XXXV Konferencja Saysyka Maeayczna MODEL OTOWOŚCI SYSTEMU TECHNICZNEO Karol J. ANDRZEJCZAK karol.andrzejczak@pu.poznan.pl Polechnka Poznańska hp://www.pu.poznan.pl/
PRORAM REERATU 1. WPROWADZENIE 2. ORMALIZACJA SYSTEMU TECHNICZNEO 3. TRÓJSTANOWY MODEL OTOWOŚCI SYSTEMU 4. PODSUMOWANIE Karol J. Andrzejczak, PP, karol.andrzejczak@pu.poznan.pl 2
1. WPROWADZENIE 1. Przedo referau: odel syseu echncznego przeznaczonego do realzacj określonych zadań w określonych warunkach eksploaacj. 2. Cel: Wyznaczene goowośc syseu ne zawsze odnawanego. 3. Przykłady syseów: syse serowana loa saoloów, syse onorowana elekrown jądrowych, syse serowana sją kosczną. Karol J. Andrzejczak, PP, karol.andrzejczak@pu.poznan.pl 3
2. ORMALIZACJA SYSTEMU TECHNICZNEO OZNACZENIA ZAŁOśENIA 1. Moduły są ponuerowanych lczba nauralny 1, 2,, n. Zbór odułów syseu oznaczay sybole C, czyl C = {1, 2,, n}. San syseu jes jednoznaczne wyznaczony poprzez sany jego odułów. 2. WyróŜnone sany: s 1 san zdanośc syse spełna wszyske nałoŝone na nego wyagana uŝykowe. s 2 san nezdanośc odwracalnej syse jes odnawany. Karol J. Andrzejczak, PP, karol.andrzejczak@pu.poznan.pl 4
3. Nowy syse, czyl ak, kórego wszyske oduły są równeŝ nowe, rozpoczyna dzałane w chwl = 0. a. W j D j oznaczają odpowedno losowe czasy j-ego okresu zdanośc nezdanośc dla -ego odułu. b. W 1, D 1, W 2, D 2,., losowe czasy zdanośc syseu 4. oowość odułu syseu A = PX = 1, A = PϕX 1,, X n = 1 1 Prosy srueń odnowy jes podsawą konsrukcj nasępujących charakerysyk -ego odułu: MTB, MTT, MTTR, f,. Karol J. Andrzejczak, PP, karol.andrzejczak@pu.poznan.pl 5
Dysrybuana H czasu rwana jednego cyklu, j. suy W + D jes sploe H = 2 oznaczają dysrybuany czasu zdanośc czasu odnowy -ego odułu. JeŜel M jes funkcją odnowy, j. oczekwaną lczbą odnów w przedzale [0, ], o A = + M 3 Karol J. Andrzejczak, PP, karol.andrzejczak@pu.poznan.pl 6
3. TRÓJSTANOWY MODEL OTOWOŚCI SYSTEMU WyróŜnone sany: s 1 san zdanośc syse oduł spełna wszyske nałoŝone na nego wyagana uŝykowe. s 2 san nezdanośc odwracalnej syse oduł jes odnawany. s 3 san nezdanośc faalnej syse oduł ne jes odnawany. Karol J. Andrzejczak, PP, karol.andrzejczak@pu.poznan.pl 7
San -ego odułu C w chwl określa proces X 1, = 2, 3, gdy oduł w chwl gdy oduł w chwl gdy oduł w chwl jes w sane jes w sane jes w sane San syseu odnawalnego w chwl określa proces ϕ X 1,..., X n 1, = 2, 3, gdy syse w chwl gdy syse w chwl gdy syse w chwl s s s 1 2 3,,. jes w sane s1, jes w sane s2, jes w sane s. Zakładay, Ŝe X 1,, X n są wzajene nezaleŝne. 3 4 5 Karol J. Andrzejczak, PP, karol.andrzejczak@pu.poznan.pl 8
Syse z zabezpeczene syse z nadarowoścą dagnosyczno-usprawnającą. Zwększane zabezpeczena podnos koszy syseu proble wyznaczana opyalnego pozou nadarowośc zwązanej z jego zabezpeczene. Sopeń zabezpeczena -ego odułu syseu w chwl określa wskaźnk zabezpeczena z C. Wskaźnke zabezpeczena -ego odułu w chwl nazyway prawdop. zdarzena, Ŝe oduł en po urace zdanośc przejdze do sanu s 2, w kóry poddany zosane dzałano odnawający. Karol J. Andrzejczak, PP, karol.andrzejczak@pu.poznan.pl 9
Proces zany sanu odułu z zabezpeczene oŝna opsać arkowsk odele przejść. z λ s 1 s 2 µ 1 z λ s3 Rys. 1. Markowsk odel przejść gdze λ µ są nensywnośca uszkodzena odnowy, naoas z jes wsp. zabezpeczena -ego odułu. Karol J. Andrzejczak, PP, karol.andrzejczak@pu.poznan.pl 10
gdze Nech Sj = P X = j, C, j = 1, 2, 3, wówczas rozkład sanów -ego odułu w chwl : β µ β 1 µ β2 S 1 = exp β1 + exp β 2 β β β β ; S 2 1 λz λz = exp β 1 + exp β 2 β β β β 2 2 1 1 2 S 3 2 = 1 S 1 S ; 1 2 1, β2 = 2 λ + µ λ + µ 41 z λ µ 1 Karol J. Andrzejczak, PP, karol.andrzejczak@pu.poznan.pl 11 2 ; 6.
Szczególne przypadk: JeŜel dla 0 jes z = 1, o oduł jes cały czas w pełn zabezpeczony, j. po kaŝdej urace zdanośc oŝna go odnowć. JeŜel z = 0, o kaŝde uszkodzene odułu jes faalne. Warunkowa goowość -ego odułu, przy warunku, Ŝe oduł en ne przejdze do sanu faalnego: A = S 1 S 1 + S 2 7 Karol J. Andrzejczak, PP, karol.andrzejczak@pu.poznan.pl 12
Prawdop., Ŝe w chwl Ŝaden oduł syseu ne będze w sane faalny wyraŝa sę wzore: P u = S 1 + S2 C 8 Karol J. Andrzejczak, PP, karol.andrzejczak@pu.poznan.pl 13
Karol J. Andrzejczak, PP, karol.andrzejczak@pu.poznan.pl 14 Ogólnejszy przypadek JeŜel rozkłady czasu zdanośc odułów ne są wykładncze, o orzyay se-arkowsk odel. Wówczas prawdop. przebywana w sane zdanośc... 2 2 2 1 + + + = z z S 0 z = = 1 0 z = + = 9 gdze 1 0 0 =, n jes n-krony sploe ze sobą.
Karol J. Andrzejczak, PP, karol.andrzejczak@pu.poznan.pl 15 Prawdop. przebywana w odnawalny sane nezdanośc... 1 2 2 2 + + = z z S 1 1 z = = 1 1 z = = 10
4. Podsuowane W konsrukcj odelu goowośc syseu zasosowano funkcyjne wskaźnk z, C zabezpeczena odułów. Wskaźnk zabezpeczena są f. rzeczywsy o waroścach rzeczywsych z przedzału [0, 1]. Są one ara zaufana do przywrócena zdanośc syseu odułów. Jes o węc ujęce dynaczne, kóre uwzględna oŝlwośc uczena sę syseu. Karol J. Andrzejczak, PP, karol.andrzejczak@pu.poznan.pl 16
Karol J. Andrzejczak, PP, karol.andrzejczak@pu.poznan.pl 17