Lista 1 - Prawdopodobieństwo

Transkrypt

1 Lista 1 - Prawdopodobieństwo Zadanie 1. Niech A, B, C będą zdarzeniami. Zapisać za pomocą działań na zbiorach następujące zdarzenia: a) zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A, B, C; b) zachodzą dokładnie dwa spośród zdarzeń A, B, C; c) zachodzą przynajmniej dwa spośród zdarzeń A, B, C; d) zachodzą co najwyżej dwa spośród zdarzeń A, B, C. Zadanie 2. a) Dane są, i. Obliczyć, i. b) Dane są i, ponadto. Obliczyć,. Zadanie 3. Studenci Wydziału Elektroniki muszą zaliczyć dwa lektoraty: z języka angielskiego i z języka niemieckiego. Z danych Dziekanatu wynika, że 2/3 studentów zalicza lektorat z języka angielskiego, oba lektoraty zalicza co czwarty student, natomiast przynajmniej jeden z lektoratów zalicza również 2/3 studentów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany student: a) nie zaliczył żadnego lektoratu? b) zaliczył angielski i nie zaliczył niemieckiego? Zadanie 4. Studenci Wydziału PPT zdają w sesji zimowej I roku egzaminy z przedmiotów A, B, C. Wiadomo, z danych poprzednich lat, że przedmiot A zalicza 60% studentów, przedmiot B zalicza 80% studentów i przedmiot C zalicza 70% studentów. Studenci, którzy zaliczyli A i B stanowią 55% ogółu, ci którzy zaliczyli A i C stanowią 45% ogółu a studenci, którzy zaliczyli B i C stanowią 60% ogółu. Sesję zimową zalicza ok. 40% studentów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybrany student: a) zaliczył przynajmniej jeden egzamin, b) zaliczył przynajmniej dwa egzaminy. Zadanie 5. Na egzaminie jest 5 pytań i 3 możliwe odpowiedzi na każde z nich. Należy wybrać jedną poprawną odpowiedź na każde pytanie. Jaka jest szansa odpowiedzi poprawnie na 4 pytania, jeśli student zgaduje odpowiedzi? Zadanie 6. Dziesięć książek ustawiamy losowo na jednej półce. Obliczyć prawdopodobieństwo, że trzy określone książki znajdują się obok siebie w określonym porządku. Zadanie 7. Winda rusza z siedmioma pasażerami i zatrzymuje się na dziesięciu piętrach. Jaka jest szansa, że każdy z pasażerów wysiądzie na innym piętrze? Zadanie 8. Kawałek drutu o długości 20cm zgięto pod kątem prostym w przypadkowo wybranym punkcie. Następnie zgięto drut jeszcze w dwu punktach tak, by powstała ramka prostokątna o obwodzie 20cm. jest prawdopodobieństwo, że pole ograniczone ramką a) nie przekroczy 21cm 2? b) jest równe 21cm 2 Zadanie 9. Na odcinku umieszczono losowo dwa punkty L i M. Jakie jest prawdopodobieństwo, że środek odcinka LM należy do odcinka. Zadanie 10. Na płaszczyznę naniesiono siatkę kwadratową o boku a. Następnie losowo rzucono monetę o promieniu. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że moneta nie upadnie na żaden bok kwadratu. Zadanie 11. Dwie osoby mają jednakową szansę przybycia na dane miejsce w każdej chwili przedziału czasu o długości T. Obliczyć prawdopodobieństwo, że czas oczekiwania jednej osoby na drugą nie będzie dłuższy niż t,. Zadanie 12. Rzucamy monetą tak długo, aż upadnie dwa razy na tą samą stronę..jaka jest szansa, że doświadczenie zakończy się nie później niż przy 6 rzucie? Obliczyć prawdopodobieństwo, że potrzebna będzie parzysta liczba rzutów.

2 Lista 2 Prawdopodobieństwo Zadanie 1. Na odcinku umieszczamy losowo i niezależnie punkty i. Niech A będzie zdarzeniem polegającym na tym, że natomiast B zdarzeniem polegającym na tym, że. Czy zdarzenia A i B są niezależne? Zadanie 2. Na odcinku umieszczamy losowo i niezależnie punkty i. Niech A będzie zdarzeniem polegającym na tym, że natomiast B zdarzeniem polegającym na tym, że. Czy zdarzenia A i B są niezależne? Zadanie 3. Linia produkcyjna składa się z 5 jednakowych urządzeń. Prawdopodobieństwo, że urządzenie w ciągu roku ulegnie awarii wynosi 0,2. Jaka jest szansa, że dwa urządzenia ulegną awarii w ciągu roku? Zadanie 4. W pewnej szkole podstawowej 80% dzieci posiada telefon komórkowy, 50% tablet, a 40% ma telefon komórkowy i tablet. Jaka jest szansa, ze losowo wybrane dziecko będzie miało przynajmniej jedno z tych urządzeń? Zadanie 5. Studenci Wydziału Elektroniki muszą zdać w I semestrze trzy egzaminy: z fizyki, analizy matematycznej i z algebry. Z danych Dziekanatu wynika, że 70% studentów zalicza I semestr a 90% zdaje egzamin z fizyki. Jeżeli student zaliczy algebrę i fizykę, to prawdopodobieństwo, że zda analizę wynosi student, który zdał fizykę, zda algebrę?. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Zadanie 6. Wybrano losowo dwie liczby z przedziału. Jakie jest prawdopodobieństwo, że, jeżeli wiadomo, że? Zadanie 7. W pewnym mieście o mieszkańcach, rozchodzi się plotka. Pierwsza osoba opowiada ją drugiej, ta trzeciej itd. Za każdym razem osoba, której będzie opowiedziana plotka jest wybierana losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po krokach plotka nie wróci do pierwszej osoby? Oczywiście zakładamy, że. Zadanie 8. Każde z trzech pudełek zawiera 6 czarnych i 4 białe kule. Z pierwszego pudełka losowo wyciągnięto jedną kulę i przełożono do drugiego pudełka. Następnie z drugiego pudełka losowo wyciągnięto jedną kulę i przełożono ją do trzeciego pudełka. prawdopodobieństwo tego, że losowo wyciągnięta kula z trzeciego pudełka okaże się biała. Zadanie 9. Pewna choroba występuje w ogółu ludności. Przygotowano test do jej wykrycia. Test daje wynik pozytywny u chorych i zdrowych. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana osoba jest chora, jeśli test u tej osoby dał wynik pozytywny. Zadanie 10. Mamy dwie partie wyprodukowanych zegarków. Wiadomo, że przy produkcji jednej partii maszyna uległa awarii i 25% zegarków z tej partii chodzi do tyłu. Kierownik zmiany wylosował jeden zegarek z losowo wybranej partii i okazało się, że jest dobrej jakości. Jak jest szansa, że drugi zegarek wybrany z tej samej partii będzie chodził do tyłu, jeśli pierwszy zegarek po sprawdzeniu zwrócono z powrotem do całej partii? Zadanie 11. Z badań genealogicznych wynika, że kobieta jest nośnikiem hemofilii z prawdopodobieństwem. Jeśli kobieta jest nośnikiem hemofilii, to każdy jej syn dziedziczy tę chorobę z prawdopodobieństwem 0.5. Kobieta, która nie jest nośnikiem hemofilii rodzi zdrowych synów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że a) pierwszy syn będzie zdrowy; b) drugi syn będzie zdrowy, jeśli pierwszy syn jest zdrowy; c) kobieta nie jest nośnikiem hemofilii, jeśli dwaj pierwsi synowie są zdrowi. Zadanie 12. Z trzech pracujących niezależnie podzespołów pewnego urządzenia, dwa uległy awarii. Jaka jest szansa, że zepsuł się element pierwszy i drugi, jeśli prawdopodobieństwo awarii poszczególnych podzespołów jest równe, oraz?

3 Lista 3 Zmienne losowe Zadanie 1. Zmienna losowa przyjmuje wartości z prawdopodobieństwami odpowiednio równymi parametr. Obliczyć momenty rozkładu. i narysować dystrybuantę. Obliczyć prawdopodobieństwa:. Zadanie 2. Zorganizowano następująca grę: gracz wyciąga z talii 52 kart dwie karty bez zawracania. Jeśli są to dwa asy, to gracz otrzymuje 20 zł, jeśli dwie figury to 10 zł. W każdym innym przypadku gracz traci 2 zł. Znaleźć rozkład zmiennej losowej oznaczającej wygraną gracza. Obliczyć momenty rozkładu. i narysować dystrybuantę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że gracz wygra jakiekolwiek pieniądze? Zadanie 3. Spośród 3 dobrych i 3 wadliwych elementów losujemy jednocześnie 3 elementy. Niech zmienna losowa oznacza liczbę wylosowanych elementów wadliwych. Znaleźć rozkład zmiennej losowej. Obliczyć momenty rozkładu. i narysować dystrybuantę. Obliczyć i odczytać z wykresu dystrybuanty wartość prawdopodobieństw:. Zadanie 4. Test składa się z 25 pytań. Odpowiadając na każde z nich można wybrać jedną z 4 możliwych odpowiedzi, przy czym trzy z nich są błędne. Zakładając, że student zgaduje odpowiedzi, obliczyć prawdopodobieństwo, że odpowie poprawnie na a) co najmniej 20 pytań? b) mniej niż 5 pytań? Zadanie 5. Ziarna groszku ogrodowego są żółte lub zielone. W pewnej krzyżówce odmian groszku stosunek liczby roślin z żółtymi ziarnami do liczby roślin z zielonymi ziarnami jest jak. Losujemy 4 rośliny z tej populacji. Jakie jest prawdopodobieństwo, że a) trzy rośliny będą miały żółte ziarna a jedna zielone, b) wszystkie cztery będą miały ziarna tego samego koloru. Zadanie 6. Pracownik wykonuje pewną czynność poprawnie z prawdopodobieństwem równym. Jaka jest szansa, że wszystkie spośród takich samych, niezależnie wykonywanych czynności zostaną wykonane prawidłowo? Jak zmieni się to prawdopodobieństwo, gdy czynność ta zostanie wykonana razy? Zadanie 7. Liczba samochodów, które ulegają wypadkowi w ciągu jednego dnia w danym mieście i wymagają naprawy w warsztacie ma rozkład Poissona z parametrem. Jaka jest szansa, że w ciągu dnia wydarzy się mniej niż wypadków? Ile miejsc do naprawy należy przygotować, aby z prawdopodobieństwem większym niż było wolne miejsce dla uszkodzonego pojazdu? Zadanie 8. Liczba awarii w pracowni komputerowej, w ciągu dnia, jest zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba awarii? Jaka jest szansa, że w ciągu dnia będzie awarii komputerów? Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu 10 dni będą dwa dni, z liczbą awarii równą 8? Zadanie 9. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X o rozkładzie a) jednostajnym na odcinku, c) wykładniczym z parametrem, b) ciągłym, z gęstością f, d) z gęstością g. wartość nieznanych parametrów. i narysować dystrybuantę zmiennej losowej. Zadanie 10. Dla zmiennych losowych o gęstości określonej przez f oraz g (patrz zadanie 9) obliczyć wartość następujących prawdopodobieństw:. Podane prawdopodobieństwa zaznaczyć na wykresie funkcji gęstości oraz dystrybuanty. Zadanie 11. Czas potrzebny do przeprowadzenia pewnego testu krwi ma rozkład jednostajny na przedziale (50, 75) sekund. Jaki procent testów a) trwa dłużej niż 70 sekund? b) kończy się przed upływem minuty?

4 Zadanie 12. Czas oczekiwania na połączenie z serwerem dla użytkownika ma rozkład wykładniczy z szansa, że użytkownik będzie czekał a) dłużej niż s, b) krócej niż s, c) między s a s, d) krócej niż s? s. Jaka jest Zadanie 13. Czas działania pewnego urządzenia (podany w godzinach) ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną równą 15 godz. i odchyleniem standardowym równym 4 godz. Jaki powinien być okres gwarancji, aby tylko 5% urządzeń ulegało awarii przed jego upływem? Zadanie 14. W pewnej firmie średnia miesięczna płaca pracowników zatrudnionych przy produkcji wynosi 3000 zł, a jej odchylenie standardowe 300 zł. Pan Tomasz wie, że 60% pracowników zarabia więcej od niego. Zakładając, że rozkład zarobków pracowników jest normalny, obliczyć, ile wynoszą zarobki pana Tomasza. Zadanie 15. Niech zmienne losowe i będą niezależne. Niech ma rozkład wykładniczy z parametrem, natomiast zmienna losowa ma rozkład normalny. wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej.

5 Lista 4 Nierówność Czebyszewa i CTG Zadanie 1. Samolot zabiera osób. Zakładając, ze waga pasażerów ma rozkład o wartości oczekiwanej i wariancji oszacować, za pomocą nierówności Czebyszewa, prawdopodobieństwo tego, że łączna waga pasażerów przekroczy. Zadanie 2. Prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie równa sie. Oszacować ile prób należy wykonać, aby prawdopodobieństwo tego, że liczba sukcesów odchyla sie od wartości oczekiwanej liczby sukcesów o mniej niż wszystkich prób było większe niż. Zadanie 3. Niech będzie zmienną losową o wartości oczekiwanej i wariancji. Dla oszacować prawdopodobieństwo, że. Następnie podać wartości tych prawdopodobieństw, gdy ma rozkład normalny (skorzystać z tablic rozkładu Zadanie 4. Dla schematu Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu wyliczyć prawdopodobieństwo, że liczba sukcesów w próbach przekroczy. Następnie oszacować to prawdopodobieństwo na podstawie twierdzenia de Moivre a-laplace a. Porównać otrzymane wyniki. Zadanie 5. Z partii towaru o wadliwości pobrano próbę elementową. Korzystając z twierdzenie de Moivre a-laplace a oszacować prawdopodobieństwo tego, że liczba wadliwych elementów w próbie a) nie będzie większa niż, b) nie przekroczy, c) przekroczy, d) znajdzie sie w przedziale. Zadanie 6. W pewnym towarzystwie ubezpieczeniowym jest ubezpieczonych samochodów. Każdy z właścicieli płaci roczna składkę zł za samochód. Średnio na samochodów ulega uszkodzeniu w ciągu roku. Właścicielowi uszkodzonego pojazdu towarzystwo wypłaca zł. Oszacować, na podstawie twierdzenia de Moivre a Laplace a, jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu roku towarzystwo nie poniesie strat. Zadanie 7. W grupie studenckiej przeprowadza sie test, w którym można uzyskać do punktów. Średni wynik uzyskiwany przez studenta wynosi punktów, a wariancja. Wyniki studentów są niezależne i o takim samym rozkładzie. Oszacować na podstawie CTG Lindeberga Lévy ego prawdopodobieństwo tego, że przeciętna liczba punktów przypadająca na jednego studenta w grupie osób zawiera sie w przedziale od do punktów. Zadanie 8. Rzucamy razy kostką do gry. Wykorzystując centralne twierdzenie graniczne oszacować prawdopodobieństwa, że suma wyrzuconych oczek znajdzie sie miedzy a. Następnie wyznaczyć przedział, do którego ta suma będzie należeć z prawdopodobieństwem co najmniej.

6 Lista 5 Dwuwymiarowe zmienne losowe Zadanie 1. Rzucamy trzy razy monetą. Niech zmienna losowa oznacza liczbę wyrzuconych oczek a numer rzutu, w którym orzeł pojawił się po raz pierwszy. a) łączny rozkład wektora losowego, b) prawdopodobieństwo:, c) rozkłady brzegowe i oraz obliczyć ich wartości oczekiwane, d) określić, czy zmienne losowe i są niezależne, e) obliczyć kowariancję i współczynnik korelacji zmiennych losowych i. Zadanie 2. Łączny rozkład wektora losowego, gdzie zmienna losowa jest liczb a spalonych zasilaczy w pracowni w ciągu dnia a zmienna losowa jest liczbą przepięć w sieci energetycznej opisuje tabela a) prawdopodobieństwo:, b) rozkłady brzegowe i oraz obliczyć ich wartości oczekiwane, c) określić, czy zmienne losowe i są niezależne, d) obliczyć kowariancję i współczynnik korelacji zmiennych losowych i. Zadanie 3. Gęstość wektora losowego dana jest wzorem a) prawdopodobieństwo, że, b) prawdopodobieństwo, że, gdzie, c) określić, czy zmienne losowe i są niezależne. Zadanie 4. Wektor losowy ma rozkład o gęstości a) wartość stałej, b) rozkłady brzegowe, c) określić, czy zmienne losowe i są niezależne. Zadanie 5. Wektor losowy ma rozkład o gęstości a) rozkłady brzegowe, b) wyznaczyć kowariancję oraz współczynnik korelacji zmiennych losowych i.