5. WNIOSKI KOŃCOWE W pracy wyprowadzono dokładne funkcje kształtu dla belkowego elementu skończonego o dużej krzywiźnie. Mają one postać funkcji trygonometrycznych. Na ich podstawie, w pierwszej części pracy, wyznaczono dokładną macierz sztywności elementu skończonego, która cechuje się prostą budową. Podano również wzory na składowe konsystentnych macierzy mas i geometrycznej. Przedstawiona analiza dotyczy przypadku ogólnego, w którym uwzględniono wpływy sił poprzecznych i normalnych na przemieszczenia. Taki model elementu skończonego posłużył jako odniesienie do wielu analiz płaskich konstrukcji zakrzywionych. Jako osiągnięcie należy wymienić wyprowadzenie równania różniczkowego osi odkształconej łuku o dużej krzywiźnie. Zastosowano tutaj oryginalną metodę polegającą na określeniu równań równowagi dla regularnego układu dyskretnego w postaci równań różnicowych, których rozwiązanie dla problemu statyki daje wyniki dokładne, pokrywające się z analitycznymi w przypadku zastosowania podziału konstrukcji na elementy trygonometryczne. Następnie, w przejściu granicznym do układu ciągłego (długość elementu dąży do zera) wyznaczono równania różniczkowe opisujące funkcje uogólnionych przemieszczeń łuków. W drugiej części rozprawy opracowano efektywny element krzywoliniowy. W celu wyprowadzenia macierzy sztywności wielomianowego elementu skończonego o dużej krzywiźnie dokonano następujących zabiegów matematycznych: funkcje trygonometryczne występujące w macierzy sztywności i funkcjach kształtu trygonometrycznego elementu wyjściowego zastąpiono ich rozwinięciami w szeregi potęgowe parametru, którym jest kąt rozwarcia elementu. Po odrzuceniu wyższych potęg w wielomianach otrzymano przybliżone funkcje kształtu, bardzo bliskie dokładnym. Na ich podstawie znaleziono macierz sztywności, cechującą się bardzo prostą budową. Jej zaletą jest to, że udało się w sposób jawny wyodrębnić w niej składniki odpowiedzialne za zginanie, ścinanie i wpływ sił osiowych. Wyznaczono również macierz mas i geometryczną elementu wielomianowego. Efektywność elementu potwierdziły liczne obliczenia numeryczne. Pozwalają one na sformułowanie wniosków ogólnych. 1. Wyniki obliczeń dla statyki, dynamiki i stateczności wykazują bardzo szybką zbieżność do rozwiązań dokładnych, wyznaczonych przy użyciu elementu trygonometrycznego. Dotyczy to wszystkich rozpatrywanych przypadków proporcji h/r. Otrzymany element skończony jest więc bardzo skutecznym narzędziem do analizy konstrukcji zakrzywionych. 2. Opracowany element wielomianowy nie wykazuje nie pożądanych efektów blokady sztywnościowej (shear locking) i membranowej (membrane locking). Dla porównania, dla elementu liniowego całkowanego analitycznie zmniejszenie proporcji h/r ma fatalny wpływ na wyniki. Jest to wyraźny przykład zjawiska blokady. Obliczenia z uwzględnieniem całkowania zredukowanego wskazują, że jest to blokada ścinania połączona z blokadą membranową, gdyż dopiero zastosowanie tego zabiegu do obu składników ### ścinania i ściśliwości daje poprawę wyników. Element wielomianowy daje wyniki szybciej zbieżne do rozwiązań ścisłych niż element liniowy z całkowaniem zredukowanym, który jest powszechnie uznawany za najlepszy. - 99 -
3. Wyniki dotyczące przypadków łuków o małej grubości, bardzo często przedstawiane w literaturze, wskazują na bardzo wysoką efektywność elementu wielomianowego. Otrzymana doskonała zbieżność wyników numerycznych do rozwiązań dokładnych jest również potwierdzeniem faktu, że opracowany element nie wykazuje pasożytniczych zjawisk numerycznych blokady ścinania i membranowej. Przeprowadzone analizy numeryczne wykorzystujące element trygonometryczny i wielomianowy pozwalają na podanie wniosków szczegółowych. 1. Pominięcie wpływu ścinania na przemieszczenia jest dopuszczalne dla wartości h/ R< 015,, błędy nie przekraczają 10%. 2. Z uwagi na sprzężenie wpływu sił osiowych z wpływem silnego zakrzywienia (parametr e) nawet dla bardzo małych wartości proporcji h/r nie można przyjmować e =0. 3. Uwzględnienie wpływu dużej krzywizny zwiększa sztywność konstrukcji łukowej, przemieszczenia układu są mniejsze, pierwsza częstość drgań własnych - większa. 4. Jako orientacyjną graniczną wartość proporcji h/r, poniżej której można pomijać wpływ silnego zakrzywienia pręta można przyjąć 0,5, co oznacza, że wpływ dużej krzywizny staje się znaczący dla przemieszczeń łuku w zakresie, w którym założenia teorii prętowej wydają się nie uzasadnione. Można jednak wykazać [51], że nawet dla wartości h/r = 1 błąd w obliczeniu naprężeń normalnych, obwodowych w przekroju według teorii prętów silnie zakrzywionych w odniesieniu do ścisłego rozwiązania teorii sprężystości nie przekracza kilku procent. Obliczane przemieszczenia i częstości kołowe drgań własnych są bardzo dobrym przybliżeniem wartości wynikających z dokładniejszej teorii opartej na płaskim stanie naprężenia, gdzie uwzględnia się także naprężenia normalne w kierunku promieniowym. Wniosek ten dotyczy również przypadków charakteryzujących się stosunkowo dużą wartością h/r, dla której istotny jest już wpływ silnego zakrzywienia. 5. W zakresie wartości h/r odpowiadającej łukom stosowanym w praktyce inżynierskiej pominięcie wpływu silnego zakrzywienia ma znikomy wpływ na obliczane wartości częstości drgań własnych. 6. Wpływ bezwładności obrotowej jest pomijalny przy obliczaniu wartości częstości drgań własnych. Jest on zauważalny tylko dla bardzo dużych proporcji h/r. Bezwładność obwodowa jest istotnym czynnikiem wpływającym na wartości częstości, a także na postacie drgań własnych. 7. Element skończony z konsystentnym sformułowaniem masy wykazuje bardzo szybką zbieżność wyników (od góry) we wszystkich rozpatrywanych przypadkach. Element z masą skupioną w węzłach daje wyniki zbieżne do tych samych wartości co sformułowanie konsystentne, zbieżność od dołu. 8. Porównanie otrzymanych rezultatów z dostępnymi wynikami analitycznymi pozwala stwierdzić, że opracowany element daje poprawne wartości obciążeń krytycznych łuków kołowych. 9. Wpływ silnego zakrzywienia na wartość krytycznego mnożnika obciążenia jest już zauważalny dla h/ R = 0, 1 (1% różnicy), choć jego praktyczne znaczenie uwidacznia się dopiero dla większych wartości proporcji h/r. - 100 -
6. BIBLIOGRAFIA [1] Ashwell D. G., Sabir A. B., Limitations of certain curved finite elements when applied to arches, International Journal of Mechanical Science, 13, ss. 133-139, 1971. [2] Ahmad S., Irons B. M., Zienkiewicz O. C., Analysis of thick and thin shell structures by curved finite elements, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2, ss. 419-451, 1970. [3] Babu C. R., Prathap G., A linear thick curved beam element, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 23, ss. 1313-1328, 1986. [4] Betten J., Finite Elemente fuer Ingenieure, vol. 1, Springer-Verlag, Berlin ### Heidelberg, 1997. [5] Choi J.-K., Lim J.-K., General curved beam elements based on the assumed strain fields, Computers and Structures, 55, ss. 379-386, 1995. [6] Davi G., Milazzo A., A symmetric and positive definite variational BEM for 2-D free vibration analysis, Engineering Analysis with Boundary Elements, 14, ss. 343-348, 1994 [7] Dawe D. J., Curved finite elements for the analysis of shallow and deep arches, Computers and Structures, 4, ss. 559-580, 1974. [8] Dvorkin E., Onate E., Oliver J., On non-linear formulation for curved Timoshenko beam elements considering large displacement/rotation increments, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 26, ss. 1597-1613, 1988. [9] Gawęcki A., Podstawy mechaniki konstrukcji prętowych, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań, 1985. [10] Guimaraes J. E. F., Heppler G. R., On trigonometric basis functions for C 1 curved beam elements, Computers and Structures, 45, ss. 405-413, 1992. [11] Huber M. T., Stereomechanika techniczna, Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, Warszawa, 1951. [12] Ibrahimbegovic A., Frey F., Finite element analysis of linear and non-linear planar deformations of elastic initially curved beams, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 36, ss. 3239-3258, 1993. [13] Jakubowicz A., Orłoś Z., Wytrzymałość materiałów, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1972. [14] Kikuchi F., Accuracy of some finite element models for arch problems, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 35, ss. 315-345, 1982. [15] Kikuchi F., Tanizawa K., Accuracy and locking-free property of the beam element approximation for arch problems, Computers and Structures, 19, ss. 103-110, 1984. [16] Kleiber M., Wprowadzenie do metody elementów skończonych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa ### Poznań, 1989. [17] Koziey B. L., Mirza F. A., Consistent beam element, Computers and Structures, 51, ss. 643-654, 1994. [18] Lee S.-S., Koo J.-S., Choi J.-M., Development of a new curved beam element with shear effect, Engineering Computations, 13, ss. 9-25, 1996. - 101 -
[19] Lee P.-G., Sin H.-C., Locking-free curved beam element based on curvature, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 37, ss. 989-1007, 1994. [20] Litewka P., Rakowski J., The exact thick arch element with large curvature, Proceedings of XXXIst Polish Solid Mechanics Conference, IX 1996, Mierki k. Olsztynka, s. 162. [21] Litewka P., Rakowski J., A Curved Beam Finite Element for Dynamic and Stability Problems, Proceedings of XIII Polish Conference on Computer Methods in Engineering, Poznań, 5-8 May, 1997, 2, ss. 765-772. [22] Litewka P., Rakowski J., An efficient curved beam finite element, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 40, ss. 2629-2652, 1997. [23] Litewka P., Rakowski J., An efficient curved element for dynamic and stability problems, Zeitschrift f###r Angewandte Mathematik und Mechanik, 77 S1, ss. 191-192, 1997. [24] Litewka P., Rakowski J., The exact thick arch finite element, Computers and Structures, 1998 (w druku). [25] Łodygowski T., Kąkol W., Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki konstrukcji inżynierskich, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań, 1991. [26] Marquis J. P., Wang T. M., Stiffness matrix of parabolic beam element, Computers and Structures, 31, ss. 863-870, 1989. [27] Noor A. K., Peters J. M., Mixed models and reduced/selective integration displacement models for nonlinear analysis of curved beams, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 17, ss. 615-632, 1981. [28] Pandian N., Appa Rao T. V. S. R., Chandra S., Studies on performance of curved beam finite elements for analysis of thin arches, Computers and Structures, 31, ss. 997-1002, 1989. [29] Pantazopoulou S. J., Low-order interpolation functions for curved beams, Journal of Engineering Mechanics (Proceedings of ASCE), 118, ss. 329-350, 1992. [30] Prathap G., Babu C. R., An isoparametric quadratic thick curved beam element, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 23, ss. 1583-1600, 1986. [31] Prathap G., Bhashyam G. R., Reduced integration and the shear-flexible beam element, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 18, ss. 195-210, 1982. [32] Rakowski G., praca zbiorowa, Mechanika budowli. Ujęcie komputerowe, tom 1, Arkady, Warszawa, 1991. [33] Rakowski G., praca zbiorowa, Mechanika budowli. Ujęcie komputerowe, tom 2, Arkady, Warszawa, 1992. [34] Rakowski G., Solecki R., Pręty zakrzywione. Obliczenia statyczne, Arkady, Warszawa, 1966. [35] Rakowski J., The interpretation of the shear-locking in beam elements, Computers and Structures, 37, ss. 769-776, 1990. [36] Rakowski J., A critical analysis of quadratic beam finite elements, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 31, ss. 949-966, 1991. [37] Rakowski J., Litewka P., An efficient simple curved finite beam element, Zeitschrift f###r Angewandte Mathematik und Mechanik, 76 Supplement 1, ss. 503-504, 1996. - 102 -
[38] Reddy B. D., Volpi M. B., Mixed finite element method for the circular arch problem, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 97, ss. 125-145, 1992. [39] Sabir A. B., Ashwell D. G., A comparison of curved beam finite elements when used in vibrations problems, Journal of Sound and Vibration, 18(4), ss. 555-563, 1971. [40] Saje M., Finite element formulation of finite planar deformation of curved elastic beams, Computers and Structures, 39, ss. 327-337, 1991. [41] Saje M., Turk G., Kalagasidu A., Vratnar B., A kinematically exact finite element formulation of elastic-plastic curved beams, University of Ljubljana, Faculty of Civil and Geodesic Engineering, Chair of Mechanics, Internal Report 96/2, 1996. [42] Saleeb A. F., Chang T. Y., On hybrid-mixed formulations of C 0 curved beam elements, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 60, ss. 95-121, 1987. [43] Sandhu J. S., Stevens K. A., Davies G. A. O., A 3-D co-rotational, curved and twisted beam element, Computers and Structures, 35, ss. 69-79, 1990. [44] Stolarski H., Belytschko T., Membrane locking and reduced integration for curved elements, Journal of Applied Mechanics (Transactions of ASME), 49, ss. 172-176, 1982. [45] Stolarski H., Belytschko T., Shear and membrane locking in curved C 0 elements, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 41, ss. 279-296, 1983. [46] Stolarski H., Chiang M. Y. M., The mode-decomposition, C 0 formulation of curved, twodimensional structural elements, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 28, ss. 145-154, 1989. [47] Surana K. S., Geometrically non-linear formulation for two dimensional curved beam elements, Computers and Structures, 17, ss. 105-114, 1983. [48] Szmelter J., Metody komputerowe w mechanice, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1980. [49] Tessler A., Spiridigliozzi L., Curved beam elements with penalty relaxation, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 23, ss. 2245-2262, 1986. [50] Timoshenko S. J., Gere J. M., Teoria stateczności sprężystej, Arkady, Warszawa, 1963. [51] Timoshenko S. J., Goodier J. N., Teoria sprężystości, Arkady, Warszawa, 1962. [52] Waszczyszyn Z., Cichoń Cz., Radwańska M., Metoda elementów skończonych w stateczności konstrukcji, Arkady, Warszawa, 1990. [53] Waszczyszyn Z., praca zbiorowa, Mechanika budowli. Ujęcie komputerowe, tom 3, Arkady, Warszawa, 1995. [54] Yamada Y., Ezawa Y., On curved finite elements for the analysis of circular arches, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 11, ss. 1635-1651, 1977. [55] Yang S.-Y., Sin H.-C., Curvature-based beam elements for the analysis of Timoshenko and shear-deformable curved beams, Journal of Sound and Vibration, 187, ss. 569-584, 1995. [56] Zhang Z., A note on the hybrid-mixed C 0 curved beam elements, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 95, ss. 243-252, 1992. - 103 -
[57] Zienkiewicz O. C., Taylor R. L., Too J. M., Reduced integration technique in general analysis of plates and shells, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 3, ss. 275-290, 1971. [58] Zienkiewicz O. C., Metoda elementów skończonych, Arkady, Warszawa, 1972. PODZIĘKOWANIE Bardzo dziękuję Panu Promotorowi Profesorowi Jerzemu Rakowskiemu za opiekę naukową. - 104 -