ANALIZA DYNAMICZNA UKŁADU DYSKRETNO-CIĄGŁEGO TYPU POJAZD-BELKA Z ZASTOSOWANIEM PROGRAMU SIMULINK

Transkrypt

1 ANALIZA DYNAMICZNA UKŁADU DYSKRETNO-CIĄGŁEGO TYPU POJAZD-BELKA Z ZASTOSOWANIEM PROGRAMU SIMULINK Artur ZBICIAK, Magdalena ATAMAN Instytut Mechaniki Konstrukcji Inżynierskich, Politechnika Warszawska 1. Wprowadzenie W dynamice konstrukcji inżynierskich istotną rolę odgrywają zagadnienia drgań układów, w których następuje interakcja pomiędzy obiektem inżynierskim a pojazdem, przekazującym nacisk na konstrukcję. Z punktu widzenia inżyniera budowlanego ważne jest badanie wytężenia elementów nośnych ustroju bez dokładnej analizy zachowania się pojazdu. Z drugiej strony wiarygodne obliczenia nie mogą być przeprowadzone bez uwzględnienia, chociażby w sposób przybliżony, dynamiki poruszającego się obciążenia. Wiele cennych informacji o zachowaniu się konstrukcji dostarczają modele dyskretno-ciągłe, w których element ustroju inżynierskiego, np. belka lub płyta mostowa, modelowany jest jako układ ciągły, opisywany równaniami różniczkowymi cząstkowymi, natomiast pojazd, lub jego pojedyncza oś, odpowiada modelowi dyskretnego oscylatora. Rozwiązanie zagadnienia drgań złożonego układu dyskretno-ciągłego, wymaga zastosowania procedury dyskretyzacji względem zmiennych przestrzennych z wykorzystaniem metody Galerkina, metody elementów skończonych (MES) lub metody różnic skończonych (MRS). W ten sposób otrzymujemy sprzężony układ równań różniczkowych zwyczajnych, który można rozwiązać stosując znane algorytmy (metoda różnic centralnych, metoda Newmarka, Rungego-Kutty i wiele innych). Celem pracy jest prezentacja zastosowań programu SIMULINK do rozwiązywania tego typu zagadnień. Referat stanowi kontynuację badań prowadzonych przez autora, dotyczących problematyki wykorzystania nowych narzędzi numerycznych do analizy dynamicznej układów spotykanych w mechanice konstrukcji [5, 6, 7].. Sformułowanie zagadnienia Rozpatrujemy drgania wieloprzęsłowej belki Bernoulliego-Eulera obciążonej ruchomymi oscylatorami lepkosprężystymi. Równanie różniczkowe opisujące przemieszczenia pionowe x t p x, t, jest postaci belki w,, wywołane obciążeniem wx, t wx, t wx, t EJ m c p x, t x t t, (1) gdzie E oznacza moduł Younga, J - moment bezwładności przekroju, m - masę jednostkową belki a c - współczynnik tłumienia.

2 Dyskretyzacja równania (1), względem zmiennej przestrzennej, prowadzi do standardowej zależności Mw Cw Kw p, () w której M, C i K oznaczają odpowiednio macierze mas, tłumienia i sztywności, natomiast wektory p i w opisują odpowiednio obciążenia i przemieszczenia węzłowe. Postać macierzy występujących w równaniu (1), zależy od przyjętej metody dyskretyzacji. Stosując MRS, otrzymujemy następującą formę macierzy sztywności belki swobodnie podpartej, przy podziale na n węzłów wewnętrznych rozłożonych równomiernie z krokiem l (patrz []) E J K l. (3) Macierze mas i tłumienia maja formę diagonalną. Uwzględnienie podpór pośrednich polega na wyzerowaniu odpowiednich wierszy i kolumn w macierzach. Równanie wektorowe () można przedstawić w postaci tzw. równań stanu, które zapisujemy następująco [1, ] S S x A x B u () S S y C x D u gdzie wielkości x, y i u oznaczają odpowiednio wektory stanu, wyjścia i sterowania. S S S S Pozostałe symbole to A - macierz stanu, B - macierz sterowań oraz C i D - macierz wyjść i macierz transmisyjna. Równanie () może być zastąpione przez układ (), uwzględniając następujące zależności nn w x w 0 I S 0 S, B, C M K M C o M B S, A 1 ow ov S C C, D, (5) o gdzie dodatkowo B jest macierzą jednostkową, natomiast szczegółowe postaci macierzy ow ov C i C zależą od wyboru wielkości wyjściowych. W układzie o n stopniach swobody nie jest możliwe otrzymanie na wyjściu informacji o przemieszczeniach i prędkościach wszystkich węzłów konstrukcji. Obciążenie jest przekazywane na belkę w formie nacisku N wywieranego przez ruchome oscylatory o masie M N t M g, (6) gdzie całkowite przemieszczenie masy oscylatora wyznaczamy całkując następujące równanie różniczkowe M w w w k w w, (7) osc w osc 0 osc osc

3 jeśli w oznacza przemieszczenie belki pod ruchomym oscylatorem (ugięcie śledzące), natomiast stałe k i oznaczają odpowiednio współczynniki sprężystości i lepkości oscylatora. 3. Model symulacyjny układu drgającego Wykorzystując równania przedstawione w poprzednim rozdziale, zbudowano model symulacyjny belki ciągłej z wykorzystaniem programu SIMULINK [3, 8], który stanowi nakładkę pakietu do obliczeń numerycznych MATLAB. Zastosowany program służy do modelowania układów opisywanych równaniami różniczkowymi zwyczajnymi. SIMULINK jest narzędziem, w którym model układu budowany jest w postaci schematów blokowych, przypominających modele rozwiązywane na maszynach analogowych. Program zawiera bogatą bibliotekę algorytmów służących do rozwiązywania równań różniczkowych. Dodatkowo istnieje możliwość wykorzystania języka programowania MATLAB-a, z poziomu SIMULINKA, co umożliwia modelowanie złożonych układów. Zadaniem przeprowadzonych symulacji była analiza drgań wieloprzęsłowej belki ciągłej obciążonej ruchomymi oscylatorami. Zbudowany program umożliwia dobór dowolnej liczby przęseł belki oraz gęstości siatki MRS. Wszystkie parametry układu należy podać w odpowiednim pliku i załadować do przestrzeni roboczej MATLAB-a. Zmienne wykorzystywane w innych plikach należy zadeklarować jako globalne. Rys. 1. Schemat blokowy układu drgającego Schemat blokowy układu drgającego pokazano na rys. 1. Trzy zasadnicze moduły BEAM, OSCILLATOR1 i OSCILLATOR są to zamaskowane podsystemy realizujące całkowanie równań ruchu belki i oscylatorów. Wielkości wyjściowe z bloków reprezentujących oscylatory naciski dynamiczne, są wprowadzone do bloku z równaniami stanu belki. Moduły

4 matfun_control zawierają funkcję napisaną w MATLAB-ie, która wyznacza wektor obciążeń belki p, rozkładając naciski dynamiczne na sąsiednie węzły, znajdujące się, w danej chwili, w sąsiedztwie ruchomych oscylatorów. W modułach OSCILLATOR, zastosowano odpowiednie bloki funkcyjne, które wyznaczają ugięcia śledzące belki, potrzebne do określenia nacisków dynamicznych (por. rys. ). W analizowanym przykładzie, rozpatrywano trójprzęsłową belkę ciągłą o długości L. Parametry belki zestawiono w tablicy 1. Tablica 1. Parametry geometryczne i materiałowe belki L [m] m [kg/m] J [m ] E [GPa] c kns/m ,013 10,0 Obciążenie belki stanowią oscylatory o masie M 000[kg], współczynniku k 15 MN/m i lepkości 100 kns/m. Pierwszy oscylator porusza się z v 50 1 m/s. Po upływie czasu t 0,8 1 [s], na belkę najeżdża drugi oscylator, v 60 m/s. sprężystości prędkością którego prędkość wynosi Rys.. Schemat podsystemu OSCILLATOR1 Po wykonaniu obliczeń możliwa jest prezentacja wyników w formie animacji, którą tworzy się w odpowiednim skrypcie napisanym z wykorzystaniem narzędzi języka MATLAB. Na rys. 3 pokazano linie ugięcia belki z zaznaczeniem położenia oscylatorów w danych chwilach. Oprócz animacji drgań możliwa jest wszechstronna wizualizacja wyników w formie przebiegów czasowych węzłów belki i mas oscylatorów. Przykładowo na rys. przedstawiono drgania punktu o odciętej odpowiadającej środkowi rozpiętości układu. Wykresy przemieszczeń względnych masy oscylatora nr 1, tzn. różnicę w osc w (por. wzór (7)), oraz ugięcie śledzące wywoływane przez jego ruch po belce, pokazano na rys. 5.

5 przemieszczenie [m] [m] Rys. 3. Linie ugięcia belki w wybranych chwilach x czas [s] Rys.. Drgania węzła położonego w środku rozpiętości belki. Zakończenie W pracy przedstawiono wyniki analizy numerycznej dynamicznego zachowania się układu mechanicznego pojazd-belka mostowa z zastosowaniem programu SIMULINK. Uzyskano wyniki w postaci przebiegów czasowych wybranych punków belki i oscylatora jak również linii ugięcia belki w wybranych chwilach. Rozpatrywano jedynie bezinercyjne obciążenie, w którym macierz sztywności (macierz stanu) układu jest stała w czasie. Dzięki temu możliwe było wykorzystanie gotowego bloku STATE-SPACE, w którym zaprogramowano równania ruchu belki (patrz rys. 1). Budowa schematu blokowego uwzględniającego inercyjny charakter obciążenia jest bardziej skomplikowana i wymaga omówienia w ramach oddzielnego opracowania.

6 przemieszczenia [m] x oscylator belka 5. Literatura czas [s] Rys. 5. Drgania oscylatora nr 1 i ugięcie śledzące belki [1] Kaczorek T.: Teoria sterowania i systemów. PWN, Warszawa [] Nowacki W.: Dynamika budowli. Arkady, Warszawa 197. [3] Osowski S.: Modelowanie układów dynamicznych z zastosowaniem języka SIMULINK. OWPW, Warszawa [] Szacka K.: Teoria układów dynamicznych. OWPW, Warszawa [5] Szcześniak W., Zbiciak A., Ataman M.: Zastosowanie programu SIMULINK do analizy drgań układu mechanicznego pojazd-belka z uwzględnieniem nierówności toru. Prace Naukowe Politechniki Radomskiej, Transport, nr 1(15) 00, s , Zakład Poligrafii Instytutu Technologii Eksploatacji, Radom 00. [6] Zbiciak A.: Zastosowanie programu SIMULINK do analizy drgań układów dyskretnych. Teoretyczne Podstawy Budownictwa, s , OWPW, Warszawa 00. [7] Zbiciak A.: Analiza drgań belek ciągłych pod obciążeniem ruchomym z zastosowaniem programu MATLAB-SIMULINK. Teoretyczne Podstawy Budownictwa, Moskwa-Niznij Novgorod 003, s. 13-0, Warszawa 003. [8] Using SIMULINK. The MathWorks, Inc. DYNAMIC ANALYSIS OF VEHICLE-BEAM DISCRETE-CONTINUOUS SYSTEM USING SIMULINK SOFTWARE S u m m a r y The problems of vehicle-structure dynamic interaction play important role in analysis of civil structures exposed to moving loads. In the work we consider a simple discretecontinuous system consisting on Bernoulli-Euler beam and viscoelastic oscillator. In the case of multispan structure numerical methods should be used for solving such a problem. We used SIMULINK software for this purpose. The partial differential equation describing beam s deflection was discretized by Finite Differences Method with respect to the space coordinate. The resulting system of ordinary differential equations as well as the oscillator equation were solved using Runge-Kutta method. The results of numerical calculations were visualized in figures showing beam s deflection curves and vibration diagrams of the beam s points and the mass of oscillator.