DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 27 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Wykorzysanie modelu DCC-MGARCH w analizie zmian zależności wybranyc akcji GPW w Warszawie. Wsęp Celem arykułu jes zbadanie carakeru dynamiki zależności wysępującyc pomiędzy akcjami na polskiej giełdzie. Ze względu na czasocłonność i złożoność obliczeń ograniczono się jedynie do wybranyc spółek z polskiej giełdy. Z ego samego powodu w obliczeniac wykorzysano jedynie porfele składające się z dwóc elemenów. Hipoezę badawczą można sformułować w nasępujący sposób: zależność wysępująca na GPW w Warszawie nie jes sała, a jej zmiany mają caraker nieregularny. Poza ym zbadanie dynamiki zależności między akcjami na naszej giełdzie jes ważne również z prakycznego punku widzenia z punku widzenia inwesora, próbującego zdywersyfikować swój porfel. Aby zweryfikować ipoezę auor wykorzysał model dynamicznej korelacji DCC-MGARCH Engla. Analiza składała się z dwóc eapów. W pierwszym dla każdego z dwuelemenowyc porfeli akcji esymowano model dwuwymiarowy model auoregresji VAR. W drugim eapie dla resz modelu VAR esymowano współczynniki modelu DCC. Isone różne od zera współczynniki ego modelu są podsawą weryfikacji ipoezy badawczej. Praca składa się z rzec części. W pierwszej omówiono zasosowany do modelowania korelacji model DCC Engla. W drugiej przedsawiono wyniki badań. W osaniej części przedsawiono ic inerpreacje. 2. Model dynamicznej korelacji DCC Punkem wyjścia do dalszyc rozważań będą pojęcia warunkowyc warości oczekiwanyc (μ ), warunkowej macierzy wariancji-kowariancji (H ) wy-
268 znaczanyc na podsawie informacji dosępnej w cwili oraz pojęcie posaci warunkowego rozkładu sandaryzowanyc resz modelu. Wszyskie rzy zagadnienia należy rozparywać łącznie, gdyż wzajemnie wpływają na siebie i wspólnie deerminują własności osaecznego modelu. Więcej informacji na en ema znaleźć można w pracac np. Bollersleva (994), Pionka (22) i Tsaya (22). Tuaj przedsawione zosaną jedynie podsawowe i niezbędne informacje. Aby zilusrować dynamiczny model warunkowej korelacji (DCC dynamic condiional correlaion) Engla (22), załóżmy, że dysponujemy k- wymiarowym (w naszym przypadku k = 3, ale przedsawione dalej rozważania są prawdziwe również dla wyższyc wymiarów) wekorem r obserwacji, np. sopy zwrou k wybranyc do porfela składników (akcji, indeksów lub walu) w momencie. Wekor en można przedsawić w równaniu warunkowej warości oczekiwanej, jako zredukowany model wekorowej auoregresji (VAR): A( L) r = ε, gdzie ~ N (, H ) gdzie: ( L) ε, () A jes macierzą wielomianową operaora opóźnienia l, ε o wekor resz modelu VAR z warunkową macierzą wariancji-kowariancji: H = { } ij 2 = k 2 k 2 k 2k kk, i, j =, 2,, k. Ideę modelu DCC-GARCH najławiej zrozumieć, kiedy zapisze się warunkową macierz wariancji-kowariancji w posaci: H = D R D, (2) gdzie: { ij } D = diag jes diagonalną macierzą zmiennyc w czasie odcyleń R { ij } sandardowyc jednowymiarowyc procesów GARCH poszczególnyc składników porfela, = ρ i, j =,2,, k o macierz korelacji zawierająca warunkowe współczynniki korelacji pomiędzy składnikami porfela. Elemeny macierzy D można opisać przy pomocy jednowymiarowyc modeli GARCH(p, q) w nasępujący sposób: gdzie: D. Pi Q i 2 αipε i p + p= q= ij = ω + β i = { ii } ip i q, (3), czyli uproszczony zapis elemenów diagonalnyc macierzy
Wykorzysanie modelu DCC-MGARCH w analizie zmian zależności wybranyc akcji 269 Model DCC(m, n) Engla (22) opisuje srukurę macierzy sposób: R gdzie: = Q QQ R w nasępujący, (4) N ' ( m m ) M N M Q = am bn Q + am ξ ξ bnq n, (5) m= n= m= n= ε Q = macierz i ξ i = elemeny wekora sandaryzowanyc resz, { q ij } i wariancji-kowariancji sandaryzowanyc resz, kórej bezwarunkowa (niezależna od czasu) macierz wariancji-kowariancji Q orzymywana jes w pierwszym kroku esymacji. Q o diagonalna macierz zawierająca pierwiaski kwadraowe elemenów leżącyc na przekąnej macierzy : Q * q = q Q. (6) qkk Model DCC-GARCH można esymować przy pomocy meody największej wiarygodności, w kórej logarym funkcji wiarygodności można opisać nasępującym wzorem: L = 2 T { = 2log ( 2 ) π + 2log D + log R + ξ R ξ }. (7) W swoim arykule Engle (22) wykazał, że proces esymacji można przeprowadzić dwueapowo. W pierwszym eapie macierz R jes zasępowana przez k-wymiarową macierz jednoskową, co redukuje równanie (7) do sumy logarymów funkcji wiarygodności jednowymiarowyc modeli GARCH. W drugim eapie esymuje się paramery modelu DCC w równaniu (5) wykorzysując pełny logarym funkcji wiarygodności (7) przy warunku wykorzysania paramerów jednowymiarowyc modeli GARCH orzymanyc w pierwszym eapie (Lee, 24). 3. Dane i wyniki esymacji Ze względu na czasocłonność (i rudną do ogarnięcia obszerność wyników) w ej pracy zosaną zaprezenowane wyniki doyczące ylko wybranej grupy akcji. Są o akcje najdłużej noowanyc spółek: BRE, Elekrim, Irena, 269
27 Kable, Krosno, Millennium, Mososal Expor, Prócnik, Swarzędz i Żywiec. W obliczeniac wykorzysano dzienne logarymiczne sopy zwrou z okresu 2 sycznia 995 r.-4 czerwca 27 r. Aby zbadać, jak kszałowała się korelacja między ymi spółkami model DCC esymowano dla wszyskic dwuelemenowyc porfeli, kóre można orzymać z yc spółek. Tabela. Esymaory współczynników modelu GARCH (,)-DCC(,) Współ. BRE-Elekrim BRE-Iren BRE-Kable BRE-Millennium BRE-Mososal Exp ω.2.22.2.88.3 α.9546.7485.946796.984952.9352 β.8842777.872889.8853.879947.88595 ω 2.87.39.54.62.453 α 2.5953.6878.4.567.95 β 2.8835.6693.5587.79666.873749 A.4883.45445.54.46789.2655 B.928794.9665578.9738289.974792.9667977 Współ. BRE-Prócnik BRE-Żywiec Elekrim-Kable Elekrim- Swarzędz Krosno-Prócnik ω.2.26.794.845.89 α.92.97874.55767.399.982479 β.87474.86942.8286967.82955.8795736 ω 2.7.9.52.23. α 2.44699.66.3888.598288.486 β 2.824476.9339759.5556.6969278.8247459 A.9953.278.598.5236.963 B.974972.827882.9947999.33997.9436846 Współ. Millennium- Millennium- Mososal Exp- Prócnik- Mososal Exp Żywiec Swarzędz Swarzędz Swarzędz-Żywiec ω.6.678.439..997 α.5742.5.9736.4442.4839 β.7955.788.875547.88383.73797 ω 2.433.9.2.237.9 α 2.883875.668459.4972.43477.66384 β 2.8776799.93352.797672.723783.93364 A.95757.4.6746.856.2 B.9275765.2.694.9834382.2 Źródło: obliczenia własne. W abeli przedsawiono wynik esymacji modelu dynamicznej korelacji (dla wybranyc par spółek), zaś na wykresac -7 zaprezenowano warunkową korelację między wybranymi parami spółek. Obliczenia wykonano w pakiecie Malab korzysając z biblioek auorswa K. Sepparda (Engle, Seppard, 2). Analizując ab. nasuwa się kilka wniosków: a) w większości wypadków suma współczynników modeli GARCH pojedynczyc składników dwuelemenowyc porfeli jes zbliżona do jed-
Wykorzysanie modelu DCC-MGARCH w analizie zmian zależności wybranyc akcji 27 ności, co wskazuje na a, że wariancja w momencie jes w dużym sopniu uzależniona od wariancji w momencie na naszej giełdzie wysępuje w akim razie zw. grupowanie wariancji (por. Pionek, 22); b) dla większości przypadków również suma współczynników modelu DCC jes zbliżona do jedności, co z kolei świadczy o ym, że warunkowa kowariancja pomiędzy parami akcji w momencie jes uzależniona od korelacji w momencie ; c) ciekawe są jednak wyjąki od zasady sformułowanej w punkcie b): dla niekóryc par (kóryc składnikiem jes Swarzędz i/lub Żywiec) współczynniki modelu DCC są niskie, świadcząc o braku zależności pomiędzy warunkowymi kowariancjami w momenac i.,7,6,5,4,3,2, 995-- -, 996-5- 997-9- 999-2- 2-6- 2-- 7 2-- 24-8- -2-27-4-3 -,2 Daa Wykres. Warunkowa korelacja BRE-Elekrim,8,6,4,2 995-- -,2 996-5- 997-9- 999-2- 2-6- 2-- 7 2-- 24-8- -2-27-4-3 -,4 -,6 Daa Wykres 2. Warunkowa korelacja BRE-Żywiec 27
272,3,,2,5,,5 995-- -,5 996-5- 997-9- 999-2- 2-6- 2-- 7 2-- 24-8- -2-27-4-3 Daa Wykres 3. Warunkowa korelacja Elekrim-Kable,8,7,6,5,4,3,2, 995-- -, 996-5- 997-9- 999-2- 2-6- 2-- 7 2-- 24-8- -2-27-4-3 -,2 Daa Wykres 4. Warunkowa korelacja Millennium-Mososal Exp Wykresy -7 pokazują jak różnie może zacowywać się warunkowa korelacja między wybranymi spółkami. Najbardziej ypowy wydaje się być obraz zależności pomiędzy korelacjami z okresów i, z dosyć wysoką zmiennością ej korelacji w poszczególnyc okresac wykres, 4. Odpowiada o paramerowi b modelu DCC z przedziału.94-.96. Przy b nieco niższym, równym np..85 (wykres 2, para BRE-Żywiec) widać mniejszą zmienność warunkowej korelacji niż w poprzednim przypadku, wydaje się jednak, że zależność między warościami korelacji w różnyc okresac nadal wysępuje.
Wykorzysanie modelu DCC-MGARCH w analizie zmian zależności wybranyc akcji 273,6,5,4,3,2, 995-- -, 996-5- 997-9- 999-2- 2-6- 2-- 7 2-- 24-8- -2-27-4-3 -,2 -,3 Daa Wykres 5. Warunkowa korelacja Mososal Exp-Swarzędz.,5,4,3,2, 995-- -, 996-5- 997-9- 999-2- 2-6- 2-- 7 2-- 24-8- -2-27-4-3 Daa Wykres 6. Warunkowa korelacja Prócnik-Swarzędz Najbardziej ineresująco, zdaniem auora, prezenują się dwa pozosałe przypadki, również z prakycznego punku widzenia. Pierwszy ilusrują wykres 3 i 6. Widać na nic warunkową korelację, kóra w wyraźny sposób jes zależna od korelacji z okresu poprzedniego, zdecydowanie jednak nie pozosaje na sałym poziomie. W przypadku pary Elekrim-Kable (wykres 3) wykazuje endencję malejącą, zaś dla pary Prócnik-Swarzędz (wykres 6) jej zmiany wydają się mieć caraker okresowy. Z kolei wykres 5 i 7 pokazują przypadek korelacji odcylającej się w sposób losowy od sałego poziomu. Odpowiadają one przypadkowi, w kórym współczynnik b modelu jes nieisonie różny od zera. 273
274,9934,9933,9932,993,993,99,9928,9927 995-- 996-5- 997-9- 999-2- 2-6- 2-- 7 2-- 24-8- -2-27-4-3 Daa Wykres 7. Warunkowa korelacja Swarzędz-Żywiec Z punku widzenia inwesora ważny wydaje się wniosek, że korelacja pomiędzy dwoma papierami warościowymi może się zmieniać, czasami w sposób dosyć gwałowny. Uwzględnienie ego faku np. przy budowie porfela jes zdaniem auora konieczne. Dlaego eż celem dalszyc badań auora będzie wykorzysanie modelu DCC w analizie porfelowej, czy eż analizie ryzyka (np. za pomocą VaR). Lieraura Bollerslev, T., Engle, R., Nelson, D. (994), ARCH Models, w: Handbook of Economerics, IV, Amserdam, 59 38. Engle, R.F. (22), Dynamic Condiional Correlaion A Simple Class of Mulivariae GARCH Models, Journal of Business and Economic Saisics, 2(3), 339 5. Engle, R.F. Seppard, K. (2), Teoreical and Empirical Properies of Dynamic Condiional Correlaion Mulivariae GARCH, Working Paper, 8554, NBER. Lee, J. (24), Te Comovemen Beween Oupu and Prices: Evidence from Canada, Texas A&M Universiy-Corpus Crisi, Corpus Crisi. Pionek, K. (22), Modelowanie i prognozowanie zmienności insrumenów finansowyc, praca dokorska, AE, Wrocław. Tsay, R. (22), Analysis of Financial Time Series, Wiley and Sons.