OKREŚLENIE OPTYMALNEJ ODLEGŁOŚCI KONTURU ZE ŹRÓDŁAMI OD BRZEGU OBSZARU Z ZASTOSOWANIEM METODY ROZWIĄZAŃ PODSTAWOWYCH

Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L I T E C H N I K I P O Z N AŃSKIEJ Nr Budowa Maszyn Zarządzane Produkcją 005 PIOTR GORZELAŃCZYK, JAN ADAM KOŁODZIEJ OKREŚLENIE OPTYMALNEJ ODLEGŁOŚCI KONTURU ZE ŹRÓDŁAMI OD BRZEGU OBSZARU Z ZASTOSOWANIEM METODY ROZWIĄZAŃ PODSTAWOWYCH W metodze rozwązań podstawowych problem określana położena punktów osoblwych sprowadza sę do wyznaczena kształtu pseudobrzegu, na którym umeszcza sę punkty źródłowe. W perwszym sposobe pseudobrzeg jest okręgem, wewnątrz którego jest rozważany obszar, a w drugm konturem geometryczne podobnym do konturu brzegu rozważanego obszaru. Tematem artykułu są eksperymenty numeryczne mające odpowedzeć na pytane, który pseudobrzeg jest lepszy. Ponadto bada sę, jak pownen być promeń pseudobrzegu, jeśl jest on okręgem, lub jaka pownna być odległość od konturu obszaru pseudobrzegu geometryczne podobnego do nego oraz jak wpływ na wynk eksperymentów ma uwarunkowane układu równań lnowych. Aby odpowedzeć na te pytana, wybrano dwa problemy brzegowe, dla których są znane dokładne rozwązana: problem skręcana pręta o przekroju prostokątnym oraz problem testowy z necągłą funkcją na brzegu. Problemy te rozwązuje sę metodą rozwązań podstawowych, przy czym warunk brzegowe spełna metoda kolokacj z mnmalzacją średnokwadratową. Porównane rozwązań przyblżonych z dokładnym rozwązanem pozwala udzelć odpowedz na postawone pytana. Słowa kluczowe: kolokacja brzegowa, metoda rozwązań podstawowych 1. WPROWADZENIE Metoda rozwązań podstawowych (ang. method of fundamental solutons) należy do grupy metod bezsatkowych jest numeryczną metoda rozwązywana równań różnczkowych elptycznych parabolcznych [, 4 5]. Warunkem stosowana tej metody jest znajomość rozwązana podstawowego równana, które występuje w sformułowanu problemu brzegowego lub brzegowo początkowego. W metodze rozwązań podstawowych przyblżone rozwązane problemu zakłada sę w postac superpozycj rozwązań podstawowych, których punkty osoblwe są rozmeszczone na zewnątrz rozważanego obszaru. Punkty te, nazywane też punktam źródłowym, rozmeszcza sę na pseudobrzegu, wewnątrz którego jest rozważany obszar. Wspomnany pseudobrzeg ne ma punktów wspólnych z rzeczywstym brzegem obszaru. Poneważ rozwązane podstawowe spełna ścśle równane różnczkowe występujące w sformułowanu rozwa-

18 P. Gorzelańczyk, J.A. Kołodzej żanego problemu brzegowego, węc przyjęta postać przyblżonego rozwązana równeż to równane spełna. Z tego powodu metoda rozwązań podstawowych należy do grupy metod Trefftza, których stotą jest dokładne spełnene równana różnczkowego. Współczynnk wagowe występujące w przyblżonym rozwązanu wyznacza sę, spełnając w określony sposób warunk brzegowe występujące w probleme brzegowym. Metoda rozwązań podstawowych po raz perwszy została zaproponowana przez gruzńskch badaczy Kupradze Aleksdze [1 13] opsane w pracach opublkowanych w języku rosyjskm. Jej numeryczną mplementację opsal Mathon Johnston [14], a Bogomolny [1] przedstawł jej matematyczne uzasadnene łączne z badanem zbeżnośc rozwązana. Dzęk tej ostatnej publkacj metoda ta została rozpropagowana wśród specjalstów od metod numerycznych. Po tej publkacj ukazało sę bardzo wele prac, w których zastosowano tę metodę do rozwązywana problemów brzegowych w fzyce technce. Popularność tej metody wynka z prostoty jej numerycznej mplementacj. Szczegóły dotyczące różnych aspektów stosowana tej metody można znaleźć w pracach przeglądowych [, 4 5, 10]. Jednym z podstawowych problemów w metodze rozwązań podstawowych jest sposób określana położena punktów osoblwych (źródłowych). Wększość autorów położene tych punktów przyjmuje arbtralne przez określane ch współrzędnych w danych wejścowych do numerycznego rozwązywana problemu brzegowego. Jeśl jest rozwązywany lnowy problem brzegowy, to w takm podejścu neznane współczynnk wagowe rozwązań podstawowych wyznacza sę, rozwązując układ lnowych równań algebracznych. W nnym warance metody rozwązań podstawowych współrzędne położena punktów osoblwych są traktowane jako newdome wyznacza sę je w trakce numerycznego rozwązywana problemu brzegowego [3, 7 9, 15 18]. Jednak wówczas nawet w przypadku lnowego problemu brzegowego w realzacj numerycznej mamy do czynena z nelnowym układem równań. Z tego powodu prace z takm warantem metody rozwązań podstawowych są nelczne. Rozróżna sę dwa zasadncze sposoby arbtralnego określana punktów osoblwych, przy czym problem w zasadze sprowadza sę do określana kształtu pseudobrzegu, na którym umeszcza sę punkty źródłowe. W perwszym sposobe pseudobrzeg jest okręgem (patrz rys. 1), wewnątrz, którego jest rozważany obszar (np. [1]). W drugm przypadku pseudobrzeg jest konturem geometryczne podobnym do konturu brzegu rozważanego obszaru, jak na rys. (np. [11]). Nezależne od kształtu pseudobrzegu, punkty źródłowe są rozmeszczane na nm na ogół równomerne. Mając określony kształt pseudobrzegu, współrzędne punktów źródłowych przy założenu, że są równomerne rozmeszczone generuje sę według prostej nstrukcj w programe. W ten sposób danym wejścowym są w stoce promeń okręgu lub odległość oraz lczba punktów źródłowych. Powstaje jednak problem, jak pownen być promeń okręgu pseudobrzegu lub

Określene optymalnej odległośc konturu ze źródłam... 19 w jakej odległośc od brzegu obszaru pownen być umeszczony geometryczne do nego podobny kontur pseudobrzegu. Problem ten podjęto w tym artykule. Punkty kolokacj Punkty źródłowe Kontur obszaru Pseudobrzeg Rys. 1. Rozmeszczene punktów źródłowych na konturze podobnym Fg. 1. Arrangement of the sourced ponts on the smlar outlne Punkty kolokacj Punkty źródłowe Kontur obszaru Pseudobrzeg Rys.. Rozmeszczene punktów źródłowych na konturze okrągłym Fg.. Arrangement of the sourced ponts on the round outlne Wykonano eksperymenty numeryczne, które mały odpowedzeć na następujące pytana: 1. Jak pseudobrzeg jest lepszy: okrąg czy geometryczne podobny do brzegu konturu obszaru?. Jak pownen być promeń pseudobrzegu, jeśl jest on okręgem, lub jaka pownna być odległość od konturu obszaru pseudobrzegu geometryczne podobnego do nego?

0 P. Gorzelańczyk, J.A. Kołodzej 3. Jak wpływ mają parametry pseudobrzegu, tj. promeń lub odległość, na uwarunkowane układu równań lnowych? Wybrano dwa problemy brzegowe, dla których są znane dokładne rozwązana. Problemy te rozwązuje sę metodą rozwązań podstawowych, przy czym warunk brzegowe wyznacza sę metodą kolokacj z mnmalzacją średnokwadratową. Porównane rozwązań przyblżonych z dokładnym rozwązanem daje odpowedź na podstawone pytana.. PRZYKŁADY TESTOWE.1. Problem I skręcane pręta o przekroju prostokątnym Przykłady testowe mają dokładne rozwązane. Tutaj skupono sę na dwóch problemach. Skręcane prętów o przekroju okrągłym należy do kanonów wedzy z zakresu wytrzymałośc materałów. Jest to zadane mnej skomplkowane nż skręcane prętów o przekroju neokrągłym. Przekroje poprzeczne prętów neokrągłych podczas skręcana ulegają tzw. deplanacj, co unemożlwa przyjęce hpotezy płaskch przekrojów stosowanej w przypadku prętów kołowych. Podaje sę przy tym nformację o konecznośc wprowadzena współczynnków poprawkowych we wzorach wyprowadzonych dla prętów o przekroju kołowym na sztywność na skręcane oraz na maksymalne naprężena styczne [19] (ewentualne podaje sę te współczynnk dla przekroju prostokątnego). Rozważmy pręt o przekroju prostokątnym o bokach a b. Po oznaczenu przez E = b / a stosunku boków pręta bezwymarowe sformułowane zagadnena brzegowego przyjmuje następującą postać, jeśl ogranczymy sę do perwszej ćwartk ze względu na symetrę [19]: u u + = 0 X Y z warunkam brzegowym: u Y w 0 < X < 1, 0 < Y < E = 0 dla Y = 0, 0 X 1, u = 0 dla X = 0, 0 Y E, X (1) () (3) ( X + Y ) dla X = 1, 0 Y E, 1 u = (4)

Określene optymalnej odległośc konturu ze źródłam... 1 ( X + Y ) dla Y = E, 0 1. 1 u = X (5) Wyżej sformułowany problem brzegowy ma dokładne rozwązane w postac: cosh ( 1) 1 3 ( ) ( ) ( 1), 1 cos ( 1). 3 k k + πx u X Y = + X Y + 3 k + (6) π = 0 ( 1) π k k + E cosh ( k + 1) πy Rys. 3. Rysunek do zagadnena perwszego Fg. 3. Drawng of the frst ssue Rys. 4. Rysunek do zagadnena drugego Fg. 4. Drawng of the second ssue.. Problem II rozwązana dla problemu testowego z necągłą funkcją na brzegu Rozważmy równane różnczkowe (D równane Laplace a): u u + X Y = 0 z warunkam brzegowym: w 0 < X < 1, 0 < Y < 0,5 u = 0 dla Y = 0, 0 X 1, (8) u = 1 dla X = 0, 0 Y 0,5, u = 0 dla X = 1, 0 Y 0,5, (10) u Y = 0 dla Y = 0,5, 0 X 1. (11) (7) (9)

P. Gorzelańczyk, J.A. Kołodzej Wyżej sformułowany problem brzegowy ma dokładne rozwązane w postac: u 1 cosh kπ Y 1 π k= 1 k kπ cosh ( X, Y ) = 1 X sn( kπx ). (1) Tak sformułowany problem brzegowy ma necągłość poszukwanej funkcj na brzegu w punkce o współrzędnych (0,0). 3. ROZWIĄZANIE PRZYKŁADÓW TESTOWYCH METODĄ ROZWIĄZAŃ PODSTAWOWYCH 3.1. Problem I Ten sam problem chcemy jednak rozwązać w sposób przyblżony metodą rozwązań podstawowych. Zgodne z tą metodą, rozwązane przyjmujemy w postac (13). NC ( X, Y ) = c ( X, Y, Xs, Ys ), u ϕ (13) = 1 gdze c są chwlowo neznanym stałym, podczas gdy w tradycyjnym ujęcu tej metody funkcja ϕ ( X, Y, Xs, Ys ) jest rozwązanem podstawowym równana Laplace a z punktem osoblwym umeszczonym na zewnątrz rozważanego obszaru, tzn. ( X Y,, ) = ln[( X ) + ( Y Ys ) ]. ϕ, Xs Ys Xs (14) Równane (13) ma tę własność, że w sposób dokładny spełna równane (1). Spełnene w sposób przyblżony warunków brzegowych pozwala na wyznaczene neznanych stałych c. Mając na uwadze rozwązane wyżej sformułowanego problemu, funkcje ϕ ( X, Y, Xs, Ys ) możemy dobrać w tak sposób, aby warunk brzegowe symetr, tj, warunk () (3), były spełnone w sposób ścsły. Wykonujemy lustrzane odbce funkcj źródłowej umeszczonej w punkce Xs, względem os Y otrzymujemy: o współrzędnych ( ) Ys

ϕoy Określene optymalnej odległośc konturu ze źródłam... 3 + ln[ ( X, Y, Xs, Ys ) = ln[ ( X Xs ) + ( Y Ys ) ( ) ( ) X + + Y ]. Xs Ys ] + (15) Jeśl następne odbjemy lustrzane tak otrzymaną funkcję względem os X, otrzymujemy: ( ) ( ) X, Y,, = ln X + ( Y ) ϕ s Xs Ys Xs + ln Xs Ys ( ) ( ) + ln = X + Xs + Y + Ys ( X + ) + ( Y ) + ln ( X ) + ( Y + ) ( ) ( ) ( ) X + Y X + + ( Y ) Xs Ys = ln Xs + Ys ( X ) + ( Y ) ( X + ) + ( Y + ) Xs Xs Ys + Xs Ys + Ys. Ys (16) Jeśl przyblżone rozwązane założymy w postac: Φ ( X, Y ) = NC c ϕs ( X, Y, Xs, Ys ), (17) = 1 to spełna ono w sposób ścsły równane różnczkowe (1) oraz warunk () (3). Po obranu na tej częśc brzegu rozważanego obszaru, gdze warunek brzegowy ne jest spełnony dokładne, tj. na brzegach X = 1, 0 Y E oraz Y = E, 0 X 1, N punktów kolokacj go spełnenu warunków brzegowych (4) (5) w tych punktach otrzymujemy N lnowych równań algebracznych w postac: 1 ( X,, ) = ( X Y ), NC s j 1, Y j Xs Ys j c ϕ + j j = 1,,3,..., N, (18) = gdze ( X j, Y j ) są współrzędnym punktów kolokacj. Układ równań zawera NC newadomych, których lczba mus być równa lczbe równań lub mnejsza od nej. Jeśl lczba ta jest mnejsza, tak układ nazywamy nadokreślonym rozwązuje sę go metodą najmnejszych kwadratów. Układ (18) zapszemy w sposób macerzowy: gdze: Ac = b, (19) ( X,,, ), j = 1,,.., N, 1,,.., NC, A j = ϕ s j Y j Xs Ys = (0)

4 P. Gorzelańczyk, J.A. Kołodzej 1 b j = ( X j + Y j ). (1) Metodą najmnejszych kwadratów układ równań (19) sprowadzamy do postac: T T A Ac = A b. () W tym układze lczba równań jest równa lczbe newadomych. Po rozwązanu tego układu metodą elmnacj Gaussa otrzymujemy poszukwane współczynnk c. Mając te współczynnk, mamy rozwązane w każdym punkce rozważanego obszaru. 3.. Problem II Ten sam problem chcemy jednak rozwązać w sposób przyblżony metodą rozwązań podstawowych (ang. method of fundamental soluton). Zgodne z tą metodą przyjmujemy rozwązane w postac: NC ( X, Y ) = c ϕ( X, Y, Xs, Ys ), Φ (3) = 1 gdze c są chwlowo neznanym stałym, podczas gdy w tradycyjnym ujęcu tej metody funkcja ϕ ( X, Y, Xs, Ys ) jest rozwązanem podstawowym równana Laplace a z punktem osoblwym umeszczonym na zewnątrz rozważanego obszaru, tzn. ( X, Y, Xs, Ys ) = ln[ ( X Xs ) + ( Y Ys ) ]. ϕ (4) Równane (3) ma tę własność, że w sposób dokładny spełna równane (7). Spełnene w sposób przyblżony warunków brzegowych pozwala na wyznaczene neznanych stałych c. Mając na uwadze rozwązane wyżej sformułowanego problemu, funkcje ϕ ( X, Y, Xs, Ys ) możemy dobrać w tak sposób, aby warunk brzegowe symetr, tj, warunk (8) (9) były spełnone w sposób dokładny. Po wykonanu lustrzanego odbca funkcj źródłowej umeszczonej w Xs, względem os Y otrzymujemy: punkce o współrzędnych ( ) Ys s ( X, Y, Xs, Ys ) = ln[ ( X Xs ) + ( Y Ys ) ] ln[ ( X Xs ) + ( Y + Ys ) ]. ϕ (5) Jeśl przyblżone rozwązane założymy w postac: NC ( X, Y ) = c ϕ ( X, Y, Xs, Ys ), = 1 s Φ (6)

Określene optymalnej odległośc konturu ze źródłam... 5 to spełna ono w sposób dokładny równane różnczkowe (7) oraz warunk (8) (9). Po obranu na tej częśc brzegu rozważanego obszaru, gdze warunek brzegowy ne jest spełnony ścśle, tj. na brzegach, X = 0 0 Y 0, 5 otrzymujemy N lnowych równań algebracznych w postac: NC = 1 dla X = 1, 0 Y 0, 5 dla Y = 0,5, 0 X 1 s ( X, Y, Xs, Ys ) = 1, c ϕ j = 1,,3,..., N, (7) NC = 1 j j s ( X, Y, Xs, Ys ) = 0, c ϕ (8) j NC 4Ys ( X j Xs X j Y j + Xs + Ys ) c j = 1 ( X j Xs X j + Y j + Ys Y j + Xs + Ys ) ( X Xs X + Y Ys Y + Xs + Ys j j j j ) j = 0, (9) gdze ( X j, Y j ) są współrzędnym punktów kolokacj. Układ równań zawera NC newadomych, których lczba mus być równa lczbe równań lub mnejsza od nej. Jeśl lczba ta jest mnejsza, tak układ nazywamy nadokreślonym rozwązuje sę go metoda najmnejszych kwadratów. Układ (6) zapszemy w sposób macerzowy: gdze: A Ac = b, (30) ( X, Y, Xs, Ys ), j = 1,,.., N, 1,,.., NC, = ϕ (31) j s j j = b = 0, b = 1. j Metodą najmnejszych kwadratów układ równań (7) sprowadzamy do postac: T A Ac = A b (3) W tym układze lczba równań jest równa lczbe newadomych. Po rozwązanu tego układu metodą elmnacj Gaussa otrzymujemy poszukwane współczynnk c. Mając te współczynnk, mamy rozwązane w każdym punkce rozważanego obszaru. j T

6 P. Gorzelańczyk, J.A. Kołodzej 4. WYNIKI OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH I WNIOSKI Zastosowana tutaj do rozwązana omawanych zagadneń metoda rozwązań podstawowych zależy od klku parametrów, takch jak: odległość konturu podobnego z punktam źródłowym od brzegu obszaru S, promeń okręgu źródłowego RZ, lczba punktów źródłowych MZ, lczba punktów kolokacj M. Na podstawe tych parametrów wyznaczamy lokalny błąd ERL oraz lczbę uwarunkowana układu UWA. W celu lustracj dokładnośc rozwązana opartego na metodze rozwązań podstawowych w tabelach 1 porównano rozwązana dla konturu źródłowego podobnego oraz konturu źródłowego umeszczonego na okręgu, natomast w tabelach 3 4 porównano wartośc lczby uwarunkowana dla obu konturów. Rozważmy wynk eksperymentów numerycznych dotyczących konturu geometrycznego podobnego oraz konturu geometrycznego na okręgu dla problemu skręcana pręta o przekroju prostokątnym. Parametr E jest to wysokość pręta. W oblczenach przyjęto trzy różne wysokośc. Tabela 1 Wynk eksperymentów numerycznych dla problemu skręcana pręta o przekroju prostokątnym Results of numerc experments for the problem of twstng of a rectangular secton rod Kontur podobny Kontur na okręgu E M MZ S ERL NC RZ ERL 0,5 10 5 0,1750D+01 0,96995D-03 10 0,158D+01 0,17887D-03 0,5 0 10 0,10500D+01 0,19187D-03 0 0,1758D+01 0,3010D-04 0,5 30 15 0,500D+00 0,404D-04 30 0,13558D+01 0,3334D-04 0,5 40 0 0,10000D+00 0,15849D-04 40 0,11058D+01 0,604D-05 0,5 50 5 0,10000D+00 0,15735D-04 50 0,1158D+01 0,1471D-04 0,5 10 5 0,1450D+01 0,84413D-03 10 0,13880D+01 0,1678D-03 0,5 0 10 0,55000D+00 0,977D-04 0 0,1380D+01 0,31375D-04 0,5 30 15 0,3500D+00 0,5988D-04 30 0,1080D+01 0,1319D-04 0,5 40 0 0,500D+00 0,4338D-04 40 0,130D+01 0,80948D-05 0,5 50 5 0,17500D+00 0,686D-04 50 0,11480D+01 0,17584D-04 1 10 5 0,1500D+01 0,35974D-03 10 0,1914D+01 0,6664D-03 1 0 10 0,5500D+00 0,7990D-04 0 0,1734D+01 0,64463D-04 1 30 15 0,30000D+00 0,43383D-04 30 0,1479D+01 0,37770D-03 1 40 0 0,0000D+00 0,5196D-04 40 0,1914D+01 0,16605D-0 1 50 5 0,45000D+00 0,438D-0 50 0,1869D+01 0,809D+00 Z przedstawonych w tabel 1 wynków można wywnoskować, że w wększośc badanych przypadków błąd lokalny promena okręgu źródłowego jest znaczne mnejszy nż błąd odległośc konturu podobnego. Podczas zwększana lczby punktów źródłowych oraz lczby punktów kolokacj zmnejsza sę błąd lokalny. Można także zauważyć, że w wynku zwększana lczby E błąd lokalny

Określene optymalnej odległośc konturu ze źródłam... 7 najperw rośne, a późnej maleje. Optymalną wartość E otrzymuje sę dla E = 0,5. Mnmalne wartośc błędów dla, tej samej wartośc lczby E zostały w tabel pogrubone. Można także zaobserwować, że błąd lokalny jest mnejszy dla małej wartośc (S) (RZ). Podczas zwększana wartośc tych parametrów wartość błędu rośne. -1,5 -,5 log ERL -3,5-4,5 0,03 0,0 0,38 0,55 Rys. 5. Zależność błędu (ERL) od odległośc źródeł (S) E = 0,5 Fg. 5. Dependence of error (ERL) from the dstance of source (S) S -,9-3,3 log ERL -3,7-4,1-4,5 1,04 1,09 1,14 1,19 1,4 Rys. 6. Zależność błędu (ERL) od odległośc źródeł (RZ) E = 0,5 Fg. 6. Dependence of error (ERL) from the dstance of source (RZ) RZ

8 P. Gorzelańczyk, J.A. Kołodzej -1,5 - -,5 log ERL -3-3,5-4 -4,5 0,03 0,0 0,38 0,55 S Rys. 7. Zależność błędu (ERL) od odległośc źródeł (S) E = 0,5 Fg. 7. Dependence of error (ERL) from the dstance of source (S) - -,5 log ERL -3-3,5-4 -4,5 1,1 1,15 1,17 1,0 RZ Rys. 8. Zależność błędu (ERL) od odległośc źródeł (RZ) E = 0,5 Fg 8. Dependence of error (ERL) from the dstance of source (RZ) Rozważmy wynk eksperymentów numerycznych dotyczących konturu geometrycznego podobnego oraz konturu geometrycznego na okręgu dla problemu testowego z necągłą funkcją na brzegu.

Określene optymalnej odległośc konturu ze źródłam... 9 Tabela Wynk eksperymentów numerycznych dla problemu testowego z necągłą funkcją na brzegu Results of numerc experments for the test wth uncontnuous functon on the shore problem Kontur podobny Kontur na okręgu M MZ S ERG NC RZ ERG 10 5 0,16700D+01 0,4095D+00 10 0,50180D+01 0,86148D-01 0 10 0,17100D+01 0,40990D+00 0 0,9680D+01 0,86133D-01 30 15 0,16700D+01 0,4065D+00 30 0,33680D+01 0,85389D-01 40 0 0,13500D+01 0,3899D+00 40 0,0680D+01 0,8304D-01 50 5 0,18700D+01 0,39183D+00 50 0,180D+01 0,84955D-01 Z przedstawonych w tabel wynków można wywnoskować, że w wększośc badanych przypadków błąd lokalny odległośc konturu podobnego jest znaczne mnejszy nż błąd promena okręgu źródłowego. Podczas zwększana lczby punktów źródłowych oraz lczby punktów kolokacj można zaobserwować zmnejszene wartośc błędu lokalnego. Można także zauważyć, że błąd lokalny jest mnejszy dla małej wartośc (S) oraz (RZ). Podczas zwększana wartośc tych parametrów wartość błędu rośne. Tabela 3 Wynk eksperymentów numerycznych dla problemu skręcana pręta o przekroju prostokątnym Results of numerc experments for the problem of twstng of a rectangular secton rod S UWA RZ UWA 0,5000D-01 0,64905D+03 0,1130D+01 0,97701D+0 0,17500D+00 0,33767D+03 0,11530D+01 0,94997D+0 0,3500D+00 0,1461D+03 0,11830D+01 0,9881D+0 0,47500D+00 0,765D+03 0,1130D+01 0,111D+03 0,6500D+00 0,46674D+03 0,1430D+01 0,14337D+03 0,77500D+00 0,67031D+03 0,1730D+01 0,1770D+03 0,9500D+00 0,8839D+03 0,13030D+01 0,1357D+03 0,10750D+01 0,11045D+04 0,13330D+01 0,539D+03 0,150D+01 0,1396D+04 0,13630D+01 0,9361D+03 0,13750D+01 0,15575D+04 0,13930D+01 0,3371D+03 0,1550D+01 0,17867D+04 0,1430D+01 0,3885D+03 0,16750D+01 0,0164D+04 0,14530D+01 0,43069D+03 0,1850D+01 0,457D+04 0,14830D+01 0,48055D+03 0,19750D+01 0,4740D+04 0,15130D+01 0,5333D+03 0,150D+01 0,7011D+04 0,15430D+01 0,58594D+03 0,750D+01 0,964D+04 0,15730D+01 0,6419D+03 0,450D+01 0,31499D+04 0,16030D+01 0,6988D+03 0,5000D+01 0,3689D+04 0,16180D+01 0,7736D+03 Rozważmy wynk eksperymentów numerycznych dotyczących konturu geometrycznego podobnego oraz konturu geometrycznego na okręgu dla pro-

30 P. Gorzelańczyk, J.A. Kołodzej blemu skręcana pręta o przekroju prostokątnym. W oblczenach przyjęto następujące wartośc parametrów oblczone metodą rozwązań podstawowych: M = 10, MZ = 5, NC = 10. Z przedstawonych w tabel 3 wynków można wywnoskować, że układ jest lepej uwarunkowany dla promena okręgu źródłowego nż dla konturu geometrycznego podobnego. Dla tych samych warunków początkowych różnca mędzy lczbą uwarunkowana obu przypadków sęga średno 10 10. Można także zauważyć, że podczas zwększana odległośc konturu podobnego z punktam źródłowym od brzegu obszaru (S) odległośc pomędzy konturem źródłowym okrągłym a konturem kolokacj (RZ) lczba uwarunkowana rośne proporcjonalne. Rozważmy wynk eksperymentów numerycznych dotyczących konturu geometrycznego podobnego oraz konturu geometrycznego na okręgu dla problemu testowego z necągłą funkcją na brzegu. W oblczenach przyjęto następujące wartośc parametrów oblczone metodą rozwązań podstawowych: M = 10, MZ = 5, NC = 10. Tabela 4 Wynk eksperymentów numerycznych dla problemu testowego necągłą funkcją na brzegu Results of numerc experments for the test wth uncontnuous functon on the shore problem S UWA RZ UWA 0,5000D+00 0,4584D+0 0,1130D+01 0,11808D+04 0,50000D+00 0,54155D+03 0,1180D+01 0,11115D+04 0,75000D+00 0,1054D+05 0,11330D+01 0,1046D+04 0,10000D+01 0,13887D+06 0,11380D+01 0,97541D+03 0,1500D+01 0,1373D+07 0,11430D+01 0,9178D+03 0,15000D+01 0,94093D+07 0,11480D+01 0,8766D+03 0,17500D+01 0,5379D+08 0,11530D+01 0,83414D+03 0,0000D+01 0,398D+09 0,11580D+01 0,79739D+03 0,500D+01 0,93634D+09 0,11630D+01 0,7650D+03 0,5000D+01 0,3060D+10 0,11680D+01 0,7948D+03 0,7500D+01 0,98375D+10 0,11730D+01 0,6983D+03 0,30000D+01 0,7517D+11 0,11780D+01 0,66898D+03 0,3500D+01 0,71113D+11 0,11830D+01 0,64137D+03 0,35000D+01 0,17166D+1 0,11880D+01 0,61788D+03 0,37500D+01 0,39045D+1 0,11930D+01 0,59985D+03 Z przedstawonych w tabel 4 wynków można wywnoskować, że dla bardzo małej wartośc (S) układ jest lepej uwarunkowany dla konturu geometrycznego podobnego nż dla konturu geometrycznego okrągłego. Dla wększych wartośc (S) wartość lczby uwarunkowana jest zblżona dla obu konturów. Można także zauważyć, że podczas zwększana odległośc konturu podobnego z

Określene optymalnej odległośc konturu ze źródłam... 31 punktam źródłowym od brzegu obszaru (S) wartość lczby uwarunkowana najperw rośne, a późnej sę stablzuje, natomast podczas zwększana promena okręgu źródłowego (RZ) lczba uwarunkowana jest stablna. LITERATURA [1] Bogomolny A., Fundamental soluton method for ellptc boundary value problems, SIAM J. Numer. Anal., 1985, vol., s. 644 669. [] Cho H.A., Golberg M.A., Muleshkov A.S., L X., Trefftz methods for tme dependent partal dfferental equatons, Comput. Math. Cont., 004, vol. 1, s. 1 37. [3] Cslno A.P., Applcaton of a smulated annealng algorthm n the optmal placement of source ponts n the method of the fundamental solutons, Comput, Mechancs, 00, vol. 8, s. 19 136. [4] Farweather G., Karageorghs A., The metod of fundamental solutons for ellptc boundary value problems, Adv. Comput. Math., 1998, vol. 9, s. 69 95. [5] Farweather G., Karageorghs A., Martn P.A., The method of fundamental solutons for scatterng and radaton problems, Engng. Analyss wth Boundary Elements, 003, vol. 7, s. 759 769. [6] Golberg M. A. Chen C. S., A mesh-free method for solvng nonlnear reacton-dffuson equatons, Computer Mothelng n Engneerng & Scences, 001, vol., s. 87 9. [7] Karageorghs A., Farweather G., The almans of fundamental solutons for solvng bharmonc problems, Internat. J. Numer. Methods Engrg., 1988, vol. 6, s. 1668 168. [8] Karageorghs A., Farweather G., The method of fundamental solutons for numercal soluton of the bharmonc equaton, J. Comput. Phys., 1987, vol. 69, s. 434 459. [9] Karageorghs A., Farweather G., The smple layer potental method of fundamental solutons for certan bharmonc equaton, Internat. J. Numer. Methods Fluds, 1989, vol. 9, s. 11 134. [10] Kołodzej J. A., Zastosowane metody kolokacj brzegowej w zagadnenach mechank, Poznań, Wyd. Poltechnk Poznańskej 001. [11] Kołodzej J. A., Kleber M., Boundary collocaton method vs FEM for some harmonc -D problems, Computer & Structures, 1989, vol. 33, s. 155 168. [1] Kupradze V.D., Aleksdze M.A., Approxmate method of solvng certan boundary-value problems (n Rusan), Soobsc. Akad. Nauk Gruzn. SSR, 1963, vol. 30, s. 59 536. [13] Kupradze V.D., Aleksdze M.A., The method of functonal equatons for the approxmate soluton of certan boundary-value problems (n Rusan), Z. Vycsl. Mat. Mat. Fz., 1964, vol. 4, s. 683 715. [14] Mathon R., Johnston R. L., The approxmate soluton of ellptc boundary-value problems by fundamental solutons, SIAM J. Numer. Anal., 1977, vol. 14, s. 638 650. [15] Mtc P., Rashed Y. F., Convergence and stablty of the method of meshless fundamental solutons usng an array of randomly dstrbuted sources, Engng. Analyss wth Boundary Elements, 004, vol. 8, s. 143 153. [16] Nshmura R., Nshmor K, Ishhara N., Determnng the arrangement of fctous charges n charge smulaton method usng genetc algorthms, J. Electrostatcs, 000, vol. 49, s. 95 105. [17] Nshmura R., Nshmor K, Ishhara N., Automatc arrangement of fcttous charges and contour ponts n charge smulaton method for polar coordnate system, J. Electrostatcs, 001, vol. 51 5, s. 618 64. [18] Nshmura R., Nshhara M., Nshmor K, Ishhara N., Automatc arrangement of fcttous charges and contour ponts n charge smulaton method for two sphercal electrodes, J. Electrostatcs, 003, vol. 57, s. 337 346. [19] Nowack W., Teora sprężystośc, Warszawa, PWN 1970.

3 P. Gorzelańczyk, J.A. Kołodzej Recenzent: prof. dr hab. nż. Krzysztof Magnuck DETERMINATION THE OPTIMAL BETWEEN THE OUTLINE WITH SOURCES AND SHORE OF AREA WITH USING THE BASIC SOLUTION METHOD S u m m a r y In method of fundamental soluton the problem of determnaton of poston of sngulartes leads to defnton of shape pseudo-shore, we place sources on whch. The pseudo-shore s a crcle n the frst method, area s consdered of whch. The pseudo-shore s an outlne geometrcally smlar to an outlne of the coast of consdered area n the second method. The purpose of ths elaboraton s the numerc experments, whch have to answer the questons whch pseudo-shore s better and what dstance wth or what radus from outlne of area wth and what nfluence on a system of lnear equatons. Two problem whch are know n strct solutons for have been chosen to answer these questons. We nclude to these problems: the problem of a rectangular secton rod and test problem wth uncontnuous functon on the shore. These problems are solved wth a method of fundamental solutons, but the shore condtons are satsfed by the collocaton method wth mddle quadratc mnmzaton. The comparson of approxmate solutons to the strct soluton allow to answer the questons. Key words: boundary collocaton, method of fundamental solutons Prof. dr hab. nż. Jan Adam Kołodzej Instytut Mechank Stosowanej, Poltechnk Poznańskej ul. Potrowo 3, 60-965 Poznań tel. (061) 665 3 1, e-mal: jan.kolodzej@put.poznan.pl Mgr nż. Potr Gorzelańczyk Instytut Poltechnczny, Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Ple ul. Podchorążych 10, 64-90 Pła e-mal: pgorzelanczyk@pwsz.pla.pl