KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją liniową wektorów układu ze współczynnikami. Definicja 2 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni. Zbiór,,, :, wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów. Natomiast układ wektorów rozpina (generuje) przestrzeń, gdy każdy wektor jest kombinacją liniową wektorów układu. Definicja 3 Układ wektorów jest bazą przestrzeni wektorowej jeżeli: 1. wektory układu są liniowo niezależne, 2. układ rozpina przestrzeń. Twierdzenie 1 Niech będzie macierzą, której kolumnami są wektory,,. Układ wektorów,,, jest bazą przestrzeni ñ gdy rz, (lub równoważnie det 0). Twierdzenie 2 Układ wektorów jest bazą ñ jest maksymalnym układem wektorów liniowo niezależnych (ze względu na relację zawierania układów wektorów). Definicja 4 Niech,,, będzie bazą przestrzeni liniowej i niech. Współrzędnymi wektora względem bazy nazywamy układ,, taki, że Współrzędne wektora w bazie zapisujemy: 1
Definicja 5 Niech,,,,,,, będą ustalonymi bazami przestrzeni liniowej. Oznaczmy: wówczas macierz:,,,,, jest macierzą przejścia z bazy do bazy. [Innymi słowy wyrażamy wektory starej bazy, jako kombinacje liniowe wektorów nowej bazy] Definicja 6 Baza standardowa wektory są wektorami jednostkowymi: 1 0 0 0 1 0,,,,,,,,. 0 0 1 W bazie standardowej bardzo łatwo znaleźć współrzędne wektora. Łatwość znajdowania współrzędnych wektora w bazie standardowej można wykorzystać do znajdowania macierzy przejścia. Będziemy wykorzystywać następujący schemat: Oczywiście mamy. Wniosek Niech będzie dowolnym wektorem przestrzeni, a macierz macierzą przejścia z bazy,,, do bazy,,,. Wówczas zachodzi równość:. Definicja 7 Niech i będą przestrzeniami liniowymi. Mówimy, że funkcja : jest przekształceniem liniowym, jeżeli spełnia następujące warunki:,,. 2
Każde przekształcenie liniowe : nazywamy funkcjonałem liniowym (formą liniową) na przestrz eni. Każde przekształcenie liniowe nazywamy operatorem liniowym na przestrzeni. Doskonale znanym operatorem liniowym jest pochodna funkcji. Definicja 8 Niech : będzie przekształceniem liniowym,,,, i,,, to bazy odpowiednio przestrzeni i. Wówczas macierz, gdzie. nazywa się macierzą przekształcenia w bazach i. Twierdzenie 3 Niech : będzie przekształceniem liniowym. Niech,,, i,, będą bazami odpowiednio przestrzeni i, macierz macierzą przekształcenia w bazach i. Niech ma współrzędne: w bazie. Wówczas zachodzi wzór:,. Definicja 9 Niech będzie przestrzenią liniową, funkcja : jest formą dwuliniową, jeżeli spełnia następujące warunki:,,,,,, (to znaczy jest formą liniową ze względu na i przy ustalonym ),,,,,, (to znaczy jest formą liniową ze względu na i przy ustalonym ),,,,. 3
Definicja 10 Formą kwadratową nazywamy formę dwuliniową, w której. Zatem formę kwadratową można zapisać w postaci:,. Definicja 11 Forma kwadratowa jest dodatnio (ujemnie) określona w przestrzeni, jeśli przyjmuje wartości dodatnie (ujemne) dla wszystkich œ z wyjątkiem 0. Definicja 12 Forma kwadratowa jest dodatnio (ujemnie) półokreślona w przestrzeni, jeśli wartości nieujemne (niedodatnie) oraz istniej takie 0, dla których. Twierdzenie (Sylvestera o dodatniej określoności formy kwadratowej) Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby forma kwadratowa, gdzie jest macierzą symetryczną stopnia, była dodatnio określona, jest spełnienie następujących warunków: det 0,det 0,det 0,det0. Twierdzenie 4 (Sylvestera o ujemnej określoności formy kwadratowej) Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby forma kwadratowa, gdzie jest macierzą symetryczn ą stopnia, była ujemnie określona, jest spełnienie następujący ch warunków: det 0,det 0,det 0, Twierdzenie 5 (Sylvestera o dodatniej półokreśloności formy kwadratowej) Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby forma kwadratowa, gdzie jest macierzą symetryczną stopnia, była dodatnio półokreślona, jest spełnienie następujących warunków: det 0,det 0,det 0,det0. Twierdzenie 6 (Sylvestera o ujemnej półokreśloności formy kwadratowej) Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby forma kwadratowa, gdzie jest macierzą symetryczną stopnia, była ujemnie półokreślona, jest spełnienie następujących warunków: det 0,det 0,det 0, det0. 4
Układy równań można podzielić: 1) ze względu na liczbę rozwiązań a. układy sprzeczne zbiór rozwiązań jest zbiorem pustym, b. układy oznaczone zbiór rozwiązań jest zbiorem jednoelementowy, c. układy nieoznaczone zbiór rozwiązań zawiera nieskończenie wiele elementów. 2) ze względu na postać wektora wyrazów wolnych: a. jednorodne wektor wyrazów wolnych jest wektorem zerowym, b. niejednorodne wektor wyrazów wolnych zawiera elementy niezerowe. Definicja 13. Układ równań liniowych o niewiadomych, w którym macierz jest macierzą nieosobliwą nazywamy układem Cramera równań liniowych. Twierdzenie 7. Jeżeli wyznacznik det układu równań liniowych jest różny od zera, to układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorami, nazywanymi wzorami Cramera: det, det det det,, det det gdzie det 1,2,, jest wyznacznikiem macierzy powstałej z macierzy w wyniku zastąpienia jej tej kolumny kolumną wyrazów wolnych. Twierdzenie 8. (Kroneckera Capellego) Ukł ad równań liniowych ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rz rz, przy czym gdy rz rz, to układ jest oznaczony, natomiast jeżeli rz rz, to układ jest nieoznaczony. Wniosek. Jeżeli rz rz, to układ równań jest układem sprzecznym. 5