1 Działania na macierzach

1 Działania na macierzach Dodawanie macierzy Dodawać można tylko macierze o tych samych wymiarach i robi to się następująco: [ 1 3 4 5 6 ] + [ 0 3 1 3 7 8 ] = [1 + 0 + 3 3 + 1 4 3 5 + 7 6 + 8 ] = [1 5 4 1 1 14 ] Mnożenie macierzy przez liczbę Jeśli mnożymy macierz przez liczbę, to każdy jej wyraz mnożymy przez tę liczbę: [ 1 3 4 ] = [ 4 6 8 ] Mnożenie dwóch macierzy Mnożenie macierzy jest trochę bardziej skomplikowane. Można je wykonać tylko wtedy gdy pierwsza macierz ma tyle samo kolumn ile druga wierszy (w szczególności więc widać, że mnożenie macierzy nie jest przemienne, bo iloczyn w odwrotnej kolejności może w ogóle nie istnieć). Obliczając iloczyn dwóch macierzy mnożymy skalarnie każdy wiersz pierwszej macierzy przez każdą kolumnę drugiej macierzy: 1 3 4 5 6 7 8 9 [ 1 3 4 5 6 ] [ ] W miejscu kropki znajduje się iloczyn wiersza przy strzałce poziomej i kolumny przy strzałce pionowej, czyli: 4 + 5 5 + 6 8 = 81 1.1 Wykonaj działania: a) [ 1 0 1 1 4 1 ] 0 0, b) ([ 1 1 1 3 1 ] + [1 1 1 1 ]) [ 3 1 0 1 ] Operacje elementarne W każdej macierzy możemy na jej wierszach i kolumnach wykonywać pewne działania zwane operacjami elementarnymi. Nie jest to sztuka dla sztuki - operacje takie nie zmieniają pewnych własności macierzy, możemy więc w ten sposób przekształcać macierze do wygodniejszej postaci, z której łatwiej odczytać daną własność. Operacje elementarne wykorzystuje się przy: ˆ liczeniu wyznacznika macierzy kwadratowej ˆ liczeniu rzędu macierzy ˆ rozwiązywaniu układów równań liniowych ˆ odwracaniu macierzy (w jednej z metod odwracania) 1

Wyróżniamy trzy operacje elementarne: ˆ Dodanie wielokrotności wiersza (kolumny) do innego wiersza (kolumny). Przykładowo w macierzy: 3 4 1 1 0 1 możemy dodać drugi wiersz dwa razy do pierwszego, otrzymując w wyniku: 3 + + ( 1) 4 + 0 1 + 1 7 0 4 3 1 0 1 = 1 0 1 4 5 8 3 Zapisujemy to symbolicznie: 3 4 1 7 0 4 3 w 1 +w 1 0 1 1 0 1 4 5 8 3 Dokładnie tak samo moglibyśmy działać na kolumnach: 3 4 1 3 4 3 k 4 +k 1 0 1 1 0 0 4 5 8 ˆ Mnożenie wiersza lub kolumny przez niezerową liczbę Przykładowo w macierzy: 3 4 1 1 0 1 możemy dodać pomnożyć pierwszy wiersz przez, otrzymując: 3 4 1 6 4 8 1 0 1 = 1 0 1 4 5 8 3 Zapisujemy to symbolicznie: 3 4 1 6 4 8 w 1 1 0 1 1 0 1 4 5 8 3 Dokładnie tak samo moglibyśmy podzielić pierwszą kolumnę przez (czyli pomnożyć przez 1 ): 3 4 1 3 k 4 1 1 1 0 1 1 1 0 1 5 8 3

ˆ Zamiana miejscami wierszy lub kolumn Przykładowo w macierzy: 3 4 1 1 0 1 możemy zamienić miejscami wiersze pierwszy z trzecim, co zapisujemy: 3 4 1 4 5 8 3 w 1 w 3 1 0 1 1 0 1 3 4 1 lub zamienić miejscami kolumny drugą i czwartą: 3 4 1 3 1 4 k k 4 1 0 1 1 0 1 4 3 8 5 Kiedy używać których operacji elementarnych? ˆ Liczenie rzędu macierzy Rzędu macierzy nie zmieniają żadne operacje elementarne, zarówno na wierszach, jak i na kolumnach. W tym wypadku mamy więc całkowitą swobodę działania. ˆ Liczenie wyznacznika macierzy kwadratowej W przypadku wyznacznika sprawa jest bardziej skomplikowana. Wartości wyznacznika nie zmienia wyłącznie dodanie wielokrotności jednego wiersza do innego lub jednej kolumny do innej. Natomiast pomnożenie wiersza (lub kolumny) przez liczbę a powoduje, że wyznacznik zwiększa się a razy. Jeszcze trudniej kontrolować zachowanie wyznacznika przy zamianie miejscami wierszy (lub kolumn) - wówczas może (ale nie musi) zmienić znak wyznacznika, co zależy od parzystości stosownej permutacji. Z uwagi na powyższe, w przypadku liczenia wyznacznika najlepiej jest ograniczać się do pierwszej z wymienionych operacji. ˆ Rozwiązywanie układów równań liniowych W przypadku rozwiązywania układów równań metodą macierzową możemy działać wyłącznie na wierszach - działanie na kolumnach oznaczałoby bowiem wprowadzenie nowych zmiennych (czego nigdy nie chcemy robić). ˆ Znajdowanie macierzy odwrotnej Gdy odwracamy macierz przy użyciu dopisanej macierzy jednostkowej, możemy działać cały czas na wierszach lub też cały czas na kolumnach - nie wolno nigdy mieszać operacji wierszowych z kolumnowymi. 3

3 Wyznacznik Wyznaczniki można liczyć tylko dla macierzy kwadratowych, tzn. o wymiarach n n. Formalna definicja wyznacznika jest rekurencyjna: det A = n i=1 ( 1) i+1 a 1i det A 1i gdzie A 1i to macierz powstała przez wykreślenie z macierzy A pierwszego wiersza i i-tej kolumny. Dla małych macierzy są wygodne sposoby obliczania wyznaczników: Dla macierzy : a b = ad bc c d Dla macierzy 3 3 używamy tzw. metody Sarrusa: dopisujemy do macierzy z prawej strony dwie pierwsze kolumny (lub z dołu dwa pierwsze wiersze) i następnie iloczyny wzdłuż trzech przekątnych dodajemy, a wzdłuż trzech odejmujemy: 1 3 1 4 5 6 4 5 = 1 5 9 + 6 7 + 3 4 8 7 5 3 8 6 1 9 4 7 8 9 7 8 Równość z definicji to szczególny przypadek tzw. rozwinięia Laplace a. W definicji mamy rozwinięcie względem pierwszego wiersza, ale rozwijać można również według dowolnego wiersza: det A = n i=1( 1) i+j a ji det A ji lub kolumny: det A = n j=1( 1) i+j a ji det A ji Widać, że powyższe wzory pozwalają nam sprowadzić liczenie wyznacznika macierzy n n do liczenia n wyznaczników macierzy n 1 n 1. Pamiętamy jednak, że pierwsza operacja elementarna na wierszach macierzy nie zmienia wartości wyznacznika, dlatego najwygodniej jest doprowadzić macierz do postaci w której w jednej kolumnie (lub wierszu) będą same zera i następnie rozwinąć względem tej kolumny (wiersza). Wówczas po rozwinięciu względem tej kolumny (wiersza) pozostaje do policzenia tylko jeden wyznacznik macierzy o wymiarze mniejszym o jeden. 1 3 0 1 3 0 1 1 1 1 0 5 1 1 5 1 det w 3 5 w 1 = det = det 8 7 5 1 0 3 1 w 3 + 3w 1 8 0 7 5 1 0 3 1 1 3 1 Teraz moglibyśmy użyć już metody Sarrusa, ale ponieważ na oko wychodzą duże liczby, więc wygodniej będzie raz jeszcze użyć operacji elementarnych: 1 5 1 1 5 1 13 3 det 8 7 5 w 5w 1 = det 13 3 0 = det [ 1 3 1 w 3 w 1 0 0 0 ] = 6 3.1 Oblicz wyznaczniki: a) 5 1 1 b) 3 1 5 1 3 0 4 1 3 5 1 1 c) 3 5 0 4 0 4 3 4 1 1 3 6 1 3 0 d) 3 1 8 3 3 1 5 0 8 0 4

4 Rząd macierzy Podstawowa definicja rzędu macierzy wiąże się z liniową niezależnością wierszy, co intuicyjnie można rozumieć w ten sposób, że rząd macierzy to maksymalna liczba wierszy, których nie da się wyzerować operacjami elementarnymi. Ponieważ jednak potrzebne jest nam bardziej precyzyjne określenie, więc równoważnie definiujemy, że rząd macierzy to wymiar największej podmacierzy kwadratowej o niezerowym wyznaczniku. I ta definicja ma jednak pewne wady, ponieważ jeśli chcielibyśmy znaleźć rząd macierzy o wymiarze 5 8 licząc po kolei wszystkie minory (czyli właśnie wyznaczniki podmacierzy kwadratowych), a rząd powinien wyjść 3, to najpierw musielibyśmy policzyć 56 minorów 5 5 (wszystkie równe zero), następnie 350 minorów 4 4 (też wszystkie równe zero), a dopiero potem znaleźć niezerowy minor 3 3. Na szczęście można sobie przyśpieszyć rachunki, używając metody podobnej do liczenia wyznacznika przy użyciu rozwinięcia Laplace a. Mianowicie: doprowadzamy do tego by w pewnej kolumnie (wierszu) były prawie same zera z wyjątkiem jednego miejsca; następnie wykreślamy tę kolumnę (wiersz) oraz wiersz (kolumnę) w której znajdował się niezerowy wyraz i dodajemy do rzędu jedynkę. Proces kończymy w momencie gdy macierz zniknie lub też pojawi się macierz złożona z samych zer. Prześledźmy to na przykładzie: 1 3 5 1 3 1 3 5 1 3 0 1 1 1 0 1 1 1 rz 1 0 3 0 1 w 3 w 1 = rz 0 1 1 = 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 5 1 0 w 5 w 1 0 5 4 5 1 6 1 1 1 1 1 w = 1 + rz w 1 = 1 1 1 0 w 3 + w 1 5 4 5 1 6 w 4 w 1 1 1 1 3 3 3 0 4 3 3 3 4 = 1 + rz = + rz 3 3 3 4 w 3 3 3 0 4 + w 1 = 6 6 6 0 8 6 6 6 8 w 3 w 1 3 3 3 4 = + rz 0 0 0 0 = 3 + rz [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] = 3 + 0 = 3 4.1 Znajdź rząd macierzy: 0 1 0 1 a) 3 5 3 4 1 0 3 1 1 3 0 1 1 0 1 1 0 1 b) 1 3 0 1 3 0 1 4 4 1 0 1 1 3 6 5

5 Wzory Cramera Jeśli rozwiązujemy układ równań w którym jest tyle samo równań co niewiadomych, możemy skorzystać ze wzorów Cramera. Jeśli A jest macierzą kwadratową n n i mamy n niewiadomych x i, a b jest kolumną wyrazów wolnych, to oznaczamy przez A i macierz która powstaje przez zastąpienie i-tej kolumny macierzy A przez kolumnę b. Wówczas rozwiązując układ [A b] możemy stwierdzić, że: ˆ Jeśli det A 0, to układ jest oznaczony, a jego rozwiązanie to x i = det A i det A. ˆ Jeśli det A = 0 i dla pewnego i jest det A i 0, to układ jest sprzeczny. ˆ Jeśli det A = 0 i dla wszystkich i jest det A i = 0, to układ może być sprzeczny lub nieoznaczony (częściej nieoznaczony). W tej sytuacji możemy radzić sobie metodą Gaussa lub też zmodyfikować metodę Cramera. x + y + z = 6 1 1 1 6 x y + z = 3 - macierz układu to: 1 3 x + y + z = 4 1 1 1 4 1 1 1 Mamy: det A = det 1 = 8 i: 1 1 1 6 1 1 1 6 1 1 1 6 det A x = det 3 = 8 det A y = det 1 3 = 16, det A z = det 1 3 = 4 4 1 1 1 4 1 1 1 4 więc x = 8 16 4 8 = 1, y = 8 =, z = 8 = 3 x + y + z = 6 1 1 1 6 x y + z = 3 - macierz układu to: 1 3 4x + y + 5z = 1 4 1 5 1 Nietrudno sprawdzić, że wszystkie wyznaczniki się zerują. W takiej sytuacji, jeśli nie chcemy używać metody Gaussa, znajdujemy największą podmacierz macierzy głównej układu o niezerowym wyznaczniku - tutaj jest to na przykład [ 1 1 ]. W wyjściowym równaniu wykreślamy te wiersze których nie 1 uwzględniliśmy w podmacierzy, a za zmienne z kolumn których nie uwzględniliśmy w podmacierzy podstawiamy parametr i przenosimy na drugą stronę. U nas z = a oraz: x + y = 6 a - macierz układu to: [ 1 1 6 a x y = 3 a 1 3 a ] Tu już możemy skorzystać ze wzorów Cramera i łatwo policzyć, że det A = 3, det A x = 5a 1 i det A y = a 3. Otrzymujemy stąd rozwiązanie: x = 1 5a 3, y = a+3 3, z = a dla dowolnego a R. 5.1 Rozwiąż przy użyciu wzorów Cramera układy równań: x + y = 3 a) x y = 3 x + y + z = 3 b) x y + z = 3 3x + y + z = 4 x + y + z = 3 c) x + y + z = 1 3x + 3y + z = 5 6

6 Metoda eliminacji Gaussa Najefektywniejszą metodą rozwiązywania układów równań (tym razem dowolnych) jest metoda eliminacji Gaussa. Polega ona na doprowadzeniu operacjami elementarnymi macierzy układu do takiej postaci, z której łatwo odczytać rozwiązanie. Najwygodniejsza postać to taka, w której jest jak najwięcej kolumn macierzy jednostkowej, tzn. kolumn z jedną jedynką i resztą zer. Warto też pamiętać, że jeśli pojawi się wiersz złożony z samych zer to możemy go wykreślić; podobnie jeśli pojawi się kilka identycznych wierszy to możemy wykreślić wszystkie z wyjątkiem jednego. x + y + z u + 3t = 1 1 1 3 1 x + 3y + z + u + t = 3 1 1 1 -macierz układu to oczywiście: x + 3y + z + 5u t = 0 1 3 5 0 x + y + z 5u + 6t = 3 1 5 6 3 Przekształćmy macierz układu: 1 1 3 1 1 1 3 1 w 1 w 3 1 0 13 13 3 3 1 1 1 w w 1 0 1 3 3 5 0 w + w 3 0 0 3 9 10 1 1 3 5 0 w 3 w 1 0 1 0 6 5 1 0 1 0 6 5 1 1 5 6 3 w 4 w 1 0 3 3 0 1 w 4 + w 3 0 0 3 9 10 1 Ostatni wiersz się dubluje, a drugi możemy podzielić przez 3: 1 0 13 13 3 19 7 10 1 w 0 0 1 3 3 3 1 w 1 0 0 7 3 3 10 1 0 0 1 3 3 3 0 1 0 6 5 1 0 1 0 6 5 1 Mamy już trzy kolumny macierzy jednostkowej. Odpowiadające im zmienne x, y, z wyznaczymy zależnie od parametrów, a parametry wprowadzamy za pozostałe zmienne, czyli u, t. Niech więc u = a, t = b - wówczas pierwszy wiersz oznacza, że x 7a + 19 3 b = 7 3 skąd x = 7a 19 3 b + 7 3. Analogicznie wyliczamy y i z otrzymując ostatecznie rozwiązanie: x = 7a 19 3 b + 7 3 y = 6a + 5b 1 z = 3a 10 3 b + 1 gdzie a, b R 3 u = a t = b Oczywiście nie jest to jedyna postać rozwiązania, natomiast na pewno w każdej innej postaci też muszą pojawić się dwa parametry. 6.1 Rozwiąż układy równań: x + y + z + t = a) x + y + z t = 0 x + y + 1z + 4t = 6 6x + 4y + 5z + t + 3u = 1 3x + y + 4z + t + u = 3 b) 3x + y z + t = 7 9x + 6y + z + 3t + u = x 1 + x + 3x 3 x 4 + x 5 = 4 x 1 + x + 7x 3 4x 4 + x 5 = 11 c) x 1 + 4x + x 3 3x 4 + 3x 5 = 6 3x 1 + 6x + 5x 3 4x 4 + 3x 5 = 5 7

7 Macierz odwrotna Macierz odwrotna do macierzy kwadratowej macierzy A to taka macierz A 1, że A A 1 = A 1 A = I, gdzie I to macierz jednostkowa. Odwracalne są tylko macierze kwadratowe o niezerowym wyznaczniku. Są dwa sposoby wyznaczania macierzy odwrotnej: Sposób I A 1 = (AD ) T det A 1 1 1 A = 1 3. 1 Łatwo policzyć, że det A = 1, natomiast macierz dopełnień algebraicznych liczymy zastępując w macierzy A wyraz z i-tego wiersza i j-tej kolumny przez wyznacznik macierzy powstałej po wykreśleniu z macierzy A i-tego wiersza i j-tej kolumny pomnożony przez ( 1) i+j : 3 1 1 1 3 1 A D = 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 = 0 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 3 czyli (po transpozycji i podzieleniu przez wyznacznik nic się nie zmienia): 0 1 A 1 = (A D ) T = 0 1 1 1 1 Sposób II Dopisujemy z boku danej macierzy macierz jednostkową i operacjami elementarnymi przekształcamy naszą macierz do macierzy jednostkowej: 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 w 1 3 0 1 0 w w 1 0 1 1 1 0 1 w 3 1 0 0 1 w 3 w 1 0 1 1 1 0 1 w w 3 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 w 3 w 0 0 1 1 1 Macierz z prawej strony to już macierz odwrotna. Drugi sposób jest efektywniejszy w przypadku macierzy większych rozmiarów. 7.1 Wyznacz macierz odwrotną do macierzy: a)[ 3 1 0 1 1 1 1 1 1 ] b) 0 1 1 1 1 3 1 c) 4 1 0 0 1 1 0 0 0 1 8

8 Działania na wektorach Wektory w R 3 możemy w naturalny sposób dodawać i odejmować, np.: [, 3, 1] + [ 1,, 1] = [1, 5, ] [, 3, 1] [ 1,, 1] = [3, 1, 0] a także mnożyć przez skalar (liczbę): 3 [, 3, 1] = [6, 9, 3] Nieco trudniejsze (i nie tak naturalne) jest mnożenie wektora przez wektor. Iloczyn skalarny wektorów Formalna definicja to: a b = a b cos ( a, b), gdzie v to długość wektora, która dla wektora v = [v x, v y, v z ] jest równa v = v x + v y + v z. Natomiast praktyczny sposób liczenia dla wektorów [v x, v y, v z ] i [w x, w y, w z ] to: [v x, v y, v z ] [w x, w y, w z ] = v x w x + v y w y + v z w z ] na przykład: [, 3, 1] [1, 1, ] = 1 + 3 ( 1) + 1 = 1 Warto zwrócić uwagę, że po pierwsze iloczyn skalarny wektorów jest liczbą, a po drugie z definicji wynika, że jest równy zero wtedy i tylko wtedy gdy mnożymy dwa wektory prostopadłe (przyjmujemy przy tym, że wektor zerowy jest prostopadły do dowolnego wektora). Iloczyn wektorowy wektorów Formalna definicja iloczynu wektorowego brzmi: a b to wektor prostopadły do wektorów a i b, o długości równej polu równoległoboku rozpiętego przez dwa wyjściowe wektory, oraz o zwrocie takim, żeby układ a, b, a b był dodatnio zorientowany. W praktyce aby policzyć iloczyn wektorowy wektorów [v x, v y, v z ] i [w x, w y, w z ] liczymy wyznacznik macierzy: i j k v x v y v z w x w y w z gdzie i, j, k są wersorami jednostkowymi. Przykładowy rachunek dla wektorów [, 3, 1] i [1, 1, ] to: i j k [, 3, 1] [1, 1, ] = 3 1 = 6i + j k 3k + i 4j = 7i 3j 5k = [7, 3, 5] 1 1 Aby sprawdzić poprawność rachunku można (przy użyciu iloczynu skalarnego) sprawdzić czy wektor który nam wyszedł jest prostopadły do dwóch wyjściowych wektorów. Warto zwrócić uwagę, że po pierwsze iloczyn wektorowy wektorów jest wektorem, a po drugie z definicji wynika, że jest równy zero wtedy i tylko wtedy gdy wyjściowe wektory są równoległe (przyjmujemy przy tym, że wektor zerowy jest równoległy do dowolnego wektora). Ponadto, co szczególnie ważne, dzięki iloczynowi wektorowemu zawsze możemy znaleźć wektor prostopadły do dwóch danych (a to bardzo często przydaje się w geometrii analitycznej). 8.1 Wyznacz iloczyny skalarny i wektorowy dla następujących par wektorów: a) [1, 0, 0] i [0,, 3] b) [1, 1, 1] i [, 1, 4] c) [1, 3, 1] i [, 5, ] 9

9 Proste i płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowej Równanie ogólne płaszczyzny (najważniejsze) to: Równanie płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0 (gdzie A, B, C nie mogą być jednocześnie równe zero) n = [A, B, C] to wektor normalny płaszczyzny, czyli wektor, który jest do niej prostopadły. Można powiedzieć, że wektor normalny wyznacza kierunek płaszczyzny. Żeby mieć jednoznacznie wyznaczoną płaszczyznę, wystarczy znać jej wektor normalny oraz dowolny punkt. Warto też wiedzieć, że równanie płaszczyzny o wektorze normalnym [A, B, C] i przechodzącej przez punkt (x 0, y 0, z 0 ) to A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0. Inne postaci płaszczyzny to: ˆ Postać odcinkowa: x a + y b + z c = 1 - to płaszczyzna przechodząca przez punkty (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c). x = x 0 + a 1 t + a s ˆ Postać parametryczna: y = y 0 + b 1 t + b s, gdzie (x 0, y 0, z 0 ) to dowolny punkt płaszczyzny, a z = z 0 + c 1 t + c s [a 1, b 1, c 1 ] i [a, b, c ] to dwa wektory równoległe do płaszczyzny (ale nierównoległe wzajemnie) ˆ Postać wektorowa: (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + t v + s w - oznaczenia jak wyżej, tylko wektory zostały nazwane v i w W dwóch ostatnich przypadkach do płaszczyzny należą te i tylko te punkty, których współrzędne są powyższej postaci dla pewnych parametrów t, s. Równanie prostej Prostej w przestrzeni trójwymiarowej nie da się opisać jednym równaniem liniowym, dlatego musimy poradzić sobie inaczej. Postaci w jakiej można przedstawić płaszczyznę to: ˆ Postać kierunkowa: x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c x = x 0 + at ˆ Postać parametryczna y = y 0 + bt z = z 0 + ct ˆ Postać wektorowa: (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + t (a, b, c) W każdej z tych postaci (x 0, y 0, z 0 ) jest dowolnym punktem prostej, a k = [a, b, c] to wektor kierunkowy prostej, czyli (jak sama nazwa wskazuje) wektor, który wyznacza nam kierunek prostej. Jest jeszcze jedna możliwość zadania prostej - z uwagi na to, że dwie nierównoległe płaszczyzny przecinają się zawsze wzdłuż prostej, można powiedzieć o którą prostą nam chodzi wskazując dwie płaszczyzny do których ona należy. Taki sposób przedstawienia prostej nazywa się postacią krawędziową. 10

Warto jeszcze znać wzór na odległość punktu (x 0, y 0, z 0 ) od płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0: d = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A + B + C Ogólne wskazówki przy rozwiązywaniu zadań z geometrii analitycznej: ˆ Warto wyobrazić sobie i narysować sytuację z zadania. ˆ Należy uzmysłowić sobie co jest potrzebne do rozwiązania, przykładowo: jeśli szukamy płaszczyzny, potrzebny jest nam wektor normalny i dowolny punkt; jeśli szukamy prostej potrzebny jest nam wektor kierunkowy i dowolny punkt. ˆ Trzeba zastanowić się skąd wziąć szukane wektory (może są do czegoś prostopadłe albo równoległe?) i punkty (może są podane w zadaniu, może są częścią wspólną prostej i płaszczyzny?). ˆ Bardzo często przydaje się fakt, że jeśli mamy dane dwa wektory, to prostopadły do nich jest ich iloczyn wektorowy. ˆ Przed przystąpieniem do rachunków sensownie jest zrobić sobie plan działania, rozpisując sobie czego po kolei szukamy i wyjaśnić jak doprowadzi nas to do celu. Przykładowe zadania z rozwiązaniami: Zadanie: Wyznacz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A(1,, 3), B(1, 1, 0), C(, 1, 1). Rozwiązanie: Aby wyznaczyć równanie płaszczyzny potrzebujemy znaleźć jej wektor normalny oraz dowolny punkt. Punkt (a nawet trzy) oczywiście już mamy. Pozostaje więc znaleźć wektor normalny. Wektor ten jest prostopadły do płaszczyzny, w szczególności więc jest też prostopadły do każdej prostej należącej do tej płaszczyzny i do każdego odcinka należącego do tej płaszczyzny. Jest więc prostopadły na przykład do odcinków AB i AC, a zatem także do wektorów AB i AC. W takim razie wektorem normalnym (przykładowym) jest iloczyn wektorowy dwóch powyższych wektorów: AB = B A = (1, 1, 0) (1,, 3) = [0, 3, 3] AC = C A = (, 1, 1) (1,, 3) = [ 3, 1, ] n = AB AC = i j k 0 3 3 = [3, 9, 9] 3 1 zatem uwzględniając na przykład punkt A otrzymujemy równanie płaszczyzny: 3(x 1) + 9(y ) 9(z 3) = 0 czyli po prostych przekształceniach: x + 3y 3z + = 0. Warto zwrócić uwagę, że gdybyśmy zamiast punktu A wykorzystali na przykład punkt B - wyszłoby dokładnie to samo. Zadanie: Wyznacz równanie kierunkowe prostej prostopadłej do prostych: l 1 x 1 = y 0 = z x + y + z = 1 3 i l 3x y + z = 3 oraz zawierającej punkt P (, 1, 3) 11

Rozwiązanie: Szukamy równania prostej, zatem potrzebny jest nam punkt i wektor kierunkowy. Punkt już oczywiście mamy - jest to P, pozostaje więc zastanowić się jak wygląda wektor kierunkowy. Skoro szukana prosta jest prostopadła do prostych l 1 i l, to znaczy, że jej wektor kierunkowy jest prostopadły do wektorów kierunkowych tych prostych, a zatem jest iloczynem wektorowym tych wektorów kierunkowych. Wektor kierunkowy l 1 mamy za darmo - jest to k 1 = [, 0, 3]. Zauważmy teraz, że prosta która jest częścią wspólną dwóch płaszczyzn, jest prostopadła do wektorów normalnych tych płaszczyzn, czyli jej wektor kierunkowy także. Stąd wektor kierunkowy l jest iloczynem wektorowym wektorów [1, 1, 1] i [3,, 1]: i j k k = [1, 1, 1] [3,, 1] = 1 1 1 = [3,, 5] 3 1 Tak więc szukany wektor kierunkowy to: k = k 1 k i j k = 0 3 = [ 6, 19, 4] 3 5 i ostatecznie nasza prosta ma postać: x 6 = y 1 19 = z 3 4 Uwaga: jeśli szukamy prostej prostopadłej do dwóch danych, to wystarczy wiedzieć, że wektor kierunkowy szukanej prostej jest prostopadły do wektorów kierunkowych prostych. Gdybyśmy natomiast szukali płaszczyzny prostopadłej do dwóch danych, to wystarczyłoby wiedzieć, że wektor normalny szukanej płaszczyzny jest prostopadły do wektorów normalnych danych płaszczyzn. Zadanie: Znajdź rzut prostopadły punktu A(4,, 7) na płaszczyznę π x y + 3z 1 = 0. Rozwiązanie: Oznaczmy szukany rzut przez A. Oczywiście A π. Skoro rzut jest prostopadły, to znaczy, że odcinek AA jest prostopadły do płaszczyzny π, a zatem także prosta wyznaczona przez ten odcinek jest prostopadła do π. Ale skoro ta prosta jest prostopadła do płaszczyzny, to znaczy, że wektor normalny płaszczyzny jest zarazem wektorem kierunkowym tej prostej. Tak więc nasza prosta ma równanie kierunkowe: x 4 = z 7 3, lub w postaci parametrycznej: x = 4 + t y = t z = 7 + 3t Inaczej mówiąc - każdy punkt prostej AA jest postaci (4+t, t, 7+3t) dla pewnego t rzeczywistego. My natomiast szukamy punktu A, który nie dość, że należy do tej prostej (czyli jest tej postaci), to jeszcze należy do płaszczyzny π, a to oznacza, że jego współrzędne spełniają równanie tej płaszczyzny. Wystarczy zatem podstawić te współrzędne do równania: (4 + t) ( t) + 3(7 + 3t) 1 = 0 14t + 8 = 0 t = Tak więc współrzędne punktu A to: (4 + ( ), ( ), 7 + 3 ( )) = (,, 1) i to jest właśnie szukany rzut. 1 = y+ Uwaga: gdybyśmy rzutowali punkt na prostą, to musielibyśmy znaleźć równanie płaszczyzny prostopadłej do tej prostej i zawierającej wyjściowy punkt. Szukany rzut jest wtedy częścią wspólną tej płaszczyzny i wyjściowej prostej. 1

9.1 Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty A(1,, ) i B( 1, 3, 1). 9. Wyznacz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A(1,, ), B( 1, 3, 1) i C(3,, ). 9.3 Wyznacz rzut prostopadły punktu P (4, 3, 4) na płaszczyznę π x + y x + 3 = 0. 9.4 Wyznacz równanie płaszczyzny zawierającej punkt (0, 0, 0) i prostopadłej do płaszczyzn: x + y + 4z = 3 oraz x + 3y + z = 0. 9.5 Wyznacz równanie prostej zawierającej punkt A(, 1, ) i przecinającej prostopadle prostą: l: x 1 = y 3 = z 1. 9.6 Wyznacz punkt symetryczny do punktu P (,, ) względem płaszczyzny π x + y z + 1 = 0. 9.7 Wyznacz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt (1,, 0) i prostopadłej do płaszczyzny x + y 3z 1 = 0 oraz do płaszczyzny x y + z = 0. 9.8 Znajdź równanie rzutu prostopadłego prostej x 1 = y 0 = z+1 3 na płaszczyznę x + 3y z = 0. 13

10 Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) Takie określenie działań zapewnia nam porządne zachowanie całej struktury, co ściśle rzecz biorąc oznacza, że zbiór punktów na płaszczyźnie z tymi dwoma działaniami jest ciałem, czyli czymś o podobnych własnościach do zbioru liczb rzeczywistych. Wygodniej ze względów rachunkowych będzie jednak używać postaci algebraicznej liczb zespolonych: (a, b) = a + bi W szczególności więc (1, 0) = 1 i (0, 1) = i oraz i = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) = 1. Dzięki temu ułatwieniu można dodawać i mnożyć liczby zespolone jak normalne wyrażenia algebraiczne, wystarczy tylko pamiętać, że i = 1. Dla wygody definiujemy jeszcze dla z = a + bi: Re z = a (część rzeczywista) Im z = b (część urojona) z = a bi (sprzężenie) z = r = a + b (moduł) Nietrudno zauważyć, że z z = z. Dzięki temu łatwo dzielić liczby zespolone: (+i) 3 i = 4+4i+i 3 i = 3+4i 3 i = (3+4i)(3+i) (3 i)(3+i) = 9+1i+3i+4i 10 = 5+15i 10 = 1 + 3 i Proste równania zespolone z z + 5 = 0 Takie równanie rozwiązujemy tak samo jak zwykłe równanie kwadratowe, z tą różnicą, że nie przeszkadza nam ujemna delta: = 4 0 = 16 Pierwiastki kwadratowe z 16 są dwa: 4i oraz 4i (łatwo widać, że kwadrat tych liczb to właśnie 16). Możemy wybrać którykolwiek z nich i zapisać (umownie!): = 4i skąd ostatecznie: z 1 = +4i = 1 + i z = 4i = 1 i 14

Nie zawsze jednak pierwiastek z delty można po prostu odgadnąć, czasem koniecznie będzie jego policzenie: z + (1 i)z + 1 + 5i = 0 = (1 i) 4(1 + 5i) = 1 4i 4 4 0i = 7 4i Nie widać od razu ile wynosi pierwiastek z tej liczby, wiemy jednak, że na pewno jest postaci a + bi dla pewnych a, b rzeczywistych. Mamy więc: (a + bi) = 7 4i a b + abi = 7 4i czyli a b = 7 oraz abi = 4i. Wyznaczamy z drugiego równania b = 1 a, wstawiamy do pierwszego: a 144 a = 7 (a ) + 7a 144 = 0 a to już łatwo sprowadzić podstawieniem t = a do równania kwadratowego (tym razem już w liczbach rzeczywistych). Nietrudno się przekonać, że rozwiązaniami równania t +7t 144 = 0 są t 1 = 9 i t = 16, czyli a = 0 lub a = 16. Oczywiście rzeczywiste rozwiązania ma tylko to pierwsze równanie, mamy więc a = 3 i b = 4 lub a = 3 i b = 4. Wybieramy dowolną z dwóch możliwości otrzymując ostatecznie: = 3 4i z 1 = 1+i+3 4i = 1 + i z = 1+i 3+4i = + 3i Jeśli natomiast równanie nie jest kwadratowe, bo występuje w nim moduł lub sprzężenie, wówczas radzimy sobie podstawieniem z = a + bi. z iz = 1 Podstawiamy z = a + bi: (a + bi) i(a bi) = 1 a b + abi ai b = 1 a b b + (ab a)i = 1 Musi być więc a b b = 1 oraz ab b = 0. Z drugiego równania wynika, że a = 0 lub b = 1. Jeśli a = 0, to z pierwszego wynika, że b = 1, a jeśli b = 1, to z pierwszego wynika, że a = lub a =. Ostatecznie otrzymujemy trzy rozwiązania: i, + i, + i Postać trygonometryczna Oprócz postaci algebraicznej liczb zespolonych jest jeszcze postać trygonometryczna, w której korzystamy ze współrzędnych biegunowych punktu na płaszczyźnie, czyli kąta φ między półprostą dodatnią OX, a półprostą OZ (gdzie Z to nasza liczba zespolona; oraz promienia r (czyli długości odcinka OZ). Łatwo sprawdzić, że wówczas: cos φ = a z skąd dostajemy: sin φ = b z a + bi = z (cos φ + i sin φ) Aby znaleźć postać trygonometryczną liczby zespolonej wystarczy wyłączyć przed nawias moduł tej liczby, a następnie znaleźć w tablicach wartość kąta dla którego cosinus i sinus przyjmują odpowiednie wartości. 15

Przedstawmy w postaci trygonometrycznej liczbę 3 + i. Jej moduł to oczywiście ( 3) + 1 =, mamy zatem: 3 + i = ( 3 + 1 i) Szukamy więc takiego kąta, którego cosinus jest równy 3, a sinus jest równy 1. Nietrudno sprawdzić w tablicach, że takim kątem jest φ = 5 6π, mamy więc ostatecznie: 3 + i = (cos 5π 6 + i sin 5π) 6 Postać trygonometryczna jest szczególnie przydatna z uwagi na wzór de Moivre a, który przydaje się do potęgowania i pierwiastkowania liczb zespolonych: ( z (cosφ + i sin φ)) n = z n (cos nφ + i sin nφ) Zobaczmy jak wygląda potęgowanie liczby z poprzedniego przykładu: ( 3 + i) 11 = ( (cos 5π 6 + i sin 5π 6 ))11 = 11 (cos 11 5π 6 + i sin 11 5π 6 ) = = 11 (cos 55π 6 + i sin 55π 6 ) = 11 (cos 7π 6 + i sin 7π 6 ) = 048 ( 3 1 i) Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zespolonej w nazywamy dowolne rozwiązanie równania z n = w. Zasadnicze Twierdzenie Algebry mówi, że każdy wielomian (niezerowego stopnia) ma zespolone miejsce zerowe. Łatwo stąd wywnioskować, że każdy wielomian zespolony n-tego stopnia ma dokładnie n miejsc zerowych (licząc z krotnościami). W szczególności więc również pierwiastków n-tego stopnia z w musi być dokładnie n. Wystarczy zatem wskazać n rozwiązań powyższego równania, żeby znaleźć wszystkie pierwiastki z w. Jeśli w = w (cos α + i sin α), to te rozwiązania są postaci: z k = n w (cos α+kπ n + i sin α+kπ n ) dla k = 0, 1,..., n 1 W szczególności jeśli w = 1, to pierwiastki n-tego stopnia z jedynki są postaci: z k = cos kπ kπ n + i sin n dla k = 0, 1,..., n 1 Warto zwrócić uwagę, że pierwiastki n-tego stopnia z dowolnej liczby zespolonej na płaszczyźnie są wierzchołkami n-kąta foremnego. Policzmy dla przykładu pierwiastki czwartego stopnia z 1 czyli rozwiązania równania z 4 = 1. Mamy: 1 = cos π + i sin π, czyli α = π i n = 4. Tak więc szukane pierwiastki to: z 0 = cos π 4 + i sin π 4 = + i z 1 = cos π+π 4 + i sin π+π 4 = + i z = cos π+4π 4 + i sin π+4π 4 = i z 3 = cos π+6π 4 + i sin π+6π 4 = i 16

10.1 Przedstaw liczbę zespoloną w najprostszej postaci: a) (1 + 3i)( i) b) (1 i)( i) ( + i)(3 i) c) i 1+i d) (1+i) (1 i)( i) (1+i)(3+i) 10. Rozwiąż równania: a) z + 6z + 13 = 0 b) 4z + 4z + 17 = 0 c) z z + i + 1 = 0 d) z (i + 1)z + i = 0 e) z + (i 5)z + 8 i = 0 f) z 3iz 3 + i = 0 g) z + z = 1 + i h) z z = 1 10.3 Oblicz: a) (1 + i) 013 b) (1 + i 3) 44 c) ( 6 i ) 81 10.4 Znajdź: a) pierwiastki zespolone ósmego stopnia z 1 b) pierwiastki zespolone trzeciego stopnia z i 17