nielosowego wektora b E(BX + b) = BEX + b V ar(bx + b) = BV ar(x)b T Zadania obowiazkowe. Zadanie 11.3. X U[a, b]. Obliczyć Cov(X, e X ). Zadanie 11.4. Dany jest rozkład wektora losowego P ((X, Y ) = ( 4, 1)) = P ((X, Y ) = (4, 1)) = P ((X, Y ) = (2, 2)) = P ((X, Y ) = ( 2, 2)) = 1 2 Zbadać niezależność tych zmiennych i obliczyć Cov(X, Y ). Zadanie 11.5. Niech zmienne losowe X i Y będą niezależne. Wiadomo, że EX = 2, V arx = 1, EY = 1, V ary = 4. Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Z = 3X 5Y. Zadanie 11.6. Dane są zmienne losowe U 1,..., U n. Wiadomo, że są one niezależne i mają ten sam rozkład U[0, 1]. Obliczyć Cov(min{U 1,..., U n }, max{u 1,..., U n }). Zadanie 11.7. Niech X 1, X 2,..., X n będą niezależne o tej samej wariancji σ 2. Niech Obliczyć ρ(u, V ). Wskazówka. ρ(u, V ) = U = 3X 1 + X 2 +... + X n, V n = X 1 + X 2 +... + X n 1 + 2X n. Zadanie 11.8. Udowodnić nierówność: Cov(U,V ) V ar(x)v ar(y ) (współczynnik korelacji) 1 EX E ( 1 X 20 )

Zadanie 11.9. Zmienna losowa N oznacza liczę rzutów, które należy wykonać kostką, aby pojawiły się wszystkie możliwe wyniki. Obliczyć EN. Zadanie 11.10. Korzystajac z nierówności Czebyszewa udowodnić nierówność ( ) P max X i > ɛ i=1,...,n n max i=1,...,n V ar(x i ) ɛ 2. Zadania dodatkowe. Zadanie 11.11. Zmienne losowe są niezależne i mają gęstości f 1 i f 2. Udowodnić, że Z = X/Y ma gęstość g(u) = y f 1 (yu)f 2 (y)dy Wyprowadzić wzór na gęstość zmiennej U = XY. 21

12 Rozkład normalny Zadania z wykładu. Zadanie 12.1. Udowodnić, że jeśli X N (m, σ 2 ) i a 0, to ax+b N (am+b, a 2 σ 2 ). Zadania obowiązkowe. Wskazówka. Bedziemy używac oznaczenia Φ( ) na dystrybuantę rozkładu normalnego. Jej wartości są podane w tablicy poniżej. Zadanie 12.2. Stosując tablice rozkładu normalnego (patrz poniżej) i wiedząc, że X N ( 3/2, 4), obliczyć następujące prawdopodobieństwa: (i) P (X > 2) (ii) P ( X > 0.5) (iii) P (X 2 < 4) (iv) P (e X > 1) Zadanie 12.3. Asystent prowadzący zajęcia przychodzi do sali na ogół na dwie minuty przed wyznaczoną godziną rozpoczęcia zajęć. Zakładając, że czas przyjścia jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z σ = 2min określić, jakie jest prawdopodobieństwo spóźnienia się tego asystenta na zajęcia (tablice). Zadanie 12.4. Zmienne losowe X i są niezależne i mają ten sam rozkład N (1, 1). Obliczyć przy użyciu tablic: P ( X 1 +... + X 4 > 6). Zadanie 12.5. Funkcja gęstości wektora losowego (X, Y ) wynosi f(x, y) = 1 1 2( 1 20π e 4 x2 + 1 25 y2 ). Przy użyciu tablic obliczyć P ( 1 < X < 2, 0 < Y < 4). Zadanie 12.6. Wektor losowy (X, Y, Z) ma rozkład normalny. Wiadomo, że EX = EY = EZ = 0, V arx = 1, V ary = V arz = 2, Cov(X, Y ) = 1, Cov(X, Z) = 0, Cov(Y, Z) = 1. Zapisać gęstość wektora (X, Y, Z). Zadanie 12.7. Wiadomo, że X, Y N (0, 1) oraz Cov(X, Y ) = 0. Udowodnić, że zmienne losowe X + Y, X Y są niezależne. Zadanie 12.8. Zmienne losowe X, Y mają gęstość Znaleźć ρ(x, Y ). f(x, y) = ke 1 2 (x2 2xy+2y 2). 22

Zadanie 12.9. Zmienne losowe X, Y, Z są niezależne i mają ten sam rozkład N (0, 1). Znaleźć gęstość zmiennej losowej U = arctg(2x + Y 2Z). Zadanie 12.10. Załóżmy, że zmienne losowe mają łączny rozkład normalny oraz EX = EY = 0, V arx = V ary = 1, Cov(X, Y ) = ρ. Obliczyć Cov(X 2, Y 2 ). Zadanie 12.11. Dwuwymiarowa zmienna losowa ma gęstość f(x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Obliczyć P ((X, Y ) K), gdzie K = {(x, y) : x + y 2} (za pomocą Φ oraz oczytać z tablicy). 23