PORÓWNANIE DWÓCH NIEOSOBLIWYCH METOD TREFFTZA NA PRZYKŁADZIE DWUWYMIAROWEGO ZAGADNIENIA LAPLACE A, CZ. 2

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "PORÓWNANIE DWÓCH NIEOSOBLIWYCH METOD TREFFTZA NA PRZYKŁADZIE DWUWYMIAROWEGO ZAGADNIENIA LAPLACE A, CZ. 2"

Nina Iwona Piątkowska
8 lat temu
Przeglądów:

1 Eksploatacja testy Dorota BORKOWSKA PORÓWNANIE DWÓCH NIEOSOBLIWYCH METOD TREFFTZA NA PRZYKŁADZIE DWUWYMIAROWEGO ZAGADNIENIA LAPLACE A CZ. 2 Celem pracy jest porównane dwóch wersj metody Trefftza zastosowanych do dwwymarowego zagadnena potencjał opsanego równanem Laplace a. Posłgjąc sę metodą resdów ważonych która możlwa przejśce od zagadnena sformłowanego klasyczne do zagadneń sformłowanych waracyjne otrzymje sę kolejno slne słabe odwrotne sformłowane waracyjne. W pracy porównano sformłowana slne odwrotne. Przewdjąc rozwązane w postac sperpozycj fnkcj Trefftza spełnających równane różnczkowe oraz przyjmjąc jako wag neosoblwe fnkcje Kpradze otrzymje sę równana bazowe metod oznaczonych symbolam OS;TK IS;TK. Część perwsza artykł zawera analzę teoretyczną metod oraz ch porównane. W drgej częśc pracy na przykładze dwóch zagadneń brzegowych zameszczono testy nmeryczne obydw metod. Implementację metod wykonano w środowsk Matlab. Jako przykłady wybrano dwwymarowe zagadnena brzegowe opsane równanem Laplace a (proste zagadnene Laplace a problem Motza). Przeprowadzone eksperymenty nmeryczne możlwły loścowe oszacowan dokładnośc metod oraz podały jakoścową marę błędów. WSTĘP W częśc perwszej artykł zameszczono teoretyczne rozważana dotyczące dwóch neosoblwych metod Trefftza oznaczonych symbolam: OS;TK oraz IS;TK. Metody te wywodzą sę odpowedno z slnego oraz odwrotnego sformłowana waracyjnego [1]. Fnkcje bazowe w metodach są take same wybrane ze zbor fnkcj Trefftza [3]. W przypadk fnkcj wagowych zastosowano równeż te same fnkcje dla obydw metod. Są nm fnkcje Kpradze. Rozpatrywane metody szczegółowo omówono w częśc perwszej na przykładze wewnętrznego zagadnena brzegowego Laplace a. T-fnkcje są fnkcjam neosoblwym dzęk czem proces oblczana całek brzegowych praszcza sę. Ne ma ttaj konecznośc stosowana procedr swana osoblwośc z całek co łatwa samą mplementacje metody. Podobne jest w przypadk K-fnkcj. Osoblwość rozwązana podstawowego snęta została poprzez przesnęce pnktów źródłowych poza obszar zagadnena. Nnejsze opracowane stanow kontynację częśc perwszej artykł. Celem artykł jest loścowe porównane obydw metod na przykładze dwóch zagadneń brzegowych. Do testów nmerycznych wybrano zagadnena potencjał posadające rozwązane ścsłe (x) w cel łatwego zweryfkowana dokładnośc rozwązana przyblżonego ( x ). 1. SFORMUŁOWANIE TESTOWEGO ZAGADNIENIA BRZEGOWEGO W rozdzale tym rozważa sę dwa zagadnena brzegowe opsane równanem Laplace a. Zagadnena te różną sę geometrą warnkam brzegowym. W ob przypadkach lczba baz oraz wag jest równa wynos n m 40. Pnkty wag zostały przesnęte na fkcyjny brzeg o różne odległośc których wartośc zameszczono w tabel 1. W obydw przykładach nmerycznych założono że pnkt rozwnęca Trefftza znajdje sę w tym samym mejsc x (00.5). q Błędy analzowanych metod wyznaczono za pomocą perwastka błęd średnokwadratowego E RMS ([R]oot [M]ean [S]qare [E]rror) który mów o loścowym oszacowan dokładnośc metod. 2 E ( ) n 1 (1) gdze: n RMS rozwązane przyblżone rozwązane ścsłe lość pnktów pola Jakoścową marę błęd defnje sę jako różncę pomędzy rozwązanem ścsłym a przyblżonym E ~ (2) L Zarówno mplementację metod jak oblczena nmeryczne zrealzowano w środowsk MATLAB 2012a Proste zagadnene Laplace a Nech będze dane zagadnene brzegowe opsane równanem jednorodnym Laplace a (3) ( r) 0 zdefnowane w obszarze ogranczonym prostokątem x (04) oraz y (02) z warnkam brzegowym Drchleta Nemanna (Rysnek 1). Rozwązane ścsłe dla tego zagadnena (Rysnek 2) dane jest wzorem 5x (4) 838 AUTOBUSY 12/2016

2 Eksploatacja testy y ˆ =0 v (42) ˆ =0 ˆ = 100 (00) ˆ =0 v x Rys. 1. Geometra zagadnena opsanego w rozdzale 1.1 Rys.4. OS;TK / IS;TK: Rys. 2. Rozwązane ścsłe zagadnena opsanego równanem (4) Wynk oblczeń nmerycznych dla przedstawono na Rysnk 3 natomast na Rysnkach 4 5 zaznaczono wartośc błęd. Rys.5. OS;TK / IS;TK: od wartośc błęd 2 pokolorowane w zależnośc Rys. 3. Rozwązane dla OS;TK / IS;TK 1.2. Problem Motza Nech będze dane zagadnene brzegowe opsane równanem (3) jednorodnym Laplace a zdefnowane w obszarze ogranczonym prostokątem x (11 ) oraz y (01) z warnkam brzegowym Drchleta Nemanna ˆ 0 x( 10) y 0 ˆ 100 x 1 y (01) vˆ 0 na pozostałym brzeg. D n Zagadnene przedstawono grafczne na Rysnk 6. Powyższe zagadnene określane jest w lteratrze jako problem Motza a jego rozwązane ścsłe podane w [4] jest postac ( r ) c r n cos( 1 2) (5) (6) gdze: c współczynnk rozwnęca w szereg ( r ) współrzędne begnowe z begnem w pnkce ( 00) 12/2016 AUTOBUSY 839

3 Eksploatacja testy Rys. 6. Geometra problem Motz a Rozwązane (6) spełna równane Laplace a oraz warnk brzegowe dla w sposób natralny. Współczynnk c x(11) y 0 są wyznaczane poprzez spełnene pozostałych warnków brzegowych [6] [5]. W zagadnen Motza pojawa sę problem osoblwośc fzycznej która występje w pnkce. (00) Rys. 9. Rozwązane dla OS;TK / IS;TK Rys.10. OS;TK / IS;TK: Rys. 7. Rozwązane ścsłe problem Motza Rysnek 8 przedstawa podzał brzeg na elementy brzegowe. Końce elementów zaznaczono nebeską gwazdką natomast czerwonym kolorem oznaczono pnkty wag które odswane są poza obszar. Wynk oblczeń nmerycznych dla Ω pokazją Rysnk Poneważ obe metody dają dentyczne wynk to przedstawono je na jednym rysnk. Rys.11. OS;TK / IS;TK: pokolorowane w zależnośc od wartośc błęd E L Rys. 8. Rozkład pnktów fnkcj bazowych podzał na elementy węzły W tabel 1 zameszczono wartośc lczbowe błędów E RMS otrzymanych dla każdego z rozpatrywanych przykładów w zależnośc od różnych wartośc. 840 AUTOBUSY 12/2016

Eksploatacja testy Tab. 1 Welkośc błęd E RMS O-S;T-K I-S;T-K Przykład 1 Przykład 2 0.5 2.8699e-14 0.9482 0.7 2.8699e-14 0.8226 0.9 2.8699e-14 1.6226 1 2.8699e-14 2.2246 2.8699e-14 0.9482 Na dokładność ob metod wpływa m.

Dla przykład przeprowadzono testy dla zagadnene Motza przy zmnejszonej lczbe tych fnkcj do 25 (Rysnek 12). Wynk testów dla powyższych staweń zobrazowano na Rysnkach 13-15.

OS;TK / IS;TK: wartośc błęd PODSUMOWANIE pokolorowane w zależnośc od W artykle porównano loścowo dwe metody szeregów należących do grpy metod Trefftz a.

4 Eksploatacja testy Tab. 1 Welkośc błęd E RMS O-S;T-K I-S;T-K Przykład 1 Przykład e e e e e Na dokładność ob metod wpływa m. n. odległość na jaką odswa sę pnkty wag poza brzeg rzeczywsty oraz lczba fnkcj bazowych oraz wagowych. Błędy rozwązana przy mnejszej lczbe fnkcj bazowych wagowych są wększe. Dla przykład przeprowadzono testy dla zagadnene Motza przy zmnejszonej lczbe tych fnkcj do 25 (Rysnek 12). Wynk testów dla powyższych staweń zobrazowano na Rysnkach Wówczas dla wartość błęd E RMS wynos Rys.14. OS;TK / IS;TK: Rys. 12. Rozkład pnktów fnkcj bazowych podzał na elementy węzły Rys. 13. Rozwązane dla OS;TK / IS;TK Rys.15. OS;TK / IS;TK: wartośc błęd PODSUMOWANIE pokolorowane w zależnośc od W artykle porównano loścowo dwe metody szeregów należących do grpy metod Trefftz a. Perwsza z nch wywodz sę ze sformłowana waracyjnego slnego natomast drga ze sformłowana odwrotnego. Analzowane metody zawerające neosoblwe T-fnkcje jako bazy oraz K-fnkcje jako wag są równeż metodam neosoblwym co łatwa proces ch mplementacj. Na potrzeby nnejszej pracy stworzono kody program w środowsk Matlab możlwające przetestowane obydw neosoblwych metod Trefftza: OS;TK IS;TK. Oblczena nmeryczne oparte zostały o take same założena początkowe wyszczególnone w drgej częśc artykł. Wynk analz na przykładze dwóch wewnętrznych zagadneń brzegowych opsanych równanem Laplace a potwerdzają równoważność omówonych metod [2]. Program MATLAB wykorzystany do przeprowadzena badań został zakpony w wynk realzacj Projekt nr UDA-RPPK /10-00 Bdowa rozbdowa modernzacja bazy nakowo-badawczej Poltechnk Rzeszowskej współfnansowanego ze środków Un Eropejskej w ramach Regonalnego Program Operacyjnego Województwa Podkarpackego na lata Prorytet I. Konkrencyjna Innowacyjna Gospodarka Dzałane 1.3 Regonalny system nnowacj. 12/2016 AUTOBUSY 841

5 Eksploatacja testy BIBLIOGRAFIA 1. Brańsk A. Metody nmeryczne rozwązywana zagadneń brzegowych. Klasyfkacja przegląd Ofcyna wydawncza Poltechnk Rzeszowskej Rzeszów Brańsk A. Borkowska D. Effectveness of nonsnglar soltons of the bondary problems based on Trefftz methods Eng Anal Bond Elem 2015 nr Herrera I. Trefftz method: a general theory Nmer Methods Partal Dfferental Eqatons 2000 nr L ZC L TT Hang HT Cheng AHD. Trefftz collocaton and other bondary methods - a comparson Nmer Methods Partal Dfferental Eqatons 2007 nr T.T. L H.Y. H Z.C. L Hghly accrate soltons of Motz s and the cracked beam problems Engneerng Analyss wth Bondary Elements 2004 nr Comparson of two nonsnglar Trefftz method on the example of two-dmensonal Laplace s problem part 2 The am of ths paper s the comparson of two versons of Trefftz method to the analyss of the bondary vale problems of the two-dmensonal Laplace s eqaton. Usng the weghted resdal method whch allows the transformaton of the classcal formlaton nto varatonal ones one obtans an orgnal weak and nverse varatonal formlaton of the bondary problem. The solton of the problem s assmed as the sperposton of reglar Trefftz fnctons whch satsfy the dfferental eqaton. Takng Kpradze fnctons (K-fnctons) as the weghtng fnctons (weghts) one obtans eqatons of the OS;TK and IS;TK methods. The frst part of the paper contans the theoretcal analyss of the methods and ther comparson. Part 2 contans nmercal tests of OS;TK and IS;TK methods mplemented n Matlab envronment. As the examples two-dmensonal bondary vale problems governed by Laplace eqaton are chosen (smple problem Motz problem). Nmercal experments allow for qanttatve estmate of the accracy of both methods and gve a qaltatve measre of errors. Atorzy: mgr nż. Dorota Borkowska Poltechnka Rzeszowska Wydzał Zarządzana Zakład Informatyk w Zarządzan E-mal: db@prz.ed.pl 842 AUTOBUSY 12/2016

Podobne dokumenty

METODA STRZAŁÓW W ZASTOSOWANIU DO ZAGADNIENIA BRZEGOWEGO Z NADMIAROWĄ LICZBĄ WARUNKÓW BRZEGOWYCH

RAFAŁ PALEJ, RENATA FILIPOWSKA METODA STRZAŁÓW W ZASTOSOWANIU DO ZAGADNIENIA BRZEGOWEGO Z NADMIAROWĄ LICZBĄ WARUNKÓW BRZEGOWYCH APPLICATION OF THE SHOOTING METHOD TO A BOUNDARY VALUE PROBLEM WITH AN EXCESSIVE