CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś punkt B(x(b), y(b)) za koniec łuku, lub odwrotnie, początkiem łuku jest punkt B, zaś końcem punkt A W pierwszym przypadku przedstawienie parametryczne łuku jest zgodne z nadanym mu kierunkiem, w drugim przypadku przedstawienie parametryczne jest niezgodne z nadanym kierunkiem Łuk skierowany od A do B będziemy oznaczać, przy czym BA Jeżeli krzywa regularna o przedstawieniu parametrycznym jak wyżej jest krzywą zamkniętą ograniczającą obszar D, to mówim że krzywa jest skierowana dodatnio, gdy poruszając się po krzywej zgodnie ze wzrostem parametru t, obszar D mamy po lewej stronie (ruch antyzegarowy ) Niech na łuku o kierunku zgodnym z przedstawieniem parametrycznym będą dane dwie funkcje ciągłe P ( y ) i Q ( y ) Łuk dzielimy na n części o długościach lk punktami o współrzędnych x, y ) ( k k, i w każdej z tych części wybieramy dowolny punkt A x, y ) dla k,,, n k( k k
Rozważmy ciąg sum S n n [ P( xk, yk ) ( xk xk ) + Q( xk, yk )( yk yk ) ] k dla którego lim d, gdzie dn max lk n n Jeżeli istnieje granica lim n n k [ P( xk, yk ) ( xk xk ) + Q( xk, yk )( yk yk ) ] niezależna od dokonanego podziału i od wyboru punktów A k, to nazywamy ją całką krzywoliniową zorientowaną funkcji P( y) i Q( y) wzdłuż łuku i oznaczamy P ( x y) dx + Q( y) dy,, tzn df lim n n k P ( y) dx + Q( y) dy [ P( xk, yk ) ( xk xk ) + Q( xk, yk )( yk yk ) ] Można wykazać, że przy przyjętych założeniach zachodzi { P[ x( t ), y( t ] x' ( t ) Q[ x( t ), y( t ) ] y' ( t )} P( y) dx + Q( y) dy ) + b a dt
Jeżeli łuk dany jest w postaci jawnej y f(x), a < x < b, to P( y ) dx + Q( y ) dy ) + b { P[ f ( x ] Q[ f ( x ) ] f' ( x ) } a dx Podstawowe własności całki krzywoliniowej skierowanej wzdłuż łuku (dla prostoty zapisu pominięto argumenty funkcji P ( y ) i Q ( y ) ) : Pdx + Qdy Pdx + Qdy Pdx + Qdy Pdx + Qdy BA 3 Pdx + Qdy Pdx + Qdy + Pdx + Qdy AC CB 4 Jeżeli łuk jest odcinkiem prostopadłym do osi OX to Pdx 5 Jeżeli łuk jest odcinkiem prostopadłym do osi OY to Qdy 3
Przykład Obliczyć całkę krzywoliniową xdx + ydy jeżeli jest brzegiem trójkąta C o wierzchołkach A (, ), B(, ), C(, ) skierowanym dodatnio Rozwiązanie Przedstawmy brzeg trójkąta C w postaci sumy trzech odcinków BC CA, przy czym jest odcinkiem prostopadłym do osi OY, a CA jest odcinkiem prostopadłym do osi OX w postaci Wykorzystując własności całkę krzywoliniową możemy zapisać xdx + ydy xdx + xdx + ydy + ydy BC CA Parametryzując każdy z łuków zgodnie z nadanym mu kierunkiem mamy: dla łuku : x t y, t i x ', dla łuku BC: x t y + t, t i x' y', dla łuku CA: x y t, t i y ' 4
Obliczając poszczególne całki otrzymujemy: Stąd BC xdx + xdx tdt ydy CA ydy ( 3t + ) dt tdt t [ t ] 3 t, + t xdx + ydy xdx + xdx + ydy + ydy BC CA, Interpretacja fizyczna całki krzywoliniowej skierowanej Jeżeli F r r P( y ) i + Q( y ) j jest wektorem siły o składowych zmiennych wzdłuż krzywej to całka W P( y ) dx + Q( y ) dy przedstawia pracę siły F przy przemieszczeniu masy jednostkowej wzdłuż krzywej 5
Przykład Obliczyć pracę jaką wykona siła F r r xyi +( x + y ) j przy przemieszczeniu masy jednostkowej wzdłuż prostej o równaniu y x od punktu (, ) do punktu (, ) Rozwiązanie Ponieważ prosta dana jest równaniem jawnym y x, < x <, i y ', to W xydx + ( x + y ) dy ( x + x) dx x 3 3 + x 4 3 Niezależność całki krzywoliniowej od drogi całkowania Jeżeli funkcje P ( y ) i Q ( y ) są ciągłe wraz ze swoimi pochodnymi cząstkowymi w obszarze D normalnym względem obu osi oraz łuk D, to całka P ( y) dx + Q( y) dy nie zależy od kształtu łuku, a tylko od punktów A i B wtedy i tylko wtedy, gdy w obszarze D spełniony jest warunek P y Q x 6
Przykład (,3) Sprawdzić, czy całka krzywoliniowa (4x + xy) dx + (, ) x dy zależy od drogi całkowania, a następnie obliczyć ją Rozwiązanie Ponieważ P y ) 4 x + xy ( i ( y ) x oraz Q P y Q x, x (,3) to całka (4x + xy) dx + x dy nie zależy od kształtu drogi (, ) całkowania, tylko od punktów A(, ) i B(, 3) Wybierzmy jako drogę całkowania odcinek, który jest prostopadły do osi OX (,3) Stąd (4x + xy) dx + x (, ) dy Parametryzując łuk mamy : Zatem (,3) (, ) x d bowiem Pdx x y t i t 3 i y ' (,3) (, ) x dy 3 dt 3 7
3 Wzór Greena Jeżeli obszar D, o brzegu dodatnio skierowanym, jest obszarem normalnym względem obu osi współrzędnych oraz funkcje P ( y ) i Q ( y ) są ciągłe wraz ze swoimi pochodnymi cząstkowymi w obszarze D, to zachodzi wzór Greena: Q P Pdx + Qdy dxdy x y D Wzór Greena można stosować w przypadku, gdy obszar D można podzielić na skończoną liczbę obszarów normalnych względem obu osi współrzędnych, nie mających wspólnych punktów wewnętrznych Jeżeli D jest obszarem normalnym względem obu osi współrzędnych o brzegu, przy czym krzywa jest krzywą regularną dodatnio skierowaną, to pole D można przedstawić następująco: D ydx + xdy lub D ydx lub D xdy 8
Przykład Stosując wzór Greena obliczyć całkę x ydx + ( xy + 4ar ctg y ) dy, gdzie jest okręgiem o równaniu skierowanym x + y R, dodatnio Rozwiązanie Mamy P( y ) x y i Q( y ) xy + 4arctg y oraz P y x i Q x Wykorzystując wzór Greena otrzymujemy: y ( x y ) x ydx + ( xy + 4 ar ctg y ) dy + dxdy, gdzie D jest kołem o środku w punkcie (, ) i promieniu R Wprowadzając współrzędne biegunowe, tzn podstawiając D mamy x rcos ϕ, gdzie r R y rsin ϕ ϕ π D R π R 3 3 4 π 4 ( x y ) dxdy dr r dϕ π r dr π r R + 4 9
Przykład orzystając z całki krzywoliniowej skierowanej obliczyć pole elipsy x y o równaniu + a b Rozwiązanie Wykorzystamy wzór D ydx + xdy brzegiem elipsy skierowanym dodatnio Parametryzujemy krzywą : x acos y bsin t, t, x' y', przy czym jest asin bcos t t i t π Wtedy D π π ( absin t + abcos t) dt ab dt πab
4 Całka krzywoliniowa skierowana w przestrzeni trójwymiarowej Niech będzie dany łuk regularny określony równaniami parametrycznymi x x(t), y y(t), z z(t), a < t < b, o kierunku zgodnym z przedstawieniem parametrycznym, niech P ( z ), Q ( z ), R ( z ) będą funkcjami ciągłymi określonymi na tym łuku Całkę krzywoliniową w przestrzeni, skierowaną, funkcji P(, Q(, R( wzdłuż łuku, którą zapisujemy P( z ) dx + Q( z ) dy + R( z ) dz definiujemy w sposób analogiczny jak całkę na płaszczyźnie Całka krzywoliniowa w przestrzeni skierowana posiada również własności analogiczne do własności całki krzywoliniowej na płaszczyźnie, a w szczególności można ją obliczyć w oparciu o wzór b P( dx + Q( dy + R( z ) dz { P[ x( t ), y( t),z(t) ] x' ( t ) + Q[ x( t ), y( t ), z( t ) ] y' ( t ) + R[ x( t ), y( t ), z( t ) ] z' ( t ) } a dt
Przykład Obliczyć yzdx + z a y dy + xydz, jeśli jest łukiem linii bt śrubowej x acos t, y asin t, z, od płaszczyzny z do π punktu przecięcia krzywej z płaszczyzną z b Rozwiązanie Z warunków zadania wynika, że t <,π > Zatem yzdx + z π a bt a π sin y dy + xydz t + + cos 4 bt a π π π a b tcos tdt + sin π a b t sin t π t cos t + tdt π b a π a b + 4π sin tcos cos t t dt π 5 Zadania Obliczyć całkę krzywoliniową xydx + xdy od punktu A(, ) do punktu B(, ) wzdłuż krzywej danej równaniem: a) y b) y x, c) y x
Obliczyć całki krzywoliniowe skierowane: a) cos ydx sinxdy, gdzie jest odcinkiem od punktu π π A, do punktu π π B,, b) xy dx ydy, gdzie jest łukiem okręgu x + y od punktu A(, ) do B(, ), c) ( x- )dx + yd gdzie jest brzegiem obszaru ograniczonego krzywymi y x i y 9 dodatnio skierowanym 3 Obliczyć całkę krzywoliniową ydx + zdy + xdz od punktu A(,, ) do punktu B(,, ) gdy krzywa jest: a) odcinkiem łączącym punkty A i B, b) łamaną ACDB, gdzie C(,, ) i D(,, ) 4Dane jest pole sił o składowych P( y) xy i Q ( y) x Obliczyć pracę jaką należy wykonać przy przeniesieniu punktu materialnego o jednostkowej masie wzdłuż łuku paraboli punktu A(, ) do punktu B(, ) y x od 5 Dane jest pole sił o składowych P ( xy, Q ( y + z, R ( z Obliczyć pracę jaką należy wykonać przy przeniesieniu punktu materialnego o jednostkowej masie 3
wzdłuż krzywej danej równaniem parametrycznym x cost, y sint, z t od punktu A (,, ) do punktu π B,, 6 W pewnym polu grawitacyjnym składowe sił wzdłuż osi układu są równe: a) z 3 P ( ky, Q ( kxyz, 3 R ( 3kxy z, gdzie k jest współczynnikiem proporcjonalności, y x xy b) P (, Q (, R( z z z Obliczyć pracę jaką należy wykonać przy przeniesieniu punktu materialnego o jednostkowej masie wzdłuż odcinka: ) od punktu A( 3,,-) do punktu B ( 5,, ), ) od punktu A (,3,) do punktu B (,3,-) 7 orzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę krzywoliniową 3 y ( x y) dx ( 4e y x ) + dy, gdy jest dodatnio skierowanym brzegiem (a>): a) kwadratu o wierzchołkach A(, ), B(a, ), C(a, a), D(, a) b) trójkąta o wierzchołkach A(, ), B(a, a), C( a, a), c) okręgiem o środku w początku układu współrzędnych i promieniu a 8 orzystając z twierdzenia Greena obliczyć całki krzywoliniowe: 4
a) ( x + y) dx + ( y 4 xy) dy, gdzie jest brzegiem obszaru ograniczonego krzywymi y 4 x, y, dodatnio skierowanym, b) ( xy + x + ) dx ydy, gdzie jest brzegiem obszaru leżącego w pierwszej ćwiartce układu i ograniczonego okręgiem x + y oraz prostymi x, y, ujemnie skierowanym, c) ( x + xy) dx + ( xy + y ( y + y ) ln + dy, gdzie jest elipsą x a + b y d) y dx + x dodatnio skierowaną, dy, gdzie jest okręgiem o środku w punkcie (, ) i promieniu dodatnio skierowanym 9 Wykorzystując całkę krzywoliniową obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: x y a) elipsą +, a b b) krzywą daną parametrycznie x t t, 3 y t t dla t, π π c) krzywą y cosx oraz odcinkiem prostej y dla x Sprawdzić, czy w poniższych całkach krzywoliniowych całka zależy od drogi całkowania, a następnie obliczyć ją: 5
(, ) a) ( 8 x + y) dx + xdy, (, ) (, ) b) ( 3 4 y) dx + 4( x) (, ) x d c) (,) y dx ( x + y) ( x y) (, 3) + x dy wzdłuż drogi nie przecinającej prostej y π, π d) ( cosx-sinxsiny) dx + ( siny + cosxcosy) π, - dy 6